第06讲 第一章集合与常用逻辑用语、不等式、复数章节题型大总结(题型精讲）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc18788" 第一部分：典型例题讲解 PAGEREF _Tc18788 \h 2
\l "_Tc5833" 题型一：集合的表示 PAGEREF _Tc5833 \h 2
\l "_Tc22876" 题型二：集合的基本关系 PAGEREF _Tc22876 \h 2
\l "_Tc23884" 题型三：集合的基本运算 PAGEREF _Tc23884 \h 3
\l "_Tc19122" 题型四：充分条件与必要条件 PAGEREF _Tc19122 \h 5
\l "_Tc16978" 题型五：“的”字结构与“是”字结构对比 PAGEREF _Tc16978 \h 5
\l "_Tc22952" 题型六：全称量词与存在量词 PAGEREF _Tc22952 \h 6
\l "_Tc8183" 题型七：一元二次不等式 PAGEREF _Tc8183 \h 7
\l "_Tc21318" 题型八：一元二次不等式中的恒成立与有解问题 PAGEREF _Tc21318 \h 8
\l "_Tc25875" 题型九：基本不等式及其应用 PAGEREF _Tc25875 \h 9
\l "_Tc12592" 题型十：复数的综合应用 PAGEREF _Tc12592 \h 10
\l "_Tc31292" 第二部分：新定义题 PAGEREF _Tc31292 \h 11
\l "_Tc16666" 第三部分：重点解题方法 PAGEREF _Tc16666 \h 12
\l "_Tc18412" 图法解决集合运算问题 PAGEREF _Tc18412 \h 12
\l "_Tc7396" 第四部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc7396 \h 13
\l "_Tc11937" 分类讨论法 PAGEREF _Tc11937 \h 13
\l "_Tc8365" 数形结合法 PAGEREF _Tc8365 \h 14
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第一部分：典型例题讲解
题型一：集合的表示
1．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·广东湛江·高一统考期末）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（ ）
A．10B．9C．8D．7
3．（2023秋·福建南平·高一统考期末）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）设集合，若，则集合C中的元素有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
（2023·全国·高三专题练习）设集合，则集合的子集个数为________
题型二：集合的基本关系
1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的值构成的集合是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若集合，，则能使成立的所有a组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若,则实数的取值范围为
A．B．C．D．
4．（2023·高三课时练习）已知集合，，若，则实数m的取值范围是______.
5．（2023·全国·高三专题练习）记关于x的不等式的解集为A，集合，若，则实数a的取值范围为___________.
题型三：集合的基本运算
1．（2023秋·湖北黄冈·高一统考期末）已知集合则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·广东广州·高一广州市第五中学校考阶段练习）已知集合．若，则m的取值范围为____________．
3．（2023秋·山东威海·高一统考期末）已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)当时，若，求实数的取值范围．
4．（2023秋·安徽安庆·高一统考期末）已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
5．（2023秋·福建宁德·高一统考期末）已知集合，集合.
(1)若，求；
(2)若，求实数m的取值范围.
6．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试）设全集，集合．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
题型四：充分条件与必要条件
1．（2023秋·山东威海·高一统考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）设，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2023秋·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期末）已知集合，．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023秋·辽宁本溪·高一校考期末）已知，，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型五：“的”字结构与“是”字结构对比
1．（2023春·重庆江北·高一字水中学校考开学考试）“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）若，则p成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）使，的否定为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）若“”是“不等式成立”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．或B．或C．或D．或
题型六：全称量词与存在量词
1．（2023春·陕西安康·高一统考开学考试）命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）关于命题p:“”，下列判断正确的是（ ）
A．B．该命题是存在量词命题，且为真命题
C．D．该命题是全称量词命题，且为假命题
3．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）命题：“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．（2023秋·青海西宁·高二统考期末）已知命题p：，，则为______．
5．（2023秋·江苏徐州·高一沛县湖西中学校考期末）命题“，”的否定是______．
题型七：一元二次不等式
1．（多选）（2023秋·江苏南通·高一统考期末）关于的不等式的解集可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·江苏南京·高一统考期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_________.
3．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）不等式的解集为，则__________.
4．（2023春·湖南永州·高一永州市第四中学校考开学考试）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集为__．
5．（2023春·宁夏银川·高一校考开学考试）不等式的解集是，则不等式的解集为___________.
6．（2023春·河南信阳·高一统考开学考试）已知函数的最小值为，方程有两个实根和6.
(1)求函数的解析式；
(2)求关于的不等式的解集.
7．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）
(1)若不等式的解集是，求a，b.
(2)求不等式的解集.
题型八：一元二次不等式中的恒成立与有解问题
1．（2023秋·湖南娄底·高一校联考期末）若函数的定义域为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____.
4．（2023·全国·高三对口高考）关于x的不等式恒成立，则实数m的取值范围为_________．
5．（2023春·广西南宁·高一校考开学考试）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.
6．（2023·全国·高三专题练习）若，使成立，则实数的取值范围是______________．
7．（2023·高一课时练习）若存在实数，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是______.
题型九：基本不等式及其应用
1．（多选）（2023秋·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．已知，则函数
B．若，则函数的最大值为
C．若x，，，则的最大值为4
D．若x，，，则xy的最小值为1
2．（多选）（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）若正数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（2023秋·四川绵阳·高一统考期末）设正实数a，b满足，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最大值为2D．的最小值为8
4．（2023秋·江苏徐州·高一统考期末）已知正数满足，则的最小值为__________.
5．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）已知，，则最小值为___________．
6．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知，则取得最大值时的值为________．
（2）已知，则的最大值为________．
（3）函数的最小值为________．
题型十：复数的综合应用
1．（2023·全国·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．3
2．（2023秋·山东威海·高二统考期末）已知实数x，y满足，则（ ）
A．2B．4C．D．8
3．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）已知复数，其中i是虚数单位，则在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
4．（2023·陕西铜川·校考一模）已知i是虚数单位，若，则（ ）
A．1B．C．D．3
5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设i为虚数单位，复数z在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．C．2D．3
6．（2023秋·天津南开·高三校考阶段练习）已知是虚数单位，复数z满足，则______.
7．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）复数z满足（i是虚数单位），则复数z为__________．
8．（2023春·天津滨海新·高三校联考开学考试）已知，则___________．
第二部分：新定义题
1．（2023秋·辽宁本溪·高一校考期末）设P和Q是两个集合，定义集合且.如果，，那么=（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·高一课时练习）设A，B是两个非空集合，定义：且，已知，，则（ ）．
A．B．C．D．
3．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）欧拉恒等式（i为虚部单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（2023秋·云南德宏·高三统考期末）在整数集中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（ ）
A．B．
C．D．整数属于同一“类”的充要条件是“”
5．（多选）（2023秋·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（ ）
A．M没有最大元素，N有一个最小元素
B．M没有最大元素，N也没有最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M有一个最大元素，N没有最小元素
第三部分：重点解题方法
图法解决集合运算问题
1．（2023秋·广东·高一统考期末）集合，将集合分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·河南洛阳·高一校考阶段练习）移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”.某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数为（ ）
A．50B．60C．70D．80
3．（2023·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考阶段练习）向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为__________．
4．（2023·河南郑州·高一校考阶段练习）中国健儿在东京奥运会上取得傲人佳绩，球类比赛获奖多多，其中乒乓球、羽毛球运动备受学生追捧．某校高一（1）班40名学生在乒乓球、羽毛球两个兴趣小组中，每人至少报名参加一个兴趣小组，报名乒乓球兴趣小组的人数比报名羽毛球兴趣小组的人数3倍少4人，且两兴趣小组都报名的学生有8人，则只报名羽毛球兴趣小组的学生有__人．
5．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知全集，集合．
(1)求；
(2)如图阴影部分所表示的集合可以是 （把正确答案序号填到横线处），并求图中阴影部分表示的集合；．
① ② ③ ④
第四部分：数学思想方法
分类讨论法
1．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合，，则（ ）
A．B．或C．D．
2．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习）已知集合，，则_________.
4．（2023·陕西安康·高一陕西省安康中学校考阶段练习）已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若集合中仅有一个整数元素，求．
5．（2023山东日照·高一统考期末）已知函数．
(1)若不等式的解集为，求，的值；
(2)若，求不等式的解集．
6．（2023·云南楚雄·高一校考阶段练习）设.
(1)若，求的解集；
(2)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(3)解关于x的不等式.
数形结合法
1．（2023·全国·高一专题练习）已知复数z满足：，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．2
2．（2023·山西晋中·高二榆次一中校考开学考试）已知z为复数，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·福建泉州·高一校考阶段练习）已知，则的最大值是__________．
4．（2023·山东临沂·高一校考阶段练习）世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.在复平面内，复数（是虚数单位），其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为_______.