初中数学苏科版八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性测试题

2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】

   专题2.6等腰三角形的轴对称性（2）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2019秋•江苏省崇川区校级期中）△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，则AC等于（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

【分析】由在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，可判定△ABC是等边三角形，继而可求得答案．

【解析】∵在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC＝6．

故选：B．

2．（2019秋•江苏省封开县期末）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　）

A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm

【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．

【解析】∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，

∴斜边的长为2×2＝4cm．

故选：B．

3．（2019秋•江苏省靖江市校级月考）已知△ABC，∠BAC＝30°，AB＝8，要使满足条件的△ABC唯一确定，那么BC边长度x的取值范围是（　　）

A．4 B．8 C．x＞8 D．x＝4或x≥8

【分析】过B点作BD垂直于AC于D点，则△ABD是含30度角的直角三角形；再延长AD到E点，使DE＝AD，再分别讨论C点的位置即可．

【解析】过B点作BD垂直于AC于D点，则△ABD是含30度角的直角三角形；再延长AD到E点，使DE＝AD，

①当C点和D点重合时，△ABC是含30度角的直角三角形，BCAB＝4，这个三角形是唯一的；

②当C点和E点重合时，三角形ABC是等腰三角形，BC＝AB＝8，这个三角形也是唯一的；

③当C点在线段AE的延长线上时，即x大于BE，也就是x大于8，这时，三角形ABC也是唯一的；

综上所述，∠BAC＝30°，AB＝8，要使△ABC唯一确定，那么BC的长度x满足的条件是：x＝4或x≥8．

故选：D．

4．（2019•连云港模拟）如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】过P作PC垂直于MN，由等腰三角形三线合一性质得到MC＝CN，求出MC的长，在直角三角形OPC中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OC的长，由OC﹣MC求出OM的长即可．

【解析】过P作PC⊥MN，

∵PM＝PN，

∴C为MN中点，即MC＝NCMN＝1，

在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，

∴∠OPC＝30°，

∴OCOP＝4，

则OM＝OC﹣MC＝4﹣1＝3，

故选：A．

5．（2020•宝应县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝70°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠CED的度数是（　　）

A．20° B．40° C．55° D．70°

【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，根据直角三角形的性质得到ED＝EB，得到∠EDB＝∠B，根据三角形的外角的性质得到答案．

【解析】∵∠ACB＝90°，∠A＝70°，

∴∠B＝20°，

∵CD⊥AB，E是BC的中点，

∴EDBC＝EB，

∴∠EDB＝∠B＝20°，

∴∠CED＝∠EDB+∠B＝40°，

故选：B．

6．（2019秋•江苏省苏州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20，则△CDE的周长为（　　）

A．10 B．12 C．14 D．16

【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝DC，根据直角三角形的性质得到DEAC＝AE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．

【解析】∵AB＝AC，AD为BC边上的高，

∴BD＝DC，

∵△ABC的周长为20，

∴AC+CD＝10，

在Rt△ADC中，点E为AC的中点，

∴DEAC＝AE，

∴△CDE的周长＝DE+EC+DC＝AE+EC+CD＝AC+CD＝10，

故选：A．

7．（2020春•赣榆区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为（　　）

A．35° B．40° C．45° D．60°

【分析】先根据线段垂直平分线的性质及BE⊥AC得出△ABE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ABC的度数，由AB＝AC，AF⊥BC，可知BF＝CF，BF＝EF，再根据三角形外角的性质即可得出结论．

【解析】∵DE垂直平分AB，

∴AE＝BE，

∵BE⊥AC，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴∠BAC＝∠ABE＝45°，

又∵AB＝AC，

∴∠ABC（180°﹣∠BAC）（180°﹣45°）＝67.5°，

∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，

∵AB＝AC，AF⊥BC，

∴BF＝CF，

∴BF＝EF，

∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，

∴∠EFC＝∠BEF+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°．

故选：C．

8．（2019秋•江苏省常州期中）到直角三角形的三个顶点距离相等的点（　　）

A．是该三角形三个内角平分线的交点 

B．是斜边上的中点 

C．在直角三角形的外部 

D．在直角三角形的内部

【分析】根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答．

【解析】∵在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，

∴直角三角形斜边的中点到直角三角形的三个顶点距离相等的点，

故选：B．

9．（2019秋•江苏省滨海县期中）直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为（　　）

A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．

【解析】直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为3cm，

故选：C．

10．（2019春•秦淮区期末）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（　　）

A．a B．a C．a D．a

【分析】延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，证出四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，得出PE＝AH，PG＝CD．证出△FGP和△HPD也是等边三角形，得出PF＝PG＝CD，PD＝DH，得出PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC即可．

【解析】延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：

∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，

∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，

∴PE＝AH，PG＝CD．

又∵△ABC为等边三角形，

∴△FGP和△HPD也是等边三角形，

∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，

∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，

∴AC＝a；

故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填写在横线上）

11．（2020•邗江区二模）如图，直线l1∥l2，等边△ABC的顶点C在直线l2上，若边AB与直线l1的夹角∠1＝40°，则边AC与直线l2的夹角∠2＝　100　°．

【分析】根据等边三角形的性质可得角A等于60度，再根据两直线平行内错角相等即可求出角2的度数．

【解析】如图，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝60°，

∵∠3＝∠1＝40°，

∴∠4＝60°+40°＝100°，

∵l1∥l2，

∴∠2＝∠4＝100°．

故答案为：100．

12．（2019秋•江苏省邳州市期末）如图，点O是边长为2的等边三角形ABC内任意一点，且OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，则OD+OE+OF＝　　．

【分析】连接OA、OB、OC，过A作AQ⊥BC于Q，根据等边三角形的性质求出BQ，根据勾股定理求出AQ，再根据S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO求出即可．

【解析】连接OA、OB、OC，过A作AQ⊥BC于Q，

∵△ABC是边长为2的等边三角形，

∴AB＝AC＝BC＝2，BQ＝CQ1，

由勾股定理得：AQ，

∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO，

∴，

∴，

∴2×（OE+OF+OD），

解得：OD+OE+OF，

故答案为：．

13．（2019秋•江苏省鼓楼区期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D是BC上一点，BD＝2，DE⊥BC交AB于点E，则AE＝　2　．

【分析】在Rt△BED中，求出BE即可解决问题；

【解析】∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°，

∵DE⊥BC，

∴∠EDB＝90°，∠BED＝30°，

∵BD＝2，

∴EB＝2BD＝4，

∴AE＝AB﹣BE＝6﹣4＝2，

故答案为：2．

14．（2019秋•江苏省崇川区校级期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AB＝3，则AC＝　　．

【分析】根据题意作出直角三角形，然后确定答案即可．

【解析】如图，∵∠B＝90°，∠A＝30°，

∴设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，

∵AB＝3，

∴x2+32＝（2x）2

解得：x或（舍去），

∴AC＝2x＝2，

故答案为：2．

15．（2019秋•江苏省泉山区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，若MN＝2，则NF＝　1　．

【分析】连接AN，AM，根据线段垂直平分线性质求出BM＝AM，CN＝AN，根据等腰三角形的性质求出∠C，∠B，∠MAB，∠NAC，求出△AMN是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AN＝2＝CN，再求出NF即可．

【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，

∴∠C＝∠B（180°﹣∠A）＝30°，

连接AN，AM，

∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，

∴BM＝AM，CN＝AN，

∴∠MAB＝∠B＝30°，∠C＝∠NAC＝30°，

∴∠AMN＝∠B+∠MAB＝60°，∠ANM＝∠C+∠NAC＝60°，

∴AM＝AN，

∴△AMN是等边三角形，

∵MN＝2，

∴AN＝2＝CN，

在Rt△NFC中，∠C＝30°，∠NFC＝90°，CN＝2，

∴NFCN＝1，

故答案为：1．

16．（2019秋•江苏省仪征市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，BE是高，且点D、F分别是边AB、BC的中点，则△DEF的周长等于　16　．

【分析】由三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线性质求出DF、EF、DE的长，即可得出答案．

【解析】∵点D、F分别是边AB、BC的中点，AB＝AC＝12，BE是高，

∴DF是△ABC的中位线，AF⊥BC，BE⊥AC，

∴DFAC＝6，EFBC＝4，DEAB＝6，

∴△DEF的周长＝DF+EF+DE＝6+4+6＝16；

故答案为：16．

17．（2019秋•江苏省高淳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB中点，CD＝BC＝2，则AC＝　2　．

【分析】据直角三角形的性质得到△DBC为等边三角形，得到∠A＝30°，根据直角三角形的性质计算即可．

【解析】∵△ABC 为直角三角形，且D为AB的中点，

∴CD＝DB＝DA，

而CD＝BC，

∴△DBC为等边三角形，

∴∠B＝60°，

∴∠A＝30°，

∴AC，

故答案为：2．

18．（2019秋•江苏省铜山区期末）如图，点C为线段AB的中点，∠AMB＝∠ANB＝90°，则△CMN是　等腰　三角形．

【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得CM＝CNAB，可解答．

【解析】∵点C为线段AB的中点，∠AMB＝∠ANB＝90°，

∴CMAB，CNAB，

∴CM＝CN，

∴△CMN是等腰三角形；

故答案为：等腰．

三、解答题（本大题共4小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2019秋•江苏省东海县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是AB边上的中线，那么BC与AB有怎样的数量关系？试证明你的结论．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得出BD＝AD＝CD，根据等边三角形的判定得出△BCD是等边三角形，求出BC＝BD，即可得出答案．

【解析】AB＝2BC，

证明：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，

∴CD＝BD＝AD，

∵∠B＝60°，

∴△BDC是等边三角形，

∴BC＝BD，

∴CB＝BD＝AD，

即AB＝2BC．

20．（2019秋•江苏省无锡期末）如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．

【分析】由直角三角斜边上的中线性质得出PA＝PCCD，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠APD＝2∠ACD，同理得出∠DPE＝2∠DCB，PA＝PE，再证出∠APE＝2∠ACB＝60°，即可得出结论．

【解析】△PAE的形状为等边三角形；理由如下：

∵在Rt△CAD中，∠CAD＝90°，P是斜边CD的中点，

∴PA＝PCCD，

∴∠ACD＝∠PAC，

∴∠APD＝∠ACD+∠PAC＝2∠ACD，

同理：在Rt△CED中，PE＝PCCD，∠DPE＝2∠DCB，

∴PA＝PE，即△PAE是等腰三角形，

∴∠APE＝2∠ACB＝2×30°＝60°，

∴△PAE是等边三角形．

21．（2019•六合区模拟）图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．

【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．

【解析】如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则

Rt△ACE中，AEAC54＝27（cm），

同理可得，BF＝27cm，

又∵点A与B之间的距离为10cm，

∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），

答：当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为64cm．

22．（2019秋•江苏省邗江区月考）在等边△ABC中，

（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；

（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．

①依题意将图2补全；

②求证：PA＝PM．

【分析】（1）根据三角形的外角性质得到∠APC，由等腰三角形的性质即可得到结论；

（2）①根据题意补全图形即可；

②过点A作AH⊥BC于点H，根据等边三角形的判定和性质解答即可．

【解析】（1）∵△ABC为等边三角形

∴∠B＝60°

∴∠APC＝∠BAP+∠B＝80°

∵AP＝AQ

∴∠AQB＝∠APC＝80°，

（2）①补全图形如图所示，

②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．

由△ABC为等边三角形，AP＝AQ，

可得∠PAB＝∠QAC，

∵点Q，M关于直线AC对称，

∴∠QAC＝∠MAC，AQ＝AM

∴∠MAC+∠PAC＝∠PAB+∠PAC＝60°，

∴△APM为等边三角形

∴PA＝PM．