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初中数学北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明导学案
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这是一份初中数学北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明导学案，共19页。学案主要包含了复习回顾，合作学习，课堂小结，课堂检测，自我检测，中考达标梯级训练等内容，欢迎下载使用。
第四章 图形的相似
4.5.1相似三角形判定定理的证明
学习目标：1.了解两角分别相等的两个三角形相似判定定理的证明
2.了解两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明
3.能够通过转化、做辅助线等方法进行相关的证明
一、复习回顾
1.相似三角形的定义： 的两个三角形是相似三角形
2.相似三角形的判定： 的两个三角形相似.
的两个三角形相似.
的两个三角形相似.
3.证明一句话定理的一般步骤是： .
4.符号语言：
定义： 判定定理：
二、合作学习
1．证明定理：两角分别相等的两个三角形相似
2. 证明定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
三、课堂小结
证明相似三角形判定定理，我们用到了哪些方法？
四、课堂检测
证明定理3：三边成比例的两个三角形相似
如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,在CD上任取一点E，连接BE,将△BCE沿BE折叠，使点E恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为 ．
2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点。
(1)、请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
(2)、若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长。
三、链接中考
1.（宁夏2017）在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM，将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形.
2.（宁夏2014）在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD,DF⊥AE，垂足为F；
求证：DF=DC
四、课堂小结
说一说你重温了哪些知识？有什么新的收获？
五、自我检测
1、矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A、两组对边分别平行 B、对角线相等 C、对角线互相平分 D、两组对角分别相等
2.菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB=
2、如图,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是
A.B.
C. D.
3、如图，在 ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠DEB=90°，求证四边形DEBF是矩形.
2.四边形 ABCD是正方形，G是BC边上的任意一点， DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F.
求证： AF=BF+EF
【当堂检测】
1. 如果菱形的边长是a，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（ ） A．a B．a C．a D．a
2.在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD =120°，则对角线AC等于（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
第3题图
3. 如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，，则下列结论①DE=3cm；②EB=1cm；③中正确的个数为（ ）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）
第4题图
A．1 B． C． D．2
6. 如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，求∠FPC的度数.
1、关于平行四边形ABCD的叙述正确的是( C ）
A.若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是菱形.
B.若AC⊥BD,则平行四边形ABCD是正形.
C.若AC=BD,则平行四边形ABCD是矩形.
D.若AB=AD，则平行四边形ABCD是正方形.
2、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE//BD，DE//AC . 则四边形OAED为（ B ）
A、菱形 B、矩形 C、正方形 D、无法确定 A E
B O D
点拨：前面两题涉及到平行四边形性质及特殊平行四
边形的判定 . C
四、经典真题例析
1、在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF, 添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（ D ）
A. BC=AC B. CF⊥BF C. BD=DF D. AC=BF B
思路点拨：由BC的垂直平分线EF可得BE=CE，BF=CF， E D F
又由BE=BF，能推知BE=CE=CF=BF，四边形
BECF为菱形，在此基础上，只要再有一
个角是直角，或者对角线相等即可， A C
四个选项中只有D不能推知，故选D. 1题图
1. 如图，AE//BF,AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD. A D E
（1）求∠AOD的度数. O
（2）求证：四边形ABCD是菱形. B C F
思路点拨 ：（1）利用平行线的性质，可得 2题图
∠BAD与∠CBA互补.由角平分线的定义，可得∠BAO与∠ABO互余，从而推得∠AOD=90°.
（2）由AE//BF，AC平分∠BAE，BD平分∠ABF，得∠BAC=∠BCA，∠ABD=∠ADB，可得AD=AB=BC. 从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形ABCD是平行四边形，再由（1）得四边形ABCD是菱形.
反思：通过前面两例，我们感悟到，平行四边形和特殊的平行四边形的性质和判定定理是 解题的依据与关键，同学们一定要牢固掌握。
1. 阅读理解
阅读下面的材料：小颖遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，DE//BC，分别交AB于D，交AC于E，已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值.
小颖发现，过点E作EF//DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算，能够使问题得到解决 （如图2）
（1）请回答：BC+DE的值为 √ 34 .
（2）参考小颖思考问题方法，解决问题：如图3，已知 ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数. （60°）
A A F E
D E D E A B
G
B C B C F D C
（图1） （图2） （图3）
思路点拨：（1）由已知DE//BC及所作辅助线EF//DC，可得四边形DCFE为平行四边形.
再由CD⊥BE进而推出EF⊥BE，∴∠BEF=90°，在Rt△BEF中，BE=5，EF=CD=3，所以BC+DE=BC+CF=BF=√ 5²+3² =√ 34
有方法更简单：四边形中，若两条对角线有特殊的位置关系和数量关系时，不妨尝试“平 移对角线”方法，这里就是平移对角线CD，从而构造直角三角形，使问题得以解决.
注意：这里5与3是两直角边的长，同学们容易得出错误结论，要谨慎！
1. 这里要求∠AGF的度数，在原始位置有困难，我们可以设想把∠AGF平移到容易求得的位置. 由已知可得FE//AB//CD, EF=AB=CD,所以四边形FDCE为平行四边形，因此平移FD到EC，即连接EC就把∠AGF平移到∠ACE的位置（两直线平行，同位角相等），因此求出∠ACE的度数即可，又AC=BF=DF，再连接AE（AE=BF），可得AC=EC=AE，∴△ACE为等边三角形，所以∠AGF=∠ACE=60°.
反思：这里通过平移具有特殊位置关系和数量关系的线段的方法，使问题变得简单，此题中连接EC是关键.
注意：这里的F、B、C三点不一定在同一直线上.
• 当堂检测
1、如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=5，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ D ）
A. 14 B. 15 C. 16 D. 20
2、如图，正方形ABCD的顶点B作直线m，过点A，C作m的垂线，垂足分别为点E、F.若AE=1，CF=3，则AB的长度为 √ 10
3、如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形.
1. 求证：四边形ADCE是矩形；
2. 若AC、DE交于点O，四边形ADCE的面积为16√3，CD=4，
求∠AOD的度数
F A A C
D B B F E m D O E E C C D B A
（1题图） （2题图） （3题图）
3题答案
（1）证明：∵ 四边形ABDE是平行四边形
∴ AE//BC，AB=DE，AE=BD
∵ D是BC中点
∴ CD=BD
∴ CD//AE，CD=AE
∴ 四边形ADCE为平行四边形
∵ AB=AC，D为BC中点
∴ AD⊥BC
∴ ∠ADC=90°
∴ 四边形ADCE为矩形.
（2）∵ 四边形ADCE为矩形，四边形ADCE面积为16√3，CD=4
∴ AD·CD=4AD=16√3
∴ AD=4√3
∴ ∠DAC=30°
∵OA=OD=OC=OE
∴ ∠ODA=∠OAD=30°
∴∠AOD=120°
4、（1）已知：如图1，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O. E、F分别是边 AD、DC上的点，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，则EF的长 5
（2）如图2，若点O是正方形A'B'C'O的一个顶点，且两个正方形的边长相等，将正方形 A'B'C'O绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个定值正方形ABCD面积的四分之一
A B A D
A' E
O O
E
D F C B F C
B'
（图1） C'
（图2）
思路点拨：（1）由已知可证△DOE≌△COF (或△AOE≌△DOF)
∴ AE=DF=4，DE=CF=3
在R△EDF中，根据勾股定理，就可求得EF=5.
（2）由已知可证△BOE≌△COF (或△AOE≌△BOF)
所以重叠部分面积=S△OBC （或S△AOB）= ¼ S正方形ABCD.
六、中考达标梯级训练
（一）选择题
1．（2016无锡）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( )
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
【答案】C
1. （2016，绥化）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE//BD，DE//AC.若AC=4，则四边形OCED的周长（ ）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】 B
E D
D C D F C
A O C H
O G
A B B E A E B
（2题图） （3题图） （4题图）
3．（2016内江）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，，AC=8，BD=6，OE⊥BC,垂足为E，则OE长 ( )
A． B. C.5 D.4
【答案】 B
4．（2015安徽）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是 ( )
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
二、填空题
5．（2016，钦州）如图，菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长 _____.
【答案】6
6．（2016巴中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD．连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=______度．
【答案】15
7、如图所示的是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，点E为AB上一点，AE=5. 现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的边长
【答案】5或5√2或4√5
B D C
A D
C N A
D B C E A E · B
（5题图） （6题图） （7题图）
三、解答题
8．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC
于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点
P，连接EF，PD．
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°，求tan∠ADP的值.
A F D A H F D
P P
B E C B E C
（8图题）
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC,
∴∠DAE= ∠AEB．
∵AE是角平分线，∴∠DAE= ∠BAE．
∴∠BAE= ∠AEB，∴AB=BE，
同理AB=AF，∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形；
(2)作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形．∠ABC=60°，AB=4，
∴AB=AF=4,∠ABF= 30°,AP⊥BF.
∴AP=AB=2，∴PH=，DH =5,
∴tan∠ADP= =.
9．(2016，无锡)已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE＝AF．连接DE、DF．求证：DE＝DF．
F
【答案】
证明：∵四边形ABCD是正方形， A D
∴AD＝CD,∠DAB＝∠C＝90°,
∴∠FAD＝180°－∠DAB＝90°.
在△DCE和△DAF中，
B E C
∴△DCE≌△DAF(SAS), （9图题）
∴DE＝DF．
10．(2016哈尔滨)已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．
⑴求证：AP＝BQ；
⑵在不添加任何辅助线的情况下，诸直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．
A D
【答案】
解：⑴∵正方形ABCD, P
∴AD＝BA,∠BAD＝90°，即∠BAQ＋∠DAP＝90°,
∵DP⊥AQ, E
∴∠ADP＋∠DAP＝90°, Q
∴∠BAQ＝∠ADP, B C
∵AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P， (10图题）
∴∠AQB＝∠DPA＝90°,
∴△AQB≌△DPA(AAS)，
∴AP＝BQ.
⑵①AQ－AP＝PQ，
②AQ－BQ＝PQ，
③DP－AP＝PQ，
④DP－BQ＝PQ.
11．(2016重庆一中)已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任意一点．
⑴如图⑴，若∠A＝45°，AB＝，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交于点F，求DE的长．
⑵如图⑵，若2∠AEB＝180°－∠BED，∠ABE＝60°，求证：BC＝BE＋DE．
⑶如图⑶，若点E在CB延长线上时，连接DE，试猜想∠BED，∠ABD，∠CDE三个角之间的数量关系，直接写出结论．
E
A A A
E F
E
D B D B D B
C C C
图1 图2 图3
（11题图）
【答案】⑴解：在菱形ABCD中,AB＝AD＝,AB∥DE
1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（ ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 2、在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= ．
(第2题) （第3题）
3、已知菱形的两对角线长分别为 6 cm 和 8
cm，则菱形的面积为__________cm2. 周长为__________cm。
4.能判定四边形是正方形的是（） A. 对角线互相垂直且相等的四边形
B. 对角线互相垂直的平行四边形 C. 对角线相等的菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形
二、引入真题、归纳考点
【例1】（2016年宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD
上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则
点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是 （A）
A.4.8 B.5 C.6 D.7.2
【解析】如图，连接OP，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于
点F.由勾股定理得AC=BD=10，∴OA=OD=5.
∵S△AOD= S矩形ABCD=12，
S△AOD=S△AOP+S△DOP
= ×OA×PE+ ×OD×PF= OA·(PE+PF)=12，
∴PE+PF=4.8.
【例2】如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为
50cm2，则菱形的边长为 13 cm.
【解析】如图，连接AC，BD相交于点O.
∵正方形AECF的面积为50cm2，∴AE2=EC2=50.
在Rt△AEC中，∵AE2+EC2=AC2，∴AC=10.
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且OA=0.5AC=5，OB=0.5BD，
∴S菱形ABCD=0.5AC×BD=120，∴BD=24，OB=12BD=12.
∵AC⊥BD，∴在Rt△AOB中，AB2=AO2+BO2=52+122=132.
AB=13.
【例3】（2016年呼和浩特）如图，面积为24的正
方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中点E、
F、G分别在AB、BC、FD上.若BF= ，则小正方
形的周长为 （C）
第五讲 中考复习课 ——几种特殊的平行四边形（1）
南宁市武鸣区双桥镇中心学校 危琼妹
复习目标：
1、进一步巩固矩形、菱形、正方形的概念、性质和判定；
2、灵活应用其性质、判定解决问题；
重点难点：性质、判定的综合应用
教学过程：
一：知识梳理，再次巩固。
二、例题分析：
例1、（2015南宁中考题，第23题，8分）如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠DEB=90°，求证四边形DEBF是矩形.
例2、（2015年北海、第22题，8分）如图，已知BD平分∠ABF,且交AE于点D.
(1)、求作: ∠BAE的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；
D
（2）、设AP交BD于点O，交BF于点C，连接CD，当AC⊥BD时，求证：四边形ABCD是菱形。
三、课堂练习：
（一）、基础平台
1、矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A、两组对边分别平行 B、对角线相等 C、对角线互相平分 D、两组对角分别相等
2、下列命题中正确的是（ ）
A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B、对角线互相垂直的四边形是菱形
C、对角线相等的四边形是矩形
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
3、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=4cm，则AC的长为______cm．
4、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交与点O，添加一个条件 ，可使它成为菱形。
5、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BP=BC，则∠ACP的度数是
6、如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为
（第3题） （第 4题） （第5题） （第6题）
（二）、能力提高
1、如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形。如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于
2、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是
（第1题） （第2题）
3、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点。
(1)、请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（2）、若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长。
四、回归课本的练习（中考试题来源于课本）
（八下课本P69）第14题：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F. 求证AE=EF.(提示：取AB的中点G，连接EG)
*本题的变换题：
1、（2014年、南宁）25. （10分）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC.
(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
(2) 求证：∠ACF=90°；
(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图.
若EC=4，∠CEF=15°，求 AE 的长.
2、（2014年、北海）25、（10分）如图①，E是正方形ABCD的边BC上的一个点（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在射线EP上截取线段EF，使得EF=AE；过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G.
（1）、求证：FG=BE;
（2）、连接CF，如图②，求证CF平分∠DCG；
（3）、当=时，D
A
求sin∠CFE的值.
第四章 图形的相似
4.5.1相似三角形判定定理的证明
学习目标：1.了解两角分别相等的两个三角形相似判定定理的证明
2.了解两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明
3.能够通过转化、做辅助线等方法进行相关的证明
一、复习回顾
1.相似三角形的定义： 的两个三角形是相似三角形
2.相似三角形的判定： 的两个三角形相似.
的两个三角形相似.
的两个三角形相似.
3.证明一句话定理的一般步骤是： .
4.符号语言：
定义： 判定定理：
二、合作学习
1．证明定理：两角分别相等的两个三角形相似
2. 证明定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
三、课堂小结
证明相似三角形判定定理，我们用到了哪些方法？
四、课堂检测
证明定理3：三边成比例的两个三角形相似
如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,在CD上任取一点E，连接BE,将△BCE沿BE折叠，使点E恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为 ．
2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点。
(1)、请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
(2)、若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长。
三、链接中考
1.（宁夏2017）在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM，将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形.
2.（宁夏2014）在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD,DF⊥AE，垂足为F；
求证：DF=DC
四、课堂小结
说一说你重温了哪些知识？有什么新的收获？
五、自我检测
1、矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A、两组对边分别平行 B、对角线相等 C、对角线互相平分 D、两组对角分别相等
2.菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB=
2、如图,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是
A.B.
C. D.
3、如图，在 ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠DEB=90°，求证四边形DEBF是矩形.
2.四边形 ABCD是正方形，G是BC边上的任意一点， DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F.
求证： AF=BF+EF
【当堂检测】
1. 如果菱形的边长是a，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（ ） A．a B．a C．a D．a
2.在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD =120°，则对角线AC等于（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
第3题图
3. 如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，，则下列结论①DE=3cm；②EB=1cm；③中正确的个数为（ ）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）
第4题图
A．1 B． C． D．2
6. 如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，求∠FPC的度数.
1、关于平行四边形ABCD的叙述正确的是( C ）
A.若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是菱形.
B.若AC⊥BD,则平行四边形ABCD是正形.
C.若AC=BD,则平行四边形ABCD是矩形.
D.若AB=AD，则平行四边形ABCD是正方形.
2、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE//BD，DE//AC . 则四边形OAED为（ B ）
A、菱形 B、矩形 C、正方形 D、无法确定 A E
B O D
点拨：前面两题涉及到平行四边形性质及特殊平行四
边形的判定 . C
四、经典真题例析
1、在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF, 添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（ D ）
A. BC=AC B. CF⊥BF C. BD=DF D. AC=BF B
思路点拨：由BC的垂直平分线EF可得BE=CE，BF=CF， E D F
又由BE=BF，能推知BE=CE=CF=BF，四边形
BECF为菱形，在此基础上，只要再有一
个角是直角，或者对角线相等即可， A C
四个选项中只有D不能推知，故选D. 1题图
1. 如图，AE//BF,AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD. A D E
（1）求∠AOD的度数. O
（2）求证：四边形ABCD是菱形. B C F
思路点拨 ：（1）利用平行线的性质，可得 2题图
∠BAD与∠CBA互补.由角平分线的定义，可得∠BAO与∠ABO互余，从而推得∠AOD=90°.
（2）由AE//BF，AC平分∠BAE，BD平分∠ABF，得∠BAC=∠BCA，∠ABD=∠ADB，可得AD=AB=BC. 从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形ABCD是平行四边形，再由（1）得四边形ABCD是菱形.
反思：通过前面两例，我们感悟到，平行四边形和特殊的平行四边形的性质和判定定理是 解题的依据与关键，同学们一定要牢固掌握。
1. 阅读理解
阅读下面的材料：小颖遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，DE//BC，分别交AB于D，交AC于E，已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值.
小颖发现，过点E作EF//DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算，能够使问题得到解决 （如图2）
（1）请回答：BC+DE的值为 √ 34 .
（2）参考小颖思考问题方法，解决问题：如图3，已知 ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数. （60°）
A A F E
D E D E A B
G
B C B C F D C
（图1） （图2） （图3）
思路点拨：（1）由已知DE//BC及所作辅助线EF//DC，可得四边形DCFE为平行四边形.
再由CD⊥BE进而推出EF⊥BE，∴∠BEF=90°，在Rt△BEF中，BE=5，EF=CD=3，所以BC+DE=BC+CF=BF=√ 5²+3² =√ 34
有方法更简单：四边形中，若两条对角线有特殊的位置关系和数量关系时，不妨尝试“平 移对角线”方法，这里就是平移对角线CD，从而构造直角三角形，使问题得以解决.
注意：这里5与3是两直角边的长，同学们容易得出错误结论，要谨慎！
1. 这里要求∠AGF的度数，在原始位置有困难，我们可以设想把∠AGF平移到容易求得的位置. 由已知可得FE//AB//CD, EF=AB=CD,所以四边形FDCE为平行四边形，因此平移FD到EC，即连接EC就把∠AGF平移到∠ACE的位置（两直线平行，同位角相等），因此求出∠ACE的度数即可，又AC=BF=DF，再连接AE（AE=BF），可得AC=EC=AE，∴△ACE为等边三角形，所以∠AGF=∠ACE=60°.
反思：这里通过平移具有特殊位置关系和数量关系的线段的方法，使问题变得简单，此题中连接EC是关键.
注意：这里的F、B、C三点不一定在同一直线上.
• 当堂检测
1、如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=5，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ D ）
A. 14 B. 15 C. 16 D. 20
2、如图，正方形ABCD的顶点B作直线m，过点A，C作m的垂线，垂足分别为点E、F.若AE=1，CF=3，则AB的长度为 √ 10
3、如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形.
1. 求证：四边形ADCE是矩形；
2. 若AC、DE交于点O，四边形ADCE的面积为16√3，CD=4，
求∠AOD的度数
F A A C
D B B F E m D O E E C C D B A
（1题图） （2题图） （3题图）
3题答案
（1）证明：∵ 四边形ABDE是平行四边形
∴ AE//BC，AB=DE，AE=BD
∵ D是BC中点
∴ CD=BD
∴ CD//AE，CD=AE
∴ 四边形ADCE为平行四边形
∵ AB=AC，D为BC中点
∴ AD⊥BC
∴ ∠ADC=90°
∴ 四边形ADCE为矩形.
（2）∵ 四边形ADCE为矩形，四边形ADCE面积为16√3，CD=4
∴ AD·CD=4AD=16√3
∴ AD=4√3
∴ ∠DAC=30°
∵OA=OD=OC=OE
∴ ∠ODA=∠OAD=30°
∴∠AOD=120°
4、（1）已知：如图1，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O. E、F分别是边 AD、DC上的点，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，则EF的长 5
（2）如图2，若点O是正方形A'B'C'O的一个顶点，且两个正方形的边长相等，将正方形 A'B'C'O绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个定值正方形ABCD面积的四分之一
A B A D
A' E
O O
E
D F C B F C
B'
（图1） C'
（图2）
思路点拨：（1）由已知可证△DOE≌△COF (或△AOE≌△DOF)
∴ AE=DF=4，DE=CF=3
在R△EDF中，根据勾股定理，就可求得EF=5.
（2）由已知可证△BOE≌△COF (或△AOE≌△BOF)
所以重叠部分面积=S△OBC （或S△AOB）= ¼ S正方形ABCD.
六、中考达标梯级训练
（一）选择题
1．（2016无锡）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( )
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
【答案】C
1. （2016，绥化）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE//BD，DE//AC.若AC=4，则四边形OCED的周长（ ）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】 B
E D
D C D F C
A O C H
O G
A B B E A E B
（2题图） （3题图） （4题图）
3．（2016内江）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，，AC=8，BD=6，OE⊥BC,垂足为E，则OE长 ( )
A． B. C.5 D.4
【答案】 B
4．（2015安徽）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是 ( )
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
二、填空题
5．（2016，钦州）如图，菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长 _____.
【答案】6
6．（2016巴中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD．连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=______度．
【答案】15
7、如图所示的是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，点E为AB上一点，AE=5. 现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的边长
【答案】5或5√2或4√5
B D C
A D
C N A
D B C E A E · B
（5题图） （6题图） （7题图）
三、解答题
8．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC
于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点
P，连接EF，PD．
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°，求tan∠ADP的值.
A F D A H F D
P P
B E C B E C
（8图题）
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC,
∴∠DAE= ∠AEB．
∵AE是角平分线，∴∠DAE= ∠BAE．
∴∠BAE= ∠AEB，∴AB=BE，
同理AB=AF，∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形；
(2)作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形．∠ABC=60°，AB=4，
∴AB=AF=4,∠ABF= 30°,AP⊥BF.
∴AP=AB=2，∴PH=，DH =5,
∴tan∠ADP= =.
9．(2016，无锡)已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE＝AF．连接DE、DF．求证：DE＝DF．
F
【答案】
证明：∵四边形ABCD是正方形， A D
∴AD＝CD,∠DAB＝∠C＝90°,
∴∠FAD＝180°－∠DAB＝90°.
在△DCE和△DAF中，
B E C
∴△DCE≌△DAF(SAS), （9图题）
∴DE＝DF．
10．(2016哈尔滨)已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．
⑴求证：AP＝BQ；
⑵在不添加任何辅助线的情况下，诸直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．
A D
【答案】
解：⑴∵正方形ABCD, P
∴AD＝BA,∠BAD＝90°，即∠BAQ＋∠DAP＝90°,
∵DP⊥AQ, E
∴∠ADP＋∠DAP＝90°, Q
∴∠BAQ＝∠ADP, B C
∵AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P， (10图题）
∴∠AQB＝∠DPA＝90°,
∴△AQB≌△DPA(AAS)，
∴AP＝BQ.
⑵①AQ－AP＝PQ，
②AQ－BQ＝PQ，
③DP－AP＝PQ，
④DP－BQ＝PQ.
11．(2016重庆一中)已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任意一点．
⑴如图⑴，若∠A＝45°，AB＝，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交于点F，求DE的长．
⑵如图⑵，若2∠AEB＝180°－∠BED，∠ABE＝60°，求证：BC＝BE＋DE．
⑶如图⑶，若点E在CB延长线上时，连接DE，试猜想∠BED，∠ABD，∠CDE三个角之间的数量关系，直接写出结论．
E
A A A
E F
E
D B D B D B
C C C
图1 图2 图3
（11题图）
【答案】⑴解：在菱形ABCD中,AB＝AD＝,AB∥DE
1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（ ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 2、在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= ．
(第2题) （第3题）
3、已知菱形的两对角线长分别为 6 cm 和 8
cm，则菱形的面积为__________cm2. 周长为__________cm。
4.能判定四边形是正方形的是（） A. 对角线互相垂直且相等的四边形
B. 对角线互相垂直的平行四边形 C. 对角线相等的菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形
二、引入真题、归纳考点
【例1】（2016年宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD
上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则
点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是 （A）
A.4.8 B.5 C.6 D.7.2
【解析】如图，连接OP，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于
点F.由勾股定理得AC=BD=10，∴OA=OD=5.
∵S△AOD= S矩形ABCD=12，
S△AOD=S△AOP+S△DOP
= ×OA×PE+ ×OD×PF= OA·(PE+PF)=12，
∴PE+PF=4.8.
【例2】如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为
50cm2，则菱形的边长为 13 cm.
【解析】如图，连接AC，BD相交于点O.
∵正方形AECF的面积为50cm2，∴AE2=EC2=50.
在Rt△AEC中，∵AE2+EC2=AC2，∴AC=10.
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且OA=0.5AC=5，OB=0.5BD，
∴S菱形ABCD=0.5AC×BD=120，∴BD=24，OB=12BD=12.
∵AC⊥BD，∴在Rt△AOB中，AB2=AO2+BO2=52+122=132.
AB=13.
【例3】（2016年呼和浩特）如图，面积为24的正
方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中点E、
F、G分别在AB、BC、FD上.若BF= ，则小正方
形的周长为 （C）
第五讲 中考复习课 ——几种特殊的平行四边形（1）
南宁市武鸣区双桥镇中心学校 危琼妹
复习目标：
1、进一步巩固矩形、菱形、正方形的概念、性质和判定；
2、灵活应用其性质、判定解决问题；
重点难点：性质、判定的综合应用
教学过程：
一：知识梳理，再次巩固。
二、例题分析：
例1、（2015南宁中考题，第23题，8分）如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠DEB=90°，求证四边形DEBF是矩形.
例2、（2015年北海、第22题，8分）如图，已知BD平分∠ABF,且交AE于点D.
(1)、求作: ∠BAE的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；
D
（2）、设AP交BD于点O，交BF于点C，连接CD，当AC⊥BD时，求证：四边形ABCD是菱形。
三、课堂练习：
（一）、基础平台
1、矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A、两组对边分别平行 B、对角线相等 C、对角线互相平分 D、两组对角分别相等
2、下列命题中正确的是（ ）
A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B、对角线互相垂直的四边形是菱形
C、对角线相等的四边形是矩形
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
3、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=4cm，则AC的长为______cm．
4、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交与点O，添加一个条件 ，可使它成为菱形。
5、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BP=BC，则∠ACP的度数是
6、如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为
（第3题） （第 4题） （第5题） （第6题）
（二）、能力提高
1、如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形。如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于
2、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是
（第1题） （第2题）
3、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点。
(1)、请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（2）、若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长。
四、回归课本的练习（中考试题来源于课本）
（八下课本P69）第14题：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F. 求证AE=EF.(提示：取AB的中点G，连接EG)
*本题的变换题：
1、（2014年、南宁）25. （10分）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC.
(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
(2) 求证：∠ACF=90°；
(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图.
若EC=4，∠CEF=15°，求 AE 的长.
2、（2014年、北海）25、（10分）如图①，E是正方形ABCD的边BC上的一个点（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在射线EP上截取线段EF，使得EF=AE；过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G.
（1）、求证：FG=BE;
（2）、连接CF，如图②，求证CF平分∠DCG；
（3）、当=时，D
A
求sin∠CFE的值.
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