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【阶段测试】湘教版数学八年级上册--第二章《三角形》单元测试卷（标准难度）（含答案）
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这是一份【阶段测试】湘教版数学八年级上册--第二章《三角形》单元测试卷（标准难度）（含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湘教版初中数学八年级上册第二章《三角形》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知三角形的三边长分别为a、b、c，化简|a+b−c|−2|a−b−c|+|a+b+c|得( )
A. 4a−2c B. 2a−2b−c C. 4b+2c D. 2a−2b+c
2. 如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD.设∠ACB=α，∠EAD=β，则∠B的度数为( )
A. 2β−α B. α−12β C. 2α−β D. α+12β
3. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列命题中，属于假命题的是( )
A. 若∠C=∠A+∠B，则△ABC是直角三角形
B. 若c2=b2−a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C. 若(c+a)(c−a)=b2，则△ABC是直角三角形
D. 若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形
4. 能说明命题“若a2=b2，则a=b”是假命题的一个反例可以是( )
A. a=2，b=−2 B. a=2，b=3
C. a=−2，b=−2 D. a=−2，b=−3
5. 下列命题：
①若|a|>|b|，则a>b；
②直角三角形的两个锐角互余；
③如果a=0，那么ab=0；
④同旁内角互补，两直线平行．
其中，原命题和逆命题均为真命题的有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
6. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E的度数为( )
A. 25° B. 20° C. 15° D. 7.5°
7. 如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=( )
A. a+b2
B. a−b2
C. a−b
D. b−a
8. 在如图所示的尺规作图中，与AD相等的线段是( )
A. 线段AC
B. 线段BD
C. 线段DC
D. 线段DE
9. 如图，AB//CD，BE垂直平分AD，DC=BC.若∠A=70°，则∠C的度数为( )
A. 100°
B. 110°
C. 115°
D. 120°
10. 如图，Rt△ABC沿直线边AB所在的直线向下平移得到△DEF，下列结论中不一定正确的( )
A. S四边形ADHC=S四边形BEFH
B. AD=BD
C. AD=BE
D. ∠DEF=90°
11. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，将△ABP绕点B顺时针旋转得到△CBQ，连接PQ，则以下结论中不正确是( )
A. ∠PBQ=60°
B. ∠APB=150°
C. S△PQC=6
D. S△BPQ=83
12. 下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；⑤作图语句：连接AD，并且平分∠BAC.其中正确的有个．( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 已知：一等腰三角形的两边长x、y满足方程组2x−y=33x+2y=8，则此等腰三角形的周长为 ．
14. 已知等腰三角形的一个内角为40∘，则它的顶角的度数为 ．
15. 如图，在△PAB中，PA=PB，M、N、K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK.若∠MKN=40°，则∠P的度数为 ．
16. 已知线段a，b和m，求作△ABC，使BC=a，AC=b，BC边上的中线AD=m.下面作法的合理顺序为 (填序号)：①延长CD到B，使BD=CD；②连接AB；③作△ADC，使DC=12a，AC=b，AD=m．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．
①如果AB//CD，BO=DO，那么四边形ABCD是平行四边形；
②如果AB//CD，∠ABC=∠ADC，那么四边形ABCD是平行四边形；
③如果AB=CD，BO=DO，那么四边形ABCD是平行四边形；
④如果∠ABC=∠ADC，BO=DO，那么四边形ABCD是平行四边形．
(1)判断上述四个命题的真假；
(2)证明上述四个命题的真假．
(提示：证明一个命题是假命题，只要举个反例.)
18. (本小题8.0分)
尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：
已知：如图，线段a，b．
求作：△ABC，使BC=a，AB=AC=b．
19. (本小题8.0分)
已知：如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点．
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
(2)若AD=AE=2，∠A=60°，求四边形EBFD的周长和面积．
20. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=40°．
(1)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数．
21. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，PD=PA，
(1)尺规作图：作BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)所作的图中，连接DE，求证：DE⊥DP．
22. (本小题8.0分)
王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
23. (本小题8.0分)
如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．
(1)如图1，连接AQ、CP.求证：△ABQ≌△CAP；
(2)如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
(3)如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
24. (本小题8.0分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F．
(1)求证：△AED≌△CFB；
(2)求证：四边形DEBF是平行四边形．
25. (本小题8.0分)
如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b.(不写作法，保留作图痕迹．)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则a+b−c>0，a−b−c<0，a+b+c>0，
∴|a+b−c|−2|a−b−c|+|a+b+c|=a+b−c+2a−2b−2c+a+b+c=4a−2c．
故选：A．
三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．
此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负
2.【答案】A
【解析】解：∵以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，
∴AB=BD，AC=CE，
∴∠BAD=∠BDA，∠CAE=∠CEA，
∵∠ACB=α，
∴∠CAE=∠CEA=12(180°−∠ACB)=90°−12α，
∵∠DAE=β，
∴∠CAD=∠CAE−∠DAE=(90°−12α)−β=90°−12α−β，
∴∠BAD=∠BDA=∠C+∠CAD=α+(90°−12α−β)=90°+12α−β，
∴∠B=180°−∠BAD−∠BDA
=180°−(90°+12α−β)−(90°+12α−β)
=180°−90°−12α+β−90°−12α+β
=2β−α，
故选：A．
根据等腰三角形的性质得出∠BAD=∠BDA，∠CAE=∠CEA，根据三角形内角和定理求出∠CAE=∠CEA=12(180°−∠ACB)=90°−12α，求出∠CAD=∠CAE−∠DAE=90°−12α−β，根据三角形外角性质得出∠BAD=∠BDA=∠C+∠CAD=90°+12α−β，再根据三角形内角和定理求出∠B即可．
本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质和三角形外角性质，能根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BDA的度数是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、若∠C=∠A+∠B，则△ABC是直角三角形，是真命题，本选项不符合题意．
B、若c2=b2−a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°，是假命题，应该是∠B=90°，本选项符合题意．
C、若(c+a)(c−a)=b2，则△ABC是直角三角形，是真命题，本选项不符合题意．
D、若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形，是真命题，本选项不符合题意．
故选：B．
根据直角三角形的定义以及勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查命题与定理，直角三角形的定义，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，属于中考常考题型．
4.【答案】A
【解析】解：能说明命题“若a2=b2，则a=b”是假命题的一个反例是a=2，b=−2，a2=b2，但a=−b，
故选：A．
反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项．
此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出一个命题的逆命题，难度不大．
写出原命题的逆命题后进行判断即可确定正确的选项．
【解答】
解：①错误，为假命题；其逆命题为若a>b，则|a|>|b|，错误，为假命题；
②直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题；逆命题为两个角互余的三角形为直角三角形，正确，为真命题；
③如果a=0，那么ab=0，正确，为真命题；其逆命题为若ab=0，那么a=0，错误，为假命题；
④同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，其逆命题为两直线平行，同旁内角互补，为真命题．
原命题和逆命题均是真命题的有2个，
故选C．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是利用外角性质得出∠1=2∠2，∠2=2∠E，由于△ABC是等边三角形，那么∠B=∠1=60°，而CD=CG，那么∠CGD=∠2，而∠1是△CDG的外角，可得∠1=2∠2，同理有∠2=2∠E，等量代换有4∠E=60°，即可求∠E．
【解答】
解：如图所示，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠1=60°，
∵CD=CG，
∴∠CGD=∠2，
∴∠1=2∠2，
同理有∠2=2∠E，
∴4∠E=60°，
∴∠E=15°．
故选C．
7.【答案】C
【解析】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，
∴∠ABD=36°=∠A，
∴BD=AD，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，
∴BD=BC，
∵AB=AC=a，BC=b，
∴CD=AC−AD=a−b，
故选：C．
根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD，进而解答即可．
此题考查等腰三角形的判定与性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD解答．
8.【答案】B
【解析】解：由作图可知，DE垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
故选：B．
利用线段的垂直平分线的性质判断即可．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定和性质，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，由BE垂直平分AD，可得AB=DB，进而得出∠ABE=∠DBE，由∠A=70°，即可得到∠ABD=40°，依据平行线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．
【解答】
解：∵BE垂直平分AD，
∴AB=DB，
∴∠ABE=∠DBE，
又∵∠A=70°，
∴∠ABE=20°，
∴∠ABD=40°，
又∵AB//CD，
∴∠CDB=∠ABD=40°，
又∵DC=BC，
∴∠CBD=40°，
∴∠C=180°−2×40°=100°，
故选：A．
10.【答案】B
【解析】【解答】
本题考查了全等三角形的性质及平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．各组对应点的线段所在的直线平行(或共线)且相等．先利用平移的性质得到AD=BE，△ABC≌△DEF，再利用全等三角形的性质得到∠DEF=∠ABC=90°，S△ABC=S△DEF，利用面积的和差得到S四边形ADHC=S四边形BEFH．
【解答】
解：∵Rt△ABC沿直线边AB所在的直线向下平移得到△DEF，
∴AD=BE，△ABC≌△DEF，
∴∠DEF=∠ABC=90°，S△ABC=S△DEF，
∴S四边形ADHC=S四边形BEFH．
故选B．
11.【答案】D
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置，
∴△BQC≌△BPA，
∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等边三角形，△BPQ的面积=34×42=43，故A正确，D错误；
∴PQ=BP=4，
∵PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形，△PQC的面积=12×3×4=6，故C正确，
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°，
∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，故B正确．
故选：D．
根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理，即可判断A、D；依据△BPQ是等边三角形，即可得到∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°，进而得出∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，即可判断C、B选项．
本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，解题关键是综合运用定理进行推理．
12.【答案】B
【解析】解：①相等的角不一定是对顶角，故说法错误；
②同位角不一定相等，故说法错误；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故说法正确；
⑤连接AD，并且平分∠BAC.这里两个条件，只能满足一个条件，说法错误；
故选：B．
根据对顶角，平行线的性质，平行公理，点到直线的结论，基本作图等知识一一判断即可．
本题考查对顶角，平行线的性质，平行公理，点到直线的结论，基本作图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13.【答案】5
【解析】解：解方程组2x−y=33x+2y=8得x=2y=1.
所以，等腰三角形的两边长为2，1．
若腰长为1，底边长为2，由1+1=2知，这样的三角形不存在．
若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5．
所以这个等腰三角形的周长为5．
故答案为：5．
先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案．
本题考查了三角形三边关系及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．
14.【答案】40∘或100∘
【解析】解： ①这个等腰三角形的顶角的度数为40∘;
②当40∘的角为底角时，这个等腰三角形的顶角的度数为180∘−40∘−40∘=100∘，
综上可知，它的顶角的度数为40∘或100∘．
15.【答案】100°
【解析】解：∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在△AMK和△BKN中，
AM=BK∠A=∠BAK=BN，
∴△AMK≌△BKN(SAS)，
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN，
∴∠A=∠MKN=40°，
∴∠P=180°−∠A−∠B=180°−40°−40°=100°，
故答案为100°．
由条件可证明△AMK≌△BKN，再结合外角的性质可求得∠A=∠MKN，再利用三角形内角和可求得∠P．
本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理，利用条件证得△AMK≌△BKN是解题的关键．
16.【答案】③①②
【解析】解：作法：③作△ADC，使DC=12a，AC=b，AD=m，
①延长CD到B，使BD=CD，
②连接AB，
故答案为：③①②．
先作△ADC，再延长CD到B，最后连接AB．
本题考查了复杂的几何作图，基本作图是作一条线段等于已知线段；主要利用圆规截取或以某点为圆心，以所作的线段长为半径作圆得出．
17.【答案】解：(1)①如果AB//CD，BO=DO，那么四边形ABCD是平行四边形是真命题；
②如果AB//CD，∠ABC=∠ADC，那么四边形ABCD是平行四边形是真命题；
③如果AB=CD，BO=DO，那么四边形ABCD是平行四边形是假命题；
④如果∠ABC=∠ADC，BO=DO，那么四边形ABCD是平行四边形是假命题．
(2)①∵AB//CD，
∴∠ABO=∠CDO，
∵BO=DO，∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
②∵AB//CD，
∴∠ABC+∠BAD=∠ADC+∠BCD=180°，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠BAD=∠DCB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
③如图1，当AB=CD，BO=DO时，则四边形ABCD不是平行四边形；
④如图2，当∠ABC=∠ADC，BO=DO时，则四边形ABCD不是平行四边形．
【解析】(1)根据题意判断即可得到结论；
(2)根据平行四边形的判定定理证明即可．
本题考查了命题与定理，平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
18.【答案】解：如图，△ABC即为所求．
【解析】作射线BM，在射线BM上截取BC=a，分别以B，C为圆心，b为半径作弧，两弧交于点A，连接AB，AC，△ABC即为所求．
本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】(1)证明：在▱ABCD中，AB=CD，AB//CD．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE=12AB，DF=12CD．
∴BE=DF．
∴四边形EBFD是平行四边形
(2)解：∵AD=AE，∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形．
∴DE=AD=2，
由(1)知四边形EBFD是平行四边形，
∵BE=AE=2，
∴四边形EBFD的周长=2(BE+DE)=8．
【解析】(1)在▱ABCD中，AB=CD，AB//CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，所以BE=CF，因此四边形EBFD是平行四边形；
(2)由AD=AE=2，∠A=60°知△ADE是等边三角形，又E、F分别是边AB、CD的中点，四边形EBFD是平行四边形，所以EB=BF=FD=DE=2，四边形EBFD是平行四边形的周长是2+2+2+2=8．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
20.【答案】解：(1)如图，直线DF，射线AE即为所求．
(2)∵DF垂直平分线段AB，
∴DB=DA，
∴∠DAB=∠B=30°，
∵∠C=40°，
∴∠BAC=180°−30°−40°=110°，
∴∠CAD=110°−30°=80°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=12∠DAC=40°．
【解析】(1)利用尺规作出线段AB的垂直平分线DF，交CB于D，交AB于F，连接AD；作∠CAD的角平分线交BC于E，直线DF，射线AE即为所求．
(2)首先证明DA=DB，推出∠DAB=∠B=30°，利用三角形内角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解决问题．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
21.【答案】(1)解：如图，EF为所作；
(2)证明：∵PA=PD，
∴∠A=∠PDA，
∵EF垂直平分BD，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠PDE=180°−∠PDA−∠EDB=90°，
∴PD⊥DE．
【解析】(1)利用基本作图作BD的垂直平分线EF；
(2)先由PA=PD得到∠A=∠PDA，再根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，则∠B=∠EDB，从而得到∠PDA+∠EDB=90°，从而可判断PD⊥DE．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质．
22.【答案】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
由题意得：AD=EC=6cm，DC=BE=14cm，
∴DE=DC+CE=20(cm)，
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
【解析】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
23.【答案】解：(1)证明：如图1，∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
AB=CA∠ABQ=∠CAPAP=BQ,
∴△ABQ≌△CAP(SAS)；
(2)点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC是△ACM的外角，
∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC
∵∠BAC=60°，
∴∠QMC=60°；
(3)如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变
理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC是△APM的外角，
∴∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°−∠PAC=180°−60°=120°，
即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．
【解析】(1)根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP即可；
(2)先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=60°；
(3)先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=120°．
此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质．
24.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAE=∠BCF，
∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，
∴∠AED=∠BFC=90°，
在△AED与△CFB中，
∠DAE=∠BCF∠AED=∠CFBAD=CB，
∴△AED≌△CFB(AAS)；
(2)∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，
∴DE//BF，
∵△AED≌△CFB，
∴DE=BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD//BC，得到∠DAE=∠BCF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
(2)根据平行线的判定定理得到DE//BF，根据全等三角形的性质得到DE=BF，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
25.【答案】解：
如上图，△ABC即为所求．
【解析】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．先在射线AD上截取AC=b，再分别以点A，C为圆心，c和a为半径画弧，两弧相交于点B，然后连结BA，BC，则△ABC为满足条件的三角形．
湘教版初中数学八年级上册第二章《三角形》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知三角形的三边长分别为a、b、c，化简|a+b−c|−2|a−b−c|+|a+b+c|得( )
A. 4a−2c B. 2a−2b−c C. 4b+2c D. 2a−2b+c
2. 如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD.设∠ACB=α，∠EAD=β，则∠B的度数为( )
A. 2β−α B. α−12β C. 2α−β D. α+12β
3. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列命题中，属于假命题的是( )
A. 若∠C=∠A+∠B，则△ABC是直角三角形
B. 若c2=b2−a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C. 若(c+a)(c−a)=b2，则△ABC是直角三角形
D. 若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形
4. 能说明命题“若a2=b2，则a=b”是假命题的一个反例可以是( )
A. a=2，b=−2 B. a=2，b=3
C. a=−2，b=−2 D. a=−2，b=−3
5. 下列命题：
①若|a|>|b|，则a>b；
②直角三角形的两个锐角互余；
③如果a=0，那么ab=0；
④同旁内角互补，两直线平行．
其中，原命题和逆命题均为真命题的有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
6. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E的度数为( )
A. 25° B. 20° C. 15° D. 7.5°
7. 如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=( )
A. a+b2
B. a−b2
C. a−b
D. b−a
8. 在如图所示的尺规作图中，与AD相等的线段是( )
A. 线段AC
B. 线段BD
C. 线段DC
D. 线段DE
9. 如图，AB//CD，BE垂直平分AD，DC=BC.若∠A=70°，则∠C的度数为( )
A. 100°
B. 110°
C. 115°
D. 120°
10. 如图，Rt△ABC沿直线边AB所在的直线向下平移得到△DEF，下列结论中不一定正确的( )
A. S四边形ADHC=S四边形BEFH
B. AD=BD
C. AD=BE
D. ∠DEF=90°
11. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，将△ABP绕点B顺时针旋转得到△CBQ，连接PQ，则以下结论中不正确是( )
A. ∠PBQ=60°
B. ∠APB=150°
C. S△PQC=6
D. S△BPQ=83
12. 下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；⑤作图语句：连接AD，并且平分∠BAC.其中正确的有个．( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 已知：一等腰三角形的两边长x、y满足方程组2x−y=33x+2y=8，则此等腰三角形的周长为 ．
14. 已知等腰三角形的一个内角为40∘，则它的顶角的度数为 ．
15. 如图，在△PAB中，PA=PB，M、N、K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK.若∠MKN=40°，则∠P的度数为 ．
16. 已知线段a，b和m，求作△ABC，使BC=a，AC=b，BC边上的中线AD=m.下面作法的合理顺序为 (填序号)：①延长CD到B，使BD=CD；②连接AB；③作△ADC，使DC=12a，AC=b，AD=m．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．
①如果AB//CD，BO=DO，那么四边形ABCD是平行四边形；
②如果AB//CD，∠ABC=∠ADC，那么四边形ABCD是平行四边形；
③如果AB=CD，BO=DO，那么四边形ABCD是平行四边形；
④如果∠ABC=∠ADC，BO=DO，那么四边形ABCD是平行四边形．
(1)判断上述四个命题的真假；
(2)证明上述四个命题的真假．
(提示：证明一个命题是假命题，只要举个反例.)
18. (本小题8.0分)
尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：
已知：如图，线段a，b．
求作：△ABC，使BC=a，AB=AC=b．
19. (本小题8.0分)
已知：如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点．
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
(2)若AD=AE=2，∠A=60°，求四边形EBFD的周长和面积．
20. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=40°．
(1)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数．
21. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，PD=PA，
(1)尺规作图：作BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)所作的图中，连接DE，求证：DE⊥DP．
22. (本小题8.0分)
王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
23. (本小题8.0分)
如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．
(1)如图1，连接AQ、CP.求证：△ABQ≌△CAP；
(2)如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
(3)如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
24. (本小题8.0分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F．
(1)求证：△AED≌△CFB；
(2)求证：四边形DEBF是平行四边形．
25. (本小题8.0分)
如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b.(不写作法，保留作图痕迹．)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则a+b−c>0，a−b−c<0，a+b+c>0，
∴|a+b−c|−2|a−b−c|+|a+b+c|=a+b−c+2a−2b−2c+a+b+c=4a−2c．
故选：A．
三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．
此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负
2.【答案】A
【解析】解：∵以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，
∴AB=BD，AC=CE，
∴∠BAD=∠BDA，∠CAE=∠CEA，
∵∠ACB=α，
∴∠CAE=∠CEA=12(180°−∠ACB)=90°−12α，
∵∠DAE=β，
∴∠CAD=∠CAE−∠DAE=(90°−12α)−β=90°−12α−β，
∴∠BAD=∠BDA=∠C+∠CAD=α+(90°−12α−β)=90°+12α−β，
∴∠B=180°−∠BAD−∠BDA
=180°−(90°+12α−β)−(90°+12α−β)
=180°−90°−12α+β−90°−12α+β
=2β−α，
故选：A．
根据等腰三角形的性质得出∠BAD=∠BDA，∠CAE=∠CEA，根据三角形内角和定理求出∠CAE=∠CEA=12(180°−∠ACB)=90°−12α，求出∠CAD=∠CAE−∠DAE=90°−12α−β，根据三角形外角性质得出∠BAD=∠BDA=∠C+∠CAD=90°+12α−β，再根据三角形内角和定理求出∠B即可．
本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质和三角形外角性质，能根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BDA的度数是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、若∠C=∠A+∠B，则△ABC是直角三角形，是真命题，本选项不符合题意．
B、若c2=b2−a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°，是假命题，应该是∠B=90°，本选项符合题意．
C、若(c+a)(c−a)=b2，则△ABC是直角三角形，是真命题，本选项不符合题意．
D、若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形，是真命题，本选项不符合题意．
故选：B．
根据直角三角形的定义以及勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查命题与定理，直角三角形的定义，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，属于中考常考题型．
4.【答案】A
【解析】解：能说明命题“若a2=b2，则a=b”是假命题的一个反例是a=2，b=−2，a2=b2，但a=−b，
故选：A．
反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项．
此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出一个命题的逆命题，难度不大．
写出原命题的逆命题后进行判断即可确定正确的选项．
【解答】
解：①错误，为假命题；其逆命题为若a>b，则|a|>|b|，错误，为假命题；
②直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题；逆命题为两个角互余的三角形为直角三角形，正确，为真命题；
③如果a=0，那么ab=0，正确，为真命题；其逆命题为若ab=0，那么a=0，错误，为假命题；
④同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，其逆命题为两直线平行，同旁内角互补，为真命题．
原命题和逆命题均是真命题的有2个，
故选C．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是利用外角性质得出∠1=2∠2，∠2=2∠E，由于△ABC是等边三角形，那么∠B=∠1=60°，而CD=CG，那么∠CGD=∠2，而∠1是△CDG的外角，可得∠1=2∠2，同理有∠2=2∠E，等量代换有4∠E=60°，即可求∠E．
【解答】
解：如图所示，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠1=60°，
∵CD=CG，
∴∠CGD=∠2，
∴∠1=2∠2，
同理有∠2=2∠E，
∴4∠E=60°，
∴∠E=15°．
故选C．
7.【答案】C
【解析】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，
∴∠ABD=36°=∠A，
∴BD=AD，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，
∴BD=BC，
∵AB=AC=a，BC=b，
∴CD=AC−AD=a−b，
故选：C．
根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD，进而解答即可．
此题考查等腰三角形的判定与性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD解答．
8.【答案】B
【解析】解：由作图可知，DE垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
故选：B．
利用线段的垂直平分线的性质判断即可．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定和性质，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，由BE垂直平分AD，可得AB=DB，进而得出∠ABE=∠DBE，由∠A=70°，即可得到∠ABD=40°，依据平行线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．
【解答】
解：∵BE垂直平分AD，
∴AB=DB，
∴∠ABE=∠DBE，
又∵∠A=70°，
∴∠ABE=20°，
∴∠ABD=40°，
又∵AB//CD，
∴∠CDB=∠ABD=40°，
又∵DC=BC，
∴∠CBD=40°，
∴∠C=180°−2×40°=100°，
故选：A．
10.【答案】B
【解析】【解答】
本题考查了全等三角形的性质及平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．各组对应点的线段所在的直线平行(或共线)且相等．先利用平移的性质得到AD=BE，△ABC≌△DEF，再利用全等三角形的性质得到∠DEF=∠ABC=90°，S△ABC=S△DEF，利用面积的和差得到S四边形ADHC=S四边形BEFH．
【解答】
解：∵Rt△ABC沿直线边AB所在的直线向下平移得到△DEF，
∴AD=BE，△ABC≌△DEF，
∴∠DEF=∠ABC=90°，S△ABC=S△DEF，
∴S四边形ADHC=S四边形BEFH．
故选B．
11.【答案】D
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置，
∴△BQC≌△BPA，
∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等边三角形，△BPQ的面积=34×42=43，故A正确，D错误；
∴PQ=BP=4，
∵PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形，△PQC的面积=12×3×4=6，故C正确，
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°，
∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，故B正确．
故选：D．
根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理，即可判断A、D；依据△BPQ是等边三角形，即可得到∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°，进而得出∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，即可判断C、B选项．
本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，解题关键是综合运用定理进行推理．
12.【答案】B
【解析】解：①相等的角不一定是对顶角，故说法错误；
②同位角不一定相等，故说法错误；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故说法正确；
⑤连接AD，并且平分∠BAC.这里两个条件，只能满足一个条件，说法错误；
故选：B．
根据对顶角，平行线的性质，平行公理，点到直线的结论，基本作图等知识一一判断即可．
本题考查对顶角，平行线的性质，平行公理，点到直线的结论，基本作图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13.【答案】5
【解析】解：解方程组2x−y=33x+2y=8得x=2y=1.
所以，等腰三角形的两边长为2，1．
若腰长为1，底边长为2，由1+1=2知，这样的三角形不存在．
若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5．
所以这个等腰三角形的周长为5．
故答案为：5．
先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案．
本题考查了三角形三边关系及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．
14.【答案】40∘或100∘
【解析】解： ①这个等腰三角形的顶角的度数为40∘;
②当40∘的角为底角时，这个等腰三角形的顶角的度数为180∘−40∘−40∘=100∘，
综上可知，它的顶角的度数为40∘或100∘．
15.【答案】100°
【解析】解：∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在△AMK和△BKN中，
AM=BK∠A=∠BAK=BN，
∴△AMK≌△BKN(SAS)，
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN，
∴∠A=∠MKN=40°，
∴∠P=180°−∠A−∠B=180°−40°−40°=100°，
故答案为100°．
由条件可证明△AMK≌△BKN，再结合外角的性质可求得∠A=∠MKN，再利用三角形内角和可求得∠P．
本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理，利用条件证得△AMK≌△BKN是解题的关键．
16.【答案】③①②
【解析】解：作法：③作△ADC，使DC=12a，AC=b，AD=m，
①延长CD到B，使BD=CD，
②连接AB，
故答案为：③①②．
先作△ADC，再延长CD到B，最后连接AB．
本题考查了复杂的几何作图，基本作图是作一条线段等于已知线段；主要利用圆规截取或以某点为圆心，以所作的线段长为半径作圆得出．
17.【答案】解：(1)①如果AB//CD，BO=DO，那么四边形ABCD是平行四边形是真命题；
②如果AB//CD，∠ABC=∠ADC，那么四边形ABCD是平行四边形是真命题；
③如果AB=CD，BO=DO，那么四边形ABCD是平行四边形是假命题；
④如果∠ABC=∠ADC，BO=DO，那么四边形ABCD是平行四边形是假命题．
(2)①∵AB//CD，
∴∠ABO=∠CDO，
∵BO=DO，∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
②∵AB//CD，
∴∠ABC+∠BAD=∠ADC+∠BCD=180°，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠BAD=∠DCB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
③如图1，当AB=CD，BO=DO时，则四边形ABCD不是平行四边形；
④如图2，当∠ABC=∠ADC，BO=DO时，则四边形ABCD不是平行四边形．
【解析】(1)根据题意判断即可得到结论；
(2)根据平行四边形的判定定理证明即可．
本题考查了命题与定理，平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
18.【答案】解：如图，△ABC即为所求．
【解析】作射线BM，在射线BM上截取BC=a，分别以B，C为圆心，b为半径作弧，两弧交于点A，连接AB，AC，△ABC即为所求．
本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】(1)证明：在▱ABCD中，AB=CD，AB//CD．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE=12AB，DF=12CD．
∴BE=DF．
∴四边形EBFD是平行四边形
(2)解：∵AD=AE，∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形．
∴DE=AD=2，
由(1)知四边形EBFD是平行四边形，
∵BE=AE=2，
∴四边形EBFD的周长=2(BE+DE)=8．
【解析】(1)在▱ABCD中，AB=CD，AB//CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，所以BE=CF，因此四边形EBFD是平行四边形；
(2)由AD=AE=2，∠A=60°知△ADE是等边三角形，又E、F分别是边AB、CD的中点，四边形EBFD是平行四边形，所以EB=BF=FD=DE=2，四边形EBFD是平行四边形的周长是2+2+2+2=8．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
20.【答案】解：(1)如图，直线DF，射线AE即为所求．
(2)∵DF垂直平分线段AB，
∴DB=DA，
∴∠DAB=∠B=30°，
∵∠C=40°，
∴∠BAC=180°−30°−40°=110°，
∴∠CAD=110°−30°=80°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=12∠DAC=40°．
【解析】(1)利用尺规作出线段AB的垂直平分线DF，交CB于D，交AB于F，连接AD；作∠CAD的角平分线交BC于E，直线DF，射线AE即为所求．
(2)首先证明DA=DB，推出∠DAB=∠B=30°，利用三角形内角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解决问题．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
21.【答案】(1)解：如图，EF为所作；
(2)证明：∵PA=PD，
∴∠A=∠PDA，
∵EF垂直平分BD，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠PDE=180°−∠PDA−∠EDB=90°，
∴PD⊥DE．
【解析】(1)利用基本作图作BD的垂直平分线EF；
(2)先由PA=PD得到∠A=∠PDA，再根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，则∠B=∠EDB，从而得到∠PDA+∠EDB=90°，从而可判断PD⊥DE．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质．
22.【答案】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
由题意得：AD=EC=6cm，DC=BE=14cm，
∴DE=DC+CE=20(cm)，
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
【解析】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
23.【答案】解：(1)证明：如图1，∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
AB=CA∠ABQ=∠CAPAP=BQ,
∴△ABQ≌△CAP(SAS)；
(2)点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC是△ACM的外角，
∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC
∵∠BAC=60°，
∴∠QMC=60°；
(3)如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变
理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC是△APM的外角，
∴∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°−∠PAC=180°−60°=120°，
即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．
【解析】(1)根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP即可；
(2)先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=60°；
(3)先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=120°．
此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质．
24.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAE=∠BCF，
∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，
∴∠AED=∠BFC=90°，
在△AED与△CFB中，
∠DAE=∠BCF∠AED=∠CFBAD=CB，
∴△AED≌△CFB(AAS)；
(2)∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，
∴DE//BF，
∵△AED≌△CFB，
∴DE=BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD//BC，得到∠DAE=∠BCF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
(2)根据平行线的判定定理得到DE//BF，根据全等三角形的性质得到DE=BF，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
25.【答案】解：
如上图，△ABC即为所求．
【解析】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．先在射线AD上截取AC=b，再分别以点A，C为圆心，c和a为半径画弧，两弧相交于点B，然后连结BA，BC，则△ABC为满足条件的三角形．
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