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初中数学苏科版八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性优质课ppt课件
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这是一份初中数学苏科版八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性优质课ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了5练习，数学活动等内容，欢迎下载使用。
2 . 5等腰三角形的轴对称性
看到下边三角形了吗，它有何特点呢？我们今天来探讨一下等腰三角形的性质.
第1课时 等腰三角形的性质
把等腰三角形纸片沿顶角平分线折叠，你有什么发现?
如图(1)，在△ABC 中，AB ＝AC沿∠BAC 的平分线AD 把△ABD 翻折.
因为∠BAD＝∠CAD， 所以AB 落在射线 AC 上. 因为AB＝AC， 所以点 B 与点 C 重合， 从而△ABD 与△ACD 重合(2).
等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴.
由 △ABD 与△ACD 重合，可知∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC＝90°，BD＝CD.
于是，我们得到如下定理：
等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
你还可用什么方法证明上述定理?
作顶角的平分线，用“SAS”证明.
作底边上的中线，用“SSS”证明.
也可以作底边上的高，用“HL”证明.
几何语言：如图，在△ ABC 中， ∵ AB＝AC， ∴∠B ＝∠ C.
性质1 等腰三角形的两底角相等 (简称“等边对等角”).
作用：是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.
性质2 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”).
(1) ∵ AB＝AC，AD⊥BC， ∴ AD 平分∠ BAC，BD＝DC.(2)∵ AB＝AC，BD＝DC， ∴ AD⊥BC，AD 平分∠BAC.(3)∵ AB＝AC，AD 平分∠BAC， ∴ BD＝DC，AD ⊥ BC．
如图， 在△ABC 中，AB＝AC，AD 平分∠BAC. (1) 求∠ADB 的度数； (2) 若∠BAC＝100°，求∠B、∠C 的度数； (3) 若BC＝3 cm，求BD 的长.
(1) 在等腰三角形中，运用“三线合一”时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”. 根据等腰三角形的“三线合一”的性质可以得到等线段、等角以及两条线段互相垂直． (2) “等边对等角”的前提是在同一个三角形中.
(1) 求∠ADB 的度数；
解：∵ AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴ AD ⊥ BC， ∴∠ ADB＝90° .
(2) 若∠BAC＝100°，求∠B、∠C 的度数；
(3) 若BC＝3 cm，求BD 的长.
按下列作法，用直尺和圆规作等腰三角形 ABC，使底边 BC＝a，高AD＝h.
例 1 已知：如图2－30，在△ABC 中，AB＝AC，点D 在BC 上，目AD＝BD. 求证：∠ADB＝∠BAC.
证明：∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠1(等边对等角)∴∠C＝∠1.∵∠ADB 是△ADC 的外角，∴∠ADB＝∠C＋∠2.∴∠ADB＝∠1＋∠2＝∠BAC.
1. 在 △ABC 中，AB＝AC，点D在 BC 上. 如果∠BAD ＝∠CAD，那么AD⊥BC，BD＝CD； 如果 BD＝CD，那么∠_______＝∠_______，________⊥________； 如果 AD⊥BC，那么________________，________.
2. 在 △ABC 中，AB＝AC. (1) 如果∠B＝70°，那么∠C＝_______°， ∠A＝_______°； (2) 如果∠A＝70°，那么∠B＝ _______°， ∠C＝_______°； (3) 如果有一个角等于120°，那么∠A＝ _______°， ∠B ＝_______°，∠C ＝ _______°.
(4) 如果有一个角等于 50°，那么另两个角等于多少度?
解：当顶角为 50°，即∠A ＝ 50°时，另两个角∠B＝∠C ＝(180° － 50°) ÷2 ＝ 65°； 当底角为 50°，如∠B＝50°时，则另两个角∠C＝50°，∠A＝180° － 50° × 2 ＝ 80°.
3. 在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，∠BAC ＝ 110°， AD⊥BC. 求∠B、∠C、∠BAD、∠CAD 的度数.
第2课时 等腰三角形的判定
试说出“等腰三角形的两底角相等”这个命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题.
逆命题：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形. 这是一个真命题.
如图，在△ABC 中，∠B＝∠C. 作△ABC 的角平分线AD. 由∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C，AD＝AD，可证△ABD ≌ △ACD. 可知AB＝AC.
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).
三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形.
在△ ABC 中， ∵∠B＝∠C， ∴ AB＝AC.
等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有什么特殊的性质?
等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴.
由AB＝AC，可证∠B＝∠C；由BA＝BC，可证∠C＝∠A.所以∠A＝∠B＝∠C＝60°.
等边三角形的各角都等于 60°.
1. 如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形吗?
由∠A＝∠B、∠B＝∠C，可证 AC＝BC、AB＝AC.所以 AB＝BC＝AC，△ABC是等边三角形.
2. 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形吗? 为什么?
如果顶角是60°，那么两个底角相等，也都是60°.
如果一个底角是60°那么另一个底角也是60°，并且顶角也是60°.
三个角都相等的三角形是等边三角形. 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
1. 如图 ①，在一张长方形纸片上任意画一条线段 AB，将纸片沿线段 AB 折叠(如图②). 重叠部分的 △ABC 是等腰三角形吗?试说明理由.
解：△ABC 是等腰三角形.
理由如下：由折叠，可知∠1＝∠2，由长方形对边平行，可得∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴△ABC 是等腰三角形.
2. 图中的每一个三角形都是等边三角形，试画出这个图 形所有的对称轴.
解：这个图形有 6条对称轴，对称轴略.
3. 如图，BD、CE 是等边三角形ABC 的中线. 求∠1、∠2、∠3、∠4 的度数.
∴∠CEB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°.∴∠1＝180°－∠CEB－∠ABD ＝180°－90°－30°＝60°.∴∠2＝∠1＝60°，∴∠3＝180°－∠1 ＝180°－60°＝120°，∴∠4＝∠3＝120°.
例2 已知：如图 2－32，∠EAC 是△ABC的外角，AD 平分∠EAC，AD∥BC. 求证：AB＝AC.
证明：∵AD∥BC. ∴∠EAD＝∠B， ∠DAC＝∠C. ∴∠EAD＝∠DAC， ∴ ∠B＝∠C. ∴ AB＝AC(等角对等边).
在图中，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD 平分∠EAC 吗?试证明你的结论.
证明如下： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C， ∴∠EAD＝∠DAC， ∴AD 平分∠EAC.
第3课时 直角三角形斜边上的中线的性质
剪一张直角三角形纸片，如图 2－33(1).
把纸片按图 2－33(2) 所示的方法折叠，再把纸片展平后按图 2－33(3)所示的方法折叠，你有什么发现?
两条折痕与斜边相交于同一点.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
在图2－34 中，如果∠A＝30，那么BC与AB 有怎样的数量关系?试证明你的结论.
1. 如图，在Rt△ABC中，CD 是斜边AB上的中线， DE⊥AC，垂足为 E. (1) 如果 CD＝2.4 cm，那么AB＝_____cm；
(2) 写出图中相等的线段和角.
解：相等的线段有 BD＝AD＝CD，CE＝AE； 相等的角有∠A＝∠ACD， ∠B＝∠BCD＝∠CDE＝∠ADE， ∠BCA＝∠DEC＝∠DEA.
2. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线 BD、 CE 相交于点O. 求证：OB＝OC.
1. (1) 已知等腰三角形的周长为 10，底边长为 4， 求它的腰长； (2) 已知等腰三角形的周长为 10，腰长为 4， 求它的底边长；
解：10－4×2＝2，即它的底边长为 2.
(3) 已知等腰三角形的周长为 12，一边长为 5，求它的 另外两边的长.
2. 用三角尺画一个等腰三角形的对称轴，你有几种画法?
解：主要有4种画法： ①用三角尺量出等腰三角形的底边的长，找出中点，再过中点与顶角的顶点画直线； ②用三角尺过顶角的顶点作底边的垂线；
③折叠等腰三角形，使两腰重合，用三角尺沿折痕画直线； ④ 折叠三角形，分别让底边与两腰重合，折痕即为等腰三角形的两底角的平分线，过其交点与顶角的顶点作出直线，即为对称轴.
3. 在等腰三角形 ABC 中，∠A＝4∠B，根据下列条件 分别求∠C的度数 ： (1) ∠A是顶角；
解：∵△ABC 是等腰三角形，∠A 是顶角， ∴∠B＝∠C. 又∵∠A＝4∠B，∠A＋∠B＋∠C＝ 180°， ∴4∠B＋∠B＋∠B ＝ 180°. ∴∠B＝30°. ∴∠C＝30°.
(2) ∠A 是底角.
解：∵△ABC是等腰三角形，∠A是底角， 且∠A＝4∠B， ∴ ∠B 只能是顶角， ∴∠C＝∠A＝4∠B， ∵∠A＋∠B＋∠C＝ 180°， ∴4∠B＋∠B＋4∠B＝180°， ∴∠B＝20°. ∴∠C＝4∠B＝80°.
4. 如图，在三角测平架中，AB＝AC，在 BC的中点 D 处 挂一重锤，让它自然下垂。如果调整架身，使重锤线 正好经过点 A，那么就能确认 BC 处于水平位置。 为什么?
解：∵AB＝AC，BD＝DC， ∴AD⊥BC (等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合). 由题意知 AD 是重锤线所在的直线，所以 BC处于水平位置.
5. 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在AB 上，根 据下列条件分别求∠BCD的度数： (1) CD是△ABC的角平分线； (2) CD是△ABC的高； (3) CD ＝ AD； (4) CD ＝ CB.
(2)∵CD⊥AB， ∴∠BCD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.(3)∵CD＝AD， ∴∠A＝∠ACD＝40°， ∴∠BCD＝70°－40°＝30°.(4)∵CD＝CB， ∴∠B＝∠BDC＝70°， ∴∠BCD＝180°－70°－70°＝40°.
6. 在△ABC中，∠A＝40. 当∠B为多少度时，△ABC是 等腰三角形?
解：当∠A 是顶角时，∠B等于70°，△ABC是等腰三角形；当∠A 是底角，∠B 也是底角时，∠B＝40°，△ABC 是等腰三角形；当∠A 是底角，∠C 是底角时，∠B ＝100°，△ABC 是等腰三角形.
7. 如图，∠C＝36°，∠B＝72°，∠BAD＝36°. (1) 求∠1和∠2的度数；
解：∵∠C＝36°，∠B＝72°， ∴∠BAC＝180°－72°－36°＝72°. ∵∠BAD＝36°， ∴∠1＝∠BAC－∠BAD＝36°， ∴∠2＝∠1＋∠C＝36°＋36°＝72°.
(2) 找出图中的等腰三角形，并加以证明.
解：图中的等腰三角形有 3个： △ABD，△ACD，△ABC.
证明如下： ∵∠2＝∠B＝72°， ∴ AD＝AB(等角对等边) 即△ABD 是等腰三角形.
∵∠1＝∠C＝36°，∴ AD＝CD(等角对等边). 即△ACD 是等腰三角形.∵∠BAC＝∠B＝72°，∴AC＝BC(等角对等边)，∴△ABC 是等腰三角形.
8. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， 点 D、E 在 BC 上，△DAB，△EAC. 求证：△AED是等边三角形，
∴∠CAD＝120°－90°＝30°，∴∠ADE＝60°.同理，∠BAE＝30°，∠AED＝60°.∴∠EAD＝120°－∠BAE－∠CAD＝60°.∴∠EAD＝∠ADE＝∠AED，∴△AED 是等边二角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
9. 已知：如图，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD. 求证：BD＝CD.
证明：如图所示，连接 BC.
在△ABC 中， ∵AB＝AC. ∴∠ABC＝∠ACB(等边对等角).又∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ABD－∠ABC＝∠ACD－∠ACB， 即∠CBD＝∠BCD. ∴ BD＝CD(等角对等边).
10. 如图，△ABC和△CDE 都是等边三角形，且点 A、C、 E 在一条直线上，AD与BE 相等吗? 证明你的结论.
解：AD＝BE.证明如下：∵△ABC与△CDE 都是等边三角形，∴ AC＝BC，CD＝CE， ∠ACB＝∠DCE＝60°.
11. 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC 的中点. (1) AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长； (2) EF与AD 有怎样的位置关系? 证明你的结论.
(1) AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长；
∴ DE，DF 分别为 Rt△ABD 和Rt△ACD 斜边上的中线.∴ DE＝AB＝5，DF＝AC＝4 (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴四边形AEDF 的周长为 AE＋ED＋DF＋FA＝5＋5＋4＋4 ＝18.
证明如下：∵DE为 Rt△ABD斜边上的中线， ∴AE＝DE. ∴点E在AD的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). 同理，点F也在AD的垂直平分线上. ∴ EF垂直平分AD(两点确定一条直线).
(2) EF与AD 有怎样的位置关系? 证明你的结论.
12. 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上， 且 AE＝CF . 求证：DE＝DF.
证明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B(等边对等角).∵∠ACB＝90，D是AB 的中点，
∴CD＝AD＝BD (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).∴∠B＝∠DCB，∴∠DCB＝∠A.在△ADE 和△CDF 中，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴DE＝DF.
小学里已经学过：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形称为梯形，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为腰.
如图(1)，在等腰三角形纸片 ABC 上，画底边 BC 的平行线 DE，可得到一个梯形 DBCE. 由∠B＝∠C，DE // BC， 可知∠ADE＝∠AED，于是 AD ＝AE. 又AB＝AC，从而 DB＝ EC. 像梯形 DBCE，两腰相等的梯形称为等腰梯形.
如果把如图(1)的等腰三角形纸片 ABC 沿顶角平分线 AM 折，那么AB与AC 重合，由于AD＝AE，可知点D与点E 重合 (如图(2))，于是 MB＝MC，ND＝NE。
由此，我们可以得到如下结论：
等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴. 等腰梯形在同一底上的两个角相等. 等腰梯形的对角线相等.
利用等腰梯形与等腰三角形的内在联系，还可以研究：具备什么条件的梯形是等腰梯形?
如图(3)，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝∠C.
若 BA、CD 的延长线交于点 E，则 ∠EAD ＝∠B＝∠C＝∠EDA，所以△EAD、△EBC 都是等腰三角形，于是 EB－EA ＝ EC－ED，即AB＝DC，梯形 ABCD 是等腰梯形.
如图(4)，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC＝BD.
若过点D作 DE∥AC，交 BC 的延长线于点E，则可证 △ADC≌△ECD，得 DE＝AC＝DB. 所以∠DBC＝∠E＝∠ACB. 于是，由△ABC≌△DCB. 可得 AB＝DC，梯形ABCD 是等腰梯形.
由此可知： 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 对角线相等的梯形是等腰梯形.
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法. 例如，在△ABC 中，AB＞AC(如图 2－35(1))，怎样证明∠C＞∠B 呢?
把AC沿∠A的平分线 AD 翻折，因为 AB＞AC，所以点 C 落在AB上的点C处(如图2－35 (2)). 于是，由∠ACD＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B.
请选用下面提供的活动材料，折纸并证明. 1.用一张正方形纸片折等边三角形.
(1) 如图 2－36，把正方形纸片 ABCD 对折后再展开，折痕为 EF；
(2) 如图 2 － 37，将点A翻折到EF 上的点A处，且使折痕过点 B；
(3) 如图2－38，沿 A′C 折叠，得△A′BC(如图2－39).
你能证明 △A′BC 是等边三角形吗?
2. 用纸条折一个正五边形.
(1) 把纸条打好一个结(如图2－40)，再拉紧压平 (如图2－41)；
(2) 沿图2－42中的虚线剪开，就得五边形ABCDE (如图2－43).
各边相等、各角相等的五边形是正五边形。你能证明五边形 ABCDE 是正五边形吗?
2 . 5等腰三角形的轴对称性
看到下边三角形了吗，它有何特点呢？我们今天来探讨一下等腰三角形的性质.
第1课时 等腰三角形的性质
把等腰三角形纸片沿顶角平分线折叠，你有什么发现?
如图(1)，在△ABC 中，AB ＝AC沿∠BAC 的平分线AD 把△ABD 翻折.
因为∠BAD＝∠CAD， 所以AB 落在射线 AC 上. 因为AB＝AC， 所以点 B 与点 C 重合， 从而△ABD 与△ACD 重合(2).
等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴.
由 △ABD 与△ACD 重合，可知∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC＝90°，BD＝CD.
于是，我们得到如下定理：
等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
你还可用什么方法证明上述定理?
作顶角的平分线，用“SAS”证明.
作底边上的中线，用“SSS”证明.
也可以作底边上的高，用“HL”证明.
几何语言：如图，在△ ABC 中， ∵ AB＝AC， ∴∠B ＝∠ C.
性质1 等腰三角形的两底角相等 (简称“等边对等角”).
作用：是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.
性质2 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”).
(1) ∵ AB＝AC，AD⊥BC， ∴ AD 平分∠ BAC，BD＝DC.(2)∵ AB＝AC，BD＝DC， ∴ AD⊥BC，AD 平分∠BAC.(3)∵ AB＝AC，AD 平分∠BAC， ∴ BD＝DC，AD ⊥ BC．
如图， 在△ABC 中，AB＝AC，AD 平分∠BAC. (1) 求∠ADB 的度数； (2) 若∠BAC＝100°，求∠B、∠C 的度数； (3) 若BC＝3 cm，求BD 的长.
(1) 在等腰三角形中，运用“三线合一”时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”. 根据等腰三角形的“三线合一”的性质可以得到等线段、等角以及两条线段互相垂直． (2) “等边对等角”的前提是在同一个三角形中.
(1) 求∠ADB 的度数；
解：∵ AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴ AD ⊥ BC， ∴∠ ADB＝90° .
(2) 若∠BAC＝100°，求∠B、∠C 的度数；
(3) 若BC＝3 cm，求BD 的长.
按下列作法，用直尺和圆规作等腰三角形 ABC，使底边 BC＝a，高AD＝h.
例 1 已知：如图2－30，在△ABC 中，AB＝AC，点D 在BC 上，目AD＝BD. 求证：∠ADB＝∠BAC.
证明：∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠1(等边对等角)∴∠C＝∠1.∵∠ADB 是△ADC 的外角，∴∠ADB＝∠C＋∠2.∴∠ADB＝∠1＋∠2＝∠BAC.
1. 在 △ABC 中，AB＝AC，点D在 BC 上. 如果∠BAD ＝∠CAD，那么AD⊥BC，BD＝CD； 如果 BD＝CD，那么∠_______＝∠_______，________⊥________； 如果 AD⊥BC，那么________________，________.
2. 在 △ABC 中，AB＝AC. (1) 如果∠B＝70°，那么∠C＝_______°， ∠A＝_______°； (2) 如果∠A＝70°，那么∠B＝ _______°， ∠C＝_______°； (3) 如果有一个角等于120°，那么∠A＝ _______°， ∠B ＝_______°，∠C ＝ _______°.
(4) 如果有一个角等于 50°，那么另两个角等于多少度?
解：当顶角为 50°，即∠A ＝ 50°时，另两个角∠B＝∠C ＝(180° － 50°) ÷2 ＝ 65°； 当底角为 50°，如∠B＝50°时，则另两个角∠C＝50°，∠A＝180° － 50° × 2 ＝ 80°.
3. 在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，∠BAC ＝ 110°， AD⊥BC. 求∠B、∠C、∠BAD、∠CAD 的度数.
第2课时 等腰三角形的判定
试说出“等腰三角形的两底角相等”这个命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题.
逆命题：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形. 这是一个真命题.
如图，在△ABC 中，∠B＝∠C. 作△ABC 的角平分线AD. 由∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C，AD＝AD，可证△ABD ≌ △ACD. 可知AB＝AC.
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).
三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形.
在△ ABC 中， ∵∠B＝∠C， ∴ AB＝AC.
等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有什么特殊的性质?
等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴.
由AB＝AC，可证∠B＝∠C；由BA＝BC，可证∠C＝∠A.所以∠A＝∠B＝∠C＝60°.
等边三角形的各角都等于 60°.
1. 如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形吗?
由∠A＝∠B、∠B＝∠C，可证 AC＝BC、AB＝AC.所以 AB＝BC＝AC，△ABC是等边三角形.
2. 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形吗? 为什么?
如果顶角是60°，那么两个底角相等，也都是60°.
如果一个底角是60°那么另一个底角也是60°，并且顶角也是60°.
三个角都相等的三角形是等边三角形. 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
1. 如图 ①，在一张长方形纸片上任意画一条线段 AB，将纸片沿线段 AB 折叠(如图②). 重叠部分的 △ABC 是等腰三角形吗?试说明理由.
解：△ABC 是等腰三角形.
理由如下：由折叠，可知∠1＝∠2，由长方形对边平行，可得∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴△ABC 是等腰三角形.
2. 图中的每一个三角形都是等边三角形，试画出这个图 形所有的对称轴.
解：这个图形有 6条对称轴，对称轴略.
3. 如图，BD、CE 是等边三角形ABC 的中线. 求∠1、∠2、∠3、∠4 的度数.
∴∠CEB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°.∴∠1＝180°－∠CEB－∠ABD ＝180°－90°－30°＝60°.∴∠2＝∠1＝60°，∴∠3＝180°－∠1 ＝180°－60°＝120°，∴∠4＝∠3＝120°.
例2 已知：如图 2－32，∠EAC 是△ABC的外角，AD 平分∠EAC，AD∥BC. 求证：AB＝AC.
证明：∵AD∥BC. ∴∠EAD＝∠B， ∠DAC＝∠C. ∴∠EAD＝∠DAC， ∴ ∠B＝∠C. ∴ AB＝AC(等角对等边).
在图中，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD 平分∠EAC 吗?试证明你的结论.
证明如下： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C， ∴∠EAD＝∠DAC， ∴AD 平分∠EAC.
第3课时 直角三角形斜边上的中线的性质
剪一张直角三角形纸片，如图 2－33(1).
把纸片按图 2－33(2) 所示的方法折叠，再把纸片展平后按图 2－33(3)所示的方法折叠，你有什么发现?
两条折痕与斜边相交于同一点.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
在图2－34 中，如果∠A＝30，那么BC与AB 有怎样的数量关系?试证明你的结论.
1. 如图，在Rt△ABC中，CD 是斜边AB上的中线， DE⊥AC，垂足为 E. (1) 如果 CD＝2.4 cm，那么AB＝_____cm；
(2) 写出图中相等的线段和角.
解：相等的线段有 BD＝AD＝CD，CE＝AE； 相等的角有∠A＝∠ACD， ∠B＝∠BCD＝∠CDE＝∠ADE， ∠BCA＝∠DEC＝∠DEA.
2. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线 BD、 CE 相交于点O. 求证：OB＝OC.
1. (1) 已知等腰三角形的周长为 10，底边长为 4， 求它的腰长； (2) 已知等腰三角形的周长为 10，腰长为 4， 求它的底边长；
解：10－4×2＝2，即它的底边长为 2.
(3) 已知等腰三角形的周长为 12，一边长为 5，求它的 另外两边的长.
2. 用三角尺画一个等腰三角形的对称轴，你有几种画法?
解：主要有4种画法： ①用三角尺量出等腰三角形的底边的长，找出中点，再过中点与顶角的顶点画直线； ②用三角尺过顶角的顶点作底边的垂线；
③折叠等腰三角形，使两腰重合，用三角尺沿折痕画直线； ④ 折叠三角形，分别让底边与两腰重合，折痕即为等腰三角形的两底角的平分线，过其交点与顶角的顶点作出直线，即为对称轴.
3. 在等腰三角形 ABC 中，∠A＝4∠B，根据下列条件 分别求∠C的度数 ： (1) ∠A是顶角；
解：∵△ABC 是等腰三角形，∠A 是顶角， ∴∠B＝∠C. 又∵∠A＝4∠B，∠A＋∠B＋∠C＝ 180°， ∴4∠B＋∠B＋∠B ＝ 180°. ∴∠B＝30°. ∴∠C＝30°.
(2) ∠A 是底角.
解：∵△ABC是等腰三角形，∠A是底角， 且∠A＝4∠B， ∴ ∠B 只能是顶角， ∴∠C＝∠A＝4∠B， ∵∠A＋∠B＋∠C＝ 180°， ∴4∠B＋∠B＋4∠B＝180°， ∴∠B＝20°. ∴∠C＝4∠B＝80°.
4. 如图，在三角测平架中，AB＝AC，在 BC的中点 D 处 挂一重锤，让它自然下垂。如果调整架身，使重锤线 正好经过点 A，那么就能确认 BC 处于水平位置。 为什么?
解：∵AB＝AC，BD＝DC， ∴AD⊥BC (等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合). 由题意知 AD 是重锤线所在的直线，所以 BC处于水平位置.
5. 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在AB 上，根 据下列条件分别求∠BCD的度数： (1) CD是△ABC的角平分线； (2) CD是△ABC的高； (3) CD ＝ AD； (4) CD ＝ CB.
(2)∵CD⊥AB， ∴∠BCD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.(3)∵CD＝AD， ∴∠A＝∠ACD＝40°， ∴∠BCD＝70°－40°＝30°.(4)∵CD＝CB， ∴∠B＝∠BDC＝70°， ∴∠BCD＝180°－70°－70°＝40°.
6. 在△ABC中，∠A＝40. 当∠B为多少度时，△ABC是 等腰三角形?
解：当∠A 是顶角时，∠B等于70°，△ABC是等腰三角形；当∠A 是底角，∠B 也是底角时，∠B＝40°，△ABC 是等腰三角形；当∠A 是底角，∠C 是底角时，∠B ＝100°，△ABC 是等腰三角形.
7. 如图，∠C＝36°，∠B＝72°，∠BAD＝36°. (1) 求∠1和∠2的度数；
解：∵∠C＝36°，∠B＝72°， ∴∠BAC＝180°－72°－36°＝72°. ∵∠BAD＝36°， ∴∠1＝∠BAC－∠BAD＝36°， ∴∠2＝∠1＋∠C＝36°＋36°＝72°.
(2) 找出图中的等腰三角形，并加以证明.
解：图中的等腰三角形有 3个： △ABD，△ACD，△ABC.
证明如下： ∵∠2＝∠B＝72°， ∴ AD＝AB(等角对等边) 即△ABD 是等腰三角形.
∵∠1＝∠C＝36°，∴ AD＝CD(等角对等边). 即△ACD 是等腰三角形.∵∠BAC＝∠B＝72°，∴AC＝BC(等角对等边)，∴△ABC 是等腰三角形.
8. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， 点 D、E 在 BC 上，△DAB，△EAC. 求证：△AED是等边三角形，
∴∠CAD＝120°－90°＝30°，∴∠ADE＝60°.同理，∠BAE＝30°，∠AED＝60°.∴∠EAD＝120°－∠BAE－∠CAD＝60°.∴∠EAD＝∠ADE＝∠AED，∴△AED 是等边二角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
9. 已知：如图，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD. 求证：BD＝CD.
证明：如图所示，连接 BC.
在△ABC 中， ∵AB＝AC. ∴∠ABC＝∠ACB(等边对等角).又∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ABD－∠ABC＝∠ACD－∠ACB， 即∠CBD＝∠BCD. ∴ BD＝CD(等角对等边).
10. 如图，△ABC和△CDE 都是等边三角形，且点 A、C、 E 在一条直线上，AD与BE 相等吗? 证明你的结论.
解：AD＝BE.证明如下：∵△ABC与△CDE 都是等边三角形，∴ AC＝BC，CD＝CE， ∠ACB＝∠DCE＝60°.
11. 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC 的中点. (1) AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长； (2) EF与AD 有怎样的位置关系? 证明你的结论.
(1) AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长；
∴ DE，DF 分别为 Rt△ABD 和Rt△ACD 斜边上的中线.∴ DE＝AB＝5，DF＝AC＝4 (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴四边形AEDF 的周长为 AE＋ED＋DF＋FA＝5＋5＋4＋4 ＝18.
证明如下：∵DE为 Rt△ABD斜边上的中线， ∴AE＝DE. ∴点E在AD的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). 同理，点F也在AD的垂直平分线上. ∴ EF垂直平分AD(两点确定一条直线).
(2) EF与AD 有怎样的位置关系? 证明你的结论.
12. 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上， 且 AE＝CF . 求证：DE＝DF.
证明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B(等边对等角).∵∠ACB＝90，D是AB 的中点，
∴CD＝AD＝BD (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).∴∠B＝∠DCB，∴∠DCB＝∠A.在△ADE 和△CDF 中，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴DE＝DF.
小学里已经学过：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形称为梯形，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为腰.
如图(1)，在等腰三角形纸片 ABC 上，画底边 BC 的平行线 DE，可得到一个梯形 DBCE. 由∠B＝∠C，DE // BC， 可知∠ADE＝∠AED，于是 AD ＝AE. 又AB＝AC，从而 DB＝ EC. 像梯形 DBCE，两腰相等的梯形称为等腰梯形.
如果把如图(1)的等腰三角形纸片 ABC 沿顶角平分线 AM 折，那么AB与AC 重合，由于AD＝AE，可知点D与点E 重合 (如图(2))，于是 MB＝MC，ND＝NE。
由此，我们可以得到如下结论：
等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴. 等腰梯形在同一底上的两个角相等. 等腰梯形的对角线相等.
利用等腰梯形与等腰三角形的内在联系，还可以研究：具备什么条件的梯形是等腰梯形?
如图(3)，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝∠C.
若 BA、CD 的延长线交于点 E，则 ∠EAD ＝∠B＝∠C＝∠EDA，所以△EAD、△EBC 都是等腰三角形，于是 EB－EA ＝ EC－ED，即AB＝DC，梯形 ABCD 是等腰梯形.
如图(4)，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC＝BD.
若过点D作 DE∥AC，交 BC 的延长线于点E，则可证 △ADC≌△ECD，得 DE＝AC＝DB. 所以∠DBC＝∠E＝∠ACB. 于是，由△ABC≌△DCB. 可得 AB＝DC，梯形ABCD 是等腰梯形.
由此可知： 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 对角线相等的梯形是等腰梯形.
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法. 例如，在△ABC 中，AB＞AC(如图 2－35(1))，怎样证明∠C＞∠B 呢?
把AC沿∠A的平分线 AD 翻折，因为 AB＞AC，所以点 C 落在AB上的点C处(如图2－35 (2)). 于是，由∠ACD＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B.
请选用下面提供的活动材料，折纸并证明. 1.用一张正方形纸片折等边三角形.
(1) 如图 2－36，把正方形纸片 ABCD 对折后再展开，折痕为 EF；
(2) 如图 2 － 37，将点A翻折到EF 上的点A处，且使折痕过点 B；
(3) 如图2－38，沿 A′C 折叠，得△A′BC(如图2－39).
你能证明 △A′BC 是等边三角形吗?
2. 用纸条折一个正五边形.
(1) 把纸条打好一个结(如图2－40)，再拉紧压平 (如图2－41)；
(2) 沿图2－42中的虚线剪开，就得五边形ABCDE (如图2－43).
各边相等、各角相等的五边形是正五边形。你能证明五边形 ABCDE 是正五边形吗?
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