七年级上册3.1 建立一元一次方程模型优秀导学案

第3章  一元一次方程

3．1　建立一元一次方程模型

【旧知再现】

1．(1)已知速度、时间，求路程的公式：s＝  vt  ；

(2)已知速度、路程，求时间的公式：t＝  s÷v  ；

(3)已知时间、路程，求速度的公式：v＝  s÷t  ．

2．(1)长方形周长＝(  长  ＋  宽  )×2，

(2)长方形面积＝  长  ×  宽  ，

(3)正方形周长＝  边长  ×4，(4)正方形面积＝  边长2  ，

(5)三角形面积＝  底×高÷2  ，

(6)长方体的表面积＝(  长×宽  ＋  长×高  ＋  宽×高  )×2，

(7)长方体的体积＝  长  ×  宽  ×  高  ．

【新知初探】

阅读教材P83【动脑筋】至P84【说一说】解决以下问题：

　(1)已知数、未知数：在解决问题前就  知道  的数字叫做已知数；在解决问题前  不知道  的数字叫做未知数．

(2)等式：含有  等号  的式子．

(3)方程：含有  未知数  的等式．

(4)建立方程：把所要求的量用字母x(或y，…)表示，根据问题中的  等量  关系列出方程的过程．

(5)一元一次方程：只含有  一  个未知数，并且未知数的次数是  1  的整式方程．

(6)方程的解：能使方程左、右两边  相等  的未知数的  值  ．

【图表导思】

完成上述表格，并回答以下问题：

1．当x＝2时，方程的左右两边是否相等？

　答：不相等

2．当x＝3时，方程的左右两边是否相等？

　答：相等

3．原方程的解是什么？

　答：x＝3

4．如果设A种饮料的单价是x元，则列方程是什么？

　答：2x＋3(x＋1)＝13

　列一元一次方程

【P83“动脑筋”拓展】——列方程的方法

　某校组织师生春游活动，如果每辆车坐45人，那么还剩20人没有座位；如果每辆车坐55人，那么会有30个空座位．如果设有x辆车，请你列出方程．

【思路点拨】

【自主解答】一共有x辆车，则根据题意得：

45x＋20＝55x－30.

【归纳提升】

由实际问题列方程的“三个步骤”

变式一：巩固 某学校安排学生住宿，若每室住7人，则有10人无法安排；若每室住8人，则恰好空出2个房间，这个学校的住宿生有多少人？如果设这个学校共有x间宿舍， 根据等量关系，列出方程为  7x＋10＝8(x－2)  ．

变式二：提升 学校组织植树活动，原计划的安排是在甲处有10人，在乙处有17人，到植树现场后发现甲处的工作量比较大，决定从乙处调一部分人去支援甲处，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，那么应调往甲处多少人？若设应调往甲处x人，则乙处有  (17－x)  人，可列方程为  10＋x＝2(17－x)  ．

　一元一次方程的有关概念

【P84例题拓展】——一元一次方程中未知数的指数与系数

已知方程(m－1)x|m|＋5＝0是关于x的一元一次方程．

(1)求m的值．

(2)写出这个一元一次方程．

(3)判断x＝1，x＝2.5，x＝3是否是该方程的解．

【完善解答】(1)因为方程(m－1)x|m|＋5＝0是关于x的一元一次方程，

所以m－1≠  0  ，|m|＝  1  ，所以m＝  －1  ．一元一次方程定义

(2)由(1)得：－2x＋  5  ＝0.

(3)当x＝1时，左边＝  3  ，右边＝  0  ，

检验左边和右边是否相等

所以左边≠右边，所以x＝1  不是  该方程的解；

当x＝2.5时，左边＝  0  ，右边＝  0  ，

所以左边＝右边，所以x＝  2.5  是该方程的解；

当x＝3时，左边＝  －1  ，右边＝  0  ，

所以左边≠右边，所以x＝3  不是  该方程的解．

【归纳提升】

判断方程解的“三个步骤”

变式一：巩固 若(a－2)xa－3＋2＝0是关于x的一元一次方程，则a＝  4  ．

变式二：提升 检验x＝1和x＝3是不是方程x－9＝1的解．

解：把x＝1代入方程的左边，

得左边＝－9＝－，而右边＝1，

所以左边≠右边，

所以x＝1不是原方程的解；

把x＝3代入方程的左边，得左边＝10－9＝1，

又因为右边＝1，所以左边＝右边，

所以x＝3是原方程的解．

【火眼金睛】

　已知方程(a－4)x|a|－3＋2＝0是关于x的一元一次方程，求a的值．

正解：因为一元一次方程未知数的次数是1.

所以|a|－3＝1，即|a|＝4，

所以a＝±4.

当a＝4时，未知数x的系数a－4＝0，

不合题意，

所以a＝－4.

【一题多变】

　若x＝1是方程ax＋3x＝2的解，则a的值是(A)

A．－1    B．5    C．1    D．－5

【母题变式】

　(变换问法)若x＝1是方程ax＋3x＝2的解，则代数式3a2－2a＋7的值是  12  ．

【难题拆解】

　已知关于 x 的方程(| k |－3)x2－(k－3)x ＋ 2m＋1＝ 0 是一元一次方程，求k 的值．

【层层剖析——清障碍】

拆解一：当k＝  ±3  时，|k|－3＝0.

拆解二：当k  ≠3  时，k－3≠0.

【水到渠成——破难题】

　【尝试解答】因为(|k|－3)x2－(k－3)x＋2m＋1＝0是一元一次方程，

所以|k|－3＝0，所以k＝±3；

若k＝3时， k－3＝0，不符合题意，即k＝－3.