高中数学必修第一册人教A版（2019）4.1《指数》知识探究 素材

《指数》知识探究

探究点1 根式

1.根式的概念

(1)在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数;负数的奇次方根是一个负数;零的奇次方根是零.设是大于1的奇数,则的次方根是.

(2)在实数范围内,正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数;零的偶次方根是零;负数的偶次方根没有意义.设是大于1的偶数,则的次方根是.

2.根式的性质

根据次方根的意义,可以得到:

(1).

(2)

【要点辨析】

1.在次方根的概念中,关键是数的次方根满足,因此求一个数的次方根就是求哪个数的次方等于.

2.求的次方根的运算称为开方运算,开方运算与乘方运算是互逆运算.

3.与的区别

是实数的次方根,是一个恒有意义的式子,不受的奇偶限制,但这个式子的值受的奇偶限制.算法是对先乘方,再开方(都是次),结果不一定等于,当为奇数时,;当为偶数时,

学科素养:根据根式的概念和性质解决问题,从而培养学生的数学运算核心素养.

典例1-1 [分析计算能力](2018广西南宁三中高一检测)求使等式成立的实数的取值范围.

解析:根据根式的意义和性质进行分析计算,即可解答本题.具体解题过程如下:原式,要使成立,需解得.

典例1-2  [推测解释能力](1)(2019广西南宁三中高一检测)下列说法:①的运算结果是;②16的4次方根是2;③当为大于1的偶数时,只有当时才有意义;④当为大于1的奇数时,对任意有意义.正确的是__________.

(2)(2019山东潍坊一中月考)若,则下列说法中正确的是_______.①当为奇数时,的次方根为;②当为奇数时,的次方根为;③当为偶数时,的次方根为;④当为偶数时,的次方根为.

(3)(2018四川成都七中高一检测)若.则实数的取值范围是(    )

A.

B.

C.

D.

解析:理解根式性质是解决本题的关键.具体解题过程如下:(1)因为偶次根式的结果只能是正数,偶次方根的结果有正有负,所以③④正确.

(2)当为奇数时,的次方根只有1个,为;当为偶数时,由于,所以的次方根有2个,为,所以②④是正确的.

(3),所以,解得.

答案:(1)③④   (2)②④   (3)

探究点2 分数指数幂

1.的意义

(1)分数指数幂不可理解为个相乘,它是根式的一种新的写法,规定..

(2)根式与分数指数幂是表示相同意义的量,只是形式不同而已.同时,指数幂概念实现了由整数向有理数的扩充.

的指数幂

0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂没有意义.

3.分数指数幂的运算性质在形式上与整数指数幂的运算性质完全一致.

【要点辨析】

1.规定的原因:指数幂的概念扩充到有理数指数幂后,当时,有时有意义,有时无意义.如,但就没有意义了,为了保证算取任何有理数时,有意义,所以规定.

2.有时必须注意幂指数不能随意约分,如,而在实数范围内无意义.

学科素养:利用分数指数幂的性质解决问题,提升数学运算、逻辑推理核心素养.

典例2  ［简单问题解决能力］(1)(2018湖北武汉三中高一周测的值是(   )

A.1

B.

C.

D.

(2)(2018河北承德二中高一周测)把下列根式化成分数指数幂的形式,其中.

①;②;③;④.

解析:根据分数指数幂的性质进行数学运算和推理是解决本题的关键.具体解题过程如下:

(1)原式.

答案:(1)D

(2)①;

②;

③;

④.

探究点3 指数幂运算及其性质

1.有理数指数幂

对于任意的有理数,均有下面的运算性质:

(1).

(2).

(3).

(4).

(5).

2.无理数指数幂

(1)由于无理数是无限不循环小数,因此可以取无理数的近似值来逐步逼近它,即从不足近似值和过剩近似值来逐步逼近,那么无理数指数幂便可从有理数指数幂加以逼近,所以,有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.

(2)对于任意实数,都有的无理数指数幂是0,0的负无理数指数幂没有意义.

【要点辨析】

1.实数指数幂的运算性质

2.幂指数

学科素养:利用指数幂的运算性质解决化简求值问题,提升数学运算、数学抽象核心素养.

典例3  [分析计算能力]化简求值:

(1);

(2);

(3);

(4);

(5);

(6).

思路:本题主要考查学生的分析计算能力.进行指数幂运算时,根据式子的结构特点,灵活运用计算法则.通常,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,便于进行乘除、乘方、开方运算.化简的结果形式上要统一,不能既含根号,又含分数指数幂;也不能既有分母,又有负整数幂.具体解题过程如下:

解析:(1)原式

.

(2)原式.

(3)原式.

(4)原式.

(5)原式.

(6)原式.