2023年新八年级数学人教版暑假弯道超车自学预习——第13讲 等边三角形及含30°角的直角三角形的性质

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·模块一 等边三角形的性质和判定
·模块二 含30°角的直角三角形的性质
·模块三 课后作业
模块一
等边三角形的性质和判定
等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
【考点1 等边三角形的性质】
【例1.1】如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则∠1+∠2+∠3的度数为（ ）
A．90°B．120°C．180°D．无法确定
【答案】C
【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：∵图中是三个等边三角形，
∴∠1＝180°﹣60°﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣60°﹣∠ACB＝120°﹣∠ACB，∠3＝180°﹣60°﹣∠BAC＝120°﹣∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣（∠ABC+∠ACB+∠BAC）＝180°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．
【例1.2】已知直线a∥b，将等边三角形△ABC按如图所示的位置摆放，若∠1=35°，则∠2的度数为（ ）
A．95°B．85°C．75°D．70°
【答案】B
【分析】如图，根据平行线的性质得∠2=∠5，由等边三角形的性质得∠C=60°，再由对顶角性质得∠3=∠1=35°，∠4=∠5，最后由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，
∵a∥b，
∴∠2=∠5，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵∠3=∠1=35°，∠4=∠5，∠3+∠4+∠C=180°，
∴∠1+∠2+∠C=180°，
∴∠2=85°，
故选：B．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，对顶角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质，对顶角的性质是解题的关键．
【例1.3】如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，试说明：△DAB ≌△DCE．

【答案】见解析
【分析】由△DAC和△DBE都是等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为60度，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证．
【详解】解：证明：∵△DAC和△DBE都是等边三角形，
∴DA=DC，DB=DE，∠ADC=∠BDE=60°，
∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB，
即∠ADB=∠CDE，
在△DAB和△DCE中，
DA=DC∠ADB=∠CDEDB=DE
∴△DAB≌△DCE(SAS)．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
【变式1.1】如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠a＋∠β的度数是（ ）
A．220°B．180°C．270°D．240°
【答案】D
【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的定义可得∠B=∠C=60°，再根据四边形的内角和即可得．
【详解】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠a+∠β+∠B+∠C=180°×(4−2)=360°，即∠a+∠β+60°+60°=360°，
∴∠a+∠β=240°，
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和、等边三角形，熟练掌握多边形的内角和是解题关键．
【变式1.2】如图，A，B，D三点在同一直线上，△ABC和△BDE均为等边三角形，连结AE，CD，若∠BAE=39°，那么∠AEB=______．
【答案】21°
【分析】由等边三角形的性质得出∠DBE=60°，根据∠DBE=∠BAE+∠AEB 可求出答案．
【详解】解：∵△BDE是等边三角形，
∴∠DBE=60°，
∵∠DBE=∠BAE+∠AEB ，
∴∠AEB=60°−∠BAE=60°−39°=21° ，
故答案为：21°．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
【变式1.3】如图，在等边△ABC中，点E为AB上一点，点F为AC上一点，且AE=CF．求证：CE=BF．

【答案】证明见解析
【分析】只需要利用SAS证明△ACE≌△CBF即可证明CE=BF．
【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAE=∠BCF=60°，AC=CB，
又∵AE=CF，
∴△ACE≌△CBFSAS，
∴CE=BF．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质是解题的关键．
【考点2 等边三角形的判定】
【例2.1】下列说法不正确的是（ ）
A．有一个角为60°的三角形是等边三角形；B．三边相等的三角形是等边三角形
C．三个角相等的三角形是等边三角形D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【答案】A
【分析】根据等边三角形的判定方法进行判断即可．
【详解】解：A、有一个角是60°的三角形，其他两个角度数不能确定，这样的三角形不一定是等边三角形，本选项符合题意；
B、三边相等的三角形是等边三角形，正确，本选项不符合题意；
C、三个角都相等的三角形是等边三角形，正确，本选项不符合题意；
D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，正确，本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定方法，三条边都相等的三角形为等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【例2.2】如图，已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OB对称，点P2与点P1关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ）
A．含30°角的直角三角形B．等边三角形
C．顶角是30°的等腰三角形D．视点P的位置而定
【答案】B
【分析】点P1与点P关于OB对称，点P2与点P1关于OA对称，推出OP=OP1=OP2，∠AOP=∠AOP2，∠BOP=∠BOP1，推出∠P1OP2=60°，由此即可判断．
【详解】解：如图，
∵点P1与点P关于OB对称，点P2与点P1关于OA对称，
∴OP=OP1=OP2，∠AOP=∠AOP2，∠BOP=∠BOP1，
∵∠AOB=30°，
∴∠P1OP2=2∠AOP+2∠BOP=2∠AOP+∠BOP=2∠AOB=60°，
∴△P1OP2是等边三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称的性质、等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用对称的性质解决问题．
【例2.3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AE是∠BAC的平分线，CD是AB边上的高，请从图中找出一个等边三角形，并说明理由．
【答案】见解析
【分析】结论：△CEF为等边三角形，想办法证明∠AEC=∠BCD=60°即可．
【详解】解：结论：△CEF为等边三角形，
理由：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=12∠CAB=30°，
∴∠AEC=90°−∠CAE=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD=90°−∠B=60°
∴∠CEF=∠ECF=∠CFE=60°，
∴△CEF是等边三角形．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的高、等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2.1】下列图形中，一定是等边三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据等边三角形的判定可得，含有60°的等腰三角形是等边三角形，据此即可求解．
【详解】解：∵含有60°的等腰三角形是等边三角形，A、B、C、D都是等腰三角形，只有B选项有一个内角是60°，则B选项是等边三角形，
故选B
【点睛】本题考查了等边三角形的判定，掌握“含有60°的等腰三角形是等边三角形”是解题的关键．
【变式2.2】如图，在△ABC中，∠C=60°，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】由线段中点的性质得出AD=BD，进而可利用“HL”证明Rt△ADE≌Rt△BDF，得出∠A=∠B，进而可证CB=CA，再结合∠C=60°，即得出△ABC是等边三角形．
【详解】证明：∵D为AB的中点，
∴AD=BD，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED=∠BFD=90°
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
AD=BDDE=DF
∴Rt△ADE≌Rt△BDFHL，
∴∠A=∠B，
∴CB=CA，
∵∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】本题考查线段中点的性质，三角形全等的判定和性质，等角对等边，等边三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．
【变式2.3】已知，如图，∠B=∠C，AB∥DE，EC=ED，求证：△DEC为等边三角形．

【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质和∠B=∠C可得∠DEC=∠C，得到DE=CD，再由EC=ED可得DE=CD=EC，即可证明．
【详解】证明：∵AB ∥DE，
∴∠DEC=∠B，
∵∠B=∠C，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=CD，
∵EC=ED，
∴DE=CD=EC，
∴ △DEC为等边三角形．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定方法．
【考点3 等边三角形的性质与判定的综合应用】
【例3.1】如图，△ABC中，BC=8，AD是中线，∠ADB=60°，将△ADB沿AD折叠至△ADB′，则点C到B′的距离是（ ）
A．4B．23C．3D．22
【答案】A
【分析】先由中线的定义得到BD=CD=4，再由折叠的性质得到B′D=BD=4，∠ADB′=∠ADB=60°，进而证明△CDB′是等边三角形，得到B′C=CD=4，由此即可得到答案．
【详解】解：∵AD是中线，
∴BD=CD=12BC=4，
由折叠的性质可得B′D=BD=4，∠ADB′=∠ADB=60°，
∴B′D=CD=4，∠B′DC=180°−∠ADB−∠ADB′=60°，
∴△CDB′是等边三角形，
∴B′C=CD=4，
∴点C到B′的距离是4，
故选A．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，证明△CDB′是等边三角形是解题的关键．
【例3.2】如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，作∠DAE=∠BAC，且AD=AE，连接CE．若CE∥AB，∠BAD=40°，则∠DEC的度数为______．
【答案】20°
【分析】证明△ABD≌△ACE(SAS)，可得∠B=∠ACE，可证△ABC是等边三角形，可得∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，即可求解．
【详解】解：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠B=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠BAC=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∴∠DEC=180°−40°−60°−60°=20°，
故答案为：20°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明△ABC是等边三角形是解题的关键．
【例3.3】如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．

(1)求证：BD=CE；
(2)求证：△ABM≌△ACN；
(3)求证：△AMN是等边三角形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．
（2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)．
（3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形．
【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE．
（2）由(1)知△ABD≌△ACE，
∴∠ABM=∠ACN．
∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠CAN=60°=∠BAC．
在△ABM和△ACN中，∠BAM=∠CANAB=AC∠ABM=∠ACN
∴△ABM≌△ACN(ASA)．
（3）由(2)知△ABM≌△ACN，
∴AM=AN，
∵∠CAN=60°，
∴△AMN是等边三角形．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键．
【变式3.1】将两个直角三角形如图放置，其中∠BAC=∠ECD=90°，∠D=60°，AB=AC，DA=DC，CE与AB交于点F，则∠BFC=_____．
【答案】120°
【分析】先证明△DAC是等边三角形，再根据平角的定义求出∠FAE的度数，再根据三角形内角和定理求出结果．
【详解】解：∵DA=DC，∠D=60°，
∴△DAC是等边三角形，
∴∠DAC=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAF=180°−∠BAC−∠DAC=30°，
∵∠D=60°，∠ECD=90°，
∴∠E=30°，
∴∠BFC=∠EFA=180°−∠E−∠FAE=180°−30°−30°=120°，
故答案为：120°．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，证明△DAC是等边三角形是解题的关键．
【变式3.2】已知：如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，延长BC至点E使CE=AD，连接DE交AC与点F．

(1)求证：FD=FE；
(2)过点D作DG⊥AC于G，若等边三角形ABC的边长为6，求FG的长．
【答案】(1)证明见解析 (2)3
【分析】（1）如图所示，过点D作DH∥BC交AC于点H，由等边三角形的性质得到∠A=∠B=60°，由平行线的性质得到∠ADH=∠B=60°，∠HDF=∠E，∠DHF=∠ECF，则△ADH为等边三角形，证明CE=DH，即可证明△DHF≌△ECF，则FD=FE；
（2）由全等三角形的性质得到HF=CF，由三线合一得到AG=HG，这可推出FG=12AC=3．
【详解】（1）证明：如图所示，过点D作DH∥BC交AC于点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADH=∠B=60°，∠HDF=∠E，∠DHF=∠ECF
∴△ADH为等边三角形，
∴AD=DH，
∵CE=AD，
∴CE=DH，
∴△DHF≌△ECFASA，
∴FD=FE．

（2）解：由（1）得△DHF≌△ECF，△ADH为等边三角形，
∴HF=CF，
∵DG⊥AH，
∴AG=HG，
∴FG=GH+HF=AG+CF，
∴FG=AG+GH+HF+CF2=12AC=3．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质与判定，平行线的性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质于判定条件．
【变式3.3】已知△ABC是等边三角形，点P在AB上，过点P作PD⊥AC，垂足为D，延长BC至点Q，使CQ=AP，连接PQ交AC于点E，如图所示．如果等边△ABC的边长为4，那么线段DE的长为（ ）
A．1B．2C．1.8D．2.5
【答案】B
【分析】如图，过点P作PF∥BC，交AC于点F，利用已知条件可以得到△APF是等边三角形，然后可以证明△PEF≌△QEC，接着利用等边三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：如图，过点P作PF∥BC，交AC于点F，
则∠EPF=∠Q，∠APF=∠ABC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠APF=∠AFP=60°，
∴△APF也是等边三角形，而CQ=AP，
∴PF=AP=CQ，
又∵∠PEF=∠QEC，
∴△PEF≌△QEC，
∴EF=EC，
∵PD⊥AC于D，△APF是等边三角形，
∴AD=DF，
∴AD+EC=DF+EF=DE=12AF+12CF=12(AF+CF)=12AC，
∴DE=12AC=2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，同时也利用了全等三角形的性质于判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
模块二
含30°角的直角三角形的性质
直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【考点1 含30°角的直角三角形的性质】
【例1.1】在△ABC中，∠A=30∘，∠C=90∘，AB=8，则BC=（ ）
A．8B．4C．16D．2
【答案】B
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半计算即可．
【详解】解：∵∠A=30°，∠C=90°，
∴BC=12AB，
∵AB=8，
∴BC=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，此题的关键是熟练掌握“30°角所对的直角边等于斜边的一半”来求边的长度和角的度数．
【例1.2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BD＝1，∠A＝30°，则BC＝ _____．
【答案】2
【分析】依据Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，可得∠BCD为30°，再根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论．
【详解】∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB
∴∠BCD+∠B＝∠A+∠B＝90°
∴∠BCD＝∠A＝30°
∴Rt△ABC中，BC＝2BD＝2
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
【例1.3】如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是边AC，BC上的点，BD，AE交于点R，BF⊥AE于点F，若AD=CE．求证：BR=2FR．

【答案】见解析
【分析】先根据SAS证明△ABD≌△CAE得到∠ABD=∠CAE，进而利用三角形外角的性质得到∠BRF=60°，由此求出∠RBF=30°，即可证明BR=2FR．
【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
又∵AD=CE，
∴△ABD≌△CAESAS，
∴∠ABD=∠CAE，
∴∠BRF=∠ABD+∠BAE=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°，
∵BF⊥AE，
∴△BRF为直角三角形，
∴∠RBF=30°，
∴BR=2FR．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，含30°角的直角三角形的性质，正确求出∠BRF=60°是解题的关键．
【变式1.1】如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以适当长为半径作弧交OA于点C，交OB于点D；分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部相交于点P；画射线OP，在射线OP上截取线段OM=8，则点M到OB的距离为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】过点M作ME⊥OB于点E，由角平分线的定义可得∠MOB=12∠AOB=30°，在Rt△EOM中，可得ME=12OM=4，即可得出答案．
【详解】解：过点M作ME⊥OB于点E，
由题意得，OP为∠AOB的平分线，
∴∠MOB=12∠AOB=30°，
在Rt△EOM中，OM=8，∠EOM=30°，
∴ME=12OM=4，
即点M到OB的距离为4．
故选：C．
【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、含30°角的直角三角形，熟练掌握角平分线的定义以及作图步骤是解答本题的关键．
【变式1.2】如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=16，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=________．
【答案】7
【分析】作PC⊥MN于C，根据等腰三角形的性质求出MC，根据直角三角形的性质求出OC，计算即可．
【详解】解：过点P作PC⊥OB，垂足为C，
∵PM=PN，
∴MC=NC= 12 MN=1，
∵∠AOB=60°，
∴∠OPC=30°，
∴OC= 12 OP=8，
∴OM=OC−MC=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查的是含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据题意添加适当辅助线是解本题的关键．
【变式1.3】如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，DF⊥BE，垂足为点F．

(1)求证：CE=2CF；
(2)若CF=2，求△ABC的周长．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠ACB=60°，再由DF⊥BE可知∠DFC=90°，∠FDC=90°−∠C=30°，由直角三角形的性质即可得出结论；
（2）由CF=2可得出DC=2CF=4，故可得出AC的长，进而可得出结论．
【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵DF⊥BE，
∴∠DFC=90°，∠FDC=90°−∠C=30°，
∴DC=2CF．
∵CE=CD
∴CE=2CF；
（2）解：∵CF=2，由（1）知CE=2CF，
∴DC=2CF=4．
∵△ABC为等边三角形，BD是中线，
∴AB=BC=AC=2DC=8，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=8+8+8=24．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，熟知边三角形的三个内角都相等，且都等于60°是解题的关键．
【考点2 含30°角的直角三角形的性质的应用】
【例2.1】如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度ℎ是（ ）
A．833mB．4mC．43mD．8m
【答案】B
【分析】过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM=30°，根据含30度的直角三角形性质求出CM即可．
【详解】解：过C作CM⊥AB于M，
则CM=ℎ，∠CMB=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBM=30°，
∴ℎ=CM=12BC=4m，
故选：B．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形性质的应用，构造直角三角形是解此题的关键所在，题目比较好，难度也不大．
【例2.2】如图，CD是平面镜，光线从点A出发经CD上点O反射后照射到点B，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且∠α=60°，OB=10，则BD=______．
【答案】5
【分析】根据反射角等于入射角可知∠β=∠α=60°，进而得出∠BOD=90°−∠β=30°，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：由题意知∠β=∠α=60°，
∵ BD⊥CD，
∴ ∠BOD=90°−∠β=30°，
∵ OB=10，
∴ BD=12OB=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握：直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半．
【例2.3】如图，早上8:00，一艘轮船以20海里/小时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，到上午10:00，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛P周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？
【答案】轮船继续向前航行，无触礁的危险
【分析】过点P作PD⊥AC于点D，利用三角形外角可求出∠P，利用角的度数可判断△PAB为等腰三角形，利用时间和速度可求出AB的长度，也就求出PB的长，再利用PD=12PB即可求得PD的长度，与18比较即可得出结论．
【详解】解：轮船继续向前航行，无触礁的危险．
过点P作PD⊥AC于D，
依题意得AB=2×20=40海里，∠PAB=15°，∠PBC=30°，
∴∠APB=∠PBC−∠PAB=15° ，
∴∠A=∠APB=15° ，
∴PB=AB=40(海里)．
在Rt△PBD中，∠PBD=30°，
∴PD=12PB=20(海里)>18(海里)，
∴轮船继续向前航行，无触礁的危险．
【点睛】本题考查了含30°的直角三角形，行船遇暗礁问题，关键是把实际问题转化为数学问题，利用等腰三角形和直角三角形的性质来解决．
【变式2.1】如图，数学活动课上，为测量学校A与河对岸农场B之间的距离，在学校附近选一点C，用测量仪器测得∠A=60°，∠C=90°，AC=2km，则学校与农场之间的距离AB为（ ）
A．8kmB．6kmC．4kmD．2km
【答案】C
【分析】直接利用直角三角形的性质得出∠B=30°，进而利用直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半，即可得出答案．
【详解】解：∵∠A=60°，∠C=90°，AC=2km，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=4km．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，正确掌握含30度的直角三角形的边角关系是解题关键．
【变式2.2】如图，某山的山顶E处有一个观光塔EF，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠EAB为30°，山高EB为120米，点C距山脚A处180米，CD∥AB，交EB于点D，在点C处测得观光塔顶端F的仰角∠FCD为60°，则观光塔EF的高度是______米．
【答案】60
【分析】根据∠EAB=30°，可得∠AEB=60°，AE=2EB，即可得AE=2EB=240，进而有CE=AE−AC=60，根据CD∥AB，可得∠ECD=∠EAB=30°，即可得∠FCE=∠CFE=30°，问题随之得解．
【详解】解：根据题意有：∠ABE=90°，
∵∠EAB=30°，
∴∠AEB=60°，AE=2EB，
∵EB=120，
∴AE=2EB=240，
∵AC=180，
∴CE=AE−AC=60，
∵CD∥AB，
∴∠CDE=∠ABE=90°，∠ECD=∠EAB=30°，
∵∠FCD=60°，∠FCE=∠FCD−∠ECD=30°，
∴∠FCE=∠CFE=30°，
∴EF=CE=60，
即塔高60米，
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，掌握含30°角的直角三角形的性质是解答本题的关键．
【变式2.3】如图，海岸边有A，B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方．如果观测点A看海岛C，D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等．
(1)请说明海岛C，D到观测点A，B所在海岸的距离CA，DB相等吗？
(2)若测得从A到C距离1200m，∠ABC=30°，求C，B两点间的距离．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)2400m
【分析】（1）证明△ABC≌△BAD即可得出结论；
（2）利用30°的直角三角形的特点得出BC=2AC即可得出答案．
【详解】（1）证明：由题意CA⊥AB，DB⊥AB，∠CAD=∠CBD，
∴∠CBA=∠DAB，∠CAB=∠DBA=90°，
在△ABC与△BAD，
∵∠CBA=∠DABAB=BA∠CAB=∠DBA，
∴△ABC≌△BAD（ASA），
∴CA=DB；
（2）解：∵∠ABC=30°，AC=1200m，
∴BC=2AC=2×1200=2400m，
故C，B两点间的距离为2400m．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及30°的直角三角形的特点，熟练掌握30°的直角三角形所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
模块三
课后作业
1．在△ABC中，AB=AC=6，∠B=60∘，则△ABC的周长为（ ）
A．24B．18C．12D．6
【答案】B
【分析】先判定△ABC是等边三角形，进而即可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC=6，∠B=60∘，
∴△ABC是等边三角形，
∴△ABC的周长=6×3=18．
故选B．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定，掌握有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形是关键．
2．若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形
【答案】A
【分析】直接根据三角形外角的性质进行解答即可．
【详解】解：∵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，
∴若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，则与之不相邻的两个内角相等，
∴这个三角形是等边三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，等边三角形的判定，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
3．如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形，∠1=40°，则∠2的大小为（ ）

A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质及外角性质可求∠3，再根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵∠1=40°，
∴∠3=∠1+∠A=40°+60°=100°，
∵直线l1∥l2，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°−∠3=80°，
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和平行线的性质，熟记等边三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．
4．在△ABC中，∠A=60°，若使△ABC为正三角形，请你再添一个条件：___________．
【答案】AB=AC（答案不唯一）
【分析】根据等边三角形的判定定理解答即可．
【详解】解：添加的条件是：AB=AC（答案不唯一）．
故答案为：AB=AC（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定，熟知三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°,BC=18cm．AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E；AC的垂直平分线交AC于点G，交BC于点F．EF的长为_____．
【答案】6cm/6厘米
【分析】连接AE,AF，根据线段垂直平分线的性质可得BE=AE,CF=AF，从而得到∠EAB=∠B,∠CAF=∠C，再由等腰三角形的性质可得∠B=∠C=30°，然后根据三角形外角的性质可得∠AEF=∠AFE=60°，从而得到△AEF是等边三角形，进而得到BE=EF=FC，即可求解．
【详解】解：连接AE,AF，
∵AB垂直平分BC，AC垂直平分线BC，
∴BE=AE,CF=AF，
∴∠EAB=∠B,∠CAF=∠C，
∵∠BAC=120°,AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAE+∠CAF=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=AF=EF，
∴BE=EF=FC，
∵BC=18cm，
∴EF=6cm．
故答案为：6cm．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，∠B=60°，将△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF，连接DC，则DC的长为______．
【答案】6
【分析】根据平移的性质可得DE=AB=6，EC=BC−BE=8−2=6，∠B=∠DEC=60°，然后根据等边三角形的定义列式计算即可得解．
【详解】解：∵△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF，
∴DE=AB=6，EC=BC−BE=8−2=6，
∵∠B=∠DEC=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DC=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平移的性质，熟记平移的性质得到相等的线段是解题的关键．
7．已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE=2，则DF=______________．

【答案】4
【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM=DE=2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM=30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解．
【详解】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．
∵OC是∠AOB的平分线，DE⊥OA，
∴DM=DE=2．
在Rt△OEF中，∠OEF=90°，∠EOF=60°，
∴∠OFE=30°，即∠DFM=30°．
在Rt△DMF中，∠DMF=90°，∠DFM=30°，
∴DF=2DM=4．
故答案为：4．

【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键．
8．如图，∠ABC=60°,AB=4，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒t>0，当△ABP为锐角三角形时，t的取值范围是_____．
【答案】2【分析】根据找出临界值∶当∠APB=90°时，当∠BAP=90°时，结合直角三角形中30度角的性质求出BP的长，即可求解．
【详解】解：当∠APB=90°时，如图：
在Rt△ABP中，∠ABC=60°,AB=4，
∴∠BAP=30°，
∴BP=12AB=4×12=2；
当∠BAP=90°时，如图：
在Rt△ABP中，∠ABC=60°,AB=4，
∴∠BPA=30°，
∴BP=2AB=8，
∴当2∴2故答案为：2【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
9．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高，若AB=4，求CD的长度．
【答案】2
【分析】先求出∠DAC=30°，在直角△ACD中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半解得CD的长．
【详解】解：在△ABC中，
∵AB=AC,∠B=15°，
∴∠ACB=∠B=15°，
∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°．
∵CD是腰AB上的高，
∴∠ADC=90°．
∴CD=12AC，
∵AB=4，
∴CD=12AC=2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及含30度角的直角三角形的性质，求出是解答本题的关键．
10．如图，已知在△ABC中，BD平分∠ABC，CE=CD，DB=DE，∠E=30°．求证：△ABC是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】根据等边对等角得出∠DBC=∠E=30°，∠CDE=∠E=30°，根据角平分线的定义得出∠ABC=2∠DBC=60°，根据三角形的外角的性质得出∠BCD=60°，根据三角形内角和定理得出∠A=60°，即可得证．
【详解】证明：∵DB=DE，
∴∠DBC=∠E=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC=60°，
∵CE=CD，∴∠CDE=∠E=30°，
∴∠BCD=∠CDE+∠E=60°，
∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=60°，
∴∠A=∠ABC=∠ACB．
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】本题考查了等边对等角，角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，等边三角形的判定，综合运用以上知识是解题的关键．
11．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，过点D作DE⊥AB于点E且交BC边的延长线于点F，AE=2，BF的长．

【答案】12
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，推得∠ADE=30°，根据30度的直角三角形的性质可得AD=4，根据中线的性质可得AC=8，求得BE=6，根据30度的直角三角形的性质即可求得．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=90°−∠A=30°，
在Rt△ADE中，
∵∠ADE=30°，且AE=2，
∴AD=4，
∵BD是中线，
∴AC=2AD=8，
∴AB=8，
∴BE=AB−AE=8−2=6，
在Rt△BEF中，
∵∠ABC=60°，
∴∠F=30°，
∴BF=2BE=2×6=12．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，30度的直角三角形的性质，中线的性质，熟练运用在直角三角形中30度所对的边是斜边的一半是解题的关键．
12．如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上．该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上．船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点．
(1)求B处到小岛C相距多少海里？
(2)求船从A到D一共走了多少海里？
【答案】(1)160海里
(2)240海里
【分析】（1）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出BC的长度；
（2）再根据两个方位角可以证明AB=BC，然后把AB与BD相加即可得解．
【详解】（1）解：由题意知∠CAD=30°，∠CBD=60°，
在△BCD中，∠CBD=60°，
∴∠BCD=30°，
∴BC=2BD，
∵船从B到D走了2小时，船速为每小时40海里，
∴BD=80海里，
∴BC=160海里，
（2）由∠CBD=60°，得∠ABC=120°，
∵∠CAD=30°，
∴∠ACB=30°，
∴AB=BC，
∴AB=160海里，
∵AD=AB+BD，
∴AD=160+80=240（海里）．
因此船从A到D一共走了240海里．
【点睛】本题主要考查了方向角、直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质及等角对等边的性质，熟练运用相关知识是解决本题的关键．