第01讲函数的概念及其表示（讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc24410" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc24410 \h 2
\l "_Tc20133" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc20133 \h 3
\l "_Tc15476" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc15476 \h 5
\l "_Tc11366" 高频考点一：函数的概念 PAGEREF _Tc11366 \h 5
\l "_Tc11044" 高频考点二：函数定义域 PAGEREF _Tc11044 \h 7
\l "_Tc4896" 角度1：具体函数的定义域 PAGEREF _Tc4896 \h 7
\l "_Tc32441" 角度2：抽象函数定义域 PAGEREF _Tc32441 \h 8
\l "_Tc8373" 角度3：已知定义域求参数 PAGEREF _Tc8373 \h 9
\l "_Tc24086" 高频考点三：函数解析式 PAGEREF _Tc24086 \h 12
\l "_Tc1763" 角度1：凑配法求解析式（注意定义域） PAGEREF _Tc1763 \h 12
\l "_Tc18658" 角度2：换元法求解析式（换元必换范围） PAGEREF _Tc18658 \h 13
\l "_Tc28706" 角度3：待定系数法 PAGEREF _Tc28706 \h 15
\l "_Tc2903" 角度4：方程组消去法 PAGEREF _Tc2903 \h 16
\l "_Tc15562" 高频考点四：分段函数 PAGEREF _Tc15562 \h 20
\l "_Tc15725" 角度1：分段函数求值 PAGEREF _Tc15725 \h 20
\l "_Tc25091" 角度2：已知分段函数的值求参数 PAGEREF _Tc25091 \h 21
\l "_Tc4209" 角度3：分段函数求值域（最值） PAGEREF _Tc4209 \h 22
\l "_Tc16777" 高频考点五：函数的值域 PAGEREF _Tc16777 \h 26
\l "_Tc1611" 角度1：二次函数求值域 PAGEREF _Tc1611 \h 26
\l "_Tc18515" 角度2：分式型函数求值域 PAGEREF _Tc18515 \h 27
\l "_Tc18434" 角度3：根式型函数求值域 PAGEREF _Tc18434 \h 30
\l "_Tc21395" 角度4：根据值域求参数 PAGEREF _Tc21395 \h 31
\l "_Tc15670" 角度5：根据函数值域求定义域 PAGEREF _Tc15670 \h 33
\l "_Tc5812" 第四部分：高考新题型 PAGEREF _Tc5812 \h 39
\l "_Tc21684" ①开放性试题 PAGEREF _Tc21684 \h 39
\l "_Tc21051" ②探究性试题 PAGEREF _Tc21051 \h 40
\l "_Tc11845" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc11845 \h 41
\l "_Tc27316" ①函数与方程的思想 PAGEREF _Tc27316 \h 41
\l "_Tc6254" ②数形结合思想 PAGEREF _Tc6254 \h 42
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第一部分：知识点必背
1、函数的概念
设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，.
其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域
与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2、同一（相等）函数
函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3、函数的表示
函数的三种表示法
4、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
5、高频考点结论
5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式型函数：分母不等于零.
(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为
(4)的定义域是.
(5)(且)，，的定义域均为.
(6)(且)的定义域为.
(7)的定义域为.
5.2函数求值域
（1）分离常数法：
将形如()的函数分离常数，变形过程为：
，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.
（2）换元法：
如：函数，可以令，得到，函数
可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
（3）基本不等式法和对勾函数
（4）单调性法
（5）求导法
第二部分：高考真题回归
1．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________．
【答案】
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
2．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则___________.
【答案】2
【详解】，故，
故答案为：2.
3．（2022·浙江·高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
【答案】 ##
【详解】由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.
故答案为：，.
4．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【详解】解：若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，
解得，
综上可得；
故答案为：0（答案不唯一），1
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的概念
典型例题
例题1．（2023春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考开学考试）已知集合，下列对应关系中从到的函数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】对于A，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，故A错误，
对于B，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，故B错误，
对于C，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，故C错误，
对于D，在对于关系中，因为，所以，且则集合中任意一个元素在集合中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，是从集合到集合的函数，故D正确，
故选：D．
例题2．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知集合，集合，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】对选项A：存在点使一个与两个对应，不符合，排除；
对选项B：当时，没有与之对应的，不符合，排除；
对选项C：的范围超出了集合的范围，不符合，排除；
对选项D：满足函数关系的条件，正确.
故选：D
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）下列图象中，以为定义域，为值域的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】对于，其对应函数的值域不是，错误；
对于，图象中存在一部分与轴垂直，即此时对应的值不唯一，该图象不是函数的图象，错误；
对于，其对应函数的定义域为，值域是，正确；
对于，图象不满足一个对应唯一的，该图象不是函数的图象，错误；
故选：．
2．（多选）（2023·高一课时练习）下列对应中是函数的是（ ）.
A．，其中，，
B．，其中，，
C．，其中y为不大于x的最大整数，，
D．，其中，，
【答案】BCD
【详解】对于A，，其中不满足一个自变量有唯一一个实数与之对应，例如时，；不满足定义，故A不正确；
对于B，，其中，，，
时，，时，，
时，，时，，，
满足定义，故B正确；
对于C，，其中y为不大于x的最大整数，，；满足定义，故C正确；
对于D，，其中，，满足定义，故D正确，
故选：BCD.
高频考点二：函数定义域
角度1：具体函数的定义域
典型例题
例题1．（2023春·北京海淀·高一校考开学考试）函数的定义域（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】函数要有意义，
需满足，解得，且，
故函数定义域为：，
故选：B
例题2．（2023春·北京·高三校考阶段练习）函数的定义域为__________.
【答案】
【详解】由已知得，解得且，
即函数的定义域为.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023春·全国·高一校联考开学考试）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由得：，即的定义域为.
故选：A.
2．（2023秋·广东肇庆·高一统考期末）函数的定义域为_____________．
【答案】
【详解】由已知得，解得，
即函数的定义域为.
故答案为：.
角度2：抽象函数定义域
典型例题
例题1．（2023秋·河北承德·高一统考期末）函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：由题意得
解得且.
故选：D
例题2．（2023春·重庆江北·高一字水中学校考开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．
【答案】
【详解】因为函数的定义域为，则，
所以，则有，解得：，
所以函数的定义域为，
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为函数的定义域为，
所以要使有意义，则
，解得且，
所以原函数的定义域为，
故选：C．
2．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为的定义域为，则，解得，则，所以的定义域为.
故选：B
角度3：已知定义域求参数
典型例题
例题1．（2023秋·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考期末）函数的定义域为，则的取值范围为（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【详解】当时，，定义域不为；
当时，若函数的定义域为，
则，解得
故选：A.
例题2．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知函数的定义域为，则实数的值是______．
【答案】2
【详解】由题意，要使函数有意义，
则，即，
所以，此时由，可得，符合题意.
故答案为：2.
例题3．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【详解】时，满足题意，
时，由恒成立得得，
综上的取值范围是．
故答案为：．
例题4．（2023·高一课时练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】函数的定义域为，
当时，，满足；
当时，需满足，解得.
综上所述：.
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则（ ）
A．3B．3C．1D．1
【答案】A
【详解】由，得，
由题意可知上式的解集为，
所以为方程的一个根，
所以，得，
故选：A
2．（2023·河北·高三学业考试）函数的定义域为，则实数的值为______．
【答案】
【详解】的定义域满足：，解集为，
故且，解得.
故答案为：
3．（2023·上海·高一专题练习）已知函数在上有意义，则实数m的范围是____________．
【答案】
【详解】要使函数有意义，则（），
解得，所以函数的定义域为，
所以，所以，解得，
所以实数m的范围是.
故答案为：
4．（2023·全国·高三专题练习）函数定义域为R，则实数k的取值范围为______.
【答案】
【详解】解：因为函数定义域为R，
所以在R上恒成立，
所以，解得.
故答案为：.
高频考点三：函数解析式
角度1：凑配法求解析式（注意定义域）
典型例题
例题1．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由题意，
故，
故选：D
例题2．（2023·高一课时练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，
则，.
综上：只有B正确.
故选：B
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若函数，则函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，
所以.
从而，
当时，取得最小值，且最小值为.
故选：D
角度2：换元法求解析式（换元必换范围）
典型例题
例题1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末）已知函数满足，则解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设，故，则，
所以.
故选：A
例题2．（2023·高一课时练习）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】令，则，；
所以.
故选：D.
例题3．（2023秋·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末）若函数，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以令，则，
所以，所以，
因为，所以，
故选：B.
例题4．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知，则_________．
【答案】（且）
【详解】由，
令，（且，且），
则，（且），
∴（且）,
∴（且）.
故答案为：（且）.
例题5．（2023·高一课时练习）如果，则当且时，_____．
【答案】
【详解】由题意，令，则且，
因为，所以，其中且，
所以．
故答案为．
角度3：待定系数法
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）已知二次函数满足，则（ ）
A．1B．7C．8D．16
【答案】B
【详解】设，
因为，
所以，
化简可得：，
所以，所以，所以，
所以，所以，
故选：B.
例题2．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）已知函数是一次函数，且，则一次函数的解析式为________.
【答案】或
【详解】函数是一次函数，
设.
，
，解得或，
故答案为：或.
例题3．（2023·高一课时练习）若二次函数满足，，求.
【答案】.
【详解】因为二次函数满足；所以设，
则：；
因为，
所以；
∴；∴；∴，；
∴.
故答案为： .
例题4．（2023·高一课时练习）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式．
（2）若二次函数满足，，且图象过原点，求的解析式．
【答案】（1）f（x）＝－2x－9；（2）g（x）＝3x2－2x.
【详解】（1）设f（x）＝kx＋b（k≠0），
则f（x＋1）－2f（x－1）＝kx＋k＋b－2kx＋2k－2b＝－kx＋3k－b，
即－kx＋3k－b＝2x＋3不论x为何值都成立，
∴解得∴f（x）＝－2x－9.
（2） 设g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），∵g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，
∴解得
∴g（x）＝3x2－2x.
角度4：方程组消去法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为函数满足 ---①
所以 ---②
联立①②，得，解得，
∴
故选：A
例题2．（2023·高一课时练习）已知，则______．
【答案】.
【详解】因为 ①，
把换成有：
②，
联立①②式有：，
解得.
故答案为：.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的解析式___________.
【答案】，.
【详解】因为，
所以，
消去解得，
故答案为：，.
例题4．（2023·高一课时练习）已知函数的定义域为，且，则________．
【答案】
【详解】在中，将x换成，则换成x，
∴，
将该方程代入已知方程消去，得．
故答案为：．
练透核心考点
1．（2023春·高一校考开学考试）已知一次函数满足，则（ ）
A．12B．13C．14D．15
【答案】B
【详解】设，则,
因为，
所以，解得，
所以，.
故选：B.
2．（2023·高一课时练习）若函数，且，则实数的值为（ ）
A．B．或C．D．3
【答案】B
【详解】令（或），，，，.
故选；B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________.
【答案】，
【详解】
又当且仅当，即时等号成立.
设，则，所以
所以
故答案为：，
4．（2023秋·山东淄博·高一山东省淄博第六中学校考期末）设定义在上的函数满足，则___________.
【答案】
【详解】因为定义在上的函数满足，
将换成可得：，将其代入上式可得：
，
所以，
故答案为：.
5．（2023·高一课时练习）（1）已知函数，求函数的解析式
（2）已知为一次函数，若，求的解析式.
【答案】（1）；（2）或.
【详解】（1）函数，则，
所以函数的解析式是.
（2）因为一次函数，设，
则，而，
于是得，解得或，
所以或.
6．（2023·高一课时练习）已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：根据题意，设，
所以，
因为，
所以，
所以，解得.
因为，
所以，解得.
所以
高频考点四：分段函数
角度1：分段函数求值
典型例题
例题1．（2023秋·山东临沂·高一统考期末）已知函数，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．e
【答案】C
【详解】，
故选：C
例题2．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，．
故选：D．
例题3．（2023·河北·高三学业考试）已知函数，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【详解】，，.
故选：D
例题4．（2023秋·宁夏银川·高一银川二中校考期末）若，则____________.
【答案】3
【详解】由，.
故答案为：3
角度2：已知分段函数的值求参数
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）已知函数，若，则实数的值等于（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】A
【详解】，据此结合题意分类讨论：
当时，，
由得，解得，舍去；
当时，，
由得，解得，满足题意.
故选：A．
例题2．（2023秋·广东云浮·高一统考期末）若函数且，则_____________．
【答案】1
【详解】解：因为函数且，
当时，，解得（舍）；
当时，，解得，
综上： 1
故答案为：1
例题3．（2023春·山西忻州·高一河曲县中学校校考开学考试）设函数，若，则__________．
【答案】
【详解】由题意可得，当时，，此时方程无解；
当时，，解得或（舍）
故答案为：
例题4．（2023·高三课时练习）已知函数，若，则实数______．
【答案】或
【详解】当时，由，可得，合乎题意；
当时，由，解得，合乎题意；
当时，由，解得，不合乎题意.
综上所述，或.
故答案为：或.
角度3：分段函数求值域（最值）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知设，则函数的最大值是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】当，即时，在上单调递增，所以，当，即时，在上单调递增，在上单调递减，因为，，所以；
综上：函数的最大值为1
故选：B
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】时，，则；
时，，则；
故函数的值域为.
故选：A.
例题3．（2023·高一课时练习）若函数,则函数的值域为______．
【答案】
【详解】当时， ，
当时，，
故函数的值域为，
故答案为：
例题4．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______．
【答案】
【详解】当时，
当时，
综上可得，的值域为
故答案为：
练透核心考点
1．（2023秋·湖南娄底·高一统考期末）给定函数，用表示中的较大者，记为，例如当时，，则的最小值为（ ）
A．B．0C．1D．4
【答案】B
【详解】令，可得，即，解得；
令，可得，即，解得或.
所以.
作出的图象如图所示：
由图象可得的最小值为0.
故选:B.
2．（2023秋·湖南长沙·高一统考期末）已知函数，则（ ）
A．的最大值为，最小值为
B．的最大值为，无最小值
C．的最大值为，无最小值
D．的最大值为，最小值为
【答案】C
【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，
然后根据定义画出的图象（图中实线部分）
由图象可知，当时，取得最大值，
由得或（舍去），
此时函数有最大值，无最小值．
故选：C．
3．（2023秋·海南·高一海南华侨中学校考期末）已知函数，则__________.
【答案】7
【详解】由已知可得，，所以.
故答案为：7.
4．（2023秋·四川绵阳·高一统考期末）设函数，则______．
【答案】
【详解】函数，则，
所以.
故答案为：
5．（2023·高一课时练习）设函数，若则实数=__________
【答案】或1．
【详解】时，，，
时，，（负数舍去），
综上或1．
故答案为：或1．
6．（2023·高一课时练习）已知函数且，则实数a的值为________．
【答案】##或##或
【详解】当时，，解得：，成立，
当时，，解得：，
所以.
故答案为：
7．（2023·高一课时练习）已知函数，若，则_______.
【答案】
【详解】解：因为，且，
所以或，
解得或无解；
故答案为：
高频考点五：函数的值域
角度1：二次函数求值域
典型例题
例题1．（2023春·北京海淀·高一校考开学考试）设的定义域是，则函数的值域中含有整数的个数为（ ）
A．17B．18C．19D．20
【答案】B
【详解】
所以的对称轴为：，
所以在单调递增，
，
，
的值域为，
则函数的值域中含有整数的个数为18.
故选：B.
例题2．（2023·高三课时练习）函数的值域为______.
【答案】
【详解】令，则，
所以.
故答案为：.
例题3．（2023·高一课时练习）函数的值域为_______．
【答案】
【详解】因为
所以，所以值域为
故答案为：
例题4．（2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末）已知二次函数满足，
(1)求的解析式；
(2)当，求的值域．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设二次函数
由，可得
则，解之得
则二次函数的解析式为
（2）由（1）得，，
则在单调递减，在单调递增
又，，
则当时的值域为
角度2：分式型函数求值域
典型例题
例题1．（2023·高三课时练习）关于“函数，的最大、最小值与函数，的最大、最小值”，下列说法中正确的是（ ）．
A．有最大、最小值，有最大、最小值
B．有最大、最小值，无最大、最小值
C．无最大、最小值，有最大、最小值
D．无最大、最小值，无最大、最小值
【答案】C
【详解】，，
画出函数图象如下：
函数，无最大值，也无最小值；
当时，此时函数的图象为上一些点，
当且时，，当且时，，
且函数在且上单调递减，在当且上时单调递减，
故时，取得最小值，当时，取得最大值.
故选：C
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值与最小值的和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，则有，
当时，代入原式，解得．
当时，，
由，解得，于是的最大值为，最小值为，
所以函数的最大值与最小值的和为．
故选：B.
例题3．（2023·高一课时练习）函数 的值域
【答案】
【详解】原函数可化为
①时，方程不成立；
②时，由得，解得.
综上：
故函数值域为：.
例题4．（2023·高一课时练习）求函数的值域.
【答案】
【详解】因为，
所以当时，；
当时，原函数化为，
所以，整理得，
解得即或，
∴综上，函数的值域为.
例题5．（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域.
【答案】.
【详解】，
因，即，则，
当且仅当，即 时等号成立，于是得，
所以原函数的值域为.
角度3：根式型函数求值域
典型例题
例题1．（2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末）的最大值是（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】A
【详解】设，
则，
因为，所以时，的最大值是，
故选：A.
例题2．（2023·河北·高三学业考试）已知，则的最大值是（ ）
A．8B．2C．1D．0
【答案】C
【详解】，当时有最大值为
故选：
例题3．（2023·高一课时练习）求函数的值域______．
【答案】##
【详解】令，则，所以．又，所以，即函数的值域是．
故答案为：.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为___________．
【答案】
【详解】解：因为，令，则，则，所以，，所以在上单调递增，所以，即的值域为；
故答案为：
例题5．（2023·高一课时练习）函数的值域为__________．
【答案】
【详解】，由，得，因为在上单调递增，所以，即的值域为.
故答案为：
角度4：根据值域求参数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当时，，即值域为，满足题意；
若，设，则需的值域包含，
，解得：；
综上所述：的取值范围为.
故选：C.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】函数在[0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，
时时，
函数的部分图象及在上的的图象如图所示.
所以为使函数在上的值域为，实数m的取值范围是，
故选：B.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
当时，；当或时，.
因此当时，函数在区间上的最小值为，
最大值为，所以，实数的取值范围是.
故选：C.
例题4．（多选）（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值可能是（ ）
A．0B．C．D．1
【答案】CD
【详解】当时，，故不符合题意；
当时，函数的值域为，
，解得.
故选：CD
例题5．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域和值域均为，则的值为__________.
【答案】
【详解】解：因为，对称轴为，开口向上，
所以函数在上单调递增，
又因为定义域和值域均为，
所以，即，解得（舍去）或，
所以.
故答案为：
例题6．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【详解】解：因为函数的值域为，
所以能够取到大于等于的所有数，
当时，不合题意；
当时，则，解得；
综上可得.
故答案为：．
角度5：根据函数值域求定义域
典型例题
例题1．（2023秋·上海闵行·高一统考期末）设函数的定义域为，值域为，下列结论正确的是（ ）
A．当时，的值不唯一B．当时，的值不唯一
C．的最大值为3D．的最小值为3
【答案】D
【详解】对于A项，当时，显然，则.函数在上的值域为，在上的值域为，又函数在上的值域为，所以，，故A项错误；
对于B项，当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，所以，故B错误；
对于C、D项，
①当时，函数，此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以；
②当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以；
③当时，.此时函数在上的值域为，在上的值域为.由已知可得，或.
当时，即，此时有；
当时，即，则，此时有.
综上所述，.
故C项错误，D项正确.
故选：D.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：，
当时，在上单调递增，
所以，此时，
当时，由，
当且仅当，即 时取等号，
因为在上单调递增，
若的值域为，则有，即，则，
综上，，
所以实数的取值范围为
故选：A
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】为开口方向向上，对称轴为的二次函数
令，解得：，
即实数的取值范围为
故选：
例题4．（2023·高一课时练习）解析式相同，定义域不同的两个函数称为“同族函数”．对于函数，值域为{1，2，4}的“同族函数”的个数为______个．
【答案】9
【详解】由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数，函数解析式为，值域为{1，2，4}，
当时，，当时，，当时，，
则定义域可以为：，因此“同族函数"共有9个.
故答案为：9.
练透核心考点
1．（2023秋·河南洛阳·高一统考期末）若函数的定义域为集合，值域为集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由解得，所以，
任取，则，，则，
所以，即，
所以在上是增函数，且，，
所以，
所以，
故选：A
2．（2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末）的最大值是（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】A
【详解】设，
则，
因为，所以时，的最大值是，
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当时，，即值域为，满足题意；
若，设，则需的值域包含，
，解得：；
综上所述：的取值范围为.
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域和值域均为，则的值为__________.
【答案】
【详解】解：因为，对称轴为，开口向上，
所以函数在上单调递增，
又因为定义域和值域均为，
所以，即，解得（舍去）或，
所以.
故答案为：
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【详解】解：因为函数的值域为，
所以能够取到大于等于的所有数，
当时，不合题意；
当时，则，解得；
综上可得.
故答案为：．
6．（2023·高一课时练习）求函数的值域______．
【答案】##
【详解】令，则，所以．又，所以，即函数的值域是．
故答案为：.
7．（2023·高一课时练习）函数在上的值域为________．
【答案】
【详解】，
因为，
所以，当且仅当时取等号，
则函数在上的值域为，
故答案为：.
8．（2023·高一课时练习）已知函数.
(1)若函数定义域为R，求a的取值范围；
(2)若函数值域为，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为函数定义域为R，
所以在R上恒成立，
当时，，不符合题意；
当时，要想在R上恒成立，即在R上恒成立，
只需，
所以a的取值范围为；
（2）当时，，符合题意；
当时，要想函数值域为，
只需，
综上所述：a的取值范围为.
9．（2023·高三课时练习）已知函数，当时，值域为______；当时，值域为______.
【答案】
【详解】由题知，函数，，
当时，，
此时，
当且仅当，即时取等号，
当时，，此时，
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，值域为；
当时，
因为，
所以，
当时，，
当时，，
所以当时，.
故答案为：；.
第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2022秋·山东聊城·高一校考阶段练习）写出一个与的定义域和值域均相同，但是解析式不同的函数：____________．
【答案】（答案不唯一）
【详解】的定义域为R，值域为，
故可令，定义域为R，值域为，满足要求.
故答案为：.
2．（2022秋·江西·高一校联考阶段练习）若函数和的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”.已知函数，写出一个与是“同象函数”的函数的解析式： _________.
【答案】，（或或等，答案不唯一）
【详解】的定义域为R，因为，所以，所以的值域为，
，则的定义域为，因为，所以，所以的值域为，
所以与的值域相同，定义域不同，所以与是“同象函数”.
故答案为：（答案不唯一）.
3．（2022秋·江苏南通·高一海安高级中学校考期中）除函数y＝x，外，再写出一个定义域和值域均为的函数______.
【答案】（答案不唯一）
【详解】令，满足定义域和值域均为，
故答案为：（答案不唯一）
②探究性试题
1．（2020秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）若，则函数（ ）
A．有最大值10B．有最小值10
C．有最大值6D．有最小值6
【答案】B
【详解】因为，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
即函数有最小值，
再由结合对勾函数的性质可知，在上无最大值.
故选：B.
2．（2022秋·安徽六安·高一校考期中）若用表示三个数中的最小值,如.则函数的最大值是________．
【答案】6
【详解】解:由题知为三个数中的最小值,
则即是这三个函数中取同一值时,函数值最小的,
反映到图像上,即是三个函数图像中下方的图像,
在同一坐标系下画出三个函数图像如图所示:
由上图像可画出如下所示,
联立可得,
由图可知的最大值为6.
故答案为:6
第五部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由已知可得，解得，其中，因此，.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）若对任意实数，均有，求___________
【答案】##
【详解】∵（1）
∴（2）
由得，
∴.
故答案为：.
3．（2023·高一单元测试）已知函数，存在实数，使得，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】由得，即，
设，则原命题等价于存在t，使得，.
∵均单调递增，∴在上单调递增，
即当时，取得最小值，即，解得.
故答案为：
②数形结合思想
1．（2023·高一单元测试）若函数的定义域是，则其值域为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】函数图像可由 图像向右平移一个单位得到，
如图所示:
，
结合图像可知，函数的值域为 .
故选：D
2．（多选）（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）已知=min{，}，下列说法正确的是（ ）
A．在区间单调递增
B．在区间单调递减
C．有最小值1
D．有最大值1
【答案】BD
【详解】画出的大致图象，如图所示：
由图象可知，在区间上不单调，在区间单调递减，故错误，正确，
当或时，取得最大值1，无最小值，故错误，正确，
故选：.
3．（2023·高一课时练习）画出函数的图象，并根据图象回答下列问题.
(1)比较，，的大小；
(2)若，比较与的大小；
(3)求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）函数的定义域为R，
列表：
描点，连线，得函数图象如图所示：
根据图象，容易发现，，
所以.
（2）根据图象，得到当时，有.
（3）根据图象，可以看出函数的图象是以为顶点，开口向下的抛物线，
因此，函数的值域为.
解析法（最常用）
图象法（解题助手）
列表法
就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值.
就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值.
就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.
x
-2
-1
0
1
2
3
4
y
-5
0
3
4
3
0
-5