【暑假提升】苏科版数学八年级（八升九）暑假-第06讲《圆周角》预习讲学案

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第06讲 圆周角
【学习目标】
1.理解并掌握圆周角相关概念
2.探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；
【基础知识】
1.圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

　
2.圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
1、 顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦.
2、 圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
3、 圆心角定理：
圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。
3、 圆周角的特点: (1)角的顶点在圆上; (2)角的两边在圆内的部分是圆的弦.
4、圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种: 解题规律:
5、解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理
3.圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【微点拨】
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
（3） 圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）

【考点剖析】
一．圆周角定理（共4小题）
1．（2021秋•惠州期末）如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是（　　）

A．80° B．260° C．100° D．130°
【分析】设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可求得∠E的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可得到∠ACB的度数．
【解答】解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB，
∵∠AOB＝100°，
∴∠E∠AOB＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠E＝130°．
故选：D．

【点评】本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
2．（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC中，AB边是圆O的直径，BC与圆O交于点D，且D是BC的中点，∠BAC＝120°，点E在圆O上，则∠BED的度数是（　　）

A．70° B．60° C．50° D．40°
【分析】根据AB边是圆O的直径，推出∠ADB＝90°，再推出△ABC是等腰三角形，所以∠CAD＝∠BAD∠BAC＝60°，根据圆周角定理推出∠BED＝∠BAD＝60°．
【解答】解：∵AB边是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵D是BC的中点，
∴AC＝AB，
∴∠CAD＝∠BAD∠BAC＝60°，
∴∠BED＝∠BAD＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．（2021秋•天津期末）如图，已知点A，B．C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（　　）

A．80° B．76° C．62° D．52°
【分析】根据圆周角定理，即可求得∠BOC的度数．
【解答】解：∵点A、B、C都在⊙O上，∠BAC＝38°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝76°．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
4．（2022春•庐阳区校级期中）直线MN交⊙O于点A、B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，DE⊥MN于E．若，AE＝1．求：
（1）⊙O的半径；
（2）圆心O点到AB距离．

【分析】（1）连接CD，根据圆周角定理得到∠AED＝90°，根据勾股定理得出AD＝2，根据题意得到△ACD∽△ADE，相似三角形的性质即可求解；
（2）连接OD，过点O作OT⊥MN于点T，根据两平行线间的距离相等求解即可．
【解答】解：（1）∵DE⊥MN，
∴∠AED＝90°，
∵DE，AE＝1，
∴AD2，
连接CD，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵AD平分∠CAM交⊙O于D，
∴∠CAD＝∠DAE，
∴△ACD∽△ADE，
∴，
∴，
则AC＝4，
∴⊙O的半径是2；
（2）连接OD，过点O作OT⊥MN于点T，

∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵∠OAD＝∠DAE，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴OD∥MN，
∵DE⊥MN，OT⊥MN，
∴OT＝DE，
∴圆心O点到AB距离．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
二．圆内接四边形的性质（共7小题）
5．（2021秋•炎陵县期末）如图，ABCD为⊙O内接四边形，若∠D＝85°，则∠B＝（　　）

A．85° B．95° C．105° D．115°
【分析】直接根据圆内接四边形的性质进行解答即可．
【解答】解：∵ABCD为⊙O内接四边形，∠D＝85°，
∴∠B＝180°﹣∠D＝180°﹣85°＝95°．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
6．（2021秋•舟山期末）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A＝（　　）
A．50° B．60° C．100° D．120°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设∠A＝x，则∠C＝2x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∴x+2x＝180°，
解得，x＝60°，即∠A＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
7．（2022•鼓楼区校级开学）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是 　105　°．

【分析】由圆的内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD＝180°，又由邻补角的定义可得：∠BCD+∠DCE＝180°，可得∠DCE＝∠BAD．
【解答】解：∵∠BAD＝105°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝75°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝105°．
故答案为：105．
【点评】此题考查了圆的内接四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
8．（2021秋•吴兴区期末）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于　55°　．

【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，
∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，
∵，
∴∠CAB∠DAB＝35°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，
故答案为：55°．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9．（2021秋•泗阳县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，若∠AOC＝150°，求∠EBC的度数．

【分析】根据圆周角定理求出∠ADC，再根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：由圆周角定理得，∠ADC∠AOC150°＝75°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EBC＝∠ADC＝75°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
10．（2021秋•山西期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°．
（1）求∠BAC的度数．
（2）求∠BAD的度数．

【分析】（1）先根据圆周角定理得到∠CBD＝∠ABD＝33°，则∠ABC＝66°，然后根据三角形内角和计算∠BAC的度数；
（2）先根据圆周角定理得到∠DAC＝∠DBC＝33°，然后计算∠BAC+∠DAC即可．
【解答】解：（1）∵，
∴∠CBD＝∠ABD＝33°，
∴∠ABC＝66°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣66°﹣44°＝70°；
（2）∵∠DAC＝∠DBC＝33°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝70°+33°＝103°．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
11．（2021秋•南沙区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，点C为的中点．若∠DCE＝110°，求∠BAC的度数．

【分析】首先利用圆内接四边形的性质求得∠BAD，然后根据等弧对等角求得答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE＝110°，
∴∠BAD＝∠DCE＝110°，
∵点C为的中点，
∴∠BAC＝∠DAC∠BAD＝55°．
【点评】考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是了解圆的内接四边形的外角等于它的内对角，难度不大．
三．相交弦定理（共4小题）
12．（2020秋•台江区校级月考）证明：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
【分析】连AC，BD，根据圆周角定理得到∠C＝∠B，∠A＝∠D，再根据三角形相似的判定定理得到△AEC∽△DEB，利用相似三角形的性质得AE：DE＝CE：BE，变形有AE•BE＝CE•DE；由此得到相交弦定理．
【解答】解：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
已知，如图，⊙O的两弦AB、CD相交于E，
求证：AE•BE＝CE•DE．
证明：连AC，BD，如图，
∵∠C＝∠B，∠A＝∠D，
∴△AEC∽△DEB，
∴AE：DE＝CE：BE，
∴AE•BE＝CE•DE；
所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．

【点评】本题考查了相交弦定理：圆的两条弦相交，那么这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
13．（2021秋•东阳市月考）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE•DE
的值为（　　）

A．6 B．7 C．12 D．16
【分析】由题意可知AB＝AC＝AD，点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF即可求出答案．
【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，
AE＝3，EC＝1，
∴AC＝AF＝AE+CE＝3+1＝4，
EF＝AE+AF＝3+4＝7，
由相交弦定理可得，
BE•DE＝CE•EF＝1×7＝7，
故选：B．

【点评】本题考查了相交弦定理，根据圆心和半径构建圆是解题的关键．
14．（2021秋•余姚市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（　　）

A．16 B．24 C．12 D．不能确定
【分析】由相交线定理可得出AP•BP＝CP•DP，再根据AP＝6，BP＝8，CP＝4，可得出PD的长，从而得出CD即可．
【解答】解：∵AP•BP＝CP•DP，
∴PD，
∵AP＝6，BP＝8，CP＝4，
∴PD＝12，
∴CD＝PC+PD＝12+4＝16．
故选：A．
【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
【过关检测】
一．选择题（共6小题）
1．（2022•睢宁县模拟）如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝84°，则∠AOC的度数是（　　）

A．45° B．28° C．56° D．60°
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得到∠AOC＝2∠ABC，代入∠ABC+∠AOC＝84°，求出∠ABC的度数，从而得到∠AOC的度数．
【解答】解：∵∠ABC是所对的圆周角，
∴∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝84°，
∴3∠ABC＝84°，
∴∠ABC＝28°，
∴∠AOC＝28°×2＝56°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．
2．（2022•无锡模拟）如图，已知⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，则∠BDC的度数是（　　）

A．16° B．20° C．24° D．32°
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠ABD的度数，根据∠ABD是△BDE的外角即可出答案．
【解答】解：∵∠ABD是所对的圆周角，
∴∠ABD∠AOD128°＝64°，
∵∠ABD是△BDE的外角，
∴∠BDC＝∠ABD﹣∠E＝64°﹣40°＝24°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．
3．（2021•武都区二模）如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连接AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（　　）

A． B． C．5 D．
【分析】根据题意求出EC，根据相交弦定理计算即可．
【解答】解：EC＝AC﹣AE，
由相交弦定理得，AE•EC＝DE•BE，
则DE，
∴BD＝DE+BE，
故选：B．
【点评】本题考查的是相交弦定理，掌握圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等是解题的关键．
4．（2022•苍南县二模）如图，点A，B在以CD为直径的半圆上，B是的中点，连结BD，AC交于点E，若∠C＝38°，则∠CED的度数是（　　）

A．115° B．116° C．118° D．120°
【分析】设半圆的圆心为O，连结AO，BO，BC，根据直径所对的圆周角是直角得到∠CBD＝90°，根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等得到∠BOC＝∠AOB，根据等腰三角形两底角相等得到∠A＝∠ACO＝38°，求出∠AOC的度数，进而得到∠BOC＝∠AOB的度数，根据圆周角定理得到∠ACB∠AOB的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到∠CED＝∠ACB+∠CBD的度数．
【解答】解：如图，设半圆的圆心为O，连结AO，BO，BC，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵B是的中点，
∴∠BOC＝∠AOB，
∵OA＝OC，∠ACO＝38°，
∴∠A＝∠ACO＝38°，
∴∠AOC＝180°﹣38°﹣38°＝104°，
∴∠BOC＝∠AOB＝52°，
∵∠ACB是所对的圆周角，
∴∠ACB∠AOB52°＝26°，
∵∠CED是△BCE的外角，
∴∠CED＝∠ACB+∠CBD＝26°+90°＝116°，
故选：B．

【点评】本题考查了圆周角定理，遇到弧的中点，经常转化为圆心角相等或圆周角相等，这是解题的关键．
5．（2022•惠山区一模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠BCD的度数为（　　）

A．50° B．80° C．100° D．130°
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，代入求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠BCD＝130°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质的应用，能根据性质得出∠A+∠BCD＝180°是解此题的关键．
6．（2022•南京一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（　　）

A．70° B．55° C．35° D．20°
【分析】根据∠B度数求出的度数，再求出的度数，再求出∠CAD的度数即可．
【解答】解：∵∠B＝70°，
∴的度数是140°，
∵D是的中点，
∴和的度数都是70°，
∴∠CAD70°＝35°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键．
二．填空题（共5小题）
7．（2021•饶平县校级模拟）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为　　．

【分析】根据相交弦定理列式计算即可．
【解答】解：由相交弦定理得，PA•PB＝PC•PD，
∴5×4＝3×DP，
解得，DP，
故答案为：．
【点评】本题考查的是相交弦定理的应用，掌握圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等是解题的关键．
8．（2022•文成县一模）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，则∠ABC＝　20　°．

【分析】根据圆周角定理及三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵OA∥BC，
∴∠A＝∠ABC，
∵∠AOC＝2∠ABC，∠AOC：∠BOC＝2：5，
∴∠BOC＝5∠ABC，
∴∠AOB＝7∠ABC，
在△AOB中，∠A+∠AOB+∠OBA＝180°，
∴9∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝20°，
故答案为：20．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9．（2022•南山区二模）如图已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是 　110°　．

【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠ADC＝110°，
故答案为：110°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10．（2022•射阳县一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E．若∠ADC＝30°，BC＝4，则AE＝　2　．

【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE＝BE，根据圆周角定理求出∠AOC，解直角三角形求出OC和OE，再求出答案即可．
【解答】解：连接OC，

∵OA⊥BC，OA过圆心O，BC＝4，
∴∠OEC＝90°，CE＝BE＝2，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∴sin∠AOC，
∴sin60°，
解得：OC＝4，
∵∠BCO＝90°﹣60°＝30°，
∴OEOC＝2，
∴AE＝4﹣2＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识点，能求出CE＝BE是解此题的关键．
11．（2022•温岭市一模）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P是优弧上的动点，∠P＝45°，连接PA、PB，AC是△ABP的中线，
（1）若∠CAB＝∠P，则AC＝　4　；
（2）AC的最大值＝　2+2　．

【分析】（1）作BH⊥AC，根据△BAC∽△BPA，求出BC＝4，再证明H和C重合即可得到答案；
（2）确定点C的运动轨迹，轨迹点圆关系找到AC的最大值就是AC'长，再计算求解．
【解答】解：如图1，作BH⊥AC，
∵∠B＝∠B，∠BAC＝∠P，
∴△BAC∽△BPA，
∴，
∴BA2＝BC•BP，
∵AC是△ABP的中线，
∴BP＝2BC，
∴，
∴BC＝4，
在Rt△ABH中，∠BAC＝45°，AB＝4，
∴BH＝4，
又∵BC＝4，
∴点H和点C重合，
∴AC＝AH＝4．
故答案为4．
（2）如图2，
∵点P的运动轨迹是圆，
∴点C的运动轨迹是OB为直径的圆，
∴当AC'经过圆心O'时最大．
∵∠P＝45°，
∴∠AOB＝90°，
又∵AO＝4，OO'＝2，
∴AO'＝2，
∵O'C'＝2，
∴AC'＝2+2，
∴AC的最大值为2+2．
故答案为2+2．


【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和圆中最值问题，解题的关键是，确定AC最大时点C的位置．
三．解答题（共6小题）
12．（2022•邯郸一模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C、D是上两点，过点D作DE∥OC交OB于E点，在OD上取点F，使OF＝DE，连接CF并延长交OB于G点．
（1）求证：△OCF≌△DOE；
（2）若C、D是AB的三等分点，：
①求∠OGC；
②请比较GE和BE的大小．

【分析】（1）根据平行可得∴∠COD＝∠ODE，再由于OC＝OD，OF＝DE，即可得证；
（2）①先根据C、D是弧AB的三等分点，得到∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30，∠COG＝60°，再根据全等得到∠OCF＝30°，从而得到∠OGC的值；
②利用勾股定理和全等三角形的性质即可得到OG、OF、OE的值，进而可求出GE，BE值，即可判断出大小．
【解答】解：（1）∵DE∥OC，
∴∠COD＝∠ODE，
在△OCF和△DOE中，

∴△OCF≌△DOE（SAS）；
（2）①∵C、D是的三等分点，∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°，
∵△OCF≌△DOE，
∴∠OCF＝∠DOE＝30°，
∵∠COG＝∠COD+∠DOB＝60°，
∴∠OGC＝90°；
②在Rt△OGC中，∠OCG＝30°，，
∴，
又∵∠DOE＝30°，
∴OF＝2，
∵∠OCF＝∠COF＝30°，
∴CF＝OF＝2，
∵△OCF≌△DOE，
∴OE＝CF＝2，
∴，，
∵，
∴BE＞GE．
【点评】本题考查圆周角的定理，涉及到全等三角形的性质与判定，平行线的性质，勾股定理等，解题关键是灵活运用所学几何基础进行推理计算．
13．（2022•金东区一模）如图，已知点C在以AB为直径的半圆O上，点D为弧BC中点，连结AC并延长交BD的延长线于点E，过点E作EG⊥AB，垂足为点F，交AD于点G，连结OG，DG＝1，DB＝2．
（1）求证：AE＝AB．
（2）求FB的长．
（3）求OG的长．

【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，由点D为弧BC中点，可得∠CAD＝∠BAD，则可证明△AED≌△ADB，即可得出答案；
（2）根据题意可证明△EDG∽△EFB，则，根据勾股定理可得EF，代入计算即可得出答案；
（3）在Rt△EFB中，根据已知条件可算出EF的长，在Rt△EGD中，可算出EG的长，由GF＝EF﹣EG即可算出GF的长，由△EFB∽△ADB，可得，代入计算可算出AD的长，在Rt△ADB中，可算出AB的长，即可算出OB的长，根据OF＝OB﹣FB即可算出OF的长，在Rt△OGF中根据勾股定理即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵，
∴∠CAD＝∠BAD，
在△AED和△ADB中，
，
∴△AED≌△ADB（ASA），
∴AE＝AB．
（2）∵∠GED＝∠FEB，∠EDG＝∠EFB＝90°，
∴△EDG∽△EFB，
∴，
∵ED＝DB＝2，EF，
∴，
解得：FB．
（3）在Rt△EFB中，
∵EB＝4，FB，
∴EF，
在Rt△EGD中，
EG，
∴GF＝EF﹣EG，
∵△EFB∽△ADB，
∴，
∴，
∴AD＝4，
在Rt△ADB中，
AB2，
∴OB，
∴OF＝OB﹣FB，
在Rt△OGF中，
OG．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理及相似三角形，熟练掌握圆周角定理，勾股定理及相似三角形相关知识进行求解是解决本题的关键．
14．（2022•瑶海区一模）已知：Rt△ACB中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于E，点F为弧EC的中点，OF的延长线交CB于D．
（1）求证：CD＝BD；
（2）连接EC交OD于G，若AC＝6，CD＝4，求GF的长．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠AEC＝90°，F为弧EC的中点得到∠OGC＝90°，从而得到OD∥AB，从而根据平行线分线段成比例即可得证；
（2）在Rt△OCD中，勾股定理得出OD长，等面积法得到CG长，从而可在Rt△OCG中勾股定理求出OG，即可得GF的长．
【解答】（1）证明∵AC是直径，
∴∠AEC＝90°，
∵F为弧EC的中点，
∴OF⊥CE，
∴∠OGC＝90°，
∴∠AEC＝∠OGC，
∴OD∥AB，
∴，
∴CD＝BD；
（2）解：∵AC＝6，
∴OC＝3，
在Rt△OCD中，OD5，
∵，
∴CG，
在Rt△OCG中，OG，
∴GF＝OF﹣OG．
【点评】本题考查垂径定理及圆周角定理，难度一般，解题关键是根据90°得到平行．
15．（2022•宿州一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点D、E，过点A作AF∥BC交圆于点F，连接DE、EF．求证：
（1）四边形ACEF是平行四边形；
（2）EF平分∠BED．

【分析】（1）连接AE，BF，如图，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．可得∠AEB＝90°，根据等腰三角形的性质可得，CE＝BE，根据矩形的判定方法∠FAE＝∠BFA＝∠BEA＝90°，可得四边形FAEB是矩形，即可得出FA＝CE，由已知条件AF∥BC即可得出答案；
（2）根据圆内接四边形性质可得∠AFE+∠ADE＝180°，由邻补角定义可得∠CDE+∠ADE＝180°，即可得出∠CDE＝∠AFE，由（1）中结论可得EF∥AC，可得∠FED＝∠CDE，即可得出∠FED＝∠AFE，再由AF∥BC，可得∠FEB＝∠AFE，即可得出∠BEF＝∠FED，即可得出答案．
【解答】证明：（1）连接AE，BF，如图，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，BE＝CE．
∵AE∥BC，
∴∠AEC＝∠EAF＝90°，
∴∠FAE＝∠BFA＝∠BEA＝90°，
∴四边形FAEB是矩形，
∴FA＝BE＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）∵四边形AEBF是圆内接四边形，
∴∠AFE+∠ADE＝180°，
∵∠CDE+∠ADE＝180°，
∴∠CDE＝∠AFE，
∵EF∥AC，
∴∠FED＝∠CDE，
∴∠FED＝∠AFE，
∵AF∥BC，
∴∠FEB＝∠AFE，
∴∠BEF＝∠FED，
∴EF平分∠BED．

【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行四边形的判定与性质及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，平行四边形的判定与性质及等腰三角形的性质进行求解是解决本题的关键．
16．（2022•蜀山区一模）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AC，BC交以AB为直径的半⊙O于D，E．连接AE，BD，交点为F．
（1）证明：AF＝BC；
（2）当点F是BD中点时，求BE：EC值．

【分析】（1）由圆周角定理推论可得∠ADB＝∠AEB＝90°，根据等腰直角三角形的性质可得AD＝BD，根据∠DAF+∠AFD＝∠BFE+∠FEB＝90°，且∠AFD＝∠BFE，即可得出∠DAF＝∠FBE，则可证明△ADF≌△BDC，即可得出答案；
（2）设DF＝a，则DF＝BF＝a，可得AD＝BD＝2a，根据勾股定理可得AFa，由（1）中结论可得AF＝BC，由∠ADF＝∠BEF＝90°，∠AFD＝∠BFE，可证明△ADF∽△BEF，则，可得BEa，由CE＝BC﹣BE可得出CE的长度，计算即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴AD＝BD，
∵∠DAF+∠AFD＝∠BFE+∠FEB＝90°，∠AFD＝∠BFE，
∴∠DAF＝∠FBE，
在△ADF和△BDC中，
，
∴△ADF≌△BDC（ASA），
∴AF＝BC；
（2）设DF＝a，则DF＝BF＝a，
∴AD＝BD＝2a，
在Rt△ADF中，
AFa，
∴AF＝BC，
∵∠ADF＝∠BEF＝90°，∠AFD＝∠BFE，
∴△ADF∽△BEF，
∴，
∴，
∴BEa，
∴CE＝BC﹣BEaaa，
∴．
【点评】本题主要考查了圆周角定理及相似三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及相似三角形的性质进行求解是解决本题的关键．
17．（2022春•射阳县校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC，其中∠A＝∠D．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．

【分析】（1）利用等角的余角证明∠D＝∠G，再根据等量代换可得∠A＝∠G，从而得到结论；
（2）连接OC，如图，设⊙O的半径为r，根据等腰三角形的性质和垂径定理得到AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，则OE＝8﹣r，利用勾股定理得r2＝（8﹣r）2+42，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG；
（2）解：连接OC，如图，
设⊙O的半径为r．
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
解得r＝5，
∴⊙O的半径为5．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．