【同步学案】人教B版（2019） 高中数学 必修第四册 第9章解三角形学案（含解析）

9.2　正弦定理与余弦定理的应用

最新课程标准：1.能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)　2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(重点)　3.能根据题意画出几何图形．(易错点)

知识点一　实际测量中的有关名词、术语

知识点二　方位角

从指北方向按________转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示)．

方位角的取值范围：________.

知识点三　方向角

从指定方向线到目标方向线所成的小于________的水平角，如南偏西60°，指以________方向为始边，顺时针方向________旋转60°.

[基础自测]

1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　)

A．α>β     B．α＝β

C．α＋β＝90°    D．α＋β＝180°

2．如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为(　　)

A．a km    B.a km

C.a km    D．2a km

3．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________m、________m.

4．某人从A处出发、沿北偏西60°行走2 km到达B处，再沿正东方向行走2 km到达C处，则A，C两地的距离为________km.

题型一　测量不便到达的两点之间的距离问题

例1　要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离．

　将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形．

方法归纳

测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决．

跟踪训练1　如图所示，设B、C两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在C的同侧，在所在的河岸边选定一点A，测出A，C的距离是100 m，∠BAC＝45°，∠BCA＝60°，求B，C两点间的距离．

题型二　测量高度问题

例2　某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值．

【解】　由AB＝，BD＝，

AD＝及AB＋BD＝AD，

得＋＝，

解得H＝＝＝124.

因此，算出的电视塔的高度H是124 m.

方法归纳

解决测量高度问题的一般步骤

(1)画图：根据已知条件画出示意图．

(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．

(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．

跟踪训练2　如图所示，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100 m，点C位于BD上，则山高AB等于(　　)

A．100 m    B．50 m

C．50 m    D．50(＋1) m

题型三　求航向的角度

例3　某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．

　本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形．

方法归纳

(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．

(2)在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角．但角在上时，用正、余弦定理皆可．

跟踪训练3　甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？

题型四　求解速度问题

　1.某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是50 °，距离是4 km，从B到C，方位角是80 °，距离是8 km，从C到D，方位角是150 °，距离是6 km，试画出示意图．

[提示]　如图所示：

2．在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C，则此人的速度至少是多少？

[提示]　如探究1图，在△ABC中，∠ABC ＝50 °＋(180 °－80 °) ＝150 °，由余弦定理得AC ＝ ＝，则此人的最小速度为v ＝ ＝8(km/h)．

3．在探究1中若投递员以24 km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以16 km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？

[提示]　投递员到达C点的时间为t1 ＝ ＝(小时) ＝30(分钟)，追投递员的人所用时间由探究2可知t2 ＝≈0. 55 小时 ＝33分钟；由于30<33＋10，所以此人在C点不能与投递员相遇．

例4　如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？

方法归纳

解决实际问题应注意的问题

(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．

(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．跟

踪训练4　一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向上，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，则此船的航行速度为(　　)

A．8(＋)海里/时    B．8(－)海里/时

C．16(＋)海里/时    D．16(－)海里/时

教材反思

1．利用正弦定理、余弦定理可以解决一个可以到达的点与另一个不可以到达的点之间的距离问题(一般利用正弦定理，解一个三角形即可)，还可以解决两个不可到达的点之间的距离问题．解决此类问题，先利用测量工具测出所构造的三角形的有关的边和角，再通过解三角形求相应距离．

2．利用正弦定理、余弦定理可以解决底(顶)部不能到达的物体的高度问题或者是航海航天中的角度问题．解决此类问题的策略是先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解一个直角三角形和一个斜三角形或两个直角三角形使问题得解．

9．2　正弦定理与余弦定理的应用

新知初探·自主学习

知识点二

顺时针　0°～360°

知识点三

90°　正南　向西

[基础自测]

1．解析：由图知α＝β.

答案：B

2．解析：在△ABC中，因为AC＝BC＝a，

∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，

由余弦定理可得AB2＝a2＋a2－2a×a×cos 120°＝3a2，所以AB＝a，故选B.

答案：B

3．解析：甲楼的高为：20tan 60°＝20×＝20(m)；

乙楼的高为：20－20tan 30°＝20－20×＝(m)．

答案：20　

4．解析：如图所示，∠ABC＝30°，又AB＝2，BC＝2，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC＝12＋4－2×2×2×＝4，

AC＝2，所以A，C两地的距离为2 km.

答案：2

课堂探究·素养提升

例1　【解】　如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，

∴AC＝CD＝ km.

在△BCD中，∠BCD＝45°，

∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.

∴BC＝＝.

在△ABC中，由余弦定理，得

AB2＝()2＋2－2×××cos 75°

＝3＋2＋－＝5，

∴AB＝(km)，∴A，B之间的距离为 km.

跟踪训练1　解：在△ABC中，AC＝100，∠BAC＝45°，∠BCA＝60°，

则∠B＝180°－(∠BAC＋∠BCA)＝75°，

由正弦定理，得BC＝AC×＝＝100(－1)．

即B，C两点间的距离为100(－1) m.

跟踪训练2　解析：设山高为h，则由题意知

CB＝h，DB＝h，

所以h－h＝100，即h＝50(＋1)．

答案：D

例3　

【解】　如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.

此时AB＝14，BC＝6.

在△ABC中，根据正弦定理得＝，

所以sin∠CAB＝＝，

即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)．

即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.

所以舰艇以66.8°的方位角航行，需 h才能靠近渔轮．

跟踪训练3　解：设甲船沿直线AC与乙船同时到达C点，则A，B，C三点构成△ABC，如图．设乙船速度为v海里/时，则甲船速度为v海里/时，用时为t h.

由题意得BC＝vt，AC＝vt，∠ABC＝120°.

∴3v2t2＝a2＋v2t2＋avt，

∴2v2t2－avt－a2＝0，解得vt＝－(舍去)或vt＝a，

∴BC＝a海里．

在△ABC中，AB＝BC＝a海里，∴∠BAC＝∠ACB＝30°.

故甲船应沿北偏东30°的方向前进才能在最短时间内追上乙船，此时乙船行驶了a海里．

例4　【解】　根据已知图形构造三角形，利用余弦定理建立速度与时间的函数求解．

作MI垂直公路所在直线于点I，则MI＝3，∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝.

设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，

由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×，

即v2＝－＋2 500＝252＋900≥900，

∴当t＝时，v取得最小值为30，

∴其行驶距离为vt＝＝(公里)．

故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了公里．

跟踪训练4　

解析：如图，由题意得，在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.

由正弦定理得＝，

即＝，得AB＝8(－)海里，

因此该船的航行速度为＝16(－)(海里/时)．

答案：D