沪教版五四制数学九年级上册26.3 《二次函数y=ax2+bx+c的图像》（第4课时）精品教学课件+作业（含答案）

26.3 二次函数y=ax2+bx+c的图像（第4课时）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、填空题

1．（2022·上海崇明·九年级期末）已知二次函数自变量x的值和它对应的函数值y如下表所示：

那么上表中m的值为____________．

【答案】0

【分析】由表中数据可得抛物线的对称轴为：，根据抛物线对称轴的性质可得与的函数值相同，即可得出结果．

【详解】解：由表中数据可得：与的函数值均为，

∴抛物线的对称轴为：，

∴与的函数值相同，均为，

∴，

故答案为：0．

【点睛】题目主要考查抛物线的对称性质，理解题意，从表中得出对称轴是解题关键．

2．（2022·上海市杨浦民办凯慧初级中学一模）二次函数的图像与y轴的交点坐标为______．

【答案】

【分析】求出自变量x为0时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标．

【详解】把代入得：，    

∴该二次函数的图象与y轴的交点坐标为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为0．

3．（2022·上海长宁·九年级期末）已知抛物线与轴交于点,过点作轴的平行线交抛物线于点,若,则点坐标为______．

【答案】（-2，-2）

【分析】根据表达式求出A点坐标再根据AB平行于x轴，AB=2可得B点坐标为（2，-2）、（-2，-2），再根据ab＞0得，所以B点坐标为（-2，-2）．

【详解】解：∵，

∵当x=0时，y=-2，

∴A点坐标（0，-2），

又∵AB=2，直线AB平行x轴

∴B点坐标为（2，-2）、（-2，-2），

∵ab＞0，

∴，抛物线对称轴在y轴左侧，

∴B点坐标为（-2，-2）．

【点睛】本题主要考查二次函数与y轴得交点，二次函数对称轴和两点之间的距离，熟练掌握二次函数基本性质是解决本题的关键．

4．（2022·上海·九年级单元测试）如果抛物线不经过第三象限，那么的值可以是______．（只需写一个）

【答案】（答案不唯一）

【分析】抛物线不经过第三象限，可得抛物线与轴的交点在轴的正半轴或原点，可得从而可得答案.

【详解】解： 抛物线的开口向上，又不经过第三象限，

抛物线与轴的交点在轴的正半轴或原点，

而当时，

解得：

所以当时，符合题意，

故答案为：（答案不唯一）

【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握“抛物线与轴的交点的位置与图象的关系”是解本题的关键.

5．（2022·上海杨浦·九年级期末）二次函数 图像上的最低点的纵坐标为____________．

【答案】

【分析】直接利用二次函数最值求法得出函数顶点式，进而得出答案．

【详解】解：二次函数，

二次函数图象上的最低点的纵坐标为：．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解题的关键是正确得出二次函数顶点式．

6．（2022·上海·九年级单元测试）用描点法画二次函数的图像需要经过列表、描点、连线三个步骤. 以下是小明画二次函数图像时所列的表格：

根据表格可以知道该二次函数图像的顶点坐标是________．

【答案】（-2，-1）

【分析】根据表格得出（-4，3）与（0，3）是二次函数图像上关于对称轴对称的两点，根据对称两点求对称轴的公式可求二次函数的对称轴为：，根据图表得出二次函数的顶点坐标为（-2，-1）．

【详解】解：∵x=-4与x=0时的函数值都为3，

∴（-4，3）与（0，3）是二次函数图像上关于对称轴对称的两点，

∴二次函数的对称轴为：，

∵（-2，-1）是对称轴与二次函数的交点，

∴二次函数的顶点坐标为（-2，-1）．

故答案为（-2，-1）．

【点睛】本题考查二次函数表格数据的获取和处理，会从表格中找出关于二次函数对称轴对称的两点，会求对称轴，掌握对称轴与函数图像的交点是二次函数的顶点是解题关键．

7．（2022·上海市建平实验中学九年级期末）如果抛物线经过点A（3，6）和点B（﹣1，6），那么这条抛物线的对称轴是直线_____．

【答案】

【分析】根据点，的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解．

【详解】解：抛物线经过点和点，

抛物线的对称轴为直线．

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴．

8．（2022·上海·九年级单元测试）抛物线上部分点的横坐标是，纵坐标的对应值如表：    

由表可知，抛物线与轴的一个交点是（1，0），则与轴另一个交点的坐标是____．

【答案】（－5，0）

【分析】根据表中的对应值和抛物线的对称性可以确定抛物线的对称轴是直线，然后写出点（1，0）关于直线的对称点即可．

【详解】解：根据表中数据可知抛物线经过点（﹣3，8），（﹣1，8），

∴抛物线的对称轴为直线，

∵（1，0）关于直线对称，可得对称点为（－5，0），

∴抛物线与轴另一个交点的坐标是（－5，0），

故答案为：（－5，0）．

【点睛】此题考查了抛物线与轴的交点问题，解题关键是根据表中抛物线对称点的特征，确定其对称轴．

【能力提升】

一、单选题

1．（2021·上海徐汇·九年级期中）二次函数（）的图象如图所示，点在轴的正半轴上，且，则下列结果不正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据抛物线开口方向即可判断；根据对称轴的位置即可判断；根据抛物线与轴的交点情况即可判断；结合函数图象，当时，函数值为负，即可判断．

【详解】解：抛物线开口向下，；故正确；

对称轴在轴的左侧，、同号，，故不正确；

抛物线与轴有两个交点，；故正确；

由图象观察知，当时，函数值为负，即，故正确；

故选：．

【点睛】本题考查了二次函数（）的图形和性质，熟练掌握二次函数一般式的基本性质是解本题的关键．

2．（2022·上海·九年级单元测试）直线与抛物线在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由二次函数的图像 得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx＋b的图像相比较看是否一致．

【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；

B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；

C、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；

D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图像，解题的关键是明确一次函数和二次函数的图像与系数间的关系．

3．（2019·全国·九年级单元测试）在同一坐标系中，反比例函数y＝与二次函数y＝kx2+k(k≠0)的图象可能为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据k＞0，k＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．

【详解】分两种情况讨论：

①当k＜0时，反比例函数y=，在二、四象限，而二次函数y=kx2+k开口向上下与y轴交点在原点下方，D符合；

②当k＞0时，反比例函数y=，在一、三象限，而二次函数y=kx2+k开口向上，与y轴交点在原点上方，都不符．

分析可得：它们在同一直角坐标系中的图象大致是D．

故选D．

【点睛】本题主要考查二次函数、反比例函数的图象特点．

4．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级阶段练习）已知二次函数的图象如图，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】①根据开口方向，对称轴及图象与y轴的交点即可判断；

②令求出y即可判断；

③令求出y即可判断；

④根据a，b的关系及c的正负即可判断．

【详解】根据抛物线开口方向向下，可知，

∵对称轴为，

∴，

∴，

当时，，

∴，故①正确；

当时，，故②正确；

当时，，

，故③错误；

，

，故④正确，

∴正确的有①②④，

故选：C．

【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，数形结合是关键．

二、填空题

5．（2021·上海·九年级期末）沿着轴正方向看，如果抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是__________．

【答案】

【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，则，然后解不等式即可．

【详解】∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，

∴抛物线开口向上，

∴，解得．

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．

6．（2020·上海·九年级专题练习）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，那么b______0（填入“<”或“>”）.

【答案】<；   

【分析】根据抛物线对称轴来确定大小.

【详解】∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，

∴－.

∴b＜0.

故答案是＜.

【点睛】本题考查的是抛物线对称轴，熟练掌握抛物线对称轴是解题的关键.

7．（2021·上海·九年级专题练习）如果一条抛物线经过点A（2，5），B（﹣3，5），那么它的对称轴是直线_____．

【答案】x=-．

【分析】因为A（2，5），B（﹣3，5）的纵坐标相同，A、B关于x＝＝﹣对称，即可求抛物线的对称轴．

【详解】解：因为A（2，5），B（﹣3，5）的纵坐标相同，

∴A、B关于x＝＝﹣对称，

∴抛物线的对称轴x＝﹣，

故答案为：x＝﹣．

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．

8．（2020·上海·一模）如果抛物线经过点和点，那么这条抛物线的对称轴是直线___________．

【答案】

【分析】观察点和点两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线，求AB中点坐标即可得.

【详解】解：∵一条抛物线经过点（-1，0）、（5，0），

∴这两点关于对称轴对称，

∴x=

即x=2．

故答案是：x=2．

【点睛】本题考查二次函数图象的对称性及对称轴的求法，常见确定对称轴的方法有，已知解析式则利用公式法确定对称轴，已知对称点利用对称性确定对称轴，根据条件确定合适的方法求对称轴是解答此题的关键.

9．（2021·上海·九年级专题练习）已知二次函数（是常数，），当自变量分别取，时，对应的函数值分别为、，那么、的大小关系是：___________（填“”、“”、“”）.

【答案】

【分析】根据函数解析式先求出对称轴x= -4，再根据二次函数的增减性进而求出x<-4时y随x的增大而减小，求出即可

【详解】解：对称轴x= (a≠0)

∵a2>0

∴当x< -4时y随x的增大而减小，且当x= -4时y有最小值

∴当x取-6，-4时对应的函数值y1 ，y2则y1 >y2

故答案为：>

【点睛】本题考查了二次函数上点的增减性.解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线开口向上，对称轴左侧y随x的增大而减小

10．（2020·上海静安·九年级期末）已知二次函数（a是常数，a≠0），当自变量x分别取-6、-4时，对应的函数值分别为y1、y2，那么y1、y2的大小关系是：y1__ y2（填“>”、“<”或“=”）．

【答案】>

【分析】先求出抛物线的对称轴为，由，则当，y随x的增大而减小，即可判断两个函数值的大小.

【详解】解：∵二次函数（a是常数，a≠0），

∴抛物线的对称轴为：，

∵，

∴当，y随x的增大而减小，

∵，

∴；

故答案为：.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题.

11．（2021·上海·九年级期末）二次函数图像上的最低点的横坐标为_________________．

【答案】

【分析】将二次函数用顶点式表示出来，再根据函数图像开口向上，即可求得最低点的横坐标．

【详解】解：二次函数可化为，因为二次项系数为1，大于零，所以函数图像开口向上，所以最低点为顶点，横坐标为，故答案为．

【点睛】本题考查函数的最值问题，用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式是解决本题的关键．

12．（2021·上海·上外附中九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为_____．

【答案】1

【分析】由矩形的性质可知BD＝AC，再结合顶点到x轴的距离最近可知当点A在顶点处时满足条件，求得抛物线的顶点坐标即可求得答案．

【详解】解：∵AC⊥x轴，

∴当点A为抛物线顶点时，AC有最小值，

∵抛物线y＝x2﹣2x＋2＝（x−1）2＋1，

∴顶点坐标为（1，1），

∴AC的最小值为1，

∵四边形ABCD为矩形，

∴BD＝AC，

∴BD的最小值为1，

故答案为：1．

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及矩形的性质，确定出AC最小时的位置是解题的关键．

三、解答题

13．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）指出下列二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．

（1）

（2）

【答案】（1）开口向上；对称轴是直线x=﹣1；顶点坐标是（﹣1，﹣）；（2）开口向下；对称轴是直线x=﹣；顶点坐标是（﹣，）

【分析】（1）根据二次函数的两点式知图象开口方向及与x轴的交点坐标，由此可知对称轴方程，代入解析式中求得y值，即可得知顶点坐标；

（2）根据二次函数一般式中a的符号，得出开口方向，再将解析式化为顶点式，得出答案．

【详解】（1）由知，﹥0，

∴二次函数图象的开口向上，图像与x轴的交点是（2，0）（-4，0），

∴对称轴是直线x=﹣1，

当x=﹣1时，，

∴顶点坐标是（﹣1，﹣）

(2)∵a=﹣3﹤0，

∴二次函数图象的开口向下，

将化为顶点式为： ，

∴对称轴为直线x=，顶点坐标是（﹣，），

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，涉及二次函数的解析式的表示方法、对称轴和顶点坐标的求法等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．

14．（2022·上海·九年级单元测试）一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为．

(1)求抛物线的函数解析式（不写自变量的取值范围）；

(2)小球在斜坡上的落点的垂直高度为________米；

(3)若要在斜坡上的点处竖直立一个高4米的广告牌，点的横坐标为2，请判断小球能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；

(4)求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度．

【答案】(1)抛物线的解析式为（或）

(2)

(3)能，理由见解析

(4)

【分析】（1）根据顶点坐标可设抛物线的解析式为，再将点代入即可得；

（2）设点的坐标为，将其代入抛物线的解析式求出的值即可；

（3）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再求出当时，抛物线的函数值，由此即可得出答案；

（4）设小球在飞行的过程中离斜坡的高度为米，先根据抛物线和一次函数的解析式可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．

（1）

解：由题意，设抛物线的解析式为，

将点代入得：，

解得，

则抛物线的解析式为（或）．

（2）

解：点在一次函数上，

设点的坐标为，

将点代入得：，

解得或（不符题意，舍去），

即小球在斜坡上的落点的垂直高度为米，

故答案为：．

（3）

解：能，理由如下：

对于一次函数，

当时，，即，

对于抛物线，

当时，，

因为，

所以小球能飞过这个广告牌．

（4）

解：设小球在飞行的过程中离斜坡的高度为米，

则，

整理得：，

由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为，

答：小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．