初中数学湘教版九年级上册3.5 相似三角形的应用完美版教学ppt课件

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3.5 相似三角形的应用
湘教版数学九年级上册
进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力. (难点)
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能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的宽度和高度. (重点)
学习目标
世界上最宽的河——亚马逊河，你能测量它的宽度吗？
新课导入
神秘的埃及金字塔，你能测量它的高度吗？
一、利用相似三角形测量物体的宽度
例1 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D． 
此时如果测得 BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离 AB．
知识讲解
解：∵ ∠ADB＝∠EDC，  
∠ABC＝∠ECD＝90°，  
∴ △ABD∽△ECD.
 

解得 AB = 100.
因此，两岸间的大致距离为 100 m.
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
归纳：
二、利用相似三角形测量物体的高度
据史料记载,古希腊数学家,天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆.借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.
例2 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF.
又 ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF.
因此金字塔的高度为134 m.
归纳：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
物1高 ：影1长=物2高：影2长
例3 如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内．从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物项端A标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上，求建筑物的高度．
 
归纳：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决.
例4 如图是一位学生设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD,测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，求该古城墙的高度．
 
归纳：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
1.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　）A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
C
 
D
随堂训练
3. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在 可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD＝15m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 m.
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4. 如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝ 20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 的长度为 .
12 cm
5.如图，在高为4m的平房顶上A处望一幢楼的底部D时，视线恰好过一棵树的顶端E，从平房底部B处望楼顶C时，视线也恰好经过小树的顶端E.如果测得小树的高度为3m，求这幢楼的高度.
解：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB.∵EF=3，AB=4，∴ ,∴ .∵EF∥AB，∴△BEF∽△BCD，∴ ,∴CD=4EF=12m.答：这幢楼的高度为12m.
6.如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB =8 m和 CD=12 m，两树底部的距离 BD=5 m，一个人估计自己的眼睛距地面 1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点 C 了？
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端 A、C 恰在一条直线上．　　∵　AB⊥l， CD⊥l， 　　∴　AB∥CD，　　∴　△AEH∽△CEK，　　∴　　　=　　 ，　　即　　　　 =　 　　=　　 ． 解得EH=8 m． 由此可知如果观察者继续前进，当她与左边的树距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端 C．
相似三角形的应用举例
利用相似三角形测量物体的高度
利用相似三角形测量物体的宽度
课堂小结