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2023年新七年级数学人教版暑假弯道超车自学预习——第10讲 整式的化简求值
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这是一份2023年新七年级数学人教版暑假弯道超车自学预习——第10讲 整式的化简求值，文件包含第10讲整式的化简求值人教版解析版docx、第10讲整式的化简求值人教版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
第10讲 整式的化简求值
【人教版】
·模块一 化繁为简再求值
·模块二 整体代入求值
·模块三 合并同类项后求值
·模块四 整式的化简求值与数轴、绝对值的综合
·模块五 课后作业
模块一
化繁为简再求值
【例1】先化简，再求值：x=12，求3x2−2x2+x−1+2−3x的值．
【答案】x2−4x+3，54
【分析】先利用去括号，合并同类项化简，再把x=12代入化简结果计算即可．
【详解】解：3x2−2x2+x−1+2−3x
=3x2−2x2−x+1+2−3x
=x2−4x+3；
当x=12时，
原式=122−4×12+3
=54．
【点睛】此题考查了整式加减中的化简求值，正确计算是解题的关键．
【例2】已知A=5x−2y2+6，B=2x−12y2+3.
(1)化简A−2B．
(2)当x=12，y=−2时，求A−2B的值．
【答案】(1)x−y2
(2)−72
【分析】（1）根据题意，列式计算即可；
（2）将x=12，y=−2代入解析（1）中的算式求值即可．
【详解】（1）解：A−2B=5x−2y2+6−22x−12y2+3
=5x−2y2+6−4x+y2−6
=x−y2．
（2）解：当x=12，y=−2时，原式=12−−22=−72．
【点睛】本题主要考查了整式加减运算及其求值，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算．
【例3】先化简，再求值：23a2b−ab2−32a2b+1−3ab2+3，其中a,b满足等式a+8+b−122=0．
【答案】−5ab2，10
【分析】根据去括号、合并同类项，可化简整式；根据绝对值和偶次幂的非负性，得到a=−8，b=12；，代入求值可得到答案．
【详解】解：原式=6a2b−2ab2−6a2b−3−3ab2+3
=−5ab2；
因为|a+8|+b−122=0，
所以a+8=0，b−12=0，
解得：a=−8，b=12；
当a=−8，b=12时，
原式=−5×(−8)×122=10．
【点睛】本题考查了绝对值和偶次幂的非负性质，考查了整式的加减，去括号是解题的关键．
【变式1】先化简，再求值：当x=−1时，求代数式2x−2x−2x2−3x+2−3x2的值．
【答案】x2−6x+4；11
【分析】根据整式加减的混合运算法则，有括号的，按照先去小括号，再去中括号，后去大括号顺序进行计算，然后合并同类项，再将已知值代入化简的式子求值即可．
【详解】解：2x−2x−2x2−3x+2−3x2
=2x−2(x−2x2+3x−2)−3x2
=2x−2x+4x2−6x+4−3x2
=x2−6x+4，
当x=−1时，
原式=x2−6x+4
=(−1)2−6×(−1)+4
=11．
【点睛】此题考查了整式的加减运算与化简求值，熟练掌握整式的加减混合运算法则、合并同类项是解答此题的关键．
【变式2】已知A=2a2−3a+1，B=a2−5−3a
(1)当a=−2时，求代数式A+B的值；
(2)试判断A、B的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)20
(2)A>B，理由见解析
【分析】（1）先计算A+B再代入即可；
（2）让A、B的式子相减，然后根据计算结果来判断即可．
【详解】（1）解：∵A=2a2−3a+1，B=a2−5−3a，
∴A+B=2a2−3a+1+a2−5−3a=3a2−6a−4，
∴当a=−2时，A+B=3a2−6a−4=3×−22−6×−2−4=20 ；
（2）解：A>B，理由如下：
∵A=2a2−3a+1，B=a2−5−3a，
∴A−B=2a2−3a+1−a2−5−3a=a2+6>0，
∴A>B．
【点睛】本题考查了整式的加减和求值，能正确根据整式的加减法则进行化解是解题的关键．
【变式3】已知代数式A=x2+xy−12，B=2x2−2xy−1．当x=−1，y=−2时，求2A−B的值．
【答案】−15
【分析】把A与B代入2A−B中，去括号合并即可得到结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】∵A=x2+xy−12，B=2x2−2xy−1，
∴2A−B
=2x2+xy−12−2x2−2xy−1
=2x2+2xy−24−2x2+2xy+1
=4xy−23；
当x=−1，y=−2时，
原式=4xy−23=4×−1×−2−23=−15，
即值为：−15．
【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
模块二
整体代入求值
【例1】已知m2+n2=3，mn=−1，求多项式5m2−3mn−7n2+12mn−7m2+5n2的值．
【答案】-15
【分析】先将5m2−3mn−7n2+12mn−7m2+5n2化简得到−2m2+9mn−2n2=−2m2+n2+9mn，再将m2+n2=3，mn=−1代入，计算即可得到答案.
【详解】原式=−2m2+9mn−2n2=−2m2+n2+9mn，再将m2+n2=3，mn=−1代入，则原式=−2m2+n2+9mn=−2×3+9×(−1)=−15.
【点睛】本题考查合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项法则.
【例2】已知3a−b=−2，求代数式32ab2−163a+b−23ab2−2a+b的值．
【答案】8
【分析】直接去括号，再合并同类项，代入求值即可．
【详解】解：32ab2−163a+b−23ab2−2a+b
=6ab2−16a+3b−6ab2+4a+b
=−12a+4b
∵3a−b=−2
∴原式=−4(3a+b)
=−4×(−2)
=8．
【点睛】题目主要考查整式加减运算及化简求值，正确合并同类项是解题关键．
【例3】我们知道，4a−3a+a=4−3+1a=2a类似地，我们把x+y看成一个整体，则4x+y−3x+y+x+y=4−3+1x+y=2x+y．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请尝试：
(1)把m−n2看成一个整体，合并3m−n2−2m−n2+m−n2的结果是___________．
(2)已知x2−4x=3，求2x2−8x−7的值；
(3)已知c−a=5，求2b−a−2b−c的值．
【答案】(1)2m−n2
(2)−1
(3)5
【分析】（1）仿照题意利用合并同类项的计算法则求解即可；
（2）把x2−4x=3整体代入所求式子中求解即可；
（3）先对所求式子去括号，然后合并同类项化简，最后把c−a=5整体代入到化简结果中求解即可．
【详解】（1）解：3m−n2−2m−n2+m−n2
=3−2+1m−n2
=2m−n2，
故答案为：2m−n2；
（2）解：∵x2−4x=3，
∴2x2−8x−7
=2x2−4x−7
=2×3−7
=6−7
=−1，
∴2x2−8x−7的值为−1；
（3）解：2b−a−2b−c
=2b−a−2b+c
=−a+c
=c−a
∵c−a=5，
∴2b−a−2b−c的值为5．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，整式的化简求值，熟知整式的相关计算法则是解题的关键．
【变式1】若y2−12x2=5，求代数式2x2−3−13x2+23xy−2y2−2x2−xy+2y2的值．
【答案】x2−2y2，−10
【分析】根据整式的运算法则进行化简，然后将y2−12x2=5代入即可求出答案．
【详解】解：2x2−3−13x2+23xy−2y2−2x2−xy+2y2
=2x2−−x2+2xy−2y2−2x2+2xy−4y2
=2x2+x2−2xy+2y2−2x2+2xy−4y2
=x2−2y2，
∵y2−12x2=5，
∴原式=−2y2−12x2=−2×5=−10．
【点睛】本题考查了整式的加减求值，解题的关键是熟练运用整式的运算法则．
【变式2】已知M=8x2+20x+4y2，N=2x2−2y+y2+7，求：
（1） M−4N；
（2）当5x+2y=2时，求M−4N的值．
【答案】（1）20x+8y−28；（2）−20
【分析】（1）把M与N代入M-4N中，去括号合并即可得到结果；
（2）原式结果变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）由题意可得：
M−4N
=8x2+20x+4y2−42x2−2y+y2+7
=8x2+20x+4y2−8x2+8y−4y2−28
=20x+8y−28；
（2）∵5x+2y=2，
∴20x+8y−28
=45x+2y−28
=4×2−28
=−20
【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式3】如果x4+y4=15,x2y−xy2=−3，那么x4−2y4−3xy2+x2y+2xy2+3y4的值．
【答案】12
【分析】先进行整式加减运算，然后分组，最后整体代入求值即可．
【详解】x4−2y4−3xy2+x2y+2xy2+3y4=x4+y4−xy2+x2y=x4+y4+x2y−xy2，
∵x4+y4=15,x2y−xy2=−3，
∴原式15+(−3)=−12．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，在计算时注意整体代入思想的运用．
模块三
合并同类项后求值
【例1】小明做一道数学题：“已知两个多项式A，B，A=……，B=x2+3x−2，计算2A+B的值．”小明误把“2A+B”看成“A+2B”，求得的结果为5x2−2x+3，请求出2A+B的正确结果．
【答案】7x2−13x+12
【分析】先根据条件求出多项式A，然后将A和B代入2A+B中即可求出答案.
【详解】由题意得, A+2B=5x2−2x+3,
∴A=5x2−2x+3 −2(x2+3x−2),
=5x2−2x+3−2x2−6x+4=3x2−8x+7
∴2A+B=2(3x2−8x+7)+（x2+3x−2）
=6x2−16x+14+x2+3x−2=7x2−13x+12
【点睛】本题考查了整式的运算法则.
【例2】多项式5x2−2mxy−3y2+4xy−3x+1中不含xy项，求−m3+2m2−m+1−m3−2m2+m−4的值．
【答案】−19
【分析】先把5x2−2mxy−3y2+4xy−3x+1合并同类项，再根据多项式5x2−2mxy−3y2+4xy−3x+1中不含xy项，得关于m方程，求解得出m的值，然后把 −m3+2m2−m+1−m3−2m2+m−4合并同类项化简，最后代入计算即可．
【详解】解：∵5x2−2mxy−3y2+4xy−3x+1
=5x2+−2m+4xy−3x−3y2+1
又∵多项式5x2−2mxy−3y2+4xy−3x+1中不含xy项，
∴−2m+4=0，
解得：m=2．
∴−m3+2m2−m+1−m3−2m2+m−4
=−2m3−3
当m=2时，−2m3−3 =−2×23−3=−19．
∴−m3+2m2−m+1−m3−2m2+m−4的值为−19．
【点睛】本题考查合并同类项，整式的化简求值，熟练掌握合并同类项法则和对多项式中不含某一项的理解．
【例3】已知代数式2x2+ax−y+6−12bx2−4x−5y−1的值与字母x的取值无关．
（1）求出a、b的值．
（2）若A=2a2−ab+2b2，B=a2−ab+b2，求2A−B−3A−B的值．
【答案】（1）a=4，b=4；（2）−16
【分析】（1）先将代数式进行简单变形，再根据其值与字母x的取值无关即可得；
（2）先根据整式的加减进行化简，再将a、b的值代入即可得；
【详解】（1）原式=2−12bx2+a−4x−6y+5，
∵此代数式的值与字母x的取值无关，
∴2−12b=0，a−4=0，
解得b=4，a=4；
（2）∵A=2a2−ab+2b2，B=a2−ab+b2，
∴2A−B−3A−B，
=2A−B−3A+3B，
=−A+2B，
=−2a2−ab+2b2+2a2−ab+b2，
=−2a2+ab−2b2+2a2−2ab+2b2，
=−ab，
将a=4，b=4代入上式得：原式=−4×4=−16
【变式1】有这样一道题：“计算2x3−3x2y−2xy2−x3−2xy2+y3+−x3+3x2y−y3”的值，其中“x=2，y=−1”．甲同学把“x=2，”抄错写成“x=−2，”但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果．
【答案】理由见解析，原式=2．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断．
【详解】解：2x3−3x2y−2xy2−x3−2xy2+y3+−x3+3x2y−y3
=2x3−3x2y−2xy2−x3+2xy2−y3−x3+3x2y−y3
=−2y3，
结果与x取值无关，故甲同学把x=2误抄成x=−2，但他计算的结果也是正确的，
当y=−1时，原式=−2×−13=2．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2】已知代数式A=3x2−4x+2
(1)若B=x2−2x−1．
①求A−2B；
②当x=−2时，求A−2B的值；
(2)若B=ax2−x−1（a为常数），且A与B的和不含x2项，求整式4a3+5a−2的值．
【答案】(1)①x2+4②8
(2)−125
【分析】（1）①根据整式的加减运算化简求值即可；②代入数值计算即可求解；
（2）根据和中不含x2项即是此项的系数为0，求出a的值，进而即可求解．
【详解】（1）①解：A−2B=(3x2−4x+2)−2(x2−2x−1)
=3x2−4x+2−2x2+4x+2
=x2+4，
②解：由①知A−2B=x2+4，
当x=−2时，A−2B=(−2)2+4=4+4=8；
（2）∵A=3x2−4x+2，B=ax2−x−1
∴A+B=(3x2−4x+2)+(ax2−x−1)
=3x2−4x+2+ax2−x−1
=(3+a)x2−5x+1，
∵A与B的和不含x2项，
∴3+a=0，
即a=−3，
∴4a3+5a−2=4×(−3)3+5×(−3)−2
=4×(−27)−15−2
=−108−15−2
=−125．
【点睛】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握整式的加减的运算法则，合并同类项的法则．
【变式3】已知A=3x2+4xy−2x+3y，B=x2+2xy−x−2y−3．
(1)若−3ab2y−2与32a−3x−2b2是同类项，求A−3B的值；
(2)若A−3B的值与y的取值无关，求x的值．
【答案】(1)30
(2)x=92
【分析】（1）根据同类项的定义得出x=−1,y=2，进而根据整式的加减计算A−3B，将x=−1,y=2代入化简结果即可求解；
（2）根据（1）的结论，结合题意，令y的系数为0，即可求解．
【详解】（1）解：∵−3ab2y−2与32a−3x−2b2是同类项，
∴−3x−2=1,2y−2=2，
解得：x=−1,y=2，
∵A=3x2+4xy−2x+3y，B=x2+2xy−x−2y−3
∴A−3B=3x2+4xy−2x+3y−3x2+2xy−x−2y−3
=3x2+4xy−2x+3y−3x2−6xy+3x+6y+9
=−2xy+x+9y+9
当x=−1,y=2时，A−3B=−2×−1×2+−1+9×2+9
=4−1+18+9
=30
（2）解：∵A−3B =−2xy+x+9y+9
=9−2xy+x+9，值与y的取值无关，
∴9−2x=0，
解得：x=92．
【点睛】本题考查了同类项的定义，整式的加减与化简求值，正确的去括号与合并同类项是解题的关键．
模块四
整式的化简求值与数轴、绝对值的综合
【例1】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，且a=c，b的倒数等于它本身．
(1)求5a+5c−ca+2b的值．
(2)求a−b+a+b−2c−b的值．
【答案】(1)3
(2)2
【分析】（1）根据数轴说明a，c互为相反数，b=1，可得a+c=0，ca=−1，再整体代入求值即可；
（2）先化简绝对值，再把a+c=0，b=1代入进行计算即可．
【详解】（1）解：由数轴可得：a<0b，
∴a，c互为相反数，
∴a+c=0，ca=−1，
∵b的倒数等于它本身．
∴b=1，
∴5a+5c−ca+2b=5a+c−ca+2b=0−−1+2=3．
（2）由数轴可得：a<0b，
∴a−b<0，a+b<0，c−b>0，
∴a−b+a+b−2c−b
=−a+b−a−b−2c−b
=−2a−2c+2b，
∵a+c=0，b=1，
∴原式=−2a+c+2b=−2×0+2×1=2．
【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，相反数的含义，整式的加减运算，求解代数式的值，熟练是化简绝对值是解本题的关键．
【例2】有理数x，y，z在数轴上的位置如图所示．
(1)化简：|y−z|+2|x+y|−|z−x|的值；
(2)若|x|=5，|y|=2，|z|=6，求35x−3y2−56z的值．
【答案】(1)−x−3y
(2)−20
【分析】（1）根据数轴可以得到x<0
∴ |y−z|+2|x+y|−|z−x|
=z−y+2(−x−y)−(z−x)
=z−y−2x−2y−z+x
=−x−3y；
（2）解：∵ |x|=5，|y|=2，|z|=6，x<0
∴ 35x−3y2−56z=35×(−5)−3×22−56×6=−3−12−5=−20．
【点睛】本题考查了绝对值的性质、数轴，熟记绝对值的性质准确识图观察得出x<0
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；数轴上表示−3和2的两点之间的距离是________；
(2)一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为m−n．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为________；
(3)如果表示数a和−2的两点之间的距离是3，那么a=________；
(4)在数轴上，若点E，点F表示的数分别为2−3m，5−3m，那么EF=________；
(5)若数轴上表示数a的点位于−4与2之间，则a+4+a−2=________．
【答案】(1)3；5
(2)x−5
(3)−5或1
(4)3
(5)6
【分析】（1）根据数轴上两点之间距离公式列式求解即可；
（2）根据数轴上两点之间距离公式求出即可；
（3）根据数轴上两点之间距离公式列出绝对值方程，解方程即可；
（4）根据两点之间距离公式列出EF=5−3m−2−3m，求出结果即可；
（5）根据数轴上表示数a的点位于−4与2之间，得出−4
数轴上表示−3和2的两点之间的距离是2−−3=2+3=5；
故答案为：3；5．
（2）解：数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为x−5，
故答案为：x−5．
（3）解：∵表示数a和−2的两点之间的距离是3，
∴a−−2=3，
即a+2=3，
∴a+2=3或a+2=−3，
解得：a=1或a=−5；
故答案为：−5或1．
（4）解：∵点E，点F表示的数分别为2−3m，5−3m，
∴EF=5−3m−2−3m=5−3m−2+3m=3，
故答案为：3．
（5）解：∵数轴上表示数a的点位于−4与2之间，
∴−4
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值方程，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离公式．
【变式1】有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示：
化简代数式：−2|a+b|+|b+c|−3|a−c|+2|c−b|．
【答案】5a−b−2c
【分析】先根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，再去括号，合并同类项即可．
【详解】由图可知，a
∴ −2|a+b|+|b+c|−3|a−c|+2|c−b|
=2a+b−b−c+3a−c+2c−b
=5a−b−2c
【点睛】本题主要考查了数轴，绝对值的性质，整式的加减，根据数轴上各数的位置，去掉绝对值是解题的关键．
【变式2】有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示：
（1）化简：|a|+|a+b|−2|a−b|；
（2）若a与−13在数轴上对应点之间的距离等于b与−13在数轴上对应点之间的距离，求−3(a+b)+5的值．
【答案】（1）-3b；（2）7
【分析】（1）先根据数轴判断a、a+b、a-b的正负，再根据绝对值的定义化简，然后去括号合并同类项即可；
（2）先根据a与−13的距离等于b与−13的距离求出a+b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：（1）由数轴可得：a<−1，0
故原式=−a−a+b+2a−b
=−a−a−b+2a−2b
=−3b；
（2）∵a与−13的距离等于b与−13的距离，
∴b−−13=−13−a，
则a+b=−23，
∴−3(a+b)+5=−3×−23+5=2+5=7．
【点睛】本题考查了利用数轴比较代数式的大小，化简绝对值，整式的加减，以及数轴上两点间距离，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
模块五
课后作业
1．已知A=3xy+5y2−2，B=2xy−2y2+3
(1)当x=−3，y=−2时，求2A−B的值；
(2)若xy+3y2=4，求2A−B的值．
【答案】(1)65
(2)9
【分析】（1）先算出2A−B=4xy+3y2−7，再将x=−3，y=−2代入计算即可；
（2）先算出2A−B=4xy+3y2−7，再将xy+3y2=4整体代入即可
【详解】（1）∵A=3xy+5y2−2，B=2xy−2y2+3
∴ 2A−B=23xy+5y2−2−2xy−2y2+3
=6xy+10y2−4−2xy+2y2−3
=4xy+12y2−7
=4xy+3y2−7
∵ x=−3，y=−2
∴2A−B=4xy+3y2−7=4×−3×−2+3×−22−7=65
（2）∵A=3xy+5y2−2，B=2xy−2y2+3
∴ 2A−B=23xy+5y2−2−2xy−2y2+3
=6xy+10y2−4−2xy+2y2−3
=4xy+12y2−7
=4xy+3y2−7
∵xy+3y2=4
2A−B=4xy+3y2−7=4×4−7=9
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，以及求代数式的值，熟练掌握整式加减的法则，整体代入求值是解题关键．
2．先化简，再求值xy2−x+126y+2xy2−3x，其中32y−x=12．
【答案】2x−3y；1
【分析】先去括号，然后合并同类项，最后将式子的值代入进行计算即可求解．
【详解】解：xy2−x+126y+2xy2−3x
=xy2−x−126y+2xy2+3x
=xy2−x−3y−xy2+3x
=2x−3y，
∵32y−x=12，
∴2x−3y=−232y−x=−2×12=−1．
【点睛】本题考查了整式的加减与化简求值，正确的去括号与合并同类项是解题的关键．
3．先化简，再求值．
已知：A=x2+2y−3，B=2x2−xy+1，当x=−1，y=2时，求A−2B的值．
【答案】−3x2+2xy+2y−5；−8
【分析】先根据整式的加减：合并同类项进行化简，再将x、y的值代入求解即可．
【详解】解：因为A=x2+2y−3，B=2x2−xy+1，
所以A−2B=x2+2y−3−22x2−xy+1
=x2+2y−3−4x2+2xy−2
=x2−4x2+2xy+2y−2−3
=−3x2+2xy+2y−5
当x=−1，y=2时，
−3x2+2xy+2y−5
=−3×−12+2×−1×2+2×2−5
=−3×1+−4+4−5
=−3−5
=−8．
【点睛】本题考查了整式的加减－化简求值，熟记运算法则是解题关键．
4．先化简，再求值：2a2b+2ab−3a2b−2−3ab2+2ab+5ab2，其中ab=1，a+b=6．
【答案】−a2b−ab2+6ab，0
【详解】解：原式=2a2b+2ab−3a2b+2−3ab2+2ab+5ab2
=2a2b+2ab−3a2b−6ab2+4ab+5ab2
=−a2b−ab2+6ab，
当ab=1，a+b=6时，
原式=−aba+b+6ab
=−1×6+6×1
=0．
【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则．
5．某同学做一道数学题“两个多项式A和B，B为4x2−5x−7，试求A+2B的值”．小亮误将A+2B看成A−2B，计算结果为−2x2+10x+14．
(1)试求多项式A；
(2)求当x=−1时，A+2B的值．
【答案】(1)A=6x2
(2)10
【分析】（1）根据题意，利用整式的加减运算法则进行计算即可；
（2）先求出A+2B，再将x=−1代入求值即可．
【详解】（1）由题意可得：
A−24x2−5x−7=−2x2+10x+14
∴A−8x2+10x+14=−2x2+10x+14，
∴A=−2x2+10x+14+8x2−10x−14
∴A=6x2；
（2）A+2B=6x2+24x2−5x−7
=6x2+8x2−10x−14
=14x2−10x−14．
当x=−1时，
原式=14×−12−10×−1−14
=14+10−14
=10．
【点睛】本题考查了整式的加减运算和代入求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．先化简，再求值：5ab−23ab−4ab2+12ab−5ab2，其中a=−1，b=12．
【答案】3ab2，−34
【分析】按照先去括号，再合并同类项的步骤进行化简，再把字母的值代入化简结果计算即可．
【详解】解：5ab−23ab−4ab2+12ab−5ab2
=5ab−23ab−4ab2−12ab−5ab2
=5ab−6ab+8ab2+ab−5ab2
=3ab2
把a=−1，b=12代入
原式=3×−1×122=−3×14=−34
【点睛】此题考查整式加减中的化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．
7．先化简，再求值：2x2−313x2y+23xy−2x2−xy，其中x=3，y=−2．
【答案】−x2y，18
【分析】先去括号，然后合并同类项，再将x、y的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：2x2−313x2y+23xy−2x2−xy
=2x2−x2y−2xy−2x2+2xy
=−x2y，
当x=3，y=−2时，原式=−32×(−2)=18．
【点睛】本题考查整式的加减运算－化简求值，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法．
8．已知A=x3+ax，B=2bx3−4x−1．
(1)若多项式2A−B的值与x的取值无关，求a，b的值；
(2)当x=2时，多项式2A−B的值为21，求当x=−2时，多项式2A−B的值．
【答案】(1)a=−2,b=1
(2)−19
【分析】（1）首先化简2A−B，然后根据题意列方程求解即可；
（2）首先将x=2代入2A−B得到8(2−2b)+2(2a+4)=20，然后将x=−2代入2A−B，最后整体代入求解即可．
【详解】（1）解：2A−B
=2(x3+ax)−(2bx3−4x−1)
=2x3+2ax−2bx3+4x+1
=(2−2b)x3+(2a+4)x+1，
∵多项式2A−B的值与x的取值无关，
∴2−2b=0,2a+4=0，
∴a=−2,b=1；
（2）解：把x=2代入(2−2b)x3+(2a+4)x+1得：
8(2−2b)+2(2a+4)+1=21，
∴8(2−2b)+2(2a+4)=20，
把x=−2代入(2−2b)x3+(2a+4)x+1得：
−8(2−2b)−2(2a+4)+1=21
=−8(2−2b)+2(2a+4)+1
=−20+1
=−19，
∴当x=−2时，2A−B的值为−19．
【点睛】此题考查了整式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的加减混合运算法则．
9．已知A=−2a2+ab−3a−1，B=−a2−2ab+1．
(1)求A−2B；
(2)若A−2B的值与a的取值无关，求b的值．
【答案】(1)5ab−3a−3；
(2)b=35．
【分析】（1）把A和B代入求解即可；
（2）根据题意可得5ab−3a−3与a的取值无关，即化简之后a的系数为0，据此求b值即可．
【详解】（1）解：A−2B=−2a2+ab−3a−1−2−a2−2ab+1
=−2a2+ab−3a−1+2a2+4ab−2
=5ab−3a−3；
（2）解：A−2B=5ab−3a−3=5b−3a−3
∵A−2B的值与a的取值无关，
∴5b−3=0，
解得b=35．
【点睛】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则以及合并同类项法则．
10．“整体思想”是中学数学学习中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，例如把a+b看成一个整体：4a+b+3a+b=4+3a+b=7a+b，请应用整体思想解答下列问题：
（1）化简：5m+n2−7m+n2+3m+n2；
（2）已知a−2b=2，2b−c=−5，c−d=9，求a−c+2b−d−2b−c的值．
【答案】（1）(m+n)2；（2）6．
【分析】（1）把m+n看作一个整体合并即可；
（2）先根据已知条件求出a-c和2b-d的值，然后用整体代入发求解即可；
【详解】解：（1）5m+n2−7m+n2+3m+n2=5−7+3m+n2=m+n2；
（2）∵a−2b=2，2b−c=−5，c−d=9，
∴a−2b+2b−c=a−c=2−5=−3，
2b−c+c−d=2b−d=−5+9=4，
∴a−c+2b−d−2b−c=3+4−−5=6．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，把一个式子看作一个整体，将待求式化为含有这一个或几个式子的形式，再代入求值．运用整体代换，往往能使问题得到简化．
11．已知：A＝ax2﹣x﹣1，B＝3x2﹣2x+2（a为常数）
(1)当a＝12时，化简：B﹣2A；
(2)在（1）的条件下，若B﹣2A﹣2C＝0，求C；
(3)若A与B的和中不含x2项，求a的值．
【答案】(1)原式=2x2+4
(2)C=x2+2
(3)a=﹣3
【分析】（1）将A＝ax2﹣x﹣1，B＝3x2﹣2x+2当作一个整体代入，再根据整式的加减运算化简求值即可；
（2）根据整式的加减运算顺序即可求解；
（3）根据和中不含x2项即是此项的系数为0即可求解．
【详解】（1）解：（1）B﹣2A＝3x2﹣2x+2﹣2（ax2﹣x﹣1）
＝（3﹣2a）x2+4
当a＝12时，原式＝2x2+4．
（2）（2）∵B﹣2A﹣2C＝0，B﹣2A＝2x2+4，
∴2x2+4﹣2C＝0，
∴C＝x2+2．
（3）（3）∵A+B＝ax2﹣x﹣1+3x2﹣2x+2
＝（a+3）x2﹣3x+1
∵不含x2项，
∴a+3＝0，
∴a＝﹣3．
【点睛】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是掌握整式的加减运算顺序．注意代入A和B时，要将A＝ax2﹣x﹣1，B＝3x2﹣2x+2当作一个整体代入，括号不能忘记．
12．若多项式2x3+4x2+x−1与多项式3x3+2mx2−5x+7相减后不含二次项，则：
(1)求m的值；
(2)求代数式−m2+2m+1的值：
【答案】(1)m=2
(2)1
【分析】（1）多项式相减后，合并得到结果，根据结果中不含二次项，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
（2）将m的值代入代数式−m2+2m+1中，求解即可．
【详解】（1）解：2x3+4x2+x−1−(3x3+2mx2−5x+7)
=2x3+4x2+x−1−3x3−2mx2+5x−7
=−x3+(4−2m)x2+6x−8
∵结果不含二次项，
∴4−2m=0，
解得：m=2．
（2）解：将m=2代入−m2+2m+1中，
原式=−22+2×2+1=1，
答：代数式的值为1．
【点睛】此题考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则．
13．（1）已知a，b，c三个数在数轴上对应的点如图所示，化简：b−a−2a−b+a−c−c．
（2）先化简，再求值：x2−y2−2xy−−3x2+4xy+x2+5xy，其中x=−1，y=2．
【答案】（1）0；（2）5x2−xy−y2；3
【分析】（1）观察数轴得：c<−30,a−c>0，再根据绝对值的性质化简，然后合并，即可求解；
（2）先去括号，再合并同类项，然后把x=−1，y=2代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：（1）观察数轴得：c<−3
∴原式=a−b−2a−b+a−c−−c
=a−b−2a+b+a−c+c
=0；
（2）原式=x2−y2−2xy+3x2−4xy+x2+5xy
=5x2−xy−y2，
当x=−1，y=2时，原式=5×−12−−1×2−22=5+2−4=3．
【点睛】本题主要考查了整式加减中的化简求值，数轴，绝对值的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
14．（1）已知a，b，c三个数在数轴上对应的点如图所示，化简：b−a−2a−b+a−c−c
（2）先化简，再求值：x2−y2−2xy−−3x2+4xy+x2+5xy，其中x=−1，y=2．
【答案】（1）−2c；（2）5x2−xy−y2，3
【分析】（1）根据数轴上点的位置确定绝对值的大小，再去括号合并即可；
（2）根据去括号法则先去括号，再根据整式的加减合并，然后将值代入计算即可．
【详解】解：（1）由数轴可知b−a<0，2a−b>0，a−c>0，c<0，
∴原式=a−b−2a−b+a−c−c
=a−b−2a+b+a−c−c
=−2c；
（2）原式=x2−y2−2xy+3x2−4xy+x2+5xy
=5x2−xy−y2
当x=−1，y=2时，
原式=5×(−1)2−(−1)×2−22
=5+2−4
=3．
【点睛】本题考查了数轴与绝对值，整式的加减，去括号等相关知识点，理解绝对值意义和去括号法则是解题的关键．
15．在数轴上，点P,Q分别表示数a,b，则点P,Q之间的距离为线段PQ的长，即PQ=a−b．
(1)如图，点A,B在以点O为原点的数轴上，点A表示的数为6，点B在原点左侧，且AB=32OA，求点B表示的数；
(2)在（1）的条件下，设x=OA，y=OB，求代数式6x2−7xy−23x2−4xy+3的值．
【答案】(1)−3
(2)12
【分析】（1）根据点A表示的数为6，可知OA的长，根据AB=32OA，可求出AB的长，根据两点之间的距离的计算方法，即可求解；
（2）先化简代数式，再将x=OA，y=OB的代入，即可求解．
【详解】（1）解：∵点O为原点，点A表示的数为6，
∴OA=6，
∵AB=32OA，
∴AB=32×6=9，
根据两点之间的距离计算方法，设点B对应的数字为x，且点B在原点的左边，
∴AB=x−6=9，解得，x1=−3，x2=15（舍去）
∴点B表示的数是−3．
（2）解：6x2−7xy−23x2−4xy+3
=6x2−7xy−6x2+8xy−6
=xy−6，
∵x=OA=6，y=OB=3，
∴原始=3×6−6=12．
【点睛】本题主要考查数轴的知识，掌握数轴上两点之间距离的计算方法，代数式的化简求值计算方法是解题的关键．
16．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：a+b−c−b+b−a．
【答案】c−3b
【分析】先根据数轴得到a+b<0，c−b<0，b−a<0，再化简绝对值计算即可．
【详解】由数轴可得a+b<0，c−b<0，b−a<0，
∴a+b−c−b+b−a
=−a+b−−c−b+−b−a
=−a+b+c−b−b−a
=−a−b+c−b−b+a
=c−3b
【点睛】本题考查了根据数轴化简绝对值计算，根据数轴得到a+b<0，c−b<0，b−a<0是解题的关键．
17．先化简，再求值：12(2a2b+3ab2)−[3a2b−2(a2b−1)+1]+72ab2，其中a−12=0，在数轴上表示数b的点在原点左侧，且到原点的距离为2．
【答案】5ab2−3，17
【分析】先按照整式加减法进行化简，再根据已知条件求出a和b的值，代入化简结果计算即可．
【详解】原式=a2b+32ab2−(3a2b−2a2b+2+1)+72ab2
=a2b+32ab2−(a2b+3)+72ab2
=a2b+32ab2−a2b−3+72ab2
=5ab2−3．
∵a−12=0，在数轴上表示数b的点在原点左侧，且到原点的距离为2．
∴a=1,b=−2，
∴ 原式=5×1×−22−3
=17．
【点睛】此题主要考查了整式的化简求值，还考查了非负数的性质、用数轴上的点表示数等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
第10讲 整式的化简求值
【人教版】
·模块一 化繁为简再求值
·模块二 整体代入求值
·模块三 合并同类项后求值
·模块四 整式的化简求值与数轴、绝对值的综合
·模块五 课后作业
模块一
化繁为简再求值
【例1】先化简，再求值：x=12，求3x2−2x2+x−1+2−3x的值．
【答案】x2−4x+3，54
【分析】先利用去括号，合并同类项化简，再把x=12代入化简结果计算即可．
【详解】解：3x2−2x2+x−1+2−3x
=3x2−2x2−x+1+2−3x
=x2−4x+3；
当x=12时，
原式=122−4×12+3
=54．
【点睛】此题考查了整式加减中的化简求值，正确计算是解题的关键．
【例2】已知A=5x−2y2+6，B=2x−12y2+3.
(1)化简A−2B．
(2)当x=12，y=−2时，求A−2B的值．
【答案】(1)x−y2
(2)−72
【分析】（1）根据题意，列式计算即可；
（2）将x=12，y=−2代入解析（1）中的算式求值即可．
【详解】（1）解：A−2B=5x−2y2+6−22x−12y2+3
=5x−2y2+6−4x+y2−6
=x−y2．
（2）解：当x=12，y=−2时，原式=12−−22=−72．
【点睛】本题主要考查了整式加减运算及其求值，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算．
【例3】先化简，再求值：23a2b−ab2−32a2b+1−3ab2+3，其中a,b满足等式a+8+b−122=0．
【答案】−5ab2，10
【分析】根据去括号、合并同类项，可化简整式；根据绝对值和偶次幂的非负性，得到a=−8，b=12；，代入求值可得到答案．
【详解】解：原式=6a2b−2ab2−6a2b−3−3ab2+3
=−5ab2；
因为|a+8|+b−122=0，
所以a+8=0，b−12=0，
解得：a=−8，b=12；
当a=−8，b=12时，
原式=−5×(−8)×122=10．
【点睛】本题考查了绝对值和偶次幂的非负性质，考查了整式的加减，去括号是解题的关键．
【变式1】先化简，再求值：当x=−1时，求代数式2x−2x−2x2−3x+2−3x2的值．
【答案】x2−6x+4；11
【分析】根据整式加减的混合运算法则，有括号的，按照先去小括号，再去中括号，后去大括号顺序进行计算，然后合并同类项，再将已知值代入化简的式子求值即可．
【详解】解：2x−2x−2x2−3x+2−3x2
=2x−2(x−2x2+3x−2)−3x2
=2x−2x+4x2−6x+4−3x2
=x2−6x+4，
当x=−1时，
原式=x2−6x+4
=(−1)2−6×(−1)+4
=11．
【点睛】此题考查了整式的加减运算与化简求值，熟练掌握整式的加减混合运算法则、合并同类项是解答此题的关键．
【变式2】已知A=2a2−3a+1，B=a2−5−3a
(1)当a=−2时，求代数式A+B的值；
(2)试判断A、B的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)20
(2)A>B，理由见解析
【分析】（1）先计算A+B再代入即可；
（2）让A、B的式子相减，然后根据计算结果来判断即可．
【详解】（1）解：∵A=2a2−3a+1，B=a2−5−3a，
∴A+B=2a2−3a+1+a2−5−3a=3a2−6a−4，
∴当a=−2时，A+B=3a2−6a−4=3×−22−6×−2−4=20 ；
（2）解：A>B，理由如下：
∵A=2a2−3a+1，B=a2−5−3a，
∴A−B=2a2−3a+1−a2−5−3a=a2+6>0，
∴A>B．
【点睛】本题考查了整式的加减和求值，能正确根据整式的加减法则进行化解是解题的关键．
【变式3】已知代数式A=x2+xy−12，B=2x2−2xy−1．当x=−1，y=−2时，求2A−B的值．
【答案】−15
【分析】把A与B代入2A−B中，去括号合并即可得到结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】∵A=x2+xy−12，B=2x2−2xy−1，
∴2A−B
=2x2+xy−12−2x2−2xy−1
=2x2+2xy−24−2x2+2xy+1
=4xy−23；
当x=−1，y=−2时，
原式=4xy−23=4×−1×−2−23=−15，
即值为：−15．
【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
模块二
整体代入求值
【例1】已知m2+n2=3，mn=−1，求多项式5m2−3mn−7n2+12mn−7m2+5n2的值．
【答案】-15
【分析】先将5m2−3mn−7n2+12mn−7m2+5n2化简得到−2m2+9mn−2n2=−2m2+n2+9mn，再将m2+n2=3，mn=−1代入，计算即可得到答案.
【详解】原式=−2m2+9mn−2n2=−2m2+n2+9mn，再将m2+n2=3，mn=−1代入，则原式=−2m2+n2+9mn=−2×3+9×(−1)=−15.
【点睛】本题考查合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项法则.
【例2】已知3a−b=−2，求代数式32ab2−163a+b−23ab2−2a+b的值．
【答案】8
【分析】直接去括号，再合并同类项，代入求值即可．
【详解】解：32ab2−163a+b−23ab2−2a+b
=6ab2−16a+3b−6ab2+4a+b
=−12a+4b
∵3a−b=−2
∴原式=−4(3a+b)
=−4×(−2)
=8．
【点睛】题目主要考查整式加减运算及化简求值，正确合并同类项是解题关键．
【例3】我们知道，4a−3a+a=4−3+1a=2a类似地，我们把x+y看成一个整体，则4x+y−3x+y+x+y=4−3+1x+y=2x+y．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请尝试：
(1)把m−n2看成一个整体，合并3m−n2−2m−n2+m−n2的结果是___________．
(2)已知x2−4x=3，求2x2−8x−7的值；
(3)已知c−a=5，求2b−a−2b−c的值．
【答案】(1)2m−n2
(2)−1
(3)5
【分析】（1）仿照题意利用合并同类项的计算法则求解即可；
（2）把x2−4x=3整体代入所求式子中求解即可；
（3）先对所求式子去括号，然后合并同类项化简，最后把c−a=5整体代入到化简结果中求解即可．
【详解】（1）解：3m−n2−2m−n2+m−n2
=3−2+1m−n2
=2m−n2，
故答案为：2m−n2；
（2）解：∵x2−4x=3，
∴2x2−8x−7
=2x2−4x−7
=2×3−7
=6−7
=−1，
∴2x2−8x−7的值为−1；
（3）解：2b−a−2b−c
=2b−a−2b+c
=−a+c
=c−a
∵c−a=5，
∴2b−a−2b−c的值为5．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，整式的化简求值，熟知整式的相关计算法则是解题的关键．
【变式1】若y2−12x2=5，求代数式2x2−3−13x2+23xy−2y2−2x2−xy+2y2的值．
【答案】x2−2y2，−10
【分析】根据整式的运算法则进行化简，然后将y2−12x2=5代入即可求出答案．
【详解】解：2x2−3−13x2+23xy−2y2−2x2−xy+2y2
=2x2−−x2+2xy−2y2−2x2+2xy−4y2
=2x2+x2−2xy+2y2−2x2+2xy−4y2
=x2−2y2，
∵y2−12x2=5，
∴原式=−2y2−12x2=−2×5=−10．
【点睛】本题考查了整式的加减求值，解题的关键是熟练运用整式的运算法则．
【变式2】已知M=8x2+20x+4y2，N=2x2−2y+y2+7，求：
（1） M−4N；
（2）当5x+2y=2时，求M−4N的值．
【答案】（1）20x+8y−28；（2）−20
【分析】（1）把M与N代入M-4N中，去括号合并即可得到结果；
（2）原式结果变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）由题意可得：
M−4N
=8x2+20x+4y2−42x2−2y+y2+7
=8x2+20x+4y2−8x2+8y−4y2−28
=20x+8y−28；
（2）∵5x+2y=2，
∴20x+8y−28
=45x+2y−28
=4×2−28
=−20
【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式3】如果x4+y4=15,x2y−xy2=−3，那么x4−2y4−3xy2+x2y+2xy2+3y4的值．
【答案】12
【分析】先进行整式加减运算，然后分组，最后整体代入求值即可．
【详解】x4−2y4−3xy2+x2y+2xy2+3y4=x4+y4−xy2+x2y=x4+y4+x2y−xy2，
∵x4+y4=15,x2y−xy2=−3，
∴原式15+(−3)=−12．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，在计算时注意整体代入思想的运用．
模块三
合并同类项后求值
【例1】小明做一道数学题：“已知两个多项式A，B，A=……，B=x2+3x−2，计算2A+B的值．”小明误把“2A+B”看成“A+2B”，求得的结果为5x2−2x+3，请求出2A+B的正确结果．
【答案】7x2−13x+12
【分析】先根据条件求出多项式A，然后将A和B代入2A+B中即可求出答案.
【详解】由题意得, A+2B=5x2−2x+3,
∴A=5x2−2x+3 −2(x2+3x−2),
=5x2−2x+3−2x2−6x+4=3x2−8x+7
∴2A+B=2(3x2−8x+7)+（x2+3x−2）
=6x2−16x+14+x2+3x−2=7x2−13x+12
【点睛】本题考查了整式的运算法则.
【例2】多项式5x2−2mxy−3y2+4xy−3x+1中不含xy项，求−m3+2m2−m+1−m3−2m2+m−4的值．
【答案】−19
【分析】先把5x2−2mxy−3y2+4xy−3x+1合并同类项，再根据多项式5x2−2mxy−3y2+4xy−3x+1中不含xy项，得关于m方程，求解得出m的值，然后把 −m3+2m2−m+1−m3−2m2+m−4合并同类项化简，最后代入计算即可．
【详解】解：∵5x2−2mxy−3y2+4xy−3x+1
=5x2+−2m+4xy−3x−3y2+1
又∵多项式5x2−2mxy−3y2+4xy−3x+1中不含xy项，
∴−2m+4=0，
解得：m=2．
∴−m3+2m2−m+1−m3−2m2+m−4
=−2m3−3
当m=2时，−2m3−3 =−2×23−3=−19．
∴−m3+2m2−m+1−m3−2m2+m−4的值为−19．
【点睛】本题考查合并同类项，整式的化简求值，熟练掌握合并同类项法则和对多项式中不含某一项的理解．
【例3】已知代数式2x2+ax−y+6−12bx2−4x−5y−1的值与字母x的取值无关．
（1）求出a、b的值．
（2）若A=2a2−ab+2b2，B=a2−ab+b2，求2A−B−3A−B的值．
【答案】（1）a=4，b=4；（2）−16
【分析】（1）先将代数式进行简单变形，再根据其值与字母x的取值无关即可得；
（2）先根据整式的加减进行化简，再将a、b的值代入即可得；
【详解】（1）原式=2−12bx2+a−4x−6y+5，
∵此代数式的值与字母x的取值无关，
∴2−12b=0，a−4=0，
解得b=4，a=4；
（2）∵A=2a2−ab+2b2，B=a2−ab+b2，
∴2A−B−3A−B，
=2A−B−3A+3B，
=−A+2B，
=−2a2−ab+2b2+2a2−ab+b2，
=−2a2+ab−2b2+2a2−2ab+2b2，
=−ab，
将a=4，b=4代入上式得：原式=−4×4=−16
【变式1】有这样一道题：“计算2x3−3x2y−2xy2−x3−2xy2+y3+−x3+3x2y−y3”的值，其中“x=2，y=−1”．甲同学把“x=2，”抄错写成“x=−2，”但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果．
【答案】理由见解析，原式=2．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断．
【详解】解：2x3−3x2y−2xy2−x3−2xy2+y3+−x3+3x2y−y3
=2x3−3x2y−2xy2−x3+2xy2−y3−x3+3x2y−y3
=−2y3，
结果与x取值无关，故甲同学把x=2误抄成x=−2，但他计算的结果也是正确的，
当y=−1时，原式=−2×−13=2．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2】已知代数式A=3x2−4x+2
(1)若B=x2−2x−1．
①求A−2B；
②当x=−2时，求A−2B的值；
(2)若B=ax2−x−1（a为常数），且A与B的和不含x2项，求整式4a3+5a−2的值．
【答案】(1)①x2+4②8
(2)−125
【分析】（1）①根据整式的加减运算化简求值即可；②代入数值计算即可求解；
（2）根据和中不含x2项即是此项的系数为0，求出a的值，进而即可求解．
【详解】（1）①解：A−2B=(3x2−4x+2)−2(x2−2x−1)
=3x2−4x+2−2x2+4x+2
=x2+4，
②解：由①知A−2B=x2+4，
当x=−2时，A−2B=(−2)2+4=4+4=8；
（2）∵A=3x2−4x+2，B=ax2−x−1
∴A+B=(3x2−4x+2)+(ax2−x−1)
=3x2−4x+2+ax2−x−1
=(3+a)x2−5x+1，
∵A与B的和不含x2项，
∴3+a=0，
即a=−3，
∴4a3+5a−2=4×(−3)3+5×(−3)−2
=4×(−27)−15−2
=−108−15−2
=−125．
【点睛】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握整式的加减的运算法则，合并同类项的法则．
【变式3】已知A=3x2+4xy−2x+3y，B=x2+2xy−x−2y−3．
(1)若−3ab2y−2与32a−3x−2b2是同类项，求A−3B的值；
(2)若A−3B的值与y的取值无关，求x的值．
【答案】(1)30
(2)x=92
【分析】（1）根据同类项的定义得出x=−1,y=2，进而根据整式的加减计算A−3B，将x=−1,y=2代入化简结果即可求解；
（2）根据（1）的结论，结合题意，令y的系数为0，即可求解．
【详解】（1）解：∵−3ab2y−2与32a−3x−2b2是同类项，
∴−3x−2=1,2y−2=2，
解得：x=−1,y=2，
∵A=3x2+4xy−2x+3y，B=x2+2xy−x−2y−3
∴A−3B=3x2+4xy−2x+3y−3x2+2xy−x−2y−3
=3x2+4xy−2x+3y−3x2−6xy+3x+6y+9
=−2xy+x+9y+9
当x=−1,y=2时，A−3B=−2×−1×2+−1+9×2+9
=4−1+18+9
=30
（2）解：∵A−3B =−2xy+x+9y+9
=9−2xy+x+9，值与y的取值无关，
∴9−2x=0，
解得：x=92．
【点睛】本题考查了同类项的定义，整式的加减与化简求值，正确的去括号与合并同类项是解题的关键．
模块四
整式的化简求值与数轴、绝对值的综合
【例1】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，且a=c，b的倒数等于它本身．
(1)求5a+5c−ca+2b的值．
(2)求a−b+a+b−2c−b的值．
【答案】(1)3
(2)2
【分析】（1）根据数轴说明a，c互为相反数，b=1，可得a+c=0，ca=−1，再整体代入求值即可；
（2）先化简绝对值，再把a+c=0，b=1代入进行计算即可．
【详解】（1）解：由数轴可得：a<0
∴a，c互为相反数，
∴a+c=0，ca=−1，
∵b的倒数等于它本身．
∴b=1，
∴5a+5c−ca+2b=5a+c−ca+2b=0−−1+2=3．
（2）由数轴可得：a<0
∴a−b<0，a+b<0，c−b>0，
∴a−b+a+b−2c−b
=−a+b−a−b−2c−b
=−2a−2c+2b，
∵a+c=0，b=1，
∴原式=−2a+c+2b=−2×0+2×1=2．
【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，相反数的含义，整式的加减运算，求解代数式的值，熟练是化简绝对值是解本题的关键．
【例2】有理数x，y，z在数轴上的位置如图所示．
(1)化简：|y−z|+2|x+y|−|z−x|的值；
(2)若|x|=5，|y|=2，|z|=6，求35x−3y2−56z的值．
【答案】(1)−x−3y
(2)−20
【分析】（1）根据数轴可以得到x<0
∴ |y−z|+2|x+y|−|z−x|
=z−y+2(−x−y)−(z−x)
=z−y−2x−2y−z+x
=−x−3y；
（2）解：∵ |x|=5，|y|=2，|z|=6，x<0
∴ 35x−3y2−56z=35×(−5)−3×22−56×6=−3−12−5=−20．
【点睛】本题考查了绝对值的性质、数轴，熟记绝对值的性质准确识图观察得出x<0
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；数轴上表示−3和2的两点之间的距离是________；
(2)一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为m−n．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为________；
(3)如果表示数a和−2的两点之间的距离是3，那么a=________；
(4)在数轴上，若点E，点F表示的数分别为2−3m，5−3m，那么EF=________；
(5)若数轴上表示数a的点位于−4与2之间，则a+4+a−2=________．
【答案】(1)3；5
(2)x−5
(3)−5或1
(4)3
(5)6
【分析】（1）根据数轴上两点之间距离公式列式求解即可；
（2）根据数轴上两点之间距离公式求出即可；
（3）根据数轴上两点之间距离公式列出绝对值方程，解方程即可；
（4）根据两点之间距离公式列出EF=5−3m−2−3m，求出结果即可；
（5）根据数轴上表示数a的点位于−4与2之间，得出−4
数轴上表示−3和2的两点之间的距离是2−−3=2+3=5；
故答案为：3；5．
（2）解：数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为x−5，
故答案为：x−5．
（3）解：∵表示数a和−2的两点之间的距离是3，
∴a−−2=3，
即a+2=3，
∴a+2=3或a+2=−3，
解得：a=1或a=−5；
故答案为：−5或1．
（4）解：∵点E，点F表示的数分别为2−3m，5−3m，
∴EF=5−3m−2−3m=5−3m−2+3m=3，
故答案为：3．
（5）解：∵数轴上表示数a的点位于−4与2之间，
∴−4
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值方程，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离公式．
【变式1】有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示：
化简代数式：−2|a+b|+|b+c|−3|a−c|+2|c−b|．
【答案】5a−b−2c
【分析】先根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，再去括号，合并同类项即可．
【详解】由图可知，a
∴ −2|a+b|+|b+c|−3|a−c|+2|c−b|
=2a+b−b−c+3a−c+2c−b
=5a−b−2c
【点睛】本题主要考查了数轴，绝对值的性质，整式的加减，根据数轴上各数的位置，去掉绝对值是解题的关键．
【变式2】有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示：
（1）化简：|a|+|a+b|−2|a−b|；
（2）若a与−13在数轴上对应点之间的距离等于b与−13在数轴上对应点之间的距离，求−3(a+b)+5的值．
【答案】（1）-3b；（2）7
【分析】（1）先根据数轴判断a、a+b、a-b的正负，再根据绝对值的定义化简，然后去括号合并同类项即可；
（2）先根据a与−13的距离等于b与−13的距离求出a+b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：（1）由数轴可得：a<−1，0
故原式=−a−a+b+2a−b
=−a−a−b+2a−2b
=−3b；
（2）∵a与−13的距离等于b与−13的距离，
∴b−−13=−13−a，
则a+b=−23，
∴−3(a+b)+5=−3×−23+5=2+5=7．
【点睛】本题考查了利用数轴比较代数式的大小，化简绝对值，整式的加减，以及数轴上两点间距离，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
模块五
课后作业
1．已知A=3xy+5y2−2，B=2xy−2y2+3
(1)当x=−3，y=−2时，求2A−B的值；
(2)若xy+3y2=4，求2A−B的值．
【答案】(1)65
(2)9
【分析】（1）先算出2A−B=4xy+3y2−7，再将x=−3，y=−2代入计算即可；
（2）先算出2A−B=4xy+3y2−7，再将xy+3y2=4整体代入即可
【详解】（1）∵A=3xy+5y2−2，B=2xy−2y2+3
∴ 2A−B=23xy+5y2−2−2xy−2y2+3
=6xy+10y2−4−2xy+2y2−3
=4xy+12y2−7
=4xy+3y2−7
∵ x=−3，y=−2
∴2A−B=4xy+3y2−7=4×−3×−2+3×−22−7=65
（2）∵A=3xy+5y2−2，B=2xy−2y2+3
∴ 2A−B=23xy+5y2−2−2xy−2y2+3
=6xy+10y2−4−2xy+2y2−3
=4xy+12y2−7
=4xy+3y2−7
∵xy+3y2=4
2A−B=4xy+3y2−7=4×4−7=9
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，以及求代数式的值，熟练掌握整式加减的法则，整体代入求值是解题关键．
2．先化简，再求值xy2−x+126y+2xy2−3x，其中32y−x=12．
【答案】2x−3y；1
【分析】先去括号，然后合并同类项，最后将式子的值代入进行计算即可求解．
【详解】解：xy2−x+126y+2xy2−3x
=xy2−x−126y+2xy2+3x
=xy2−x−3y−xy2+3x
=2x−3y，
∵32y−x=12，
∴2x−3y=−232y−x=−2×12=−1．
【点睛】本题考查了整式的加减与化简求值，正确的去括号与合并同类项是解题的关键．
3．先化简，再求值．
已知：A=x2+2y−3，B=2x2−xy+1，当x=−1，y=2时，求A−2B的值．
【答案】−3x2+2xy+2y−5；−8
【分析】先根据整式的加减：合并同类项进行化简，再将x、y的值代入求解即可．
【详解】解：因为A=x2+2y−3，B=2x2−xy+1，
所以A−2B=x2+2y−3−22x2−xy+1
=x2+2y−3−4x2+2xy−2
=x2−4x2+2xy+2y−2−3
=−3x2+2xy+2y−5
当x=−1，y=2时，
−3x2+2xy+2y−5
=−3×−12+2×−1×2+2×2−5
=−3×1+−4+4−5
=−3−5
=−8．
【点睛】本题考查了整式的加减－化简求值，熟记运算法则是解题关键．
4．先化简，再求值：2a2b+2ab−3a2b−2−3ab2+2ab+5ab2，其中ab=1，a+b=6．
【答案】−a2b−ab2+6ab，0
【详解】解：原式=2a2b+2ab−3a2b+2−3ab2+2ab+5ab2
=2a2b+2ab−3a2b−6ab2+4ab+5ab2
=−a2b−ab2+6ab，
当ab=1，a+b=6时，
原式=−aba+b+6ab
=−1×6+6×1
=0．
【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则．
5．某同学做一道数学题“两个多项式A和B，B为4x2−5x−7，试求A+2B的值”．小亮误将A+2B看成A−2B，计算结果为−2x2+10x+14．
(1)试求多项式A；
(2)求当x=−1时，A+2B的值．
【答案】(1)A=6x2
(2)10
【分析】（1）根据题意，利用整式的加减运算法则进行计算即可；
（2）先求出A+2B，再将x=−1代入求值即可．
【详解】（1）由题意可得：
A−24x2−5x−7=−2x2+10x+14
∴A−8x2+10x+14=−2x2+10x+14，
∴A=−2x2+10x+14+8x2−10x−14
∴A=6x2；
（2）A+2B=6x2+24x2−5x−7
=6x2+8x2−10x−14
=14x2−10x−14．
当x=−1时，
原式=14×−12−10×−1−14
=14+10−14
=10．
【点睛】本题考查了整式的加减运算和代入求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．先化简，再求值：5ab−23ab−4ab2+12ab−5ab2，其中a=−1，b=12．
【答案】3ab2，−34
【分析】按照先去括号，再合并同类项的步骤进行化简，再把字母的值代入化简结果计算即可．
【详解】解：5ab−23ab−4ab2+12ab−5ab2
=5ab−23ab−4ab2−12ab−5ab2
=5ab−6ab+8ab2+ab−5ab2
=3ab2
把a=−1，b=12代入
原式=3×−1×122=−3×14=−34
【点睛】此题考查整式加减中的化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．
7．先化简，再求值：2x2−313x2y+23xy−2x2−xy，其中x=3，y=−2．
【答案】−x2y，18
【分析】先去括号，然后合并同类项，再将x、y的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：2x2−313x2y+23xy−2x2−xy
=2x2−x2y−2xy−2x2+2xy
=−x2y，
当x=3，y=−2时，原式=−32×(−2)=18．
【点睛】本题考查整式的加减运算－化简求值，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法．
8．已知A=x3+ax，B=2bx3−4x−1．
(1)若多项式2A−B的值与x的取值无关，求a，b的值；
(2)当x=2时，多项式2A−B的值为21，求当x=−2时，多项式2A−B的值．
【答案】(1)a=−2,b=1
(2)−19
【分析】（1）首先化简2A−B，然后根据题意列方程求解即可；
（2）首先将x=2代入2A−B得到8(2−2b)+2(2a+4)=20，然后将x=−2代入2A−B，最后整体代入求解即可．
【详解】（1）解：2A−B
=2(x3+ax)−(2bx3−4x−1)
=2x3+2ax−2bx3+4x+1
=(2−2b)x3+(2a+4)x+1，
∵多项式2A−B的值与x的取值无关，
∴2−2b=0,2a+4=0，
∴a=−2,b=1；
（2）解：把x=2代入(2−2b)x3+(2a+4)x+1得：
8(2−2b)+2(2a+4)+1=21，
∴8(2−2b)+2(2a+4)=20，
把x=−2代入(2−2b)x3+(2a+4)x+1得：
−8(2−2b)−2(2a+4)+1=21
=−8(2−2b)+2(2a+4)+1
=−20+1
=−19，
∴当x=−2时，2A−B的值为−19．
【点睛】此题考查了整式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的加减混合运算法则．
9．已知A=−2a2+ab−3a−1，B=−a2−2ab+1．
(1)求A−2B；
(2)若A−2B的值与a的取值无关，求b的值．
【答案】(1)5ab−3a−3；
(2)b=35．
【分析】（1）把A和B代入求解即可；
（2）根据题意可得5ab−3a−3与a的取值无关，即化简之后a的系数为0，据此求b值即可．
【详解】（1）解：A−2B=−2a2+ab−3a−1−2−a2−2ab+1
=−2a2+ab−3a−1+2a2+4ab−2
=5ab−3a−3；
（2）解：A−2B=5ab−3a−3=5b−3a−3
∵A−2B的值与a的取值无关，
∴5b−3=0，
解得b=35．
【点睛】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则以及合并同类项法则．
10．“整体思想”是中学数学学习中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，例如把a+b看成一个整体：4a+b+3a+b=4+3a+b=7a+b，请应用整体思想解答下列问题：
（1）化简：5m+n2−7m+n2+3m+n2；
（2）已知a−2b=2，2b−c=−5，c−d=9，求a−c+2b−d−2b−c的值．
【答案】（1）(m+n)2；（2）6．
【分析】（1）把m+n看作一个整体合并即可；
（2）先根据已知条件求出a-c和2b-d的值，然后用整体代入发求解即可；
【详解】解：（1）5m+n2−7m+n2+3m+n2=5−7+3m+n2=m+n2；
（2）∵a−2b=2，2b−c=−5，c−d=9，
∴a−2b+2b−c=a−c=2−5=−3，
2b−c+c−d=2b−d=−5+9=4，
∴a−c+2b−d−2b−c=3+4−−5=6．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，把一个式子看作一个整体，将待求式化为含有这一个或几个式子的形式，再代入求值．运用整体代换，往往能使问题得到简化．
11．已知：A＝ax2﹣x﹣1，B＝3x2﹣2x+2（a为常数）
(1)当a＝12时，化简：B﹣2A；
(2)在（1）的条件下，若B﹣2A﹣2C＝0，求C；
(3)若A与B的和中不含x2项，求a的值．
【答案】(1)原式=2x2+4
(2)C=x2+2
(3)a=﹣3
【分析】（1）将A＝ax2﹣x﹣1，B＝3x2﹣2x+2当作一个整体代入，再根据整式的加减运算化简求值即可；
（2）根据整式的加减运算顺序即可求解；
（3）根据和中不含x2项即是此项的系数为0即可求解．
【详解】（1）解：（1）B﹣2A＝3x2﹣2x+2﹣2（ax2﹣x﹣1）
＝（3﹣2a）x2+4
当a＝12时，原式＝2x2+4．
（2）（2）∵B﹣2A﹣2C＝0，B﹣2A＝2x2+4，
∴2x2+4﹣2C＝0，
∴C＝x2+2．
（3）（3）∵A+B＝ax2﹣x﹣1+3x2﹣2x+2
＝（a+3）x2﹣3x+1
∵不含x2项，
∴a+3＝0，
∴a＝﹣3．
【点睛】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是掌握整式的加减运算顺序．注意代入A和B时，要将A＝ax2﹣x﹣1，B＝3x2﹣2x+2当作一个整体代入，括号不能忘记．
12．若多项式2x3+4x2+x−1与多项式3x3+2mx2−5x+7相减后不含二次项，则：
(1)求m的值；
(2)求代数式−m2+2m+1的值：
【答案】(1)m=2
(2)1
【分析】（1）多项式相减后，合并得到结果，根据结果中不含二次项，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
（2）将m的值代入代数式−m2+2m+1中，求解即可．
【详解】（1）解：2x3+4x2+x−1−(3x3+2mx2−5x+7)
=2x3+4x2+x−1−3x3−2mx2+5x−7
=−x3+(4−2m)x2+6x−8
∵结果不含二次项，
∴4−2m=0，
解得：m=2．
（2）解：将m=2代入−m2+2m+1中，
原式=−22+2×2+1=1，
答：代数式的值为1．
【点睛】此题考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则．
13．（1）已知a，b，c三个数在数轴上对应的点如图所示，化简：b−a−2a−b+a−c−c．
（2）先化简，再求值：x2−y2−2xy−−3x2+4xy+x2+5xy，其中x=−1，y=2．
【答案】（1）0；（2）5x2−xy−y2；3
【分析】（1）观察数轴得：c<−3
（2）先去括号，再合并同类项，然后把x=−1，y=2代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：（1）观察数轴得：c<−3
∴原式=a−b−2a−b+a−c−−c
=a−b−2a+b+a−c+c
=0；
（2）原式=x2−y2−2xy+3x2−4xy+x2+5xy
=5x2−xy−y2，
当x=−1，y=2时，原式=5×−12−−1×2−22=5+2−4=3．
【点睛】本题主要考查了整式加减中的化简求值，数轴，绝对值的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
14．（1）已知a，b，c三个数在数轴上对应的点如图所示，化简：b−a−2a−b+a−c−c
（2）先化简，再求值：x2−y2−2xy−−3x2+4xy+x2+5xy，其中x=−1，y=2．
【答案】（1）−2c；（2）5x2−xy−y2，3
【分析】（1）根据数轴上点的位置确定绝对值的大小，再去括号合并即可；
（2）根据去括号法则先去括号，再根据整式的加减合并，然后将值代入计算即可．
【详解】解：（1）由数轴可知b−a<0，2a−b>0，a−c>0，c<0，
∴原式=a−b−2a−b+a−c−c
=a−b−2a+b+a−c−c
=−2c；
（2）原式=x2−y2−2xy+3x2−4xy+x2+5xy
=5x2−xy−y2
当x=−1，y=2时，
原式=5×(−1)2−(−1)×2−22
=5+2−4
=3．
【点睛】本题考查了数轴与绝对值，整式的加减，去括号等相关知识点，理解绝对值意义和去括号法则是解题的关键．
15．在数轴上，点P,Q分别表示数a,b，则点P,Q之间的距离为线段PQ的长，即PQ=a−b．
(1)如图，点A,B在以点O为原点的数轴上，点A表示的数为6，点B在原点左侧，且AB=32OA，求点B表示的数；
(2)在（1）的条件下，设x=OA，y=OB，求代数式6x2−7xy−23x2−4xy+3的值．
【答案】(1)−3
(2)12
【分析】（1）根据点A表示的数为6，可知OA的长，根据AB=32OA，可求出AB的长，根据两点之间的距离的计算方法，即可求解；
（2）先化简代数式，再将x=OA，y=OB的代入，即可求解．
【详解】（1）解：∵点O为原点，点A表示的数为6，
∴OA=6，
∵AB=32OA，
∴AB=32×6=9，
根据两点之间的距离计算方法，设点B对应的数字为x，且点B在原点的左边，
∴AB=x−6=9，解得，x1=−3，x2=15（舍去）
∴点B表示的数是−3．
（2）解：6x2−7xy−23x2−4xy+3
=6x2−7xy−6x2+8xy−6
=xy−6，
∵x=OA=6，y=OB=3，
∴原始=3×6−6=12．
【点睛】本题主要考查数轴的知识，掌握数轴上两点之间距离的计算方法，代数式的化简求值计算方法是解题的关键．
16．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：a+b−c−b+b−a．
【答案】c−3b
【分析】先根据数轴得到a+b<0，c−b<0，b−a<0，再化简绝对值计算即可．
【详解】由数轴可得a+b<0，c−b<0，b−a<0，
∴a+b−c−b+b−a
=−a+b−−c−b+−b−a
=−a+b+c−b−b−a
=−a−b+c−b−b+a
=c−3b
【点睛】本题考查了根据数轴化简绝对值计算，根据数轴得到a+b<0，c−b<0，b−a<0是解题的关键．
17．先化简，再求值：12(2a2b+3ab2)−[3a2b−2(a2b−1)+1]+72ab2，其中a−12=0，在数轴上表示数b的点在原点左侧，且到原点的距离为2．
【答案】5ab2−3，17
【分析】先按照整式加减法进行化简，再根据已知条件求出a和b的值，代入化简结果计算即可．
【详解】原式=a2b+32ab2−(3a2b−2a2b+2+1)+72ab2
=a2b+32ab2−(a2b+3)+72ab2
=a2b+32ab2−a2b−3+72ab2
=5ab2−3．
∵a−12=0，在数轴上表示数b的点在原点左侧，且到原点的距离为2．
∴a=1,b=−2，
∴ 原式=5×1×−22−3
=17．
【点睛】此题主要考查了整式的化简求值，还考查了非负数的性质、用数轴上的点表示数等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
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