【暑假提升】苏科版数学七年级（七升八）暑假-第03讲《轴对称图形的概念、性质、设计》预习讲学案

第03讲 轴对称图形的概念、性质、设计

【学习目标】

1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质。

【基础知识】

一．生活中的轴对称现象

（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．

（2）轴对称包含两层含义：

①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；

②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．

二．轴对称的性质

（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

由轴对称的性质得到一下结论：

①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；

②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．

（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

三．轴对称图形

（1）轴对称图形的概念：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．

（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．

（3）常见的轴对称图形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．

四．镜面对称

1、镜面对称：

有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．

2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．

3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．

五．作图-轴对称变换

几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：

①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；

②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；

③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．

六．利用轴对称设计图案

利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．

七．剪纸问题

一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．

八．翻折变换（折叠问题）

1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．

2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．

首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．

【考点剖析】

一．生活中的轴对称现象（共3小题）

1．（2020秋•句容市期中）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是　   　点．

2．（2020秋•鼓楼区校级月考）已知：如图，CDEF是一个长方形的台球面，有A、B两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球A，才能使A先碰到台边FC反弹后再击中球B？在图中画出A球的运动线路．

3．（2021秋•常州期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　）

A．点P B．点Q C．点M D．点N

二．轴对称的性质（共3小题）

4．（2022•新华区模拟）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

5．（2021秋•高邮市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝4，则点P1、P2之间的距离可能是（　　）

A．0 B．7 C．9 D．10

6．（2021春•凤翔县期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称．

（1）线段AD的对称线段是 　   　，CD＝　   　，∠CBA＝　   　，∠ADC＝　   　．

（2）AE与BF平行吗？为什么？

（3）若AE与BF平行，则能说明轴对称图形中对称点的连线一定互相平行吗？

三．轴对称图形（共4小题）

7．（2022•罗湖区校级一模）下列图形中，属于轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

8．（2021秋•盐都区月考）如图，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有 　   　个．

9．（2021秋•海陵区校级月考）四个图形分别是正三角形、等腰梯形、长方形、正五边形，它们全部是轴对称图形，其中对称轴的条数最少的图形是　   　．

10．（2019春•滕州市期末）在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形．

四．镜面对称（共2小题）

11．（2021秋•五常市期末）在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是 　   　．

12．（2021秋•兴化市月考）从汽车后视镜中看见某车牌后5位号码是，该号码实际是 　   　．

五．作图-轴对称变换（共2小题）

13．（2021秋•丹徒区月考）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．已知点A、B都在格点上，（网格线的交点叫做格点）且它们的坐标分别是A（2，﹣4）、B（3，﹣1）．

（1）点B关于y轴的对称点的坐标是 　   　；

（2）若点C的坐标是（0，﹣2），将△ABC先沿y轴向上平移4个单位长度后，再沿y轴翻折得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，B1点的坐标是 　   　；

（3）△A1B1C1的面积为 　   　；

（4）在现有的网格中，到点B1距离为10的格点的坐标是 　   　．

14．（2021秋•新吴区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．

（1）请用无刻度直尺与圆规在AB上作一点D，使得点B关于直线CD的对称点E恰好落在AC边上（不要求写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，连接CD、DE，

①求△ADE与△BCD的面积之比；

②求BD的长．

六．利用轴对称设计图案（共4小题）

15．（2020•岚山区模拟）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示．小明按如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用10个这样的图形拼出来的图形的总长度是　   　（结果用含a、b的代数式表示）．

16．（2019秋•浦东新区期末）如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字　   　的格子内．

17．（2021秋•吴江区月考）如图，是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影，请你从其余的13个白色的小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形．请用三种方法在图中补全图形，并画出它们各自的对称轴．（所画的三个图形不能全等）

18．（2021•奉化区校级模拟）如图，在2×2的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形．请在下面每一个图中，作出一个与△ABC成轴对称的格点三角形．（画三个，不能重复）

七．剪纸问题（共2小题）

19．（2021秋•兴城市期中）如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形是（　　）

A． B． C． D．

20．（2021春•黄浦区期末）如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于　   　°．

八．翻折变换（折叠问题）（共3小题）

21．（2021秋•宜兴市期末）将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF、GF为两条折痕，若∠EFG＝α，则∠B'FC'的度数是（　　）

A．α﹣45° B．2α﹣90° C．90°﹣α D．180°﹣2α

22．（2022春•阜宁县校级月考）如图，E，F分别四边形ABCD的边AD，BC上的点，连接E，F，将四边形ABCD沿直线EF折叠．若点A，B都落在四边形ABCD的内部，记∠C+∠D＝α，则∠1+∠2＝　   　．

23．（2021秋•亭湖区校级月考）如图的三角形纸板中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD．

（1）若AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，求△AED的周长；

（2）若∠C＝100°，∠A＝70°，求∠BDE的度数．

【过关检测】

一、单选题

1．（2018·江苏八年级月考）下列图形中对称轴条数最多的是（    ）

A．等边三角形 B．正方形 C．等腰三角形 D．等腰梯形

2．（2019·苏州市吴江区青云中学）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·江苏省江阴市第一中学八年级月考）给出下列5个图形：线段、等边三角形、角、平行四边形、正五边形，其中，一定是轴对称图形的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

4．（2020·扬州市江都区实验初级中学八年级月考）如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，如果再将图中的一个小正方形涂黑，所得图案是一个轴对称图形，则涂黑的小正方形的标号不可能是（    ）

A．1 B．2 C．4 D．6

5．（2020·江苏八年级期中）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．（2020·江苏昭阳湖初中八年级期中）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中是一个格点三角形，在这个的正方形格纸中，与成轴对称的格点三角形最多有（　　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

7．（2019·江苏）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（     ）

A．48° B．54° C．64° D．78°

8．（2021·江苏八年级专题练习）如图，在4×4的正方形网格中，已将图中的三个小正方形涂上阴影，若再将图中其余小正方形任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（  ）

A． B．5个 C．4个 D．3个

9．（2019·江苏八年级月考）如图，直线是一条河，、是两个新农村定居点．欲在上的某点处修建一个水泵站，直接向、两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ）

A． B．C． D．

二、填空题

10．（2019·南师附中树人学校八年级月考）在直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，直线经过点，并且与轴平行，与关于线对称．

（1）图中格点的面积为______．

（2）画出，并写出的顶点的坐标：______．

（3）观察图中对应点坐标之间的关系，写出点关于直线的对称点的坐标：______．

11．（2021·江苏南京·八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称点的坐标是______．

12．（2020·江苏八年级月考）一辆汽车的牌照在车下方水坑中的像是，则这辆汽车的牌照号码应为_____．

13．（2020·无锡市甘露学校（待删除）八年级月考）下列图形中：①线段；②正方形；③圆；④等腰梯形；⑤平行四边形．是轴对称图形的有______________个．

14．（2020·江苏八年级月考）黑体汉字中的“中”“田”“日”等都是轴对称图形，请至少再写出三个具有这种特征的汉字：_____．

15．（2020·江苏宿迁·）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有________种．

16．（2020·无锡市大桥实验学校）如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有___种选择．

17．（2020·江苏东绛实验学校八年级月考）在“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，是轴对称图形的有______个．

18．（2020·南京市溧水区和凤初级中学）如图，在正方形网格中，分别将①②③④四个网格涂上阴影，能与原阴影部分构成一个轴对称图形的有____________．（填网格序号）

三、解答题

19．（2021·江苏八年级专题练习）如图，已知A(0，4)，B(－2，2)，C(3，0)．

（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）写出A1，B1，C1的坐标．

20．（2020·苏州市吴江区青云实验中学八年级月考）如图，在正方形网格上有一个．

（1）作关于直线的轴对称图形；

（2）作的边上的高；

（3）若网格上的最小正方形边长为1，求的面积．

21．（2020·无锡市积余实验学校八年级月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．

（1）在图中作出关于直线的对称图形（要求点与，与，与相对应）．

（2）在直线上找一点，使得的周长最小．

22．（2020·无锡市南长实验中学）如图，在由边长为1的小正方形组成的10×10的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形ABCD在直线l的左侧，其四个顶点A，B，C，D分别在网格的格点上．

（1）请你在所给的网格中画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1和四边形ABCD关于直线l对称；

（2）在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出四边形A1B1C1D1的面积．

23．（2018·苏州新草桥中学）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上．

（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；

（2）线段被直线__________；

（3）的面积为__________；

（4）在直线上找一点，使的长最短．

24．（2019·江苏）如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．

25．（2020·江苏八年级月考）在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形．