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人教B版（2019）高中数学 必修第四册《第九章 解三角形》单元测试2（含解析）
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人教B版（2019）必修第四册《第九章 解三角形》单元测试2
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）设锐角ΔABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=1，A=2C，则ΔABC周长的取值范围为( )
A. (0,2+2) B. (0,3+3)
C. (2+2,3+3) D. (2+2,3+3]
2.（5分）如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km.行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了( )(sin12°≈0.21,sin18°≈0.31)
A. 10km B. 20km C. 30km D. 40km
3.（5分）在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a=1，b=3，∠A=π6则∠B等于( )
A. π3 B. 2π3 C. π3或2π3 D. π4
4.（5分）已知ΔABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S.若asinA+C2=bsinA，2S=3BA→.CA→，则ΔABC的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形
5.（5分）在△ABC中，A，B，C满足cosAcosBcosC>0，则此三角形的形状是()
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 可能是锐角三角形也可能是钝角三角形
6.（5分）在ΔABC中，a=2ccosB，则该三角形的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形
7.（5分）在ΔABC中，B=π4，若b=22，则ΔABC面积的最大值是( )
A. 4+42 B. 4 C. 42 D. 2+22
8.（5分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=2，B=45°，则角A为( )
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2=b(a+b)，则以下结论正确的是( )
A. c>b B. C=2B C. a>c D. 0
A. cosC=33 B. sinB=23 C. a=3 D. SΔABC=2
11.（5分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=π3，则 ( )
A. 若a=3，b=1，则B=π6
B. 若ΔABC的面积为SΔABC=3，b=2，则c=2
C. 若a=5，c=2，则三角形有两解
D. 若b-c=33a，则ΔABC是直角三角形
12.（5分）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(ΔABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，则一定能确定A，B间距离的所有方案为( )
A. 测量A，B，b B. 测量a，b，C C. 测量A，B，a D. 测量A，B，C
13.（5分）在ΔABC中，已知(a+b)：(c+a)：(b+c)=6：5：4，下列结论中正确的是( )
A. 这个三角形被唯一确定 B. ΔABC一定是钝角三角形
C. sinA：sinB：sinC=7：5：3 D. 若b+c=8，则ΔABC的面积是1532
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）若ΔABC中，已知AB=1，AC=2，B=45°，则BC的长为________.
15.（5分）如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的ΔABC有两个，那么k的取值范围是______．
16.（5分）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=7，b=2，A=120°，则ΔABC的面积为 ______ .
17.（5分）在ΔABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若角A为锐角，BC边上的高为58a，且b+c=pa，则实数p的取值范围为______．
18.（5分）在△ABC中，若b=1，c=3，C=2π3，则a=______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a≠b，且cos2A-cos2B=3sinAcosA-3sinBcosB．
(Ⅰ)求角C的大小；
(Ⅱ)若c=3，求ΔABC面积的最大值．
20.（12分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC=a+33csinB，点D在边AC上，且AD=2DC，BD=2.
(1)求角B的大小；
(2)求ΔABC面积的最大值.
21.（12分）已知ΔABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足3ccos(2016π-B)-bsin(2017π+C)=0．
(1)求角B的大小；
(2)若动点D在ΔABC的外接圆上，且点D，B不在AC的同一侧，AC=7，试求ΔACD面积的最大值．
22.（12分）在△ABC中，内角A，B.C所对的边分别为a，b，c，已知cos(π2-A-C)=bcos(C-π6).
(Ⅰ)求角C的大小；
(Ⅱ)若a=b，P为△ABC内一点，PA=2，PC=4，则从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①BP⊥CP；
②PB=23；
③∠BPA=150°.
23.（12分）在ΔABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知5acosA=3(ccosB+bcosC).
(1)求tanA；
(2)若c=5，且ΔABC的面积为4，求ΔABC的周长．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：锐角ΔABC可得0°
可得30°
可得a=sinAsinC=sin2CsinC=2cosC，
b=sinBsinC=sin3CsinC=sin2CcosC+cos2CsinCsinC
=2cos2C+cos2C=4cos2C-1，
则a+b+c=4cos2C+2cosC
=4(cosC+14)2-14，
由30°
cosC=32时，可得a+b+c=3+3，
则a+b+c的范围是(2+2,3+3).
故选：C．
由锐角三角形求得30°
2.【答案】B;
【解析】解：根据题意：在ΔABC中，
∠C=180°-12°-18°=150°，
利用正弦定理：500sin150∘=BCsin12∘=ACsin18∘，
解得：AC=500×0.31×2=310，
BC=500×0.21×2=210，
故飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多兆了520-500=20km.
故选：B.
直接利用正弦定理的应用，三角形内角和定理的应用求出结果．
此题主要考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形内角和定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
3.【答案】C;
【解析】解：在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a=1，b=3，∠A=π6，
由正弦定理可知：sinB=bsinAa=3×121=32．
B=π3或2π3．
故选：C．
直接利用正弦定理求解即可．
该题考查正弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．
4.【答案】C;
【解析】解：因为asinA+C2=bsinA，
所以asin(π2-B2)=acosB2=bsinA，
由正弦定理可得sinAcosB2=sinBsinA，
因为sinA≠0，可得cosB2=sinB=2sinB2cosB2，
因为B∈(0,π)，B2∈(0,π2)，cosB2≠0，
所以可得sinB2=12，可得B2=π6，可得B=π3，
又2S=3BA→.CA→，可得2×12bcsinA=3⋅bccosA，即tanA=3，
因为A∈(0,π)，可得A=π3，
所以C=π-A-B=π3，则ΔABC的形状是正三角形．
故选：C.
由三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，二倍角的正弦公式化简已知等式可得sinB2=12，进而可求得B的值，又利用三角形的面积公式，平面向量数量积的运算以及同角三角函数基本关系式化简已知等式可求A的值，利用三角形内角和定理可求C的值，即可判断得解．
此题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，二倍角的正弦公式，三角形的面积公式，平面向量数量积的运算以及同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
5.【答案】A;
【解析】解：在△ABC中，A，B，C满足cosAcosBcosC>0，
若有一内角为直角，则必有cosAcosBcosC=0，
若有一内角为钝角，则必有cosAcosBcosC<0，
所以cosA>0，cosB>0，cosC>0，
可得A，B，C均为锐角，
则△ABC是锐角三角形．
故选：A.
由题意分类讨论可得cosA>0，cosB>0，cosC>0，进而可求A，B，C均为锐角，即可判断三角形的形状．
此题主要考查三角形性状的判断，考查了分类讨论思想，属于基础题．
6.【答案】A;
【解析】解：∵已知等式a=2ccosB，利用正弦定理化简得：sinA=2sinCcosB，
∴将sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC代入得：
sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB，即sinBcosC-cosBsinC=sin(B-C)=0，
∴B-C=0，即B=C，
则ΔABC为等腰三角形．
故选：A.
已知等式利用正弦定理化简，将sinA=sin(B+C)代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到sin(B-C)=0，确定出B=C，即可得出三角形形状．
此题主要考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．
7.【答案】D;
【解析】解：由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac=22，
又a2+c2⩾2ac，
∴22⩾2ac-82ac，
∴ac⩽4(2+2)，
∴SΔABC=12acsinB⩽12×4(2+2)×22=2+22．
故选：D．
利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式变形，求出ac的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．
该题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
8.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．
解：根据题意，由正弦定理，asinA=bsinB，
得sinA=12，
∵a
故选A.
9.【答案】AB;
【解析】解：因为c2=b(a+b)>bc，所以c>b，故A正确；
由余弦定理得，cosB=a2+c2-b22ac=a2+ab2ac=a+b2c=c2b，所以c=2bcosB，
由正弦定理得，cb=sinCsinB，所以cosB=sinC2sinB，即sinC=2sinBcosB，
所以sinC=sin2B，所以C=2B或C+2B=π，
因为A+B+C=π，若C+2B=π，可得A=B，所以a=b，
又c2=b(a+b)，所以c2=a2+b2，此时C=π2，A=B=π4，满足C=2B，故B正确；
当A=B=π4，C=π2时，a
故选：AB.
根据两边和大于第三边定理即可判断A正确；由余弦定理及c2=b(a+b)可得出cosB=c2b，然后根据正弦定理可得出sinC=sin2B，进而得出C=2B或C+2B=π，而C+2B=π时可得出C=π2，A=B=π4，从而判断B正确；根据A=B=π4，C=π2时，得出a
10.【答案】AD;
【解析】解：由于A+3C=π，
则：A+B+C=A+3C，解得：B=2C.
由于：b=23，c=3，
利用正弦定理：bsinB=csinC，则：bsin2C=csinC，整理得：232sinCcosC=3sinC，解得：cosC=33，故A正确；
由于cosC=a2+b2-c22ab，33=a2+12-92×a×23，可得a2-4a+3=0，
解得：a=1，或3，
若a=c=3，则A=C，可得B=2A=2C=π2，可得b=a2+c2=2c=32，矛盾，故C错误，
可得a=1，
可得cosB=a2+c2-b22ac=1+9-122×1×3=-13，可得sinB=1-cos2B=223，故B错误；
因为若a=c=3，可得A+3C=C+3C=π，可得A=C=π4，B=π2，由于a2+c2=9+9=18≠12=b2，矛盾，
所以a=1，
又因为sinC=63，
则由SΔABC=12a⋅b⋅sinC=2，故D正确．
故选：AD.
直接利用已知条件，利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出结果．
此题主要考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
11.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查解三角形的应用，考查了正弦定理余弦定理以及三角形面积公式，属于中档题.
A.根据正弦定理求得sinB，再根据a>b进行判断即可；B.根据三角形面积公式求得c即可；C.根据正弦定理求得sinC即可；D.根据余弦定理求得b，a与c的关系，即可判断.
解：A：因为A=π3，a=3，b=1，所以由正弦定理asinA=bsinB得：sinB=12，
因为a=3>b=1，所以A>B，所以B=π6，故选项A正确；
B：因为A=π3，SΔABC=3，b=2，所以12bcsinA=3，解得c=2，故选项B正确；
C：因为A=π3，a=5，c=2，由正弦定理asinA=csinC得sinC=155
消去a并整理得：2b2+2c2-5bc=0，因为b>c，所以b=2c，此时a=3c，
所以b2=a2+c2，即ΔABC是直角三角形，故选项D正确．
故选ABD.
12.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查了正余弦定理的应用，属于中档题.
根据正余弦定理的使用条件进行判断即可得到结果．
解：对于A，利用内角和定理先求出B=π-A-C，再利用正弦定理bsinB=csinC，解出c；
对于B，直接利用余弦定理cosC=a2+b2-c22ab，即可解出c；
对于C，利用正弦定理求出b，再利用内角和定理求出C，最后利用余弦定理cosC=a2+b2-c22ab，即可解出c；
对于D，只知道三个角，无法求边长.
故选ABC.
13.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查公式的熟练使用，属于基础题.
根据已知条件得到a，b，c的关系，再由相关公式逐个判断即可.
解：设a+b=6k，c+a=5k，b+c=4k，则a=72k,b=52k,c=32k，
则a:b:c=7:5:3，三角形不确定，所以A错；
又a2=494k2>254k2+94k2=b2+c2，所以A是钝角，B正确；
由正弦定理可知，sinA：sinB：sinC=a:b:c= 7：5：3，C正确；
若b+c=8，则b=5，c=3，a=7，
cosA=b2+c2-a22bc=25+9-492×5×3=-12，
则A=120°，S=12bcsinA=12×5×3×sin60°=1534，所以D错误.
故选BC.
14.【答案】2+62;
【解析】
此题主要考查余弦定理的应用，考查运算能力，属于基础题型.
由余弦定理得，AC2=BC2+AB2-2BC.ABcosB，所以2=BC2+1-2BCcos45°，即可求解.
解：由余弦定理得，AC2=BC2+AB2-2BC.ABcosB，
所以2=BC2+1-2BCcos45°，
解得BC=2+62(负值舍去).
故答案为2+62.
15.【答案】(12,83);
【解析】
这道题主要考查三角形解的个数问题，实则考查正弦定理，重在讨论，易错点在于可能漏掉83这种情况，属于中档题．
要对三角形解的各种情况进行讨论即：无解、有1个解、有2个解，从中得出ΔABC有两个时k满足的条件．
解：(1)当AC83时，三角形无解；
(2)当AC=BCsin∠ABC，即12=ksin60°，即k=83时，三角形有1解；
(3)当BCsin∠ABC
16.【答案】32;
【解析】解：由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得7=4+c2-2×2×c×(-12)，
可得c2+2c-3=0，解得c=1或c=-3(舍去)，
∴SΔABC=12bcsinA=12×2×1×32=32.
故答案为：32.
由已知结合余弦定理可求c，进而可求三角形的面积公式．
此题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，属于基础题．
17.【答案】（32，+∞）;
【解析】解：∵BC边上的高为58a，
∴12bcsinA=12×a×5a8，可得：bc=5a28sinA，
∵b+c=pa，两边平方可得(b+c)2=p2a2，
∴由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA=p2a2-2×5a28sinA-2×5a28sinA×cosA，
可得：p2=1+5(1+cosA)4sinA=1+10cos2A28sinA2cosA2=1+54tanA2，
∵角A为锐角，A2∈(0,π4)，tanA2∈(0,1)，54tanA2∈(54,+∞)，
∴p2=1+54tanA2∈(94,+∞)，
由题意知p>0，
∴p∈(32,+∞)．
故答案为：(32,+∞)．
根据已知利用余弦定理，三角函数恒等变换的应用得出p2关于A2的表达式，根据A2的范围即可得p的范围．
该题考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
18.【答案】1;
【解析】解：在△ABC中，b=1，c=3，C=2π3，
则由正弦定理得：csinC=bsinB，即332=1sinB，解得sinB=12，又B∈(0,π3)，
所以B=π6=A，
所以△ABC为等腰三角形，
故a=b=1，
故答案为：1.
在△ABC中，利用正弦定理可求得B=A=π6，从而可得答案．
此题主要考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：（Ⅰ）∵cos2A-cos2B=3sinAcosA-3sinBcosB，
∴1+cos2A2-1+cos2B2=32sin2A-32sin2B，
可得：cos2A-cos2B=3sin2A-3sin2B，
可得：sin（2A-π6）=sin（2B-π6），
∵△ABC中，a≠b，可得A≠B，
∴2A-π6+2B-π6=π，
∴A+B=2π3，可得：C=π3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）c=3，C=π3，
所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，可得：3=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab，得ab≤3（当且仅当a=b时取等号），
所以△ABC的面积S=12absinC≤12×3×32=334，故△ABC的面积的最大值是334．;
【解析】
(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(2A-π6)=sin(2B-π6)，由A≠B，可得2A-π6+2B-π6=π，进而可求C的值．
(Ⅱ)由(Ⅰ)利用余弦定理，基本不等式可求出ab的最大值，进而利用三角形的面积公式即可求出ΔABC的面积的最大值．
该题考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等．
20.【答案】解：（1）由bcosC=a+33csinB及正弦定理，得sinBcosC=sinA+33sinCsinB，
又A=π-（B+C），所以sinBcosC=sin(B+C)+33sinBsinC，即cosBsinC+33sinCsinB=0，
因为0＜C＜π，sinC≠0，所以tanB=-3，
又0＜B＜π，得B=2π3．
（2）因为点D在边AC上，且AD=2DC，所以BD→=BA→+AD→=BA→+23AC→=BA→+23(BC→-BA→)=13BA→+23BC→，B→D2=19BA2→+49BA→⋅BC→+49BC2→，即4=19c2+49accos2π3+49a2，即4a2+c2-2ac=36，
由4a2+c2≥4ac，可得4ac-2ac≤36，即ac≤18，当且仅当2a=c时，等号成立，
所以△ABC面积的最大值为12×18×sin2π3=932，当且仅当2a=c，即a=3，c=6时等号成立．;
【解析】
(1)由bcosC=a+33csinB，根据正弦定理可得出sinBcosC=sinA+33sinCsinB，代入sinA=sinBcosC+cosBsinC即可求出tanB=-3，从而可得出B=2π3；
(2)根据条件可得出BD→=13BA→+23BC→，两边平方进行数量积的运算可得出4a2+c2-2ac=36，进而可得出ac⩽18，这样即可求出ΔABC面积的最大值．
此题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，已知正切值求角的方法，通过向量解决问题的方法，向量数量积的运算及计算公式，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：（1）在△ABC中，∵3ccos(2016π-B)-bsin(2017π+C)=0，
∴3ccosB+bsinC=0，
由正弦定理，得3sinCcosB+sinBsinC=0，
又0＜C＜π，
∴sinC≠0，
∴3cosB+sinB=0，
即tanB=-3，
又0＜B＜π，
∴B=2π3．
（2）由点D在△ABC的外接圆上，B，D不在AC的同侧，得∠D=π-∠B=π3，
在△ACD中，由余弦定理，得AC2=AD2+CD2-2AD•CDcosD≥2AD•CD（1-cosD）=AD•CD，即49≥AD•CD，当且仅当AD=CD时，取等号．
∴△ACD的面积S=12AD.CDsinD≤12×49sinπ3=4934．;
【解析】
(1)根据诱导公式和和正弦定理即可求出，
(2)根据余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式计算即可．
此题主要考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式以及三角函数的化简，考查了学生的运算能力，属于中档题
22.【答案】解：（I）由题意可知cos(π2-A-C)=bcos(C-π6)，
∴csinB=b(cosCcosπ6+sinCsinπ6)=32bcosC+12bsinC．
由正弦定理可得sinCsinB=32sinBcosC+12sinB⋅sinC．
∵B∈（0，π），∴sinB≠0，
∴sinC=32cosC+12sinC，∴sinC=3cosC，即tanC=3．
∵C∈（0，π），∴C=π3．
（II）证明：若选①②证③，∵a=b且C=π3，∴△ABC为等边三角形．
∵BP⊥CP．又PC=4，PB=23，∴BC=27∴BA=27，
在△BPA中，cos∠BPA=12+4-282×23×2=-32，∴∠BPA=150°，
若选①③证②，∵a=b且C=π3，∴△ABC为等边三角形．
∵BP⊥CP，∠BPA=150°，∴∠CPA=120°，
在△CPA中，AC2=4+16-2×2×4cos∠CPA=28，
在Rt△BPC中，BC2=28，PC2=16，
∴PB2=12．∴BP=23．
若选②③证①，∵a=b且C=π3，
∴△ABC为等边三角形．
在△BPA中，∵PB=23，PA=2，∠BPA=150°，
∴AB2=12+4-2×23×2cos150°=28，
在△BPC中，PB2=12，BC2=AB2=28，PC2=16，
∴BC2=PB2+PC2，∴BP⊥CP．;
【解析】
(I)由题意将已知条件化简．再结合角的取值范围即可求解；(II)由题意求得△ABC为等边三角形，从三个条件中任选两个，利用余弦定理及其推论结合已知条件，即可证得另一个条件．
此题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查推理论证能力、运算求解能力，考查逻辑推理、数学运算核心素养，属于中档题．
23.【答案】解：（1）因为：5acosA=3（ccosB+bcosC），
由正弦定理可知：5sinAcosA=3（sinCcosB+sinBcosC），可得：5sinAcosA=3sin（B+C）=3sinA，
因为sinA≠0，可得：cosA=35，sinA=1-cos2A=45，
可得：tanA=sinAcosA=43．
（2）∵sinA=45，c=5，且△ABC的面积为4=12bcsinA=12×b×5×45，
∴可得：b=2，
∵cosA=35，
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得：a=22+52-2×2×5×35=17．
∴△ABC的周长L=a+b+c=2+5+17．;
【解析】
(1)通过正弦定理以及两角和的正弦函数化简表达式，求出cosA的大小，通过同角三角函数基本关系式即可计算得解．
(2)通过三角形面积公式可求b的值，利用余弦定理可求a的值，即可得解．
此题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．
人教B版（2019）必修第四册《第九章 解三角形》单元测试2
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）设锐角ΔABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=1，A=2C，则ΔABC周长的取值范围为( )
A. (0,2+2) B. (0,3+3)
C. (2+2,3+3) D. (2+2,3+3]
2.（5分）如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km.行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了( )(sin12°≈0.21,sin18°≈0.31)
A. 10km B. 20km C. 30km D. 40km
3.（5分）在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a=1，b=3，∠A=π6则∠B等于( )
A. π3 B. 2π3 C. π3或2π3 D. π4
4.（5分）已知ΔABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S.若asinA+C2=bsinA，2S=3BA→.CA→，则ΔABC的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形
5.（5分）在△ABC中，A，B，C满足cosAcosBcosC>0，则此三角形的形状是()
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 可能是锐角三角形也可能是钝角三角形
6.（5分）在ΔABC中，a=2ccosB，则该三角形的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形
7.（5分）在ΔABC中，B=π4，若b=22，则ΔABC面积的最大值是( )
A. 4+42 B. 4 C. 42 D. 2+22
8.（5分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=2，B=45°，则角A为( )
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2=b(a+b)，则以下结论正确的是( )
A. c>b B. C=2B C. a>c D. 0
A. cosC=33 B. sinB=23 C. a=3 D. SΔABC=2
11.（5分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=π3，则 ( )
A. 若a=3，b=1，则B=π6
B. 若ΔABC的面积为SΔABC=3，b=2，则c=2
C. 若a=5，c=2，则三角形有两解
D. 若b-c=33a，则ΔABC是直角三角形
12.（5分）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(ΔABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，则一定能确定A，B间距离的所有方案为( )
A. 测量A，B，b B. 测量a，b，C C. 测量A，B，a D. 测量A，B，C
13.（5分）在ΔABC中，已知(a+b)：(c+a)：(b+c)=6：5：4，下列结论中正确的是( )
A. 这个三角形被唯一确定 B. ΔABC一定是钝角三角形
C. sinA：sinB：sinC=7：5：3 D. 若b+c=8，则ΔABC的面积是1532
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）若ΔABC中，已知AB=1，AC=2，B=45°，则BC的长为________.
15.（5分）如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的ΔABC有两个，那么k的取值范围是______．
16.（5分）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=7，b=2，A=120°，则ΔABC的面积为 ______ .
17.（5分）在ΔABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若角A为锐角，BC边上的高为58a，且b+c=pa，则实数p的取值范围为______．
18.（5分）在△ABC中，若b=1，c=3，C=2π3，则a=______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a≠b，且cos2A-cos2B=3sinAcosA-3sinBcosB．
(Ⅰ)求角C的大小；
(Ⅱ)若c=3，求ΔABC面积的最大值．
20.（12分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC=a+33csinB，点D在边AC上，且AD=2DC，BD=2.
(1)求角B的大小；
(2)求ΔABC面积的最大值.
21.（12分）已知ΔABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足3ccos(2016π-B)-bsin(2017π+C)=0．
(1)求角B的大小；
(2)若动点D在ΔABC的外接圆上，且点D，B不在AC的同一侧，AC=7，试求ΔACD面积的最大值．
22.（12分）在△ABC中，内角A，B.C所对的边分别为a，b，c，已知cos(π2-A-C)=bcos(C-π6).
(Ⅰ)求角C的大小；
(Ⅱ)若a=b，P为△ABC内一点，PA=2，PC=4，则从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①BP⊥CP；
②PB=23；
③∠BPA=150°.
23.（12分）在ΔABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知5acosA=3(ccosB+bcosC).
(1)求tanA；
(2)若c=5，且ΔABC的面积为4，求ΔABC的周长．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：锐角ΔABC可得0°
可得30°
可得a=sinAsinC=sin2CsinC=2cosC，
b=sinBsinC=sin3CsinC=sin2CcosC+cos2CsinCsinC
=2cos2C+cos2C=4cos2C-1，
则a+b+c=4cos2C+2cosC
=4(cosC+14)2-14，
由30°
cosC=32时，可得a+b+c=3+3，
则a+b+c的范围是(2+2,3+3).
故选：C．
由锐角三角形求得30°
2.【答案】B;
【解析】解：根据题意：在ΔABC中，
∠C=180°-12°-18°=150°，
利用正弦定理：500sin150∘=BCsin12∘=ACsin18∘，
解得：AC=500×0.31×2=310，
BC=500×0.21×2=210，
故飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多兆了520-500=20km.
故选：B.
直接利用正弦定理的应用，三角形内角和定理的应用求出结果．
此题主要考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形内角和定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
3.【答案】C;
【解析】解：在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a=1，b=3，∠A=π6，
由正弦定理可知：sinB=bsinAa=3×121=32．
B=π3或2π3．
故选：C．
直接利用正弦定理求解即可．
该题考查正弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．
4.【答案】C;
【解析】解：因为asinA+C2=bsinA，
所以asin(π2-B2)=acosB2=bsinA，
由正弦定理可得sinAcosB2=sinBsinA，
因为sinA≠0，可得cosB2=sinB=2sinB2cosB2，
因为B∈(0,π)，B2∈(0,π2)，cosB2≠0，
所以可得sinB2=12，可得B2=π6，可得B=π3，
又2S=3BA→.CA→，可得2×12bcsinA=3⋅bccosA，即tanA=3，
因为A∈(0,π)，可得A=π3，
所以C=π-A-B=π3，则ΔABC的形状是正三角形．
故选：C.
由三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，二倍角的正弦公式化简已知等式可得sinB2=12，进而可求得B的值，又利用三角形的面积公式，平面向量数量积的运算以及同角三角函数基本关系式化简已知等式可求A的值，利用三角形内角和定理可求C的值，即可判断得解．
此题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，二倍角的正弦公式，三角形的面积公式，平面向量数量积的运算以及同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
5.【答案】A;
【解析】解：在△ABC中，A，B，C满足cosAcosBcosC>0，
若有一内角为直角，则必有cosAcosBcosC=0，
若有一内角为钝角，则必有cosAcosBcosC<0，
所以cosA>0，cosB>0，cosC>0，
可得A，B，C均为锐角，
则△ABC是锐角三角形．
故选：A.
由题意分类讨论可得cosA>0，cosB>0，cosC>0，进而可求A，B，C均为锐角，即可判断三角形的形状．
此题主要考查三角形性状的判断，考查了分类讨论思想，属于基础题．
6.【答案】A;
【解析】解：∵已知等式a=2ccosB，利用正弦定理化简得：sinA=2sinCcosB，
∴将sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC代入得：
sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB，即sinBcosC-cosBsinC=sin(B-C)=0，
∴B-C=0，即B=C，
则ΔABC为等腰三角形．
故选：A.
已知等式利用正弦定理化简，将sinA=sin(B+C)代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到sin(B-C)=0，确定出B=C，即可得出三角形形状．
此题主要考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．
7.【答案】D;
【解析】解：由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac=22，
又a2+c2⩾2ac，
∴22⩾2ac-82ac，
∴ac⩽4(2+2)，
∴SΔABC=12acsinB⩽12×4(2+2)×22=2+22．
故选：D．
利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式变形，求出ac的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．
该题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
8.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．
解：根据题意，由正弦定理，asinA=bsinB，
得sinA=12，
∵a
故选A.
9.【答案】AB;
【解析】解：因为c2=b(a+b)>bc，所以c>b，故A正确；
由余弦定理得，cosB=a2+c2-b22ac=a2+ab2ac=a+b2c=c2b，所以c=2bcosB，
由正弦定理得，cb=sinCsinB，所以cosB=sinC2sinB，即sinC=2sinBcosB，
所以sinC=sin2B，所以C=2B或C+2B=π，
因为A+B+C=π，若C+2B=π，可得A=B，所以a=b，
又c2=b(a+b)，所以c2=a2+b2，此时C=π2，A=B=π4，满足C=2B，故B正确；
当A=B=π4，C=π2时，a
故选：AB.
根据两边和大于第三边定理即可判断A正确；由余弦定理及c2=b(a+b)可得出cosB=c2b，然后根据正弦定理可得出sinC=sin2B，进而得出C=2B或C+2B=π，而C+2B=π时可得出C=π2，A=B=π4，从而判断B正确；根据A=B=π4，C=π2时，得出a
10.【答案】AD;
【解析】解：由于A+3C=π，
则：A+B+C=A+3C，解得：B=2C.
由于：b=23，c=3，
利用正弦定理：bsinB=csinC，则：bsin2C=csinC，整理得：232sinCcosC=3sinC，解得：cosC=33，故A正确；
由于cosC=a2+b2-c22ab，33=a2+12-92×a×23，可得a2-4a+3=0，
解得：a=1，或3，
若a=c=3，则A=C，可得B=2A=2C=π2，可得b=a2+c2=2c=32，矛盾，故C错误，
可得a=1，
可得cosB=a2+c2-b22ac=1+9-122×1×3=-13，可得sinB=1-cos2B=223，故B错误；
因为若a=c=3，可得A+3C=C+3C=π，可得A=C=π4，B=π2，由于a2+c2=9+9=18≠12=b2，矛盾，
所以a=1，
又因为sinC=63，
则由SΔABC=12a⋅b⋅sinC=2，故D正确．
故选：AD.
直接利用已知条件，利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出结果．
此题主要考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
11.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查解三角形的应用，考查了正弦定理余弦定理以及三角形面积公式，属于中档题.
A.根据正弦定理求得sinB，再根据a>b进行判断即可；B.根据三角形面积公式求得c即可；C.根据正弦定理求得sinC即可；D.根据余弦定理求得b，a与c的关系，即可判断.
解：A：因为A=π3，a=3，b=1，所以由正弦定理asinA=bsinB得：sinB=12，
因为a=3>b=1，所以A>B，所以B=π6，故选项A正确；
B：因为A=π3，SΔABC=3，b=2，所以12bcsinA=3，解得c=2，故选项B正确；
C：因为A=π3，a=5，c=2，由正弦定理asinA=csinC得sinC=155
消去a并整理得：2b2+2c2-5bc=0，因为b>c，所以b=2c，此时a=3c，
所以b2=a2+c2，即ΔABC是直角三角形，故选项D正确．
故选ABD.
12.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查了正余弦定理的应用，属于中档题.
根据正余弦定理的使用条件进行判断即可得到结果．
解：对于A，利用内角和定理先求出B=π-A-C，再利用正弦定理bsinB=csinC，解出c；
对于B，直接利用余弦定理cosC=a2+b2-c22ab，即可解出c；
对于C，利用正弦定理求出b，再利用内角和定理求出C，最后利用余弦定理cosC=a2+b2-c22ab，即可解出c；
对于D，只知道三个角，无法求边长.
故选ABC.
13.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查公式的熟练使用，属于基础题.
根据已知条件得到a，b，c的关系，再由相关公式逐个判断即可.
解：设a+b=6k，c+a=5k，b+c=4k，则a=72k,b=52k,c=32k，
则a:b:c=7:5:3，三角形不确定，所以A错；
又a2=494k2>254k2+94k2=b2+c2，所以A是钝角，B正确；
由正弦定理可知，sinA：sinB：sinC=a:b:c= 7：5：3，C正确；
若b+c=8，则b=5，c=3，a=7，
cosA=b2+c2-a22bc=25+9-492×5×3=-12，
则A=120°，S=12bcsinA=12×5×3×sin60°=1534，所以D错误.
故选BC.
14.【答案】2+62;
【解析】
此题主要考查余弦定理的应用，考查运算能力，属于基础题型.
由余弦定理得，AC2=BC2+AB2-2BC.ABcosB，所以2=BC2+1-2BCcos45°，即可求解.
解：由余弦定理得，AC2=BC2+AB2-2BC.ABcosB，
所以2=BC2+1-2BCcos45°，
解得BC=2+62(负值舍去).
故答案为2+62.
15.【答案】(12,83);
【解析】
这道题主要考查三角形解的个数问题，实则考查正弦定理，重在讨论，易错点在于可能漏掉83这种情况，属于中档题．
要对三角形解的各种情况进行讨论即：无解、有1个解、有2个解，从中得出ΔABC有两个时k满足的条件．
解：(1)当AC
(2)当AC=BCsin∠ABC，即12=ksin60°，即k=83时，三角形有1解；
(3)当BCsin∠ABC
16.【答案】32;
【解析】解：由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得7=4+c2-2×2×c×(-12)，
可得c2+2c-3=0，解得c=1或c=-3(舍去)，
∴SΔABC=12bcsinA=12×2×1×32=32.
故答案为：32.
由已知结合余弦定理可求c，进而可求三角形的面积公式．
此题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，属于基础题．
17.【答案】（32，+∞）;
【解析】解：∵BC边上的高为58a，
∴12bcsinA=12×a×5a8，可得：bc=5a28sinA，
∵b+c=pa，两边平方可得(b+c)2=p2a2，
∴由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA=p2a2-2×5a28sinA-2×5a28sinA×cosA，
可得：p2=1+5(1+cosA)4sinA=1+10cos2A28sinA2cosA2=1+54tanA2，
∵角A为锐角，A2∈(0,π4)，tanA2∈(0,1)，54tanA2∈(54,+∞)，
∴p2=1+54tanA2∈(94,+∞)，
由题意知p>0，
∴p∈(32,+∞)．
故答案为：(32,+∞)．
根据已知利用余弦定理，三角函数恒等变换的应用得出p2关于A2的表达式，根据A2的范围即可得p的范围．
该题考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
18.【答案】1;
【解析】解：在△ABC中，b=1，c=3，C=2π3，
则由正弦定理得：csinC=bsinB，即332=1sinB，解得sinB=12，又B∈(0,π3)，
所以B=π6=A，
所以△ABC为等腰三角形，
故a=b=1，
故答案为：1.
在△ABC中，利用正弦定理可求得B=A=π6，从而可得答案．
此题主要考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：（Ⅰ）∵cos2A-cos2B=3sinAcosA-3sinBcosB，
∴1+cos2A2-1+cos2B2=32sin2A-32sin2B，
可得：cos2A-cos2B=3sin2A-3sin2B，
可得：sin（2A-π6）=sin（2B-π6），
∵△ABC中，a≠b，可得A≠B，
∴2A-π6+2B-π6=π，
∴A+B=2π3，可得：C=π3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）c=3，C=π3，
所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，可得：3=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab，得ab≤3（当且仅当a=b时取等号），
所以△ABC的面积S=12absinC≤12×3×32=334，故△ABC的面积的最大值是334．;
【解析】
(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(2A-π6)=sin(2B-π6)，由A≠B，可得2A-π6+2B-π6=π，进而可求C的值．
(Ⅱ)由(Ⅰ)利用余弦定理，基本不等式可求出ab的最大值，进而利用三角形的面积公式即可求出ΔABC的面积的最大值．
该题考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等．
20.【答案】解：（1）由bcosC=a+33csinB及正弦定理，得sinBcosC=sinA+33sinCsinB，
又A=π-（B+C），所以sinBcosC=sin(B+C)+33sinBsinC，即cosBsinC+33sinCsinB=0，
因为0＜C＜π，sinC≠0，所以tanB=-3，
又0＜B＜π，得B=2π3．
（2）因为点D在边AC上，且AD=2DC，所以BD→=BA→+AD→=BA→+23AC→=BA→+23(BC→-BA→)=13BA→+23BC→，B→D2=19BA2→+49BA→⋅BC→+49BC2→，即4=19c2+49accos2π3+49a2，即4a2+c2-2ac=36，
由4a2+c2≥4ac，可得4ac-2ac≤36，即ac≤18，当且仅当2a=c时，等号成立，
所以△ABC面积的最大值为12×18×sin2π3=932，当且仅当2a=c，即a=3，c=6时等号成立．;
【解析】
(1)由bcosC=a+33csinB，根据正弦定理可得出sinBcosC=sinA+33sinCsinB，代入sinA=sinBcosC+cosBsinC即可求出tanB=-3，从而可得出B=2π3；
(2)根据条件可得出BD→=13BA→+23BC→，两边平方进行数量积的运算可得出4a2+c2-2ac=36，进而可得出ac⩽18，这样即可求出ΔABC面积的最大值．
此题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，已知正切值求角的方法，通过向量解决问题的方法，向量数量积的运算及计算公式，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：（1）在△ABC中，∵3ccos(2016π-B)-bsin(2017π+C)=0，
∴3ccosB+bsinC=0，
由正弦定理，得3sinCcosB+sinBsinC=0，
又0＜C＜π，
∴sinC≠0，
∴3cosB+sinB=0，
即tanB=-3，
又0＜B＜π，
∴B=2π3．
（2）由点D在△ABC的外接圆上，B，D不在AC的同侧，得∠D=π-∠B=π3，
在△ACD中，由余弦定理，得AC2=AD2+CD2-2AD•CDcosD≥2AD•CD（1-cosD）=AD•CD，即49≥AD•CD，当且仅当AD=CD时，取等号．
∴△ACD的面积S=12AD.CDsinD≤12×49sinπ3=4934．;
【解析】
(1)根据诱导公式和和正弦定理即可求出，
(2)根据余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式计算即可．
此题主要考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式以及三角函数的化简，考查了学生的运算能力，属于中档题
22.【答案】解：（I）由题意可知cos(π2-A-C)=bcos(C-π6)，
∴csinB=b(cosCcosπ6+sinCsinπ6)=32bcosC+12bsinC．
由正弦定理可得sinCsinB=32sinBcosC+12sinB⋅sinC．
∵B∈（0，π），∴sinB≠0，
∴sinC=32cosC+12sinC，∴sinC=3cosC，即tanC=3．
∵C∈（0，π），∴C=π3．
（II）证明：若选①②证③，∵a=b且C=π3，∴△ABC为等边三角形．
∵BP⊥CP．又PC=4，PB=23，∴BC=27∴BA=27，
在△BPA中，cos∠BPA=12+4-282×23×2=-32，∴∠BPA=150°，
若选①③证②，∵a=b且C=π3，∴△ABC为等边三角形．
∵BP⊥CP，∠BPA=150°，∴∠CPA=120°，
在△CPA中，AC2=4+16-2×2×4cos∠CPA=28，
在Rt△BPC中，BC2=28，PC2=16，
∴PB2=12．∴BP=23．
若选②③证①，∵a=b且C=π3，
∴△ABC为等边三角形．
在△BPA中，∵PB=23，PA=2，∠BPA=150°，
∴AB2=12+4-2×23×2cos150°=28，
在△BPC中，PB2=12，BC2=AB2=28，PC2=16，
∴BC2=PB2+PC2，∴BP⊥CP．;
【解析】
(I)由题意将已知条件化简．再结合角的取值范围即可求解；(II)由题意求得△ABC为等边三角形，从三个条件中任选两个，利用余弦定理及其推论结合已知条件，即可证得另一个条件．
此题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查推理论证能力、运算求解能力，考查逻辑推理、数学运算核心素养，属于中档题．
23.【答案】解：（1）因为：5acosA=3（ccosB+bcosC），
由正弦定理可知：5sinAcosA=3（sinCcosB+sinBcosC），可得：5sinAcosA=3sin（B+C）=3sinA，
因为sinA≠0，可得：cosA=35，sinA=1-cos2A=45，
可得：tanA=sinAcosA=43．
（2）∵sinA=45，c=5，且△ABC的面积为4=12bcsinA=12×b×5×45，
∴可得：b=2，
∵cosA=35，
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得：a=22+52-2×2×5×35=17．
∴△ABC的周长L=a+b+c=2+5+17．;
【解析】
(1)通过正弦定理以及两角和的正弦函数化简表达式，求出cosA的大小，通过同角三角函数基本关系式即可计算得解．
(2)通过三角形面积公式可求b的值，利用余弦定理可求a的值，即可得解．
此题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．
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