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新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第2章 §2.3 第2课时 一元二次不等式的应用(含解析)
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这是一份新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第2章 §2.3 第2课时 一元二次不等式的应用(含解析)，共11页。
第2课时 一元二次不等式的应用
学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．
知识点一 简单的分式不等式的解法
分式不等式的解法：
思考 >0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？≥0与(x－3)(x＋2)≥0等价吗？
答案 >0与(x－3)(x＋2)>0等价；≥0与(x－3)(x＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2.
知识点二 一元二次不等式恒成立问题
1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔
2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
知识点三 利用不等式解决实际问题的一般步骤
1．选取合适的字母表示题目中的未知数．
2．由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)．
3．求解所列出的不等式(组)．
4．结合题目的实际意义确定答案．
思考 解一元二次不等式应用题的关键是什么？
答案 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．
1．不等式<0的解集为________．
答案 {x|1
答案 {x|x≥1或x<0}
解析 ∵≤1，∴≥0，∴
∴x≥1或x<0.
3．若方程x2＋ax＋1＝0的解集是∅，则实数a的取值范围是________．
答案 －2
答案 m>1
解析 由题意可得22－4m<0，所以m>1.
一、简单的分式不等式的解法
例1 解下列不等式：
(1)<0；
(2)≥0；
(3)>1.
解 (1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，
∴－1
(2)原不等式可化为≤0，
∴∴
即－
(3)原不等式可化为－1>0，
∴>0，>0，则x<－2.
故原不等式的解集为{x|x<－2}．
(学生)
反思感悟 分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
跟踪训练1 解下列不等式：
(1)≥0；(2)<3.
解 (1)不等式≥0可转化成不等式组
解这个不等式组，可得x≤－1或x>3.即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．
(2)不等式<3可改写为－3<0，
即<0.
可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，
解得－1
例2 对∀x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围．
解 若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则⇒解得－4
延伸探究
1．在本例中，是否存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2－mx－1>0，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．
解 显然m＝0时不等式不成立；
由题意可得解得m∈∅，
所以不存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2－mx－1>0.
2．在本例中，把条件“∀x∈R”改为“x∈{x|2≤x≤3}”，其余不变，求m的取值范围．
解 由不等式mx2－mx－1<0得m(x2－x)<1，
因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0，
所以m(x2－x)<1可化为m<，
因为x2－x＝2－≤6，
所以≥，所以m<.
即m的取值范围是.
(学生)
反思感悟 一元二次不等式恒成立问题的解法
(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号．
(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．
跟踪训练2 若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________．
答案 {k|－3
例3 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率，为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
解 (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，
收购总金额为200a(1＋2x%)万元．
依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)(0
依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.
又因为0
反思感悟 解不等式应用题的步骤
跟踪训练3 某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满．该农家院欲提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间．每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1 800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？
解 设每间客房日租金提高x个10元，即每间客房日租金提高到(80＋10x)元，则客房出租数减少x间，此时客房的租金总收入为(80＋10x)(20－x)元．因为每天客房的租金总收入不低于1 800元，
所以(80＋10x)(20－x)≥1 800.
化简，得x2－12x＋20≤0.
解得2≤x≤10，所以20≤10x≤100.
又由题意可知80＋10x≤130，所以10x≤50.
因此，该农家院每间客房日租金提高的空间是20～50元．
1．不等式≥0的解集为( )
A．{x|－1
解析 原不等式⇔
∴－1≤x<1.
2．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B等于( )
A．{x|－1≤x<0} B．{x|0
答案 B
解析 ∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0
答案
解析 原不等式⇔－5≥0⇔≤0⇔解得0
答案 a>4或a<－4
解析 ∵x2＋ax＋4<0的解集不是空集，
即不等式x2＋ax＋4<0有解，
∴Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.
5．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0
解析 z＝(t＋10)(－t＋35)，
依题意有(t＋10)·(－t＋35)≥500，
解得10≤t≤15，t∈N，所以解集为{t|10≤t≤15，t∈N}．
1．知识清单：
(1)简单的分式不等式的解法．
(2)不等式的恒成立问题．
(3)一元二次不等式的实际应用．
2．方法归纳：转化、恒等变形．
3．常见误区：
(1)解分式不等式要等价变形．
(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．
1．不等式≤0的解集是( )
A．{x|x<－1或－1
C．{x|x<－1或x≥2}
D．{x|－1
解析 此不等式等价于
∴－1
A. B.
C. D.
答案 B
解析 不等式≥1，移项得－1≥0，
即≤0，可化为
解得≤x<2，则原不等式的解集为.
3．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为( )
A．{x|x>1或x<－2} B．{x|1
解析 x＝1为ax－b＝0的根，∴a－b＝0，即a＝b，
∵ax－b>0的解集为{x|x>1}，∴a>0，
故＝>0，等价为(x＋1)(x－2)>0.
∴x>2或x<－1.
4．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为( )
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1
答案 A
解析 由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，
∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4.
5．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是( )
A．{t|1≤t≤3} B．{t|3≤t≤5}
C．{t|2≤t≤4} D．{t|4≤t≤6}
答案 B
解析 设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，
则y＝2 400×t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900.解得3≤t≤5.
6．不等式>0的解集为________．
答案 {x|x<－5或x>2}
解析 >0⇔(x＋5)(x－2)>0⇔x<－5或x>2.
7．不等式≥－1的解集是________．
答案 {x|x≤0或x>1}
解析 ≥－1⇔＋1≥0⇔≥0
⇔
∴不等式的解集是{x|x≤0或x>1}．
8．若实数a，b满足a＋b<0，则不等式<0的解集为________．
答案 {x|x>－a或x
因为a＋b<0，所以b<－a.
所以原不等式的解集为{x|x>－a或x
(1)<0；(2)≤1.
解 (1)<0⇔(2x－5)(x＋4)<0
⇔－4
(2)∵≤1，∴－1≤0，
∴≤0，即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，
解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为.
10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解 (1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0
必须有
即解得0
11．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要
12．若a>0，b>0，则不等式－b<
B.
C.
D.
答案 A
解析 原不等式可化为即
可得
故不等式的解集为.
13．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，则a的取值范围是________．
答案 {a|a≤5}
解析 原不等式x2－2x＋a－8≤0转化为a≤－x2＋2x＋8对任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，设y＝－x2＋2x＋8，易知y在{x|1≤x≤3}上的最小值为5.∴a≤5.
14．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，
s乙＝0.05x＋0.005x2.则这次事故的主要责任方为________．
答案 乙车
解析 由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12，
s乙＝0.05x＋0.005x2>10.
分别求解，得x甲<－40或x甲>30，
x乙<－50或x乙>40.
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任．
15．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．
答案 －8≤λ≤4
解析 因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，
所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，
即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，
由二次不等式的性质可得，
Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，
所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.
16．某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？
解 如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系．
∵AB＝400，∠BAx＝30°，
∴台风中心B的坐标为(200，－200)，x h后台风中心B到达点P(200，40x－200)处．
由已知，A市受台风影响时，有AP≤350，
即(200)2＋(40x－200)2≤3502，
整理得16x2－160x＋375≤0，
解这个不等式得，3.75≤x≤6.25，
A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h)．
故在3.75 h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.
第2课时 一元二次不等式的应用
学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．
知识点一 简单的分式不等式的解法
分式不等式的解法：
思考 >0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？≥0与(x－3)(x＋2)≥0等价吗？
答案 >0与(x－3)(x＋2)>0等价；≥0与(x－3)(x＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2.
知识点二 一元二次不等式恒成立问题
1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔
2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
知识点三 利用不等式解决实际问题的一般步骤
1．选取合适的字母表示题目中的未知数．
2．由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)．
3．求解所列出的不等式(组)．
4．结合题目的实际意义确定答案．
思考 解一元二次不等式应用题的关键是什么？
答案 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．
1．不等式<0的解集为________．
答案 {x|1
答案 {x|x≥1或x<0}
解析 ∵≤1，∴≥0，∴
∴x≥1或x<0.
3．若方程x2＋ax＋1＝0的解集是∅，则实数a的取值范围是________．
答案 －2
答案 m>1
解析 由题意可得22－4m<0，所以m>1.
一、简单的分式不等式的解法
例1 解下列不等式：
(1)<0；
(2)≥0；
(3)>1.
解 (1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，
∴－1
(2)原不等式可化为≤0，
∴∴
即－
(3)原不等式可化为－1>0，
∴>0，>0，则x<－2.
故原不等式的解集为{x|x<－2}．
(学生)
反思感悟 分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
跟踪训练1 解下列不等式：
(1)≥0；(2)<3.
解 (1)不等式≥0可转化成不等式组
解这个不等式组，可得x≤－1或x>3.即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．
(2)不等式<3可改写为－3<0，
即<0.
可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，
解得－1
例2 对∀x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围．
解 若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则⇒解得－4
延伸探究
1．在本例中，是否存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2－mx－1>0，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．
解 显然m＝0时不等式不成立；
由题意可得解得m∈∅，
所以不存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2－mx－1>0.
2．在本例中，把条件“∀x∈R”改为“x∈{x|2≤x≤3}”，其余不变，求m的取值范围．
解 由不等式mx2－mx－1<0得m(x2－x)<1，
因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0，
所以m(x2－x)<1可化为m<，
因为x2－x＝2－≤6，
所以≥，所以m<.
即m的取值范围是.
(学生)
反思感悟 一元二次不等式恒成立问题的解法
(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号．
(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．
跟踪训练2 若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________．
答案 {k|－3
例3 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率，为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
解 (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，
收购总金额为200a(1＋2x%)万元．
依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)(0
依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.
又因为0
反思感悟 解不等式应用题的步骤
跟踪训练3 某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满．该农家院欲提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间．每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1 800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？
解 设每间客房日租金提高x个10元，即每间客房日租金提高到(80＋10x)元，则客房出租数减少x间，此时客房的租金总收入为(80＋10x)(20－x)元．因为每天客房的租金总收入不低于1 800元，
所以(80＋10x)(20－x)≥1 800.
化简，得x2－12x＋20≤0.
解得2≤x≤10，所以20≤10x≤100.
又由题意可知80＋10x≤130，所以10x≤50.
因此，该农家院每间客房日租金提高的空间是20～50元．
1．不等式≥0的解集为( )
A．{x|－1
解析 原不等式⇔
∴－1≤x<1.
2．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B等于( )
A．{x|－1≤x<0} B．{x|0
答案 B
解析 ∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0
答案
解析 原不等式⇔－5≥0⇔≤0⇔解得0
答案 a>4或a<－4
解析 ∵x2＋ax＋4<0的解集不是空集，
即不等式x2＋ax＋4<0有解，
∴Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.
5．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0
解析 z＝(t＋10)(－t＋35)，
依题意有(t＋10)·(－t＋35)≥500，
解得10≤t≤15，t∈N，所以解集为{t|10≤t≤15，t∈N}．
1．知识清单：
(1)简单的分式不等式的解法．
(2)不等式的恒成立问题．
(3)一元二次不等式的实际应用．
2．方法归纳：转化、恒等变形．
3．常见误区：
(1)解分式不等式要等价变形．
(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．
1．不等式≤0的解集是( )
A．{x|x<－1或－1
C．{x|x<－1或x≥2}
D．{x|－1
解析 此不等式等价于
∴－1
A. B.
C. D.
答案 B
解析 不等式≥1，移项得－1≥0，
即≤0，可化为
解得≤x<2，则原不等式的解集为.
3．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为( )
A．{x|x>1或x<－2} B．{x|1
解析 x＝1为ax－b＝0的根，∴a－b＝0，即a＝b，
∵ax－b>0的解集为{x|x>1}，∴a>0，
故＝>0，等价为(x＋1)(x－2)>0.
∴x>2或x<－1.
4．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为( )
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1
答案 A
解析 由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，
∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4.
5．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是( )
A．{t|1≤t≤3} B．{t|3≤t≤5}
C．{t|2≤t≤4} D．{t|4≤t≤6}
答案 B
解析 设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，
则y＝2 400×t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900.解得3≤t≤5.
6．不等式>0的解集为________．
答案 {x|x<－5或x>2}
解析 >0⇔(x＋5)(x－2)>0⇔x<－5或x>2.
7．不等式≥－1的解集是________．
答案 {x|x≤0或x>1}
解析 ≥－1⇔＋1≥0⇔≥0
⇔
∴不等式的解集是{x|x≤0或x>1}．
8．若实数a，b满足a＋b<0，则不等式<0的解集为________．
答案 {x|x>－a或x
因为a＋b<0，所以b<－a.
所以原不等式的解集为{x|x>－a或x
(1)<0；(2)≤1.
解 (1)<0⇔(2x－5)(x＋4)<0
⇔－4
(2)∵≤1，∴－1≤0，
∴≤0，即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，
解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为.
10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解 (1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0
必须有
即解得0
11．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要
12．若a>0，b>0，则不等式－b<
B.
C.
D.
答案 A
解析 原不等式可化为即
可得
故不等式的解集为.
13．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，则a的取值范围是________．
答案 {a|a≤5}
解析 原不等式x2－2x＋a－8≤0转化为a≤－x2＋2x＋8对任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，设y＝－x2＋2x＋8，易知y在{x|1≤x≤3}上的最小值为5.∴a≤5.
14．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，
s乙＝0.05x＋0.005x2.则这次事故的主要责任方为________．
答案 乙车
解析 由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12，
s乙＝0.05x＋0.005x2>10.
分别求解，得x甲<－40或x甲>30，
x乙<－50或x乙>40.
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任．
15．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．
答案 －8≤λ≤4
解析 因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，
所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，
即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，
由二次不等式的性质可得，
Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，
所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.
16．某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？
解 如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系．
∵AB＝400，∠BAx＝30°，
∴台风中心B的坐标为(200，－200)，x h后台风中心B到达点P(200，40x－200)处．
由已知，A市受台风影响时，有AP≤350，
即(200)2＋(40x－200)2≤3502，
整理得16x2－160x＋375≤0，
解这个不等式得，3.75≤x≤6.25，
A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h)．
故在3.75 h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.
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