27.高中数学（人教B版）-空间中的平行和垂直的综合应用(一)-1教案

教学基本信息

课题

空间中的平行与垂直的综合应用（一）

学科

数学

学段：高中

年级

高一

教材

书名:普通高中教科书数学必修第四册（B版）

出版社：人民教育出版社      出版日期：2019年7月第1版

教学目标及教学重点、难点

教学目标：

1.熟悉线面、面面平行关系和垂直关系的转化，利用常见几何体的性质，应用平行和垂直的判定定理、性质定理解决空间中平行和垂直相关问题；

2.培养空间想象能力,会根据已知条件将问题进行适当转化,通过对综合问题的分析，提升逻辑推理水平；

3.借助对综合问题的分析，更好地练习自然语言、图形语言和符号语言之间的互相转化，体会数形结合思想在立体几何相关计算中的渗透.

教学重点、难点：

平行关系或垂直关系之间的相互转化

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

引入

（一）知识的回顾

证明线面平行、线面垂直有哪些方法？

证明面面平行、面面垂直有哪些方法？

承前启后，提出本节课的学习任务

教学过程

教学过程

教学过程

教学过程

（二） 通过具体题目点明基本方法

如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，

(1)求证：AF平面PEC；

(2)求证：平面PEC平面PCD；

基本方法：

（1）证明线面平行、面面平行,需转化为证明线线平行

(2)证明线面垂直、面面垂直,需转化为证明线线垂直

(三) 以常见几何体为载体讲评典型例题

通过前面几节课的学习,我们认识了空间中的点、线、面的位置关系,重点学习了空间中的平行关系和垂直关系, 这节课我们将探究空间中平行和垂直的综合应用问题, 进一步提升解决立体几何综合问题的能力.

      例1图                同类练习1图

例1：如图，在正方体中，E是中点，求证：

(1)

（2）

 思路引导：线线垂直和线面垂直如何转化？线面平行和线线平行如何转化？（怎么构造线面垂直？怎么构造线线平行？）

同类练习1：直三棱柱中，，M为的中点，N是与的交点.求证:

(1)

(2)

     例2图           同类练习2图

例2：如图所示，O是正方形ABCD的中心，，E是PC的中点，求证：

（1）

 (2)

同类练习2：如图，所在的平面，M,N分别是AB,PC的中点.

(1)求证：

(2)求证：

(3) 求证：

例3图            同类练习3图

例3：如图，已知是正三角形，EA,CD都垂直于平面ACB，且，F是BE的中点，求证：

（1）

（2）

同类练习3：在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，且

（1）求证：

(2)求证：当点M为BD的中点时 ，

（四）课后练习

   练习1图          练习2图

练习1：如图，已知三棱锥A-BPC中，，M为AB中点，D为PB中点，且为正三角形

（1）    求证：

(2)   求证：

(3)若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积

练习2：如图，三棱柱中，侧棱，为等腰直角三角形，，D，E，F分别是中点.

(1)求证：

(2)求证：

(3)设，求三棱锥D-AEF的体积

高一学生新课阶段刚学完定理，想借助具体问题引入，让学生回顾自己都学了什么，能用到什么程度，再去反思总结方法层面的内容。

题后反思：

1.证明线面平行,面面平行,需转化为证明线线平行

2.证明线面垂直,面面垂直,需转化为证明线线垂直

和新授课中的几何体与定理做衔接，先复习定理，而不是先上习题，先从常见几何体入手，这些几何体中的平行垂直关系非常丰富，可以让学生从常规视图开始训练，比较符合高一学生的认知规律

正方体中的平行垂直关系是学习立体几何中的平行和垂直关系的特别好的载体，高一的学生从正方体的问题中去熟悉解题思路，是一个容易接受的切入点。从正方体到直棱柱，问题还是在棱柱中，但是对思维能力的要求提升了。

棱锥的研究从正棱锥开始，让初学立体几何的高一学生先对规则的图形有正确的认识，再过渡到底面特殊的棱锥，由浅入深，让学生的对几何体中的线面关系认识逐步深化，符合认知规律

在立体几何的证明中，也经常会遇到组合体，在熟悉了棱柱和棱锥的性质之后，再逐渐接触组合体中的平行和垂直关系，让学生能一步一个台阶地提升思维训练的水平。这两个问题分别是看上去类似锥体和柱体的组合体，不但能让学生进行概念的再巩固，也能让学生的思维不拘于特殊的几何体。

练习的设置是为了有机会将课堂所讲的问题巩固并把方法加深印象

课堂小结

1、在解决立体几何问题时，经常要完成从空间到平面的转化，添加辅助线后，应该先在平面图形中分析几何关系；要学会从文字语言的叙述中，提炼出符号语言，并且标记在图形中，转化成图形语言； 要熟悉常见几何体的性质；

2、垂直和平行关系的核心问题主要围绕“线线平行”和“线线垂直”展开，要对定义和定理非常熟悉，并多总结转化经常用到的思路和方法，规范解答题过程书写.

把最基本的要求提出来，把最核心的方法提出来