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2023年新八年级数学人教版暑假弯道超车自学预习——第08讲 全等三角形的常见模型
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第08讲 全等三角形的常见模型
【人教版】
·模块一 “X”型
·模块二 共顶点的三角形旋转（手拉手模型）
·模块三 一线三垂直型
·模块四 中点型
·模块五 课后作业
模块一
“X”型
【例1】如图，AB与CD相交于点O，且O是AB，CD的中点，则△AOC与△BOD全等的理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．SSS D．HL
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：∵O是AB，CD的中点，
∴OA=OB,OC=OD,
在△AOC和△DOB中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD
∴△AOC≅△DOBSAS，
故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
【例2】如图，线段AC，BD相交于点O，且AO=OC，BO=OD，DE=BF，CE=9cm，求AF的长．
【答案】9cm
【分析】先证明OE=OF，再利用SAS证明△AOF≌△COE，即可得到AF=CE=9cm．
【详解】解：∵OB=OD，DE=BF，
∴OE=OF．
又∵OA=OC，∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COESAS，
∴AF=CE=9cm．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
【例3】如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
(1)求证：△BDE≌△CDF；
(2)若AE=13，AF=7，试求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)DE=3
【分析】（1）利用中点性质可得BD=CD，由平行线性质可得∠DBE=∠DCF，再由对顶角相等可得∠BDE=∠CDF，即可证得结论；
（2）由题意可得EF=AE-AF=6，再由全等三角形性质可得DE=DF，即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE=∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
∠DBE=∠DCFBD=CD∠BDE=∠CDF，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：∵AE=13，AF=7，
∴EF=AE-AF=13-7=6，
∵△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，
∵DE+DF=EF=6，
∴DE=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【变式1】如图，点C是AE上一点，CD交EB于点F，CF=DF，EA∥DB，求证：EF=BF．
【答案】见解析
【分析】先证明ΔECF≌ΔBDFAAS，再根据全等三角形的性质即可求得CF=DF．
【详解】证明：∵ EA∥DB，
∴∠ECF=∠BDF，∠CEF=∠DBF，
∴在ΔECF与ΔBDF中，
∠ECF=∠BDF∠CEF=∠DBFCF=DF
∴ΔECF≌ΔBDFAAS，
∴CF=DF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答此题的关键．
模块二
共顶点的三角形旋转（手拉手模型）
【例1】如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
【答案】D
【分析】由在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，根据等边三角形的性质，即可求得BD的长，然后由旋转的性质，即可求得CE的长度．
【详解】解：∵在等边三角形ABC中，AB=6，
∴BC=AB=6，
∵BC=3BD，
∴BD=13BC=2，
∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE=BD=2．
故选D．
【例2】如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE，若∠DAB＝10°，则∠ABE是( )
A．75° B．78° C．80° D．92°
【答案】C
【分析】证明△BCE≌△ACD，求出∠EBC度数，利用∠ABE=∠EBC+∠ABC求解．
【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
∴∠DAC=45°-10°=35°．
在△BEC和△ADC中，
DC=EC∠ECB=∠DCAAC=BC ，
∴△BCE≌△ACD（SAS）．
∴∠EBC=∠DAC=35°．
∴∠ABE=∠EBC+∠DAC=80°．
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质，利用旋转性质得到全等判定的条件，利用全等转化角，是解决这类问题的方法．
【例3】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点C的对应点为点C′，C′B′的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC≅△AB′C′ B．AB′//BC
C．∠CDC′=∠CAC′ D．AD平分∠BDB′
【答案】B
【分析】A、根据旋转的性质即可判断；B、由旋转角的任意性可以判断；C、由三角形内角和为180°且两个角相等即可判断；D、利用角平分线的判定定理即可证明．
【详解】解：
A、由旋转的性质可知：△ABC≅△AB′C′，故A正确，不符合题意；
B、∵△AB'C'由△ABC绕A旋转任意角度得到，
∴AB'//BC只是特殊情况，故B错误，符合题意；
C、∵△ABC≌△AB'C'，∴∠C'=∠C，
∵∠C'AC=180°−∠C'−∠1，∠CDC'=180°−∠C−∠2，
∵∠1=∠2,∴∠CDC'=∠CAC'，故C正确，不符合题意；
D、过A分别作C'D,CB的垂线，垂直分别是E,F，
∵△ABC≌△AB'C'，∴BC=B'C'，S△ABC=S△AB'C'；
∴12×B'C'×AE=12×BC×AF，∴AE=AF，
∵AE⊥C'D,AF⊥CB，
∴AD平分∠BDB′，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了，旋转的性质、平行线的判定定理、三角形内角和、角平分线，解题的关键是：掌握相关定理依次进行判断．
【变式1】如图，已知O是等边△ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD=OA，∠AOB=120°，那么∠BDC=_____．
【答案】60°
【分析】由∠AOB的度数利用邻补角互补可得出∠AOD=60°，结合OD=OA可得出ΔAOD为等边三角形，而根据旋转全等模型由SAS易证出ΔBAO≅ΔCAD，根据全等三角形的性质可得出∠ADC=∠AOB=120°，再根据∠BDC=∠ADC−∠ADO即可求出∠BDC的度数．
【详解】解：∵ΔABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵∠AOB=120°，∠AOD+∠AOB=180°，
∴∠AOD=60°．
又∵OD=OA，
∴ΔAOD为等边三角形，
∴AO=AD，∠OAD=60°，∠ADO=60°．
∵∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=60°，
∴∠BAO=∠CAD．
在ΔBAO和ΔCAD中，
AB=AC∠BAO=∠CADAO=AD，
∴ΔBAO≅ΔCAD(SAS)，
∴∠ADC=∠AOB=120°，
∴∠BDC=∠ADC−∠ADO=60°．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，通过证明ΔBAO≅ΔCAD，找出∠ADC=∠AOB=120°是解题的关键．
【变式2】如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．
（1）求证：EB＝DC；
（2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数．
【答案】（1）见解析；（2）50°
【分析】（1）根据旋转的性质，可得AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，从而得到∠BAE=∠CAD，可证得△BAE≌△CAD，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质，可得∠BEA=∠ADC=115°，再由等腰三角形的性质，可得∠AED=65° ，即可求解．
【详解】证明（1）∵将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合，
∴AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，
∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，
∴△BAE≌△CAD，
∴EB=DC；
（2）∵△BAE≌△CAD，
∴∠BEA=∠ADC=115°，
∵∠DAE=50°，AD=AE，
∴∠AED=12180°−∠DAE=65° ，
∴∠BED=∠BEA-∠AED=115°-65°=50°．
【点睛】本题主要考查了图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【变式3】以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连结BE、CF.
（1）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角.
（2）试探索BE和CF有什么数量关系和位置关系？并说明理由.
【答案】(1) 三角形ABE 与三角形ACF ，旋转中心为点A，旋转角度为90°或270°(2) BE=CF且BE⊥CF，理由详见解析.
【分析】（1）旋转不改变图形的大小，则一定找全等图形，由SAS条件可证明全等的图形可以是三角形ACF与三角形ABE，三角形ABE以点A顺时针旋转90°可得到三角形ACF.
（2）由三角形ACF与三角形ABE全等得到BE和CF相等，再通过直角三角形中锐角的等量代换得到 FHB=90°，进而得到BE和CF垂直.
【详解】（1）∵四边形ACDE和四边形ABGF是正方形
∴AB=AF，AC=AE
又∠FAB=∠EAC=90°
∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC
即∠FAC=∠EAB
在三角形ACF与三角形AEB中
{AB=AF∠FAC=∠BAEAC=AE
所以△ACF≅△AEB (SAS)
由旋转不改变图形的大小可知，三角形ABE绕点A顺时针旋转90°可得到三角形ACF.
三角形ABE绕点A逆时针旋转270°可得到三角形ACF.
（2）判断BE=CF且BE⊥CF，理由如下：
由（1）可知△ACF≅△AEB
则BE=CF，∠ACF=∠AEB
在直角三角形AOE中，∠AEO+∠AOE=90°
而∠AOE=∠COH
则在三角形HOC中，∠ACH+∠COH=90°
即三角形HOC是直角三角形
则∠OHC=90°
即BE⊥CF
综上：BE=CF且BE⊥CF
【点睛】本题考查了三角形全等的性质定理，本题解题关键在于找准全等三角形，利用全等三角形对应边相等，对应角相等的性质灵活解题.
模块三
一线三垂直型
【例1】如图，两座建筑物AB，CD相距160m，小月从点B沿BC走向点C，行走ts后她到达点E，此时她仰望两座建筑物的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA=ED．已知建筑物AB的高为60m，小月行走的速度为1m/s，则小月行走的时间t的值为（ ）
A．100 B．80 C．60 D．50
【答案】A
【分析】首先证明∠A=∠DEC，然后可利用AAS判定△ABE≌△ECD，进而可得EC=AB=60m，再求出BE的长，然后利用路程除以速度可得时间．
【详解】解：∵∠AED=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∵∠ABE=90°，
∴∠A+∠AEB=90°，
∴∠A=∠DEC，
在△ABE和△ECD中
∠B=∠C∠A=∠DECAE=ED，
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴EC=AB=60m，
∵BC=160m，
∴BE=100m，
∴小华走的时间是100÷1=100（s），
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△ABE≌△ECD．
【例2】如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长是（ ）
A．8cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】C
【分析】根据已知条件，观察图形得∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∠CAE=∠BCD，然后证ΔAEC≅ΔCDB后求解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，
∴∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，
∴∠CAE=∠BCD，
又∵∠AEC=∠CDB=90°，AC=BC，
∴ΔAEC≅ΔCDB．
∴CE=BD=2，CD=AE=5，
∴ED=CD−CE=5−2=3(cm)．
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∠CAE=∠BCD，是解题的关键．
【例3】如图，已知点O（0，0），P（1，2），将线段PO绕点P按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，则第19秒时，点O的对应点坐标为（ ）
A．（0，0） B．（3，1） C．（﹣1，3） D．（2，4）
【答案】B
【分析】依据线段PO绕点P按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，即可得到19秒后点O旋转到点O'的位置，再根据全等三角形的对应边相等，即可得到点O的对应点O'的坐标．
【详解】解：如图所示，∵线段PO绕点P按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，每4秒一个循环，19＝4×4+3，
∴3×90°＝270°，
∴19秒后点O旋转到点O'的位置，∠OPO'＝90°，
如图所示，过P作MN⊥y轴于点M，过O'作O'N⊥MN于点N，
则∠OMP＝∠PNO'＝90°，∠POM＝∠O'PN，OP＝PO'，
在△OPM和△PO'N中，
∠OMP＝∠PNO'∠POM＝∠O'PNOP＝PO'，
∴△OPM≌△PO'N（AAS），
∴O'N＝PM＝1，PN＝OM＝2，
∴MN＝1+2＝3，点O'离x轴的距离为2-1＝1，
∴点O'的坐标为（3，1），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
【变式1】如图，点A，B，D在同一条直线上，且∠A=∠D=90°，AC=BD，∠ABC=∠DEB．连接CE，试判断△CBE的形状，并说明理由．
【答案】△CBE是等腰直角三角形，理由见解析．
【分析】证明△ABC≌△DEB即可．
【详解】△CBE是等腰直角三角形．
理由如下：
∵∠D=90°
∴∠DEB+∠DBE=90°，
∵∠ABC=∠DEB，
∴∠ABC+∠DBE=90°．
∴∠CBE=180°－(∠ABC+∠DBE)=90°．
在△ABC和△DEB中，
∠ABC=∠DEB∠A=∠DAC=BD．
∴△ABC≌△DEB(AAS)．
∴BC=EB．
∴△BCE是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，这个题是典型的一线三垂直模型，根据已知条件证明全等是解题的关键．
【变式2】如图，RtΔABC中，∠ACB=90°, BC=2, AC=3，点D在RtΔABC的边AC上，DC=m，以BD为直角边在AC同侧作等腰直角三角形BDE，使BD=DE=n，连接AE，若S四边形AEBC=52n，则m与n的数量关系式是（ ）
A．nm=6 B．m+n=5 C．n−m=1 D．2n=3m
【答案】B
【分析】作EF⊥AC，垂足为F，根据全等的条件可得，△DBC≌△EDF，可得CD=EF=m，S四边形AEBC=S△BDE+ S△BDC+ S△ADE，可得出m+n=5．
【详解】解：作EF⊥AC，垂足为F
∴∠EFD=∠ACB=90°,
∴∠BDC+∠DBC=90°
∵三角形BDE是等腰直角三角形，
∴∠EDB=90°，
∴∠EDF+∠BDC=90°，
∴∠EDF=∠DBC
在△DBC和△EDF中
∠EFD=∠DCB∠EDF=∠DBCED=DB
∴△DBC≌△EDF（AAS）
∴CD=EF=m,
∵AC=3,
∴AD=AC-CD=3-m
∵S四边形AEBC=S△BDE+ S△BDC+ S△ADE
∴S四边形AEBC= 12BD⋅DE+12DC⋅CB+12AD⋅FE
=12n⋅n+12m⋅2+12(3−m)⋅m=52n
化简得：n2+2m+3m−m2=5n
(n+m)(n−m)=5(n−m)，
∵n是RtΔDBC的斜边，m是直角边
∴n-m＞0
∴n+m=5
故答案选：B
【点睛】本题主要考查了构造三角形全等，割补法求面积，因式分解，解决本题的关键是构造全等三角表示出面积．
【变式3】已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m过点A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE．
(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）
【答案】(1)DE=BD−CE，证明见解析；
(2)DE=BD+CE，DE=BD−CE，DE=CE−BD．
【分析】（1）利用条件证明△ABD≌△CAE， 再结合线段的和差可得出结论；
（2）根据图，可得BD、DE、CE存在3种不同的数量关系；
【详解】（1）证明：如图2，
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
∠BDA=∠CBA∠ABD=∠CABAB=CA，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE
∵DE=AE−AD，
∴DE=BD−CE．
（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在3种不同的数量关系：DE=BD+CE，DE=BD−CE，DE=CE−BD．
如图1时，DE=BD+CE，
如图2时，DE=BD−CE，
如图3时，DE=CE−BD，（证明同理）
【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质．
模块四
中点型
【例1】在△ABC中，AC=6，中线AD=10，则AB边的长可以是（ ）
A．30 B．22 C．14 D．6
【答案】B
【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
【详解】解：如图，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
BD=CD∠ADB=∠EDCAD=DE，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=CE，
∵AD=10，
∴AE=10+10=20，
∵20+6=26，20-6=14，
∴14＜CE＜26，
即14＜AB＜26，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，中线的性质，三角形三边关系，倍长中线，进而根据三角形三边关系求解是解题的关键．
【例2】某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程．
(1)求证：△ABD≌△ECD
证明：延长AD到点E，使DE＝AD
在△ABD和△ECD中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（ ）
CD＝ （中点定义）
∴△ABD≌△ECD（ ）
(2)由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 ；
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如下图，△ABC中，∠B=90°，AB=2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=4，且∠ADE=90°，求AE的长．
【答案】(1)对顶角相等；BD；SAS
(2)1
【分析】（1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明△ABD≌△ECD；
（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；
（3）延长AD交EC的延长线于F，证明△ABD≌△FCD，△ADE≌△FDE，根据全等三角形的性质解答．
【详解】（1）延长AD到点E，使DE＝AD
在△ABD和△ECD中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（对顶角相等）
CD＝BD（中点定义）
∴△ABD≌△ECD（SAS）
故答案为：对顶角相等；BD；SAS
（2）∵△ABD≌△ECD ，AB＝6，AC＝8，
∴CE=AB=6，
8−6
∴1
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ABD=∠FCD，
在△ABD和△FCD中，
∠ABD=∠FCDBD=CD∠ADB=∠FDC，
∴△ABD≌△FCD，
∴CF=AB=2，AD=DF，
又∵∠FDE＝∠ADE＝90°
ED＝ED
∴△ADE≌△FDE
∴AE=EF，
∵EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6，
∴AE=6．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件．
【例3】我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：
(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．
(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．
①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；
②求证：AC＝2OP．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；
（2）①延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD；
②证明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，
又∵AO=OB，OC=OD，
∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；
（2）①证明：延长OP至E，使PE=OP，
∵P为BD的中点，
∴BP=PD，
又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，
∴△BPE≌△DPO（SAS），
∴BE=OD；
②证明：∵△BPE≌△DPO，
∴∠E=∠DOP，
∴BE∥OD，
∴∠EBO+∠BOD=180°，
又∵∠BOD+∠AOC=180°，
∴∠EBO=∠AOC，
∵BE=OD，OD=OC，
∴BE=OC，
又∵OB=OA，
∴△EBO≌△COA（SAS），
∴OE=AC，
又∵OE=2OP，
∴AC=2OP．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式1】如图，在△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
【答案】（1）见解析；（2）AE=CD，见解析
【分析】（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可；
（2）延长AB至点F，使得BF=AB，连接DF，可证得△ABE ≌ △FBD，则AE=FD，再通过证明△FAD ≌ △CAD，可得到FD=CD，从而得到AE=CD即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图，
判断：AE=CD
证明如下：
延长AB至点F，使得BF=AB，连接DF
在△ABE和△FBD中，
∵AB=FB∠ABE=∠FBDEB=DB
∴△ABE ≌ △FBD
∴AE=FD
∵BF=AB
∴AF=2AB
∵AC=2AB
∴AF=AC
∵AD平分∠BAC
∴∠FAD=∠CAD
在△FAD和△CAD中，
∵AF=AC∠FAD=∠CADAD=AD
∴△FAD ≌ △CAD
∴FD=CD
又∵AE=FD
∴AE=CD
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键．
【变式2】如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上的一点，BE交AD于点F，已知AE=EF． 求证：AC=BF．
【答案】见解析
【分析】延长AD到G，使得DG=AD，连接BG，证明△ADC≌△GDB（SAS） 得到AC=BG 且∠CAD=∠G，再由等腰三角形的性质得到AE=EF，继而证明BG=BF，据此解题．
【详解】证明：延长AD到G，使得DG=AD，连接BG，
在△ADC和△GDB中
AD=GD∠ADC=∠GDBCD=BD
∴△ADC≌△GDB（SAS）
∴AC=BG 且∠CAD=∠G
∵AE=EF
∴∠EFA=∠EAF
∴∠G=∠EFA
∵∠EFA=∠BFG
∴∠G=∠BFG
∴BG=BF
∵AC=BG
∴BF=AC
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、等角对等边等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
【变式3】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为__________．
【答案】8
【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE，先求出∠CAE=∠BAC-∠DAB=30°，然后证明△BAD≌△CED得到∠BED=∠DAC=90°，CE=AB=4，则AC=2CE=8．
【详解】解：如图所示，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，
∵BA⊥AD，
∴∠DAB=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAE=∠BAC-∠DAB=30°，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在△BAD和△CED中，
BD=CD∠BDA=∠CDEDA=DE，
∴△BAD≌△CED（SAS），
∴∠DEC=∠DAB=90°，CE=AB=4，
∴AC=2CE=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造出含30度角的直角三角形是解题的关键．
模块五
课后作业
1．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定定理证明即可．
【详解】解：在△OAB与△OA′B′中，
AO=A′O∠AOB=∠A′OB′BO=B′O，
∴△OAB≌△OA′B′SAS．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，AB=7，AC=9，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（ ）
A．2
【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE，证明△ACD≌△EBD得到DE=AD，利用三角形的三边关系得到2
∵AD是BC边上的中线，
∴CD=BD，
在△ACD和△EBD中，
CD=BD∠ADC=∠EDBAD=DE，
∴△ACD≌△EBDSAS，
∴AC=BE，
∵AB=7，AC=9，
∴9−7
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，灵活添加辅助线（倍长中线法）构造全等三角形是解答的关键．
3.如图，ΔABC中，D是边BC的中点，过点C作CE//AB,交AD的延长线于点E．求证:D是AE的中点．
证明:∵CE//AB(已知)，
∴∠B=_ (两直线平行，内错角相等)，
∵D是边BC的中点，
∴BD=(_ ），(_ ），
在ΔABD和ΔECD中，
∠ADB=∠EDCBD=CD∠B=∠BCE，
∴ΔABD≅ΔECD( ) ，
∴AD= (全等三角形的对应边相等)，
∴D是AE的中点．
【答案】∠BCE;CD；线段中点的定义；ASA;ED
【分析】利用中线类倍长的基本模型进行证明，结合平行线的性质进行论证．
【详解】证明:∵CE//AB(已知)，
∴∠B=∠BCE(两直线平行，内错角相等)，
∵D是边BC的中点，
∴BD=CD(线段中点的定义)，
在ΔABD和ΔECD中，
∠ADB=∠EDCBD=CD∠B=∠BCE
∴ΔABD≅ΔECDASA，
∴AD=ED(全等三角形的对应边相等)，
∴D是AE的中点．
【点睛】本题考查了类倍长中线的模型，能够通过平行结合中点问题，推出三角形全等，是解决问题的关键．
4.如图,点P是等边三角形ABC内一点,且PA=3,PB=4, PC=5,若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB,则∠APB的度数______．
【答案】150°
【分析】首先证明△BPQ为等边三角形，得∠BQP=60°，由△ABP≌CBQ可得QC=PA，在△PQC中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出∠PQC=90°，可求∠BQC的度数，由此即可解决问题．
【详解】解：连接PQ，
由题意可知△ABP≌△CBQ
则QB=PB=4，PA=QC=3，∠ABP=∠CBQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°，
∴∠PBQ=∠CBQ+∠PBC=60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∴PQ=PB=BQ=4，
又∵PQ=4，PC=5，QC=3，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
∵△BPQ为等边三角形，
∴∠BQP=60°，
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=150°
∴∠APB=∠BQC=150°
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型．
5．如图，AB，CD相交于点O，AO=CO，DO=BO，连接AD，BC，求证：∠A=∠C．
【答案】见解析
【分析】利用SAS证明△AOD≌△COB，再解答即可．
【详解】证明：在△AOD和△COB中，
AO=CO∠AOD=∠CODDO=BO，
∴△AOD≌△COBSAS．
∴∠A=∠C．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△AOD≌△COB．
6．如图，AD，BC相交于点O，OB=OC，OA=OD，延长AD到F，延长DA到E，AE=DF，连接CF，BE．求证BE∥CF．
【答案】见解析
【分析】根据等式的性质得出OE=OF，再利用SAS证明△BOE≌△COF，再利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．
【详解】证明：∵OA=OD，AE=DF，
∴OA+AE=OD+DF，即OE=OF，
∵∠EOB=∠FOC，OB=OC，
∴△BOE≌△COF(SAS)，
∴∠E=∠F．
∴BE∥CF．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用边角边证明两个三角形全等．
7．（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A,BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D,E．求证：DE=BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）DE=BD+CE，证明见解析
【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；
（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；
【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下：
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
∠ABD＝∠CAE∠ADB＝∠CEA＝90°AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2）DE=BD+CE，理由如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
∠ABD＝∠CAE∠ADB＝∠CEAAB＝AC，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
8．如图，A4,0,B0,6，以B点为直角顶点在第一象限作等腰直角ΔABC，则C点的坐标为_________
【答案】6,10
【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通过角的计算即可得出∠ABO＝∠BCD，再结合∠CDB＝∠BOA＝90°即可利用AAS证出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标．
【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC．
∵CD⊥BD，BO⊥AO，
∴∠CDB＝∠BOA＝90°．
∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ABO＝∠BCD．
在△ABO和△BCD中，
∠ABO=∠BCD∠BOA=∠CDB=90°AB=BC，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD＝AO，CD＝BO，
∵A（4，0），B（0，6），
∴BD＝4，CD＝6，
∴点C的坐标为6,10，
故答案为：6,10．
【点睛】本题结合等腰直角三角形和坐标点综合考查，关键在于辅助线的作法，过C点作垂直于x轴的垂线还是垂直于y轴的垂线是解题关键．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝___．
【答案】3
【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论．
【详解】解：如图，连接AD．
在Rt△ADF和Rt△ADC中，
AD=ADAF=AC，
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），
∴DF＝DC，
∵BD＝5，BC＝4，
∴CD＝DF＝5﹣4＝1，
∵EF＝BC＝4，
∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10.如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE＝AD．
（1）试证明：△ACD≌△EBD；
（2）用上述方法解答下列问题：如图2，AD为△ABC的中线，BMI交AD于C，交AC于M，若AM＝GM，求证：BG＝AC．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．
【分析】（1）根据中线的定义，即可得到BD＝CD，再根据SAS即可判定△ACD≌△EBD．
（2）延长AD到F，使AD＝DF，连接BF，根据SAS证△ADC≌△FDB，推出BF＝AC，∠CAD＝∠F，根据AM＝GM，推出∠CAD＝∠AGM＝∠BGF，求出∠BGF＝∠F，根据等腰三角形的性质求出即可．
【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
CD=BD∠ADC=∠EDBAD=ED，
∴△ACD≌△EBD（SAS）．
（2）证明：延长AD到F，使AD＝DF，连接BF，
∵AD是△ABC中线，
∴BD＝DC，
∵在△ADC和△FDB中
BD=DC∠ADC=∠BDFAD=DF，
∴△ADC≌△FDB（SAS），
∴BF＝AC，∠CAD＝∠F，
∵AM＝GM，
∴∠CAD＝∠AGM，
∵∠AGM＝∠BGF，
∴∠BGF＝∠CAD＝∠F，
∴BG＝BF＝AC，
即BG＝AC．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键.
11．已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD和CE数量关系和位置关系．
(2)如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，画出图形．（1）的结论还成立吗?若成立，请证明； 若不成立，说明理由．
【答案】(1)BD和CE的数量关系是相等，位置关系是互相垂直，理由见详解；
(2)成立，理由见详解．
【分析】（1）由题意易得AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，AD=AE，则有∠BAD=∠CAE，然后可证△ABD≌△ACE，进而问题可求解；
（2）如图，然后根据（1）中的证明过程可进行求解．
(1)解：BD⊥CE且BD=CE，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
由旋转的性质可得：∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC =90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°，
∴BD⊥CE；
(2)解：（1）中结论仍成立，理由如下：
由题意可得如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
由旋转的性质可得：∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°，
∴BD⊥CE．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFE＝105°．
【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD（SAS），进而得证；
（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，
∴BD＝BE，∠EBD＝120°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，
∴∠BED＝∠BDE＝12（180°﹣120°）＝30°，
∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE
＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是解题的关键．
13．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠B+∠AEC＝180°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．求证：AC＝DC．
【答案】见解析
【分析】通过等量代换得到∠B＝∠DEC，证明△ABC≌△DEC（AAS），三角形全等对应边相等即可证明：
【详解】证明：∵∠B+∠AEC＝180°
∠CED+∠AEC＝180°
∴∠B＝∠DEC，
在△ABC和△DEC中，
∠B＝∠DEC∠BAC＝∠DBC＝CE,
∴△ABC≌△DEC（AAS）
∴AC＝DC；
【点睛】本题考查三角形全等的证明；掌握三角形全等的证明方法是解题的关键．
第08讲 全等三角形的常见模型
【人教版】
·模块一 “X”型
·模块二 共顶点的三角形旋转（手拉手模型）
·模块三 一线三垂直型
·模块四 中点型
·模块五 课后作业
模块一
“X”型
【例1】如图，AB与CD相交于点O，且O是AB，CD的中点，则△AOC与△BOD全等的理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．SSS D．HL
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：∵O是AB，CD的中点，
∴OA=OB,OC=OD,
在△AOC和△DOB中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD
∴△AOC≅△DOBSAS，
故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
【例2】如图，线段AC，BD相交于点O，且AO=OC，BO=OD，DE=BF，CE=9cm，求AF的长．
【答案】9cm
【分析】先证明OE=OF，再利用SAS证明△AOF≌△COE，即可得到AF=CE=9cm．
【详解】解：∵OB=OD，DE=BF，
∴OE=OF．
又∵OA=OC，∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COESAS，
∴AF=CE=9cm．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
【例3】如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
(1)求证：△BDE≌△CDF；
(2)若AE=13，AF=7，试求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)DE=3
【分析】（1）利用中点性质可得BD=CD，由平行线性质可得∠DBE=∠DCF，再由对顶角相等可得∠BDE=∠CDF，即可证得结论；
（2）由题意可得EF=AE-AF=6，再由全等三角形性质可得DE=DF，即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE=∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
∠DBE=∠DCFBD=CD∠BDE=∠CDF，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：∵AE=13，AF=7，
∴EF=AE-AF=13-7=6，
∵△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，
∵DE+DF=EF=6，
∴DE=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【变式1】如图，点C是AE上一点，CD交EB于点F，CF=DF，EA∥DB，求证：EF=BF．
【答案】见解析
【分析】先证明ΔECF≌ΔBDFAAS，再根据全等三角形的性质即可求得CF=DF．
【详解】证明：∵ EA∥DB，
∴∠ECF=∠BDF，∠CEF=∠DBF，
∴在ΔECF与ΔBDF中，
∠ECF=∠BDF∠CEF=∠DBFCF=DF
∴ΔECF≌ΔBDFAAS，
∴CF=DF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答此题的关键．
模块二
共顶点的三角形旋转（手拉手模型）
【例1】如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
【答案】D
【分析】由在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，根据等边三角形的性质，即可求得BD的长，然后由旋转的性质，即可求得CE的长度．
【详解】解：∵在等边三角形ABC中，AB=6，
∴BC=AB=6，
∵BC=3BD，
∴BD=13BC=2，
∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE=BD=2．
故选D．
【例2】如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE，若∠DAB＝10°，则∠ABE是( )
A．75° B．78° C．80° D．92°
【答案】C
【分析】证明△BCE≌△ACD，求出∠EBC度数，利用∠ABE=∠EBC+∠ABC求解．
【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
∴∠DAC=45°-10°=35°．
在△BEC和△ADC中，
DC=EC∠ECB=∠DCAAC=BC ，
∴△BCE≌△ACD（SAS）．
∴∠EBC=∠DAC=35°．
∴∠ABE=∠EBC+∠DAC=80°．
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质，利用旋转性质得到全等判定的条件，利用全等转化角，是解决这类问题的方法．
【例3】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点C的对应点为点C′，C′B′的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC≅△AB′C′ B．AB′//BC
C．∠CDC′=∠CAC′ D．AD平分∠BDB′
【答案】B
【分析】A、根据旋转的性质即可判断；B、由旋转角的任意性可以判断；C、由三角形内角和为180°且两个角相等即可判断；D、利用角平分线的判定定理即可证明．
【详解】解：
A、由旋转的性质可知：△ABC≅△AB′C′，故A正确，不符合题意；
B、∵△AB'C'由△ABC绕A旋转任意角度得到，
∴AB'//BC只是特殊情况，故B错误，符合题意；
C、∵△ABC≌△AB'C'，∴∠C'=∠C，
∵∠C'AC=180°−∠C'−∠1，∠CDC'=180°−∠C−∠2，
∵∠1=∠2,∴∠CDC'=∠CAC'，故C正确，不符合题意；
D、过A分别作C'D,CB的垂线，垂直分别是E,F，
∵△ABC≌△AB'C'，∴BC=B'C'，S△ABC=S△AB'C'；
∴12×B'C'×AE=12×BC×AF，∴AE=AF，
∵AE⊥C'D,AF⊥CB，
∴AD平分∠BDB′，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了，旋转的性质、平行线的判定定理、三角形内角和、角平分线，解题的关键是：掌握相关定理依次进行判断．
【变式1】如图，已知O是等边△ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD=OA，∠AOB=120°，那么∠BDC=_____．
【答案】60°
【分析】由∠AOB的度数利用邻补角互补可得出∠AOD=60°，结合OD=OA可得出ΔAOD为等边三角形，而根据旋转全等模型由SAS易证出ΔBAO≅ΔCAD，根据全等三角形的性质可得出∠ADC=∠AOB=120°，再根据∠BDC=∠ADC−∠ADO即可求出∠BDC的度数．
【详解】解：∵ΔABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵∠AOB=120°，∠AOD+∠AOB=180°，
∴∠AOD=60°．
又∵OD=OA，
∴ΔAOD为等边三角形，
∴AO=AD，∠OAD=60°，∠ADO=60°．
∵∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=60°，
∴∠BAO=∠CAD．
在ΔBAO和ΔCAD中，
AB=AC∠BAO=∠CADAO=AD，
∴ΔBAO≅ΔCAD(SAS)，
∴∠ADC=∠AOB=120°，
∴∠BDC=∠ADC−∠ADO=60°．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，通过证明ΔBAO≅ΔCAD，找出∠ADC=∠AOB=120°是解题的关键．
【变式2】如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．
（1）求证：EB＝DC；
（2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数．
【答案】（1）见解析；（2）50°
【分析】（1）根据旋转的性质，可得AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，从而得到∠BAE=∠CAD，可证得△BAE≌△CAD，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质，可得∠BEA=∠ADC=115°，再由等腰三角形的性质，可得∠AED=65° ，即可求解．
【详解】证明（1）∵将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合，
∴AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，
∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，
∴△BAE≌△CAD，
∴EB=DC；
（2）∵△BAE≌△CAD，
∴∠BEA=∠ADC=115°，
∵∠DAE=50°，AD=AE，
∴∠AED=12180°−∠DAE=65° ，
∴∠BED=∠BEA-∠AED=115°-65°=50°．
【点睛】本题主要考查了图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【变式3】以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连结BE、CF.
（1）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角.
（2）试探索BE和CF有什么数量关系和位置关系？并说明理由.
【答案】(1) 三角形ABE 与三角形ACF ，旋转中心为点A，旋转角度为90°或270°(2) BE=CF且BE⊥CF，理由详见解析.
【分析】（1）旋转不改变图形的大小，则一定找全等图形，由SAS条件可证明全等的图形可以是三角形ACF与三角形ABE，三角形ABE以点A顺时针旋转90°可得到三角形ACF.
（2）由三角形ACF与三角形ABE全等得到BE和CF相等，再通过直角三角形中锐角的等量代换得到 FHB=90°，进而得到BE和CF垂直.
【详解】（1）∵四边形ACDE和四边形ABGF是正方形
∴AB=AF，AC=AE
又∠FAB=∠EAC=90°
∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC
即∠FAC=∠EAB
在三角形ACF与三角形AEB中
{AB=AF∠FAC=∠BAEAC=AE
所以△ACF≅△AEB (SAS)
由旋转不改变图形的大小可知，三角形ABE绕点A顺时针旋转90°可得到三角形ACF.
三角形ABE绕点A逆时针旋转270°可得到三角形ACF.
（2）判断BE=CF且BE⊥CF，理由如下：
由（1）可知△ACF≅△AEB
则BE=CF，∠ACF=∠AEB
在直角三角形AOE中，∠AEO+∠AOE=90°
而∠AOE=∠COH
则在三角形HOC中，∠ACH+∠COH=90°
即三角形HOC是直角三角形
则∠OHC=90°
即BE⊥CF
综上：BE=CF且BE⊥CF
【点睛】本题考查了三角形全等的性质定理，本题解题关键在于找准全等三角形，利用全等三角形对应边相等，对应角相等的性质灵活解题.
模块三
一线三垂直型
【例1】如图，两座建筑物AB，CD相距160m，小月从点B沿BC走向点C，行走ts后她到达点E，此时她仰望两座建筑物的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA=ED．已知建筑物AB的高为60m，小月行走的速度为1m/s，则小月行走的时间t的值为（ ）
A．100 B．80 C．60 D．50
【答案】A
【分析】首先证明∠A=∠DEC，然后可利用AAS判定△ABE≌△ECD，进而可得EC=AB=60m，再求出BE的长，然后利用路程除以速度可得时间．
【详解】解：∵∠AED=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∵∠ABE=90°，
∴∠A+∠AEB=90°，
∴∠A=∠DEC，
在△ABE和△ECD中
∠B=∠C∠A=∠DECAE=ED，
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴EC=AB=60m，
∵BC=160m，
∴BE=100m，
∴小华走的时间是100÷1=100（s），
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△ABE≌△ECD．
【例2】如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长是（ ）
A．8cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】C
【分析】根据已知条件，观察图形得∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∠CAE=∠BCD，然后证ΔAEC≅ΔCDB后求解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，
∴∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，
∴∠CAE=∠BCD，
又∵∠AEC=∠CDB=90°，AC=BC，
∴ΔAEC≅ΔCDB．
∴CE=BD=2，CD=AE=5，
∴ED=CD−CE=5−2=3(cm)．
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∠CAE=∠BCD，是解题的关键．
【例3】如图，已知点O（0，0），P（1，2），将线段PO绕点P按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，则第19秒时，点O的对应点坐标为（ ）
A．（0，0） B．（3，1） C．（﹣1，3） D．（2，4）
【答案】B
【分析】依据线段PO绕点P按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，即可得到19秒后点O旋转到点O'的位置，再根据全等三角形的对应边相等，即可得到点O的对应点O'的坐标．
【详解】解：如图所示，∵线段PO绕点P按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，每4秒一个循环，19＝4×4+3，
∴3×90°＝270°，
∴19秒后点O旋转到点O'的位置，∠OPO'＝90°，
如图所示，过P作MN⊥y轴于点M，过O'作O'N⊥MN于点N，
则∠OMP＝∠PNO'＝90°，∠POM＝∠O'PN，OP＝PO'，
在△OPM和△PO'N中，
∠OMP＝∠PNO'∠POM＝∠O'PNOP＝PO'，
∴△OPM≌△PO'N（AAS），
∴O'N＝PM＝1，PN＝OM＝2，
∴MN＝1+2＝3，点O'离x轴的距离为2-1＝1，
∴点O'的坐标为（3，1），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
【变式1】如图，点A，B，D在同一条直线上，且∠A=∠D=90°，AC=BD，∠ABC=∠DEB．连接CE，试判断△CBE的形状，并说明理由．
【答案】△CBE是等腰直角三角形，理由见解析．
【分析】证明△ABC≌△DEB即可．
【详解】△CBE是等腰直角三角形．
理由如下：
∵∠D=90°
∴∠DEB+∠DBE=90°，
∵∠ABC=∠DEB，
∴∠ABC+∠DBE=90°．
∴∠CBE=180°－(∠ABC+∠DBE)=90°．
在△ABC和△DEB中，
∠ABC=∠DEB∠A=∠DAC=BD．
∴△ABC≌△DEB(AAS)．
∴BC=EB．
∴△BCE是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，这个题是典型的一线三垂直模型，根据已知条件证明全等是解题的关键．
【变式2】如图，RtΔABC中，∠ACB=90°, BC=2, AC=3，点D在RtΔABC的边AC上，DC=m，以BD为直角边在AC同侧作等腰直角三角形BDE，使BD=DE=n，连接AE，若S四边形AEBC=52n，则m与n的数量关系式是（ ）
A．nm=6 B．m+n=5 C．n−m=1 D．2n=3m
【答案】B
【分析】作EF⊥AC，垂足为F，根据全等的条件可得，△DBC≌△EDF，可得CD=EF=m，S四边形AEBC=S△BDE+ S△BDC+ S△ADE，可得出m+n=5．
【详解】解：作EF⊥AC，垂足为F
∴∠EFD=∠ACB=90°,
∴∠BDC+∠DBC=90°
∵三角形BDE是等腰直角三角形，
∴∠EDB=90°，
∴∠EDF+∠BDC=90°，
∴∠EDF=∠DBC
在△DBC和△EDF中
∠EFD=∠DCB∠EDF=∠DBCED=DB
∴△DBC≌△EDF（AAS）
∴CD=EF=m,
∵AC=3,
∴AD=AC-CD=3-m
∵S四边形AEBC=S△BDE+ S△BDC+ S△ADE
∴S四边形AEBC= 12BD⋅DE+12DC⋅CB+12AD⋅FE
=12n⋅n+12m⋅2+12(3−m)⋅m=52n
化简得：n2+2m+3m−m2=5n
(n+m)(n−m)=5(n−m)，
∵n是RtΔDBC的斜边，m是直角边
∴n-m＞0
∴n+m=5
故答案选：B
【点睛】本题主要考查了构造三角形全等，割补法求面积，因式分解，解决本题的关键是构造全等三角表示出面积．
【变式3】已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m过点A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE．
(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）
【答案】(1)DE=BD−CE，证明见解析；
(2)DE=BD+CE，DE=BD−CE，DE=CE−BD．
【分析】（1）利用条件证明△ABD≌△CAE， 再结合线段的和差可得出结论；
（2）根据图，可得BD、DE、CE存在3种不同的数量关系；
【详解】（1）证明：如图2，
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
∠BDA=∠CBA∠ABD=∠CABAB=CA，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE
∵DE=AE−AD，
∴DE=BD−CE．
（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在3种不同的数量关系：DE=BD+CE，DE=BD−CE，DE=CE−BD．
如图1时，DE=BD+CE，
如图2时，DE=BD−CE，
如图3时，DE=CE−BD，（证明同理）
【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质．
模块四
中点型
【例1】在△ABC中，AC=6，中线AD=10，则AB边的长可以是（ ）
A．30 B．22 C．14 D．6
【答案】B
【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
【详解】解：如图，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
BD=CD∠ADB=∠EDCAD=DE，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=CE，
∵AD=10，
∴AE=10+10=20，
∵20+6=26，20-6=14，
∴14＜CE＜26，
即14＜AB＜26，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，中线的性质，三角形三边关系，倍长中线，进而根据三角形三边关系求解是解题的关键．
【例2】某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程．
(1)求证：△ABD≌△ECD
证明：延长AD到点E，使DE＝AD
在△ABD和△ECD中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（ ）
CD＝ （中点定义）
∴△ABD≌△ECD（ ）
(2)由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 ；
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如下图，△ABC中，∠B=90°，AB=2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=4，且∠ADE=90°，求AE的长．
【答案】(1)对顶角相等；BD；SAS
(2)1
【分析】（1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明△ABD≌△ECD；
（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；
（3）延长AD交EC的延长线于F，证明△ABD≌△FCD，△ADE≌△FDE，根据全等三角形的性质解答．
【详解】（1）延长AD到点E，使DE＝AD
在△ABD和△ECD中
∵AD＝ED（已作）
∠ADB＝∠EDC（对顶角相等）
CD＝BD（中点定义）
∴△ABD≌△ECD（SAS）
故答案为：对顶角相等；BD；SAS
（2）∵△ABD≌△ECD ，AB＝6，AC＝8，
∴CE=AB=6，
8−6
∴1
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ABD=∠FCD，
在△ABD和△FCD中，
∠ABD=∠FCDBD=CD∠ADB=∠FDC，
∴△ABD≌△FCD，
∴CF=AB=2，AD=DF，
又∵∠FDE＝∠ADE＝90°
ED＝ED
∴△ADE≌△FDE
∴AE=EF，
∵EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6，
∴AE=6．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件．
【例3】我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：
(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．
(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．
①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；
②求证：AC＝2OP．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；
（2）①延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD；
②证明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，
又∵AO=OB，OC=OD，
∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；
（2）①证明：延长OP至E，使PE=OP，
∵P为BD的中点，
∴BP=PD，
又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，
∴△BPE≌△DPO（SAS），
∴BE=OD；
②证明：∵△BPE≌△DPO，
∴∠E=∠DOP，
∴BE∥OD，
∴∠EBO+∠BOD=180°，
又∵∠BOD+∠AOC=180°，
∴∠EBO=∠AOC，
∵BE=OD，OD=OC，
∴BE=OC，
又∵OB=OA，
∴△EBO≌△COA（SAS），
∴OE=AC，
又∵OE=2OP，
∴AC=2OP．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式1】如图，在△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
【答案】（1）见解析；（2）AE=CD，见解析
【分析】（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可；
（2）延长AB至点F，使得BF=AB，连接DF，可证得△ABE ≌ △FBD，则AE=FD，再通过证明△FAD ≌ △CAD，可得到FD=CD，从而得到AE=CD即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图，
判断：AE=CD
证明如下：
延长AB至点F，使得BF=AB，连接DF
在△ABE和△FBD中，
∵AB=FB∠ABE=∠FBDEB=DB
∴△ABE ≌ △FBD
∴AE=FD
∵BF=AB
∴AF=2AB
∵AC=2AB
∴AF=AC
∵AD平分∠BAC
∴∠FAD=∠CAD
在△FAD和△CAD中，
∵AF=AC∠FAD=∠CADAD=AD
∴△FAD ≌ △CAD
∴FD=CD
又∵AE=FD
∴AE=CD
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键．
【变式2】如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上的一点，BE交AD于点F，已知AE=EF． 求证：AC=BF．
【答案】见解析
【分析】延长AD到G，使得DG=AD，连接BG，证明△ADC≌△GDB（SAS） 得到AC=BG 且∠CAD=∠G，再由等腰三角形的性质得到AE=EF，继而证明BG=BF，据此解题．
【详解】证明：延长AD到G，使得DG=AD，连接BG，
在△ADC和△GDB中
AD=GD∠ADC=∠GDBCD=BD
∴△ADC≌△GDB（SAS）
∴AC=BG 且∠CAD=∠G
∵AE=EF
∴∠EFA=∠EAF
∴∠G=∠EFA
∵∠EFA=∠BFG
∴∠G=∠BFG
∴BG=BF
∵AC=BG
∴BF=AC
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、等角对等边等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
【变式3】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为__________．
【答案】8
【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE，先求出∠CAE=∠BAC-∠DAB=30°，然后证明△BAD≌△CED得到∠BED=∠DAC=90°，CE=AB=4，则AC=2CE=8．
【详解】解：如图所示，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，
∵BA⊥AD，
∴∠DAB=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAE=∠BAC-∠DAB=30°，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在△BAD和△CED中，
BD=CD∠BDA=∠CDEDA=DE，
∴△BAD≌△CED（SAS），
∴∠DEC=∠DAB=90°，CE=AB=4，
∴AC=2CE=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造出含30度角的直角三角形是解题的关键．
模块五
课后作业
1．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定定理证明即可．
【详解】解：在△OAB与△OA′B′中，
AO=A′O∠AOB=∠A′OB′BO=B′O，
∴△OAB≌△OA′B′SAS．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，AB=7，AC=9，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（ ）
A．2
【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE，证明△ACD≌△EBD得到DE=AD，利用三角形的三边关系得到2
∵AD是BC边上的中线，
∴CD=BD，
在△ACD和△EBD中，
CD=BD∠ADC=∠EDBAD=DE，
∴△ACD≌△EBDSAS，
∴AC=BE，
∵AB=7，AC=9，
∴9−7
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，灵活添加辅助线（倍长中线法）构造全等三角形是解答的关键．
3.如图，ΔABC中，D是边BC的中点，过点C作CE//AB,交AD的延长线于点E．求证:D是AE的中点．
证明:∵CE//AB(已知)，
∴∠B=_ (两直线平行，内错角相等)，
∵D是边BC的中点，
∴BD=(_ ），(_ ），
在ΔABD和ΔECD中，
∠ADB=∠EDCBD=CD∠B=∠BCE，
∴ΔABD≅ΔECD( ) ，
∴AD= (全等三角形的对应边相等)，
∴D是AE的中点．
【答案】∠BCE;CD；线段中点的定义；ASA;ED
【分析】利用中线类倍长的基本模型进行证明，结合平行线的性质进行论证．
【详解】证明:∵CE//AB(已知)，
∴∠B=∠BCE(两直线平行，内错角相等)，
∵D是边BC的中点，
∴BD=CD(线段中点的定义)，
在ΔABD和ΔECD中，
∠ADB=∠EDCBD=CD∠B=∠BCE
∴ΔABD≅ΔECDASA，
∴AD=ED(全等三角形的对应边相等)，
∴D是AE的中点．
【点睛】本题考查了类倍长中线的模型，能够通过平行结合中点问题，推出三角形全等，是解决问题的关键．
4.如图,点P是等边三角形ABC内一点,且PA=3,PB=4, PC=5,若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB,则∠APB的度数______．
【答案】150°
【分析】首先证明△BPQ为等边三角形，得∠BQP=60°，由△ABP≌CBQ可得QC=PA，在△PQC中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出∠PQC=90°，可求∠BQC的度数，由此即可解决问题．
【详解】解：连接PQ，
由题意可知△ABP≌△CBQ
则QB=PB=4，PA=QC=3，∠ABP=∠CBQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°，
∴∠PBQ=∠CBQ+∠PBC=60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∴PQ=PB=BQ=4，
又∵PQ=4，PC=5，QC=3，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
∵△BPQ为等边三角形，
∴∠BQP=60°，
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=150°
∴∠APB=∠BQC=150°
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型．
5．如图，AB，CD相交于点O，AO=CO，DO=BO，连接AD，BC，求证：∠A=∠C．
【答案】见解析
【分析】利用SAS证明△AOD≌△COB，再解答即可．
【详解】证明：在△AOD和△COB中，
AO=CO∠AOD=∠CODDO=BO，
∴△AOD≌△COBSAS．
∴∠A=∠C．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△AOD≌△COB．
6．如图，AD，BC相交于点O，OB=OC，OA=OD，延长AD到F，延长DA到E，AE=DF，连接CF，BE．求证BE∥CF．
【答案】见解析
【分析】根据等式的性质得出OE=OF，再利用SAS证明△BOE≌△COF，再利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．
【详解】证明：∵OA=OD，AE=DF，
∴OA+AE=OD+DF，即OE=OF，
∵∠EOB=∠FOC，OB=OC，
∴△BOE≌△COF(SAS)，
∴∠E=∠F．
∴BE∥CF．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用边角边证明两个三角形全等．
7．（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A,BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D,E．求证：DE=BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）DE=BD+CE，证明见解析
【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；
（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；
【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下：
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
∠ABD＝∠CAE∠ADB＝∠CEA＝90°AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2）DE=BD+CE，理由如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
∠ABD＝∠CAE∠ADB＝∠CEAAB＝AC，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
8．如图，A4,0,B0,6，以B点为直角顶点在第一象限作等腰直角ΔABC，则C点的坐标为_________
【答案】6,10
【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通过角的计算即可得出∠ABO＝∠BCD，再结合∠CDB＝∠BOA＝90°即可利用AAS证出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标．
【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC．
∵CD⊥BD，BO⊥AO，
∴∠CDB＝∠BOA＝90°．
∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ABO＝∠BCD．
在△ABO和△BCD中，
∠ABO=∠BCD∠BOA=∠CDB=90°AB=BC，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD＝AO，CD＝BO，
∵A（4，0），B（0，6），
∴BD＝4，CD＝6，
∴点C的坐标为6,10，
故答案为：6,10．
【点睛】本题结合等腰直角三角形和坐标点综合考查，关键在于辅助线的作法，过C点作垂直于x轴的垂线还是垂直于y轴的垂线是解题关键．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝___．
【答案】3
【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论．
【详解】解：如图，连接AD．
在Rt△ADF和Rt△ADC中，
AD=ADAF=AC，
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），
∴DF＝DC，
∵BD＝5，BC＝4，
∴CD＝DF＝5﹣4＝1，
∵EF＝BC＝4，
∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10.如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE＝AD．
（1）试证明：△ACD≌△EBD；
（2）用上述方法解答下列问题：如图2，AD为△ABC的中线，BMI交AD于C，交AC于M，若AM＝GM，求证：BG＝AC．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．
【分析】（1）根据中线的定义，即可得到BD＝CD，再根据SAS即可判定△ACD≌△EBD．
（2）延长AD到F，使AD＝DF，连接BF，根据SAS证△ADC≌△FDB，推出BF＝AC，∠CAD＝∠F，根据AM＝GM，推出∠CAD＝∠AGM＝∠BGF，求出∠BGF＝∠F，根据等腰三角形的性质求出即可．
【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
CD=BD∠ADC=∠EDBAD=ED，
∴△ACD≌△EBD（SAS）．
（2）证明：延长AD到F，使AD＝DF，连接BF，
∵AD是△ABC中线，
∴BD＝DC，
∵在△ADC和△FDB中
BD=DC∠ADC=∠BDFAD=DF，
∴△ADC≌△FDB（SAS），
∴BF＝AC，∠CAD＝∠F，
∵AM＝GM，
∴∠CAD＝∠AGM，
∵∠AGM＝∠BGF，
∴∠BGF＝∠CAD＝∠F，
∴BG＝BF＝AC，
即BG＝AC．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键.
11．已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD和CE数量关系和位置关系．
(2)如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，画出图形．（1）的结论还成立吗?若成立，请证明； 若不成立，说明理由．
【答案】(1)BD和CE的数量关系是相等，位置关系是互相垂直，理由见详解；
(2)成立，理由见详解．
【分析】（1）由题意易得AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，AD=AE，则有∠BAD=∠CAE，然后可证△ABD≌△ACE，进而问题可求解；
（2）如图，然后根据（1）中的证明过程可进行求解．
(1)解：BD⊥CE且BD=CE，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
由旋转的性质可得：∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC =90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°，
∴BD⊥CE；
(2)解：（1）中结论仍成立，理由如下：
由题意可得如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
由旋转的性质可得：∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°，
∴BD⊥CE．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFE＝105°．
【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD（SAS），进而得证；
（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，
∴BD＝BE，∠EBD＝120°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，
∴∠BED＝∠BDE＝12（180°﹣120°）＝30°，
∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE
＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是解题的关键．
13．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠B+∠AEC＝180°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．求证：AC＝DC．
【答案】见解析
【分析】通过等量代换得到∠B＝∠DEC，证明△ABC≌△DEC（AAS），三角形全等对应边相等即可证明：
【详解】证明：∵∠B+∠AEC＝180°
∠CED+∠AEC＝180°
∴∠B＝∠DEC，
在△ABC和△DEC中，
∠B＝∠DEC∠BAC＝∠DBC＝CE,
∴△ABC≌△DEC（AAS）
∴AC＝DC；
【点睛】本题考查三角形全等的证明；掌握三角形全等的证明方法是解题的关键．
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