第05讲 复数(逐级突破）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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第05讲 复数 (精练（分层练习）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知为虚数单位，复数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
所以.
故选：D.
2．（2023·福建福州·统考二模）已知，则（    ）
A．2 B． C．4 D．10
【答案】B
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：B.
3．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）若复数z满足（为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】已知，得，所以，所以其在复平面内对应的点为，在第四象限；
故选:D
4．（2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部为（    ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】C
【详解】解：，
所以，，
的实部为0．
故选：C
5．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）在复数范围内解得方程的两根为，则（    ）
A．4 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】由题意，
在中，
解得：，
∴，
故选：C.
6．（2023秋·吉林辽源·高三校联考期末）若复数z满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由可得，
所以.
故选：A
7．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知（，i为虚数单位），则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为（，i为虚数单位），
所以，
所以，
所以，
故选：B
8．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）已知复数，则“”是“”的（    ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【详解】设，，当时，即，
，充分性；
取，则，，不必要性.
综上所述：“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
二、多选题
9．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知复数，则下列选项正确的是（    ）
A．z的虚部为1
B．
C．为纯虚数
D．在复平面内对应的点位于第一象限
【答案】AC
【详解】，
则z的虚部为1，选项A正确；
，选项B错误；
为纯虚数，选项C正确；
在复平面内对应的点位于第四象限，选项D错误；
故选：AC．
10．（2023·吉林·统考二模）已知复数，则下列说法正确的是（    ）
A．的共轭复数是
B．的虚部是
C．
D．若复数满足，则的最大值是
【答案】AD
【详解】对于A选项，因为，则，A对；
对于B选项，复数的虚部为，B错；
对于C选项，，C错；
对于D选项，令，则，
即在圆心为半径为1的圆上，而表示圆上点到原点的距离，
由圆心到原点的距离为，结合圆上点到定点距离范围易知：的最大值为，D对.
故选：AD.
11．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中不正确的是（    ）
A．对应的点位于第二象限 B．为纯虚数
C．的模长等于 D．的共轭复数为
【答案】ABC
【详解】对于A：，对应的点位于第二象限，故A正确；
对于B：，为纯虚数，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，所以的共轭复数为，故D错误.
故选：ABC.
12．（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知，且，则（    ）
A．当时，必有
B．复平面内复数所对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆
C．
D．
【答案】BD
【详解】A项：，故错误；
B项：因为，故正确；
C项：，当与i对应向量同向时取等，故错误；
D项：，当与对应向量反向时取等，故正确.
故选：BD.
三、填空题
13．（2023·高三课时练习）若关于x的方程有实数根，则锐角______．
【答案】
【详解】，
，
若关于x的方程有实数根，
则，解得，
则锐角，
故答案为：.
14．（2023秋·天津南开·高三崇化中学校考期末）已知为虚数单位，若复数，则实数的值为__________．
【答案】-2
【详解】，
由，所以复数为实数，则，，
此时，满足.
故答案为：-2
四、解答题
15．（2023·全国·高一专题练习）在复平面内，若复数对应的点：（1）在虚轴上；（2）在第二象限；（3）在的图象上，分别求实数的取值范围．
【答案】（1）或；（2）；（3）．
【详解】复数的实部为，虚部为．
（1）由题意得，解得或；
（2）由题意，得，解得；
（3）由已知得，解得．
16．（2023·高一课时练习）已知复数，求的值．
【答案】
【详解】解：因为，
所以
所以
所以，，
所以
B能力提升
1．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）已知复数z的实部和虚部均为整数，则满足的复数z的个数为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】设，则


因为，所以
因为，所以，即.
当时，，即，有两组满足条件，
当时，或，所以，，
但时，不符合题意，
故个数为4，
故选：C.
2．（2023·高一课时练习）在复数范围内，有下列命题：①的平方根只有i；②i是1的平方根；③若复数是某一元二次方程的根，则一定是方程的另一个根；④若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数．上述命题中真命题的个数为（    ）
A．3 B．2 C．0 D．1
【答案】D
【详解】对于①，的平方根有两个，分别为和，故①错误；
对于②，1的平方根是和1，故②错误；
对于③，令，则是方程的一个根，但方程的另一个根是，并非，
实际上，只有实系数方程的虚根才是共轭复数，故③错误；
对于④，设的平方根为，则，即，
故，解得或，
所以的平方根为或，显然z的平方根是虚数，故④正确；
综上：①②③错误，④正确，故真命题的个数为.
故选：D.
3．（2023·全国·高一专题练习）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将复数、指数函数与三角函数联系起来，将指数函数的定义域扩充为复数域，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，的共轭复数在复平面内所对应的点位于第______象限．
【答案】二
【详解】依题意得,，
其共轭复数的实部,虚部分别为，，
因为,所以,
因此的共轭复数在复平面内所对应的点位于第二象限,
故答案为：二.
4．（2023·高三课时练习）（1）已知，，求证：；
（2）求函数的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）5
【详解】（1）设复平面上的点，是复数，所对应的点，
∴向量，是复数，所对应的向量，∴，，
当，不共线时，平行四边行对角线所成向量（如下图所示），

∴向量，是复数所对应的向量，∴，
∴在中由“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”的性质可得，
，
，
∴；
当且仅当，共线且方向相同，即且时，，
当且仅当，共线且方向相反，即且时，，
综上所述，.
（2）∵
∴令，，，
∴由第（1）问证明的不等式，有
则，
当且仅当且，即时，等号成立.
∴时，函数的最小值为.
C综合素养
1．（2023·高一课时练习）欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（    ）．
A．；
B．；
C．；
D．在复平面内对应的点位于第二象限．
【答案】B
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确：
对于C，因为，，
所以，故C错误；
对于D，依题意可知表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，
故表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，
因为，所以，则该点位于第四象限，故D错误.
故选：B.
2．（2023·高一课时练习）已知顶点的直角坐标分别为，，，若虚数是实系数一元二次方程的根，且是钝角，则实数b的取值范围是______．
【答案】
【详解】由已知，虚数也是实系数一元二次方程的根，
所以，解得，，
则、的坐标为，，
所以，，因是钝角，故，解得，
又当，共线时有，即．
所以的取值范围是．
故答案为：
3．（2023·高一课时练习）对于复数，，称复数是关于的变换．
(1)计算复数关于的变换的结果；
(2)若复数关于的变换在复平面上所对应的点在线段上，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
即复数关于的变换的结果为.
（2）
，
因为 .
所以 , .
又因为 满足题意.
故 .
4．（2023·高一单元测试）已知复数是虚数单位.
(1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；
(2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知得到，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以，
解得，所以
（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以是方程的另一个根，所以，所以，
所以，
所以，所以.