还剩11页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
【单元训练】高中数学人教A版(2019)必修第一册--《第二章 一元二次函数、方程和不等式》综合训练（含解析）
展开
这是一份【单元训练】高中数学人教A版(2019)必修第一册--《第二章 一元二次函数、方程和不等式》综合训练（含解析），共14页。
人教A版（2019）必修第一册《第二章 一元二次函数、方程和不等式》综合训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知a>b>0，c⩾d>0，则下列不等式成立的是( )
A. ad>bc B. ad⩾bc C. ad
A. { x|x<1} B. { x|x>3}
C. { x|x<1或x>3} D. { x|1
A. { 0} B. { 0,1}
C. {-1,0} D. {-1,0,1,2}
4.（5分）已知a=e0.3,b=(12)e,c=log57，d=sin4，则( )
A. a>b>c>d B. a>c>b>d C. d>b>a>c D. b>a>d>c
5.（5分）若对任意的x>1，x2+3x-1⩾a恒成立，则a的最大值是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
6.（5分）在等差数列{an}中，若a3=5，a13=10，则公差d=( )
A. 12 B. 1 C. 32 D. 2
7.（5分）已知实数x、y满足x>0、y>0，且2x+1y=1，则x+2y的最小值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8.（5分）已知c>1，a=c+1-c，b=c-c-1，则正确的结论是( )
A. a>b B. a
9.（5分）下列判断不正确的是( )
A. 函数fx=1x在定义域内是减函数
B. gx奇函数，则一定有g0=0
C. 已知x>0，y>0，且1x+1y=1，若x+y>m2+3m恒成立，则实数m的取值范围是(-4,1)
D. 已知f(x)={-x2-ax-5(x⩽1)ax(x>1)在(-∞,+∞)上是增函数，则a的取值范围是[-3,-2]
10.（5分）已知E、F分别是三棱锥P-ABC的棱PA、BC的中点，PC=AB=6，若异面直线PC与AB所成角的大小为60∘，则线段EF的长为()
A. 3 B. 6 C. 63 D. 33
11.（5分）若m>0，n>0，且1m+1n=1，则下列说法正确的是
A. mn有最小值4 B. 1m2+1n2有最小值12
C. ∀m>0，n>0都有1m+1n⩽2 D. ∃m>0，n>0使得m+n=2
12.（5分）已知a，b均为正数，且a-b=1，则( )
A. a>2b B. 2a-2b>1 C. 4a-1b⩽1 D. a+1b>3
13.（5分）［2021哈尔滨三中高一摸底考试］下列说法正确的是 ( )
A. 若x＜0，则x+1x⩽-2 B. 若x∈R，则x2+3x2+2⩾2
C. 若x∈R，则1x2+1<1 D. 若x＞0，则(1+x)(1+1x)⩾4
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）若实数x,y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是_____________.
15.（5分）已知2a+3b=4，则4a+8b的最小值为 ______．
16.（5分）已知直线l:x-2y+3=0与圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)相切，则r=__________.
17.（5分）在R上定义运算⊗：x⊗y=x(1+y)，若不等式：(x-a)⊗(x+a)<2对实数x∈[-2,2]恒成立，则a的范围为______．
18.（5分）已知正数a,b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为___________.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知函数f(x)=-3x+a3x+1+b.
(1)当a=b=1时，求满足fx=3x的的取值；
(2)若函数fx是定义在R上的奇函数：
①存在t∈R，不等式ft2-2t
20.（12分）已知函数f(x)=x2-2mx+m2+6，g(x)=2x．
(1)求g(f(m))的值；
(2)若方程g(f(x))=128在区间[-1,2]上有唯一的解，求实数m的取值范围；
(3)对任意m∈R，若关于x的不等式f(g(x))+f(g(-x))⩾t[g(x)+g(-x)]在x∈R上恒成立，求实数t的取值范围．
21.（12分）已知函数f(x)=-9⋅2x+1+2⋅3x+1.
(1)求满足f(x+1)>f(x)的实数x的范围；
(2)若mf(x)⩽(92)x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围.
22.（12分）(1)已知b>a>0,m>0，求证：ab
23.（12分）已知a>0，b>0.
(1)证明：a2+⩾a+b2；
(2)若a3+b3=2，证明：a+b⩽2.
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】解：∵a>b>0，c⩾d>0，
∴ad>bc，
∴ad>bc，
故选：A．
根据不等式的性质即可判断．
该题考查了不等式的性质，属于基础题．
2.【答案】C;
【解析】
该题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
先求出方程(x-1)(x-3)=0的根，再求出对应不等式的解集．
解：由方程(x-1)(x-3)=0，得x1=1，x2=3，
所以不等式(x-1)(x-3)>0的解集是{ x|x<1或x>3}．
故选：C．
3.【答案】B;
【解析】
此题主要考查交集的求法，一元二次不等式的解法，属于基础题.
先求出集合A，再利用交集定义能求出A∩B.
解：∵集合A={ x|(x+1)(x-2)<0}={ x|-1
4.【答案】B;
【解析】解：a=e0.3>e0=1，
b=(12)e<12，
12=log55
∴a>c>b>d，
故选：B．
根据指数函数的单调性可得判断a>1，0
5.【答案】B;
【解析】
化简函数的表达式，利用基本不等式求出左侧的最小值，即可得出结论
此题主要考查基本不等式在最值中的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
解：对任意的x>1，x2+3x-1=x-1+4x-1+2⩾2(x-1).4x-1+2=6，当且仅当x=3时等号成立．
(x2+3x-1)min=6，
对任意的x>1，x2+3x-1⩾a恒成立，就是a⩽(x2+3x-1)min=6，
a的最大值是：6.
故选：B.
6.【答案】A;
【解析】
此题主要考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．
直接由已知结合等差数列的通项公式得答案．
解：由等差数列的通项公式知d=a13-a313-3=10-513-3=12.
故选A.
7.【答案】D;
【解析】解：∵x>0，y>0，且2x+1y=1，
∴x+2y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy⩾4+24yx.xy=8，
当且仅当4yx=xy时等号成立．
故选：D．
直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果．
该题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
8.【答案】B;
【解析】
此题主要考查利用不等式的性质比较大小，属于基础题.
将a，b化简为分式形式，比较分母大小，从而得a，b的大小关系.
解：因为a=c+1-c=1c+1+c，b=c-c-1=1c+c-1，
而c+1+c>c+c-1>0，
所以1c+1+c<1c+c-1，
所以a
9.【答案】AB;
【解析】
此题主要考查了函数的单调性、奇偶性以及基本不等式的应用，属于中档题.
根据函数的单调性判断AD，根据奇函数判断B，根据基本不等式判断C即可.
解：A.f(1)=1>f(-1)=-1，故函数fx=1x在定义域内是减函数错误；
B. 当x=0没有意义时，g0=0错误；
C. 已知x>0，y>0，且1x+1y=1，
则x+y=(x+y)(1x+1y)
=yx+xy+2⩾2+2=4，
当且仅当x=y=2时等号成立，
若x+y>m2+3m恒成立，则4>m2+3m，
∴-4
则满足：{-a2⩾1a<0a⩾-1-a-5
解得-3⩽a⩽-2，正确.
故选AB.
10.【答案】AD;
【解析】解：如图，取AC中点G，则EG//PC，GF//AB，
∴∠EGF(或其补角)为PC与AB所成角，∴∠EGF=60∘或120∘，
∵PC=AB=6，∴EG=GF=3，
∴EF=3或33.
11.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查基本不等式及利用基本不等式求最值，属中档题.
由1=1m+1n⩾21m=2mn可直接判定A；利用不等式a+b2⩽2a2+b2可构造21m2+1n2⩾1m+1n2=1判定B；构造1m+1n2⩽21m+1n=2可判定C；由m+n=m+n1m+1n=2+nm+mn⩾2+2nm=4，可判定D.
解：因为m>0,n>0，且1m+1n=1，
对于A，由1=1m+1n⩾21m=2mn，得mn⩾2，即mn⩾4，m=n=2时取等号，故A正确；
对于B，因为1m2+1n2⩾21m.1n，
所以21m2+1n2=1m2+1n2+1m2+1n2⩾1m2+1n2+21m.1n=1m+1n2=1，
即1m2+1n2⩾12，m=n=2时取等号，故B正确；
对于C，因为21m⩽+1m+1n，
所以1m+1n2=1m+1n+21m⩽1m+1n+1m+1n=2，即1m+1n⩽2，m=n=2时取等号，
故C正确；
对于D，因为m+n=m+n×1=m+n1m+1n=2+nm+mn⩾2+2nm=4，故D错误．
故选ABC.
12.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查指数的性质、不等式的性质和基本不等式的应用，属于中等题.
利用a=b+1以及指数运算、基本不等式等依次验证每个选项的正误，进而得到正确选项，要注意等号成立的条件.
解：已知a，b均为正数，
∵a-b=1,∴a-2b=b+1-2b=(b-1)2⩾0，
当且仅当a=2，b=1时等号成立，故a⩾2b，故A选项错误.
∵a-b=1,∴a=b+1，且a>0，b>0.
∴2a-2b=2b+1-2b=2.2b-2b=2b，
∵b>0,∴2b>1.
即2a-2b>1，故B正确；
4a-1b=4a-ba-a-bb=5-4ba+ab
⩽5-24ba=1，当且仅当4ba=ab即a=2b时等号成立，故C正确；
因为a，b均为正数，且a-b=1，
∵a+1b=b+1+1b⩾2b.1b+1=3，(当且仅当a=2，b=1时等号成立)，
所以，a+1b⩾3，故D选项错误.
故选BC.
13.【答案】D;
【解析】对于A选项，当x<0时，-x>0时，则x+1x=-[(-x)+1(-x)]⩽-2(-x)⋅1(-x)=-2，当且仅当x=-1时，等号成立，A选项正确；对于B选项，∵x∈R，则x2+2⩾2，x2+3x2+2=(x2+2)+1x2+2=x2+2+1x2+2⩾2x2+2⋅1x2+2=2，当x2+2=1x2+2，即x2+2=1时，不满足x2+2⩾2，故等号不成立，所以x2+3x2+2>2，B选项错误；对于C选项，取x=0，可得1x2+1=1，C选项错误；对于D选项，∵x>0，(1+x)(1+1x)=2+x+1x⩾2+2x⋅1x=4，当且仅当x=1时，等号成立，D选项正确.故选AD.
14.【答案】233;
【解析】
此题主要考查利用基本不等式求最值.
根据题意，得出x+y2-1=xy，利用xy⩽x+y24，即可求出结果.
解：∵x2+y2+xy=1，
∴x+y2-1=xy，
∵xy⩽x+y24，当且仅当x=y时等号成立，
∴x+y2-1⩽x+y24，当且仅当x=y时等号成立，
整理，得-233⩽x+y⩽233，
∴x+y的最大值为233.
故答案为233.
15.【答案】8;
【解析】
该题考查基本不等式的性质与运用，正确运用公式要求“一正、二定、三相等”，解题时要注意把握和或积为定值这一条件．
根据基本不等式的性质与幂的运算性质，结合题意2a+3b=4，代入可得答案．
解：∵2a+3b=4，
∴4a+8b=22a+23b⩾222a.23b
=2⋅24=8，当且仅当a=1，b=23，
∴4a+8b的最小值为8，
故答案为：8．
16.【答案】5;
【解析】
此题主要考查直线与圆相切的性质，涉及圆的切线方程，属于基础题．
根据题意，由直线与圆相切的性质可得d=|2-0+3|1+4=5=r，即可得答案．
解：根据题意，圆(x-2)2+(y-1)2=r2的圆心为(2,1)，半径为r，
直线l：x-2y+3=0与圆(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0)相切，
则有d=|2-0+3|1+4=5=r，故r=5；
故答案为：5.
17.【答案】（-∞，-1-172）∪（-1+172，+∞）;
【解析】解：由定义可知：(x-a)⊗(x+a)<2 转换为：
(x-a)[1+(x+a)]<2⇒不等式 x2+x-a2-a-2<0 在x∈[-2,2]上恒成立；
即：x2+x
所以，a2+a+2>6；
解得：a>-1+172或a<-1-172；
故答案为：(-∞,-1-172)∪(-1+172,+∞)
由定义可知：(x-a)⊗(x+a)<2 转换为不等式x2+x-a2-a-2<0在x∈[-2,2]上恒成立，即：x2+x
18.【答案】72;
【解析】
此题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
解决问题的关键在于消元，用b表示出a.
解：因为2ab+b2=b+1，
所以a=-b2+b+12b，
所以a+5b=-b2+b+12b+5b
=92b+12b+12⩾294+12=72.
当且仅当92b=12b，即b=13时等号成立，
a+5b有最小值72.
故答案为72.
19.【答案】解：(1)由题意，-3x+13x+1+1=3x，化简得3⋅(3x)2+2⋅3x-1=0 ，
解得3x=-1(舍)或3x=13 ，
所以x=-1.
(2)因为fx是奇函数，所以f-x+fx=0，
所以-3-x+a3-x+1+b+-3x+a3x+1+b=0化简并变形得：(3a-b)(3x+3-x)+2ab-6=0，
要使上式对任意的x成立，则3a-b=0且2ab-6=0，
解得：a=1b=3或a=-1b=-3，因为fx的定义域是R，
所以a=-1b=-3舍去，所以a=1,b=3， 所以fx=-3x+13x+1+3.
①f(x)=-3x+13x+1+3=13(-1+23x+1)对任意x1,x2∈R,x10，所以fx1>fx2，
因此fx在R上递减．
因为ft2-2t2t2-k，
即t2+2t-k<0在t∈R时有解，所以Δ=4+4t>0，
解得：t>-1，所以k的取值范围为-1,+∞，
②因为fx.gx+2=133-x-3x，所以g(x)=3-x-3x3f(x)-2 ，
即g(x)=3x+3-x ，
所以g2x=32x+3-2x=3x+3-x2-2 不等式g(2x)⩾m.g(x)-11恒成立，
即3x+3-x2-2⩾m.3x+3-x-11，即：m⩽3x+3-x+93x+3-x恒成立 ，
令t=3x+3-x,t⩾2，则m⩽t+9t在t⩾2时恒成立，
令ht=t+9t，h 't=1-9t2，t∈2,3时，h 't<0，所以ht在2,3上单调递减;
t∈3,+∞时，h 't>0，所以h t在3,+∞上单调递增.
所以h tmin=h3=6，所以m⩽6，
所以，实数m的最大值为6 ;
【解析】此题主要考查函数奇偶性，考查恒成立问题及函数的最值，难度较大.
(1)依题意得3⋅(3x)2+2⋅3x-1=0 ，解出x即可.
(2)①根据奇函数得3a-b=0且2ab-6=0，即可得a=1,b=3，又可证fx在R上递减.
f(t2-2t)
即g(x)=3x+3-x ， 不等式g(2x)⩾m⋅g(x)-11恒成立即m⩽3x+3-x+93x+3-x恒成立 ，从而求解即可.
20.【答案】解：（1）因为f（m）=m2-2m2+m2+6=6，所以g[f（m）]=g（6）=26=64．
（2）由g（f（x））=128，可得2^x2-2mx+m2-6=27，即x2-2mx+m2+6=7，
即x2-2mx+m2-1=0，因式分解可得（x-m-1）（x-m+1）=0，解得x=m-1，或x=m+1，
因为方程g（f（x））=128在区间[-1，2]上有唯一的解，注意到m+1＞m-1，
所以-1≤m-1≤2m+1>2或m-1<-1-1≤m+1≤2，
解得1＜m≤3或-2≤m＜0，
所以m的取值范围是[-2，0）∪（1，3]．
（3）由f（g（x））+f（g（-x））≥t[g（x）+g（-x）]，
可得（2x）2-2m•2x+m2+6+（2-x）2-2m•2-x+m2+6≥t（2x+2-x），
整理可得2m2-2m（2x+2-x）+（2x）2+（2-x）2+12-t（2x+2-x）≥0，①
因为①对m∈R恒成立，所以△=4（2x+2-x）2-8[（2x）2+（2-x）2+12-t（2x+2-x）]≤0，
整理可得2t（2x+2-x）≤（2x）2+（2-x）2+22，即2t≤(2x)2+(2-x)2+222x+2-x②，
设h（x）=(2x)2+(2-x)2+222x+2-x，因为②对x∈R恒成立，可得2t≤h（x）min，
可令u=2x+2-x，因为2x+2-x≥22x.2-x=2，
当且仅当x=0时，取得等号，所以u≥2，
则h（x）=m（u）=u2+20u=u+20u≥45，
当且仅当u=25∈[2，+∞）时，等号成立，
所以h（x）min=45，即2t≤45，即t≤25，
所以t的取值范围是（-∞，25]．;
【解析】
(1)先计算f(m)，再求g[f(m)]可得所求值；
(2)由指数方程和二次方程的解法，可得方程的解，再由题意可得m的不等式组，解不等式可得所求范围；
(3)由题意可得2m2-2m(2x+2-x)+(2x)2+(2-x)2+12-t(2x+2-x)⩾0，由不等式恒成立思想可得判别式小于等于0，结合参数分离和换元法、基本不等式可得所求范围．
此题主要考查复合函数的性质和函数恒成立问题解法，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于难题．
21.【答案】解：（1）由f（x+1）＞f（x）得-9⋅2x+1+2⋅3x+1＞-9⋅2x+2⋅3x整理得：(32)x＞94解得x＞2，
故不等式的解集{x|x＞2}；
（2）由mf(x)≤(92)x对任意的x∈R恒成立，
则m⋅(-9⋅2x+1+2⋅3x+1)≤(92)x对任意的x∈R恒成立，整理得m⋅(-18⋅2x+6⋅3x)≤(92)x对任意的x∈R恒成立，
设t=(32)x，因为x∈R，则t∈（0，+∞），
所以t2-6mt+18m≥0对任意的t∈（0，+∞）恒成立，
设g（t）=t2-6mt+18m（t＞0）则0≤g（t）min，
所以0≤m≤2．;
【解析】
(1)由已知不等式代入整理得(32)x>94，解不等式可求；
(2)由已知不等式，利用换元法可转化为二次不等式t2-6mt+18m⩾0对任意的t∈(0,+∞)恒成立，构造函数，然后结合二次函数的性质及不等式的恒成立与最值关系进行转化可求．
此题主要考查了二次不等式的求解及二次不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了转化思想的应用．
22.【答案】证明：(1)因为a+mb+m-ab=b(a+m)-a(b+m)b(b+m)=m(b-a)b(b+m).
因为b>a>0，m>0，
所以b-a>0，b+m>0，
所以m(b-a)b(b+m)>0，
即ab
所以利用基本不等式可得a2b+b⩾2a，b2c+c⩾2b，c2a+a⩾2c，
所以a2b+b2c+c2a+a+b+c⩾2a+2b+2c，
故a2b+b2c+c2a⩾a+b+c，
当且仅当a=b=c时，等号成立.;
【解析】此题主要考查不等式的证明，属于中档题.
(1)利用作差法即可证明；
(2)利用基本不等式可得a2b+b⩾2a，b2c+c⩾2b，c2a+a⩾2c，故a2b+b2c+c2a+a+b+c⩾2a+2b+2c，即可证明.
23.【答案】证明：(1)因为a2+b2⩾2ab，
所以2a2+b2⩾a2+b2+2ab，
即a2+b22⩾a+b24，又a>0，b>0，
所以a2+⩾a+b2，当且仅当a=b取等号；
(2)因为a+b3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3aba+b，
由已知a>0，b>0，则ab⩽a+b24，
所以a+b3⩽a3+b3+34a+b3，
即a+b3⩽4a3+b3，
由已知a3+b3=2，
所以a+b3⩽8，即a+b⩽2，
当且仅当a=b=1时取等号．;
【解析】此题主要考查基本不等式的证明，考查利用基本不等式证明条件不等式，属中档题.
(1)利用基本不等式转化证明即可.
(2)利用和的立方公式展开变形，利用基本不等式证明给定条件的不等式．
人教A版（2019）必修第一册《第二章 一元二次函数、方程和不等式》综合训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知a>b>0，c⩾d>0，则下列不等式成立的是( )
A. ad>bc B. ad⩾bc C. ad
A. { x|x<1} B. { x|x>3}
C. { x|x<1或x>3} D. { x|1
A. { 0} B. { 0,1}
C. {-1,0} D. {-1,0,1,2}
4.（5分）已知a=e0.3,b=(12)e,c=log57，d=sin4，则( )
A. a>b>c>d B. a>c>b>d C. d>b>a>c D. b>a>d>c
5.（5分）若对任意的x>1，x2+3x-1⩾a恒成立，则a的最大值是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
6.（5分）在等差数列{an}中，若a3=5，a13=10，则公差d=( )
A. 12 B. 1 C. 32 D. 2
7.（5分）已知实数x、y满足x>0、y>0，且2x+1y=1，则x+2y的最小值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8.（5分）已知c>1，a=c+1-c，b=c-c-1，则正确的结论是( )
A. a>b B. a
9.（5分）下列判断不正确的是( )
A. 函数fx=1x在定义域内是减函数
B. gx奇函数，则一定有g0=0
C. 已知x>0，y>0，且1x+1y=1，若x+y>m2+3m恒成立，则实数m的取值范围是(-4,1)
D. 已知f(x)={-x2-ax-5(x⩽1)ax(x>1)在(-∞,+∞)上是增函数，则a的取值范围是[-3,-2]
10.（5分）已知E、F分别是三棱锥P-ABC的棱PA、BC的中点，PC=AB=6，若异面直线PC与AB所成角的大小为60∘，则线段EF的长为()
A. 3 B. 6 C. 63 D. 33
11.（5分）若m>0，n>0，且1m+1n=1，则下列说法正确的是
A. mn有最小值4 B. 1m2+1n2有最小值12
C. ∀m>0，n>0都有1m+1n⩽2 D. ∃m>0，n>0使得m+n=2
12.（5分）已知a，b均为正数，且a-b=1，则( )
A. a>2b B. 2a-2b>1 C. 4a-1b⩽1 D. a+1b>3
13.（5分）［2021哈尔滨三中高一摸底考试］下列说法正确的是 ( )
A. 若x＜0，则x+1x⩽-2 B. 若x∈R，则x2+3x2+2⩾2
C. 若x∈R，则1x2+1<1 D. 若x＞0，则(1+x)(1+1x)⩾4
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）若实数x,y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是_____________.
15.（5分）已知2a+3b=4，则4a+8b的最小值为 ______．
16.（5分）已知直线l:x-2y+3=0与圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)相切，则r=__________.
17.（5分）在R上定义运算⊗：x⊗y=x(1+y)，若不等式：(x-a)⊗(x+a)<2对实数x∈[-2,2]恒成立，则a的范围为______．
18.（5分）已知正数a,b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为___________.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知函数f(x)=-3x+a3x+1+b.
(1)当a=b=1时，求满足fx=3x的的取值；
(2)若函数fx是定义在R上的奇函数：
①存在t∈R，不等式ft2-2t
20.（12分）已知函数f(x)=x2-2mx+m2+6，g(x)=2x．
(1)求g(f(m))的值；
(2)若方程g(f(x))=128在区间[-1,2]上有唯一的解，求实数m的取值范围；
(3)对任意m∈R，若关于x的不等式f(g(x))+f(g(-x))⩾t[g(x)+g(-x)]在x∈R上恒成立，求实数t的取值范围．
21.（12分）已知函数f(x)=-9⋅2x+1+2⋅3x+1.
(1)求满足f(x+1)>f(x)的实数x的范围；
(2)若mf(x)⩽(92)x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围.
22.（12分）(1)已知b>a>0,m>0，求证：ab
23.（12分）已知a>0，b>0.
(1)证明：a2+⩾a+b2；
(2)若a3+b3=2，证明：a+b⩽2.
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】解：∵a>b>0，c⩾d>0，
∴ad>bc，
∴ad>bc，
故选：A．
根据不等式的性质即可判断．
该题考查了不等式的性质，属于基础题．
2.【答案】C;
【解析】
该题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
先求出方程(x-1)(x-3)=0的根，再求出对应不等式的解集．
解：由方程(x-1)(x-3)=0，得x1=1，x2=3，
所以不等式(x-1)(x-3)>0的解集是{ x|x<1或x>3}．
故选：C．
3.【答案】B;
【解析】
此题主要考查交集的求法，一元二次不等式的解法，属于基础题.
先求出集合A，再利用交集定义能求出A∩B.
解：∵集合A={ x|(x+1)(x-2)<0}={ x|-1
4.【答案】B;
【解析】解：a=e0.3>e0=1，
b=(12)e<12，
12=log55
∴a>c>b>d，
故选：B．
根据指数函数的单调性可得判断a>1，0
5.【答案】B;
【解析】
化简函数的表达式，利用基本不等式求出左侧的最小值，即可得出结论
此题主要考查基本不等式在最值中的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
解：对任意的x>1，x2+3x-1=x-1+4x-1+2⩾2(x-1).4x-1+2=6，当且仅当x=3时等号成立．
(x2+3x-1)min=6，
对任意的x>1，x2+3x-1⩾a恒成立，就是a⩽(x2+3x-1)min=6，
a的最大值是：6.
故选：B.
6.【答案】A;
【解析】
此题主要考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．
直接由已知结合等差数列的通项公式得答案．
解：由等差数列的通项公式知d=a13-a313-3=10-513-3=12.
故选A.
7.【答案】D;
【解析】解：∵x>0，y>0，且2x+1y=1，
∴x+2y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy⩾4+24yx.xy=8，
当且仅当4yx=xy时等号成立．
故选：D．
直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果．
该题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
8.【答案】B;
【解析】
此题主要考查利用不等式的性质比较大小，属于基础题.
将a，b化简为分式形式，比较分母大小，从而得a，b的大小关系.
解：因为a=c+1-c=1c+1+c，b=c-c-1=1c+c-1，
而c+1+c>c+c-1>0，
所以1c+1+c<1c+c-1，
所以a
9.【答案】AB;
【解析】
此题主要考查了函数的单调性、奇偶性以及基本不等式的应用，属于中档题.
根据函数的单调性判断AD，根据奇函数判断B，根据基本不等式判断C即可.
解：A.f(1)=1>f(-1)=-1，故函数fx=1x在定义域内是减函数错误；
B. 当x=0没有意义时，g0=0错误；
C. 已知x>0，y>0，且1x+1y=1，
则x+y=(x+y)(1x+1y)
=yx+xy+2⩾2+2=4，
当且仅当x=y=2时等号成立，
若x+y>m2+3m恒成立，则4>m2+3m，
∴-4
则满足：{-a2⩾1a<0a⩾-1-a-5
解得-3⩽a⩽-2，正确.
故选AB.
10.【答案】AD;
【解析】解：如图，取AC中点G，则EG//PC，GF//AB，
∴∠EGF(或其补角)为PC与AB所成角，∴∠EGF=60∘或120∘，
∵PC=AB=6，∴EG=GF=3，
∴EF=3或33.
11.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查基本不等式及利用基本不等式求最值，属中档题.
由1=1m+1n⩾21m=2mn可直接判定A；利用不等式a+b2⩽2a2+b2可构造21m2+1n2⩾1m+1n2=1判定B；构造1m+1n2⩽21m+1n=2可判定C；由m+n=m+n1m+1n=2+nm+mn⩾2+2nm=4，可判定D.
解：因为m>0,n>0，且1m+1n=1，
对于A，由1=1m+1n⩾21m=2mn，得mn⩾2，即mn⩾4，m=n=2时取等号，故A正确；
对于B，因为1m2+1n2⩾21m.1n，
所以21m2+1n2=1m2+1n2+1m2+1n2⩾1m2+1n2+21m.1n=1m+1n2=1，
即1m2+1n2⩾12，m=n=2时取等号，故B正确；
对于C，因为21m⩽+1m+1n，
所以1m+1n2=1m+1n+21m⩽1m+1n+1m+1n=2，即1m+1n⩽2，m=n=2时取等号，
故C正确；
对于D，因为m+n=m+n×1=m+n1m+1n=2+nm+mn⩾2+2nm=4，故D错误．
故选ABC.
12.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查指数的性质、不等式的性质和基本不等式的应用，属于中等题.
利用a=b+1以及指数运算、基本不等式等依次验证每个选项的正误，进而得到正确选项，要注意等号成立的条件.
解：已知a，b均为正数，
∵a-b=1,∴a-2b=b+1-2b=(b-1)2⩾0，
当且仅当a=2，b=1时等号成立，故a⩾2b，故A选项错误.
∵a-b=1,∴a=b+1，且a>0，b>0.
∴2a-2b=2b+1-2b=2.2b-2b=2b，
∵b>0,∴2b>1.
即2a-2b>1，故B正确；
4a-1b=4a-ba-a-bb=5-4ba+ab
⩽5-24ba=1，当且仅当4ba=ab即a=2b时等号成立，故C正确；
因为a，b均为正数，且a-b=1，
∵a+1b=b+1+1b⩾2b.1b+1=3，(当且仅当a=2，b=1时等号成立)，
所以，a+1b⩾3，故D选项错误.
故选BC.
13.【答案】D;
【解析】对于A选项，当x<0时，-x>0时，则x+1x=-[(-x)+1(-x)]⩽-2(-x)⋅1(-x)=-2，当且仅当x=-1时，等号成立，A选项正确；对于B选项，∵x∈R，则x2+2⩾2，x2+3x2+2=(x2+2)+1x2+2=x2+2+1x2+2⩾2x2+2⋅1x2+2=2，当x2+2=1x2+2，即x2+2=1时，不满足x2+2⩾2，故等号不成立，所以x2+3x2+2>2，B选项错误；对于C选项，取x=0，可得1x2+1=1，C选项错误；对于D选项，∵x>0，(1+x)(1+1x)=2+x+1x⩾2+2x⋅1x=4，当且仅当x=1时，等号成立，D选项正确.故选AD.
14.【答案】233;
【解析】
此题主要考查利用基本不等式求最值.
根据题意，得出x+y2-1=xy，利用xy⩽x+y24，即可求出结果.
解：∵x2+y2+xy=1，
∴x+y2-1=xy，
∵xy⩽x+y24，当且仅当x=y时等号成立，
∴x+y2-1⩽x+y24，当且仅当x=y时等号成立，
整理，得-233⩽x+y⩽233，
∴x+y的最大值为233.
故答案为233.
15.【答案】8;
【解析】
该题考查基本不等式的性质与运用，正确运用公式要求“一正、二定、三相等”，解题时要注意把握和或积为定值这一条件．
根据基本不等式的性质与幂的运算性质，结合题意2a+3b=4，代入可得答案．
解：∵2a+3b=4，
∴4a+8b=22a+23b⩾222a.23b
=2⋅24=8，当且仅当a=1，b=23，
∴4a+8b的最小值为8，
故答案为：8．
16.【答案】5;
【解析】
此题主要考查直线与圆相切的性质，涉及圆的切线方程，属于基础题．
根据题意，由直线与圆相切的性质可得d=|2-0+3|1+4=5=r，即可得答案．
解：根据题意，圆(x-2)2+(y-1)2=r2的圆心为(2,1)，半径为r，
直线l：x-2y+3=0与圆(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0)相切，
则有d=|2-0+3|1+4=5=r，故r=5；
故答案为：5.
17.【答案】（-∞，-1-172）∪（-1+172，+∞）;
【解析】解：由定义可知：(x-a)⊗(x+a)<2 转换为：
(x-a)[1+(x+a)]<2⇒不等式 x2+x-a2-a-2<0 在x∈[-2,2]上恒成立；
即：x2+x
所以，a2+a+2>6；
解得：a>-1+172或a<-1-172；
故答案为：(-∞,-1-172)∪(-1+172,+∞)
由定义可知：(x-a)⊗(x+a)<2 转换为不等式x2+x-a2-a-2<0在x∈[-2,2]上恒成立，即：x2+x
18.【答案】72;
【解析】
此题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
解决问题的关键在于消元，用b表示出a.
解：因为2ab+b2=b+1，
所以a=-b2+b+12b，
所以a+5b=-b2+b+12b+5b
=92b+12b+12⩾294+12=72.
当且仅当92b=12b，即b=13时等号成立，
a+5b有最小值72.
故答案为72.
19.【答案】解：(1)由题意，-3x+13x+1+1=3x，化简得3⋅(3x)2+2⋅3x-1=0 ，
解得3x=-1(舍)或3x=13 ，
所以x=-1.
(2)因为fx是奇函数，所以f-x+fx=0，
所以-3-x+a3-x+1+b+-3x+a3x+1+b=0化简并变形得：(3a-b)(3x+3-x)+2ab-6=0，
要使上式对任意的x成立，则3a-b=0且2ab-6=0，
解得：a=1b=3或a=-1b=-3，因为fx的定义域是R，
所以a=-1b=-3舍去，所以a=1,b=3， 所以fx=-3x+13x+1+3.
①f(x)=-3x+13x+1+3=13(-1+23x+1)对任意x1,x2∈R,x1
因此fx在R上递减．
因为ft2-2t
即t2+2t-k<0在t∈R时有解，所以Δ=4+4t>0，
解得：t>-1，所以k的取值范围为-1,+∞，
②因为fx.gx+2=133-x-3x，所以g(x)=3-x-3x3f(x)-2 ，
即g(x)=3x+3-x ，
所以g2x=32x+3-2x=3x+3-x2-2 不等式g(2x)⩾m.g(x)-11恒成立，
即3x+3-x2-2⩾m.3x+3-x-11，即：m⩽3x+3-x+93x+3-x恒成立 ，
令t=3x+3-x,t⩾2，则m⩽t+9t在t⩾2时恒成立，
令ht=t+9t，h 't=1-9t2，t∈2,3时，h 't<0，所以ht在2,3上单调递减;
t∈3,+∞时，h 't>0，所以h t在3,+∞上单调递增.
所以h tmin=h3=6，所以m⩽6，
所以，实数m的最大值为6 ;
【解析】此题主要考查函数奇偶性，考查恒成立问题及函数的最值，难度较大.
(1)依题意得3⋅(3x)2+2⋅3x-1=0 ，解出x即可.
(2)①根据奇函数得3a-b=0且2ab-6=0，即可得a=1,b=3，又可证fx在R上递减.
f(t2-2t)
即g(x)=3x+3-x ， 不等式g(2x)⩾m⋅g(x)-11恒成立即m⩽3x+3-x+93x+3-x恒成立 ，从而求解即可.
20.【答案】解：（1）因为f（m）=m2-2m2+m2+6=6，所以g[f（m）]=g（6）=26=64．
（2）由g（f（x））=128，可得2^x2-2mx+m2-6=27，即x2-2mx+m2+6=7，
即x2-2mx+m2-1=0，因式分解可得（x-m-1）（x-m+1）=0，解得x=m-1，或x=m+1，
因为方程g（f（x））=128在区间[-1，2]上有唯一的解，注意到m+1＞m-1，
所以-1≤m-1≤2m+1>2或m-1<-1-1≤m+1≤2，
解得1＜m≤3或-2≤m＜0，
所以m的取值范围是[-2，0）∪（1，3]．
（3）由f（g（x））+f（g（-x））≥t[g（x）+g（-x）]，
可得（2x）2-2m•2x+m2+6+（2-x）2-2m•2-x+m2+6≥t（2x+2-x），
整理可得2m2-2m（2x+2-x）+（2x）2+（2-x）2+12-t（2x+2-x）≥0，①
因为①对m∈R恒成立，所以△=4（2x+2-x）2-8[（2x）2+（2-x）2+12-t（2x+2-x）]≤0，
整理可得2t（2x+2-x）≤（2x）2+（2-x）2+22，即2t≤(2x)2+(2-x)2+222x+2-x②，
设h（x）=(2x)2+(2-x)2+222x+2-x，因为②对x∈R恒成立，可得2t≤h（x）min，
可令u=2x+2-x，因为2x+2-x≥22x.2-x=2，
当且仅当x=0时，取得等号，所以u≥2，
则h（x）=m（u）=u2+20u=u+20u≥45，
当且仅当u=25∈[2，+∞）时，等号成立，
所以h（x）min=45，即2t≤45，即t≤25，
所以t的取值范围是（-∞，25]．;
【解析】
(1)先计算f(m)，再求g[f(m)]可得所求值；
(2)由指数方程和二次方程的解法，可得方程的解，再由题意可得m的不等式组，解不等式可得所求范围；
(3)由题意可得2m2-2m(2x+2-x)+(2x)2+(2-x)2+12-t(2x+2-x)⩾0，由不等式恒成立思想可得判别式小于等于0，结合参数分离和换元法、基本不等式可得所求范围．
此题主要考查复合函数的性质和函数恒成立问题解法，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于难题．
21.【答案】解：（1）由f（x+1）＞f（x）得-9⋅2x+1+2⋅3x+1＞-9⋅2x+2⋅3x整理得：(32)x＞94解得x＞2，
故不等式的解集{x|x＞2}；
（2）由mf(x)≤(92)x对任意的x∈R恒成立，
则m⋅(-9⋅2x+1+2⋅3x+1)≤(92)x对任意的x∈R恒成立，整理得m⋅(-18⋅2x+6⋅3x)≤(92)x对任意的x∈R恒成立，
设t=(32)x，因为x∈R，则t∈（0，+∞），
所以t2-6mt+18m≥0对任意的t∈（0，+∞）恒成立，
设g（t）=t2-6mt+18m（t＞0）则0≤g（t）min，
所以0≤m≤2．;
【解析】
(1)由已知不等式代入整理得(32)x>94，解不等式可求；
(2)由已知不等式，利用换元法可转化为二次不等式t2-6mt+18m⩾0对任意的t∈(0,+∞)恒成立，构造函数，然后结合二次函数的性质及不等式的恒成立与最值关系进行转化可求．
此题主要考查了二次不等式的求解及二次不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了转化思想的应用．
22.【答案】证明：(1)因为a+mb+m-ab=b(a+m)-a(b+m)b(b+m)=m(b-a)b(b+m).
因为b>a>0，m>0，
所以b-a>0，b+m>0，
所以m(b-a)b(b+m)>0，
即ab
所以利用基本不等式可得a2b+b⩾2a，b2c+c⩾2b，c2a+a⩾2c，
所以a2b+b2c+c2a+a+b+c⩾2a+2b+2c，
故a2b+b2c+c2a⩾a+b+c，
当且仅当a=b=c时，等号成立.;
【解析】此题主要考查不等式的证明，属于中档题.
(1)利用作差法即可证明；
(2)利用基本不等式可得a2b+b⩾2a，b2c+c⩾2b，c2a+a⩾2c，故a2b+b2c+c2a+a+b+c⩾2a+2b+2c，即可证明.
23.【答案】证明：(1)因为a2+b2⩾2ab，
所以2a2+b2⩾a2+b2+2ab，
即a2+b22⩾a+b24，又a>0，b>0，
所以a2+⩾a+b2，当且仅当a=b取等号；
(2)因为a+b3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3aba+b，
由已知a>0，b>0，则ab⩽a+b24，
所以a+b3⩽a3+b3+34a+b3，
即a+b3⩽4a3+b3，
由已知a3+b3=2，
所以a+b3⩽8，即a+b⩽2，
当且仅当a=b=1时取等号．;
【解析】此题主要考查基本不等式的证明，考查利用基本不等式证明条件不等式，属中档题.
(1)利用基本不等式转化证明即可.
(2)利用和的立方公式展开变形，利用基本不等式证明给定条件的不等式．
相关资料
更多
