数学湘教版3.5 相似三角形的应用试讲课ppt课件
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世界上最高的树 —— 红杉
世界上最宽的河 ——亚马逊河
探究1： 如图，A, B 两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出A, B 间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？
利用相似三角形测量宽度
如图，在池塘外取一点C，使它可以直接看到A, B 两点，连接AC、BC并测量出AC、BC的长度，再延长AC,BC,在AC的延长线上取一点D，在BC的延长线上取一点E，并使CD与CE的长度的比等于AC与BC的比。测量出DE的长度后，就可以由相似三角形的有关知识求出A, B 间的距离了.
例1、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．此时如果测得 BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离 AB．
解：∵ ∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴ △ABD∽△ECD.
解得 AB = 100.
因此，两岸间的大致距离为 100 m.
方法总结；构造相似三角形是解决问题的关键
如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在 可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD ＝15m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 m.
利用相似三角形测量高度
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
例2：如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m， 测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF.
又 ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF.
因此金字塔的高度为134 m.
1、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 （ ）
2、如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚 阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是_____米
例3、如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了?
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角∠AFH 是观察点A 的仰角.类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内.再往前走就根本看不到 C 点了.
当∠AFH =∠CFK时 即走到E点使C、A、E三点在同一直线
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置 点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条直线上． 由题意可知，HK=BD=5，HB=KD=1.6，AB=10，CD=12 ∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD. ∴△AEH∽△CEK.
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
方法总结：本题把实际问题抽象到相似三角形中， 利用相似三角形性质列出比例式求解即可.
例4、某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米?
解析： 如图，BC=6.4m,CD=1.4m,MN=1.5m,NP=1.2m
大树的影长不等于地面上部分的加上墙上的
所以要构造三角形满足树高与影长关系，符合相似三角形的条件，即：过D作DE⊥AB于E，则∆AED∽△MNP，可求出AE，再由 AB=AE+BE求树高
解：过D作DE⊥AB于E，则BE=CD==1.4 ED=BC=6.4，∆AED∽△MNP
∴AB=AE+BE=8+1.4=9.4米.
【类型一】利用影长测量高度（长度）
【类型二】利用标杆测量高度（长度）
例5、 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬 纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米， EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度.
DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米
故 AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 (m).
答：旗杆的高度为 11.5 m
利用相似解决有遮挡物问题
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