河北省唐山市十县一中联盟2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

唐山市十县一中联盟2022-2023学年度高二年级第二学期期中考试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡的“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案涂在试卷上一律无效.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知函数，则（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】根据导数的运算法则求出函数的导函数，再代入计算可得.

【详解】因为，所以，则.

故选：A

2. 的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，则n为（    ）

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

【答案】B

【解析】

【分析】根据二项式系数的定义求解即可.

【详解】因为的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，

所以，解得.

故选：B.

3. 函数的图象大致是（    ）

A.    B.    C.    D.  

【答案】A

【解析】

【分析】先利用导数求出函数的单调区间，再根据时，函数值的符号，利用排除法即可得解.

【详解】，

当或时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，故排除B；

当时，，

所以，故排除CD.

在A中：单调性满足，当时满足，令即有两个正根，且时，当或时，以上性质图象均满足，故A正确.

故选：A.

4. 甲、乙、丙、丁4名大学生分配到3个不同的单位，每人去1个单位，每个单位至少1人，则不同的分配方案共有（    ）

A. 24种 B. 36种 C. 64种 D. 81种

【答案】B

【解析】

【分析】先把四个人分成三组，再将三组分配到三个不同的地方去即可.

【详解】由题意，不同的分配方案共有种.

故选：B.

5. 已知，，（其中e为自然对数的底数），则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】构造，由导数求得最大值为，然后用作差法比较，的大小即可.

【详解】设，则，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，，中最大.

又，所以，.

故选：B.

6. 若函数有两个不同的极值点，则实数a可以为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】将问题转化为有2个不同的实数根，令，转化为的图象与的图象有两个交点求的取值范围问题，利用导数求出函数的单调区间和最值，从而可求出实数的取值范围.

【详解】依题意得有2个不同的实数根，即有2个不同的实数根，

可转化为的图象与的图象有两个交点求的取值范围问题，

令，则，时，，时，时，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，

图象如下图，所以在上无极值，在上的最小值为，

若函数有两个不同的极值点，因此．

故选：D.

7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据导函数在上恒成立，即可结合基本不等式求解.

【详解】由于在上单调递增，所以在上恒成立，故在上恒成立，

由于当且仅当 时取等号，所以 ，

故选：C

8. 如图，某城区的一个街心花园共有五个区域，中心区域⑤是代表城市特点的标志性塑像，要求在周围①②③④四个区域内种植鲜花，现有四个品种的鲜花供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法共有（    ）

A. 48种 B. 60种 C. 84种 D. 108种

【答案】C

【解析】

【分析】根据四个区域所种植鲜花的种类进行分类：种植两种鲜花，种植三种鲜花，种植四种鲜花，然后相加即可求解.

【详解】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分以下三类：

当种植的鲜花为两种时：①和③相同，②和④相同，共有种种植方法；

当种植鲜花为三种时：①和③相同或②和④相同，此时共有种种植方法；

当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有种种植方法，

综上：则不同的种植方法的种数为种，

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知函数，则（    ）

A. 的极小值为 B. 的极大值为

C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递增

【答案】BD

【解析】

【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，即可得出结论.

【详解】因为，该函数的定义域为，

且，

令，可得或，列表如下：

所以，函数在上单调递增，BD对，AC均错.

故选：BD.

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 可表示为

B. 若把单词“best”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有23种

C. 9个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手36次

D. 5个人站成一排，甲不站排头，乙不站排尾，共有72种不同排法

【答案】BC

【解析】

【分析】根据排列数公式计算即可判断A；利用排列即可判断B；从9人种选2人结合组合即可判断C；利用排除法即可判断D.

【详解】对于A，因为，故A错误；

对于B，可能出现的错误共有，故B正确；

对于C，9个朋友聚会，两人握手一次，则共有次，故C正确；

对于D，若5个人站成一排，则有种，

若甲站排头，则有种，

若乙站排尾，则有种，

若甲站排头且乙站排尾，则有种，

所以甲不站排头，乙不站排尾，共有种不同排法，故D错误.

故选：BC.

11. 若，则（    ）

A.  B. 展开式中所有项的二项式系数的和为

C. 奇数项的系数和为 D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用赋值法判断A、C、D，利用二项式系数的和的性质判断B.

【详解】因为，

令可得，故A正确；

展开式中所有项的二项式系数的和为，故B正确；

令，，

令，则，

两式相加得展开式中所有奇数项系数的和为，故C错误；

令，则，

所以，故D正确．

故选：ABD

12. 已知函数，下列说法正确的是（    ）

A. 在上单调递减，在上单调递增

B. 当时，

C. 若函数有两个零点，则

D. 若，且，则

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A，求导后直接求出单调区间判断即可；对于B，根据函数的单调性即可判断；对于C，结合偶函数的图象特点转化为两个函数的交点问题，求出的范围判断；对于D，构造函数，判断的单调性，得到，再根据的单调性，即可得到.

【详解】对于A，的定义域为，则，

若，即，则；

若，即，则且，

所以在和上单调递减，在上单调递增，故A错误；

对于B， 由选项A知，在上单调递增，

因为，所以，即 ，

又，所以，故B正确.

对于C， 由选项A，可得的图象如图所示，

若函数有两个零点，则函数和有两个交点，

又定义域关于原点对称，且，所以在定义域内为偶函数,

则与函数在定义域内有一个交点，由图知， 或，故C错误；

对于D，，且，由选项C中的图象可知，，

令，

则

因为，所以，

所以

，

令，则在为增函数，

所以，即，则，

即，因为，所以，，

又，则，

所以在为减函数，

又，，即，

所以，即，又，

所以，则，

因为，所以，又，

由选项A知，在上单调递增，

则，即.故D正确.

故选：BD

【点睛】关键点点睛：本题中D选项求解的关键是：利用极值点偏移，构造对称函数，通过所构造函数的单调性来判断.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 某人有5件不同的衬衫，6条不同的裤子，1件上衣和1条裤子为一种搭配，则搭配方法共有______种.

【答案】

【解析】

【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.

【详解】依题意有种搭配方法.

故答案为：

14. 函数的单调递减区间是______.

【答案】

【解析】

【分析】求导，再令，即可得解.

【详解】函数的定义域为，

，

令，解得，

所以函数的单调递减区间是.

故答案为：.

15. 9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既会唱歌又会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有______种不同的选法.

【答案】

【解析】

【分析】从只会跳舞的人入手，分只会跳舞的选人，只会跳舞的选人和只会跳舞的选人，三种情况讨论，即可得解.

【详解】只会跳舞的选人，则有种，

只会跳舞的选人，则有种，

只会跳舞的选人，则有种，

所以共有种不同的选法.

故答案为：.

16. 如图，某校园有一块半径为10m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），目前进行改建，在AB的延长线上取点D，，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成.若改建后绿化区域的面积为S，设，则为______时，S取得最大值，最大值为______.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】由题意可得，，求导后，求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值.

【详解】由题意得

，，

则，由，得，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

所以当时，取得最大值（）.

故答案为：，

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查扇形的面积公式的应用，解题的关键是根据题意表示出总面积，然后利用导数可求出其最大值，考查计算能力，属于中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知函数.

（1）求在处的切线方程；

（2）当时，求的值域.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；

（2）先利用导数求出函数的单调区间，在求出极值及区间端点的函数值，即可得解.

【小问1详解】

，

则，

所以在处的切线方程为；

【小问2详解】

，

令，则，令，则，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

又，

所以，

所以当时，的值域为.

18. 已知的展开式中，前两项的二项式系数之和是9.

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中的系数.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而写出展开式的通项，即可得解；

（2）令，解得，再代入计算可得.

【小问1详解】

依题意，即，解得，

所以展开式的通项为（且），

则展开式中二项式系数最大的项为.

【小问2详解】

令，解得，

所以，所以展开式中的系数为.

19. 用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？

（1）偶数；

（2）百位和千位都是奇数的偶数；

（3）比23014大的数.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）（2）（3）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.

【小问1详解】

末位，有个，

末位是或，有个，

故满足条件的五位偶数共有个.

【小问2详解】

可分两类，是末位数，有个，

或是末位数，则个，

故共有个.

【小问3详解】

或在万位，符合条件的五位数有个，

在万位，在千位，符合条件的五位数有个，

在万位，在千位，或在百位，符合条件的五位数有个，

在万位，在千位，在百位，在十位，符合条件的五位数有个，

故比大数有个.

20. 已知函数，.

（1）证明：当时，；

（2）若函数有两个零点，求m的取值范围.

【答案】（1）证明过程见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）构造，求导得到其单调性，极值和最值，从而得到证明；

（2）转化为与有两个交点，构造，求导，研究其单调性和极值，最值情况，数形结合得到答案.

【小问1详解】

，，

，

因为，所以，故单调递增，

又，故，；

【小问2详解】

，，

令得，，

故函数有两个零点，即与有两个交点，

令，，

则，

当时，，当时，，

所以上单调递减，在上单调递增，

又在处取得极小值，也是最小值，

又当时，恒成立，当时，，

故要想函数有两个零点，则，

【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.

21. 已知函数.

（1）若，，讨论的单调性；

（2）若，，是的两个极值点，求的最小值.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得解；

（2）依题意可得、是方程的两个不相等的正实数根，利用韦达定理及根的判别式求出的取值范围，将转化为关于的函数，设，，利用导数求出的最小值，即可得解.

【小问1详解】

因为定义域为，

且，又，，

所以，

当时令，解得或，令，解得，

所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；

当时恒成立，

所以的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时令，解得或，令，解得，

所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；

综上可得当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；

当时的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时的单调递增区间为，，单调递减区间为.

【小问2详解】

当时，

因为、是函数的两个极值点，

即、是方程的两个不相等的正实数根，

所以，解得，

所以

，

令，，设，，

则，当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以当时取得极小值即最小值，所以，

即的最小值为.

22. 已知和有相同的最大值.（）

（1）求的值；

（2）求证：存在直线与两条曲线和共有三个不同的交点且，使得成等比数列.

【答案】（1）   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）分别用导数法求出与最大值，由最大值相等建立等式即可求解；

（2）画出和的图象，设和的图象交于点，则当直线经过点时，直线与两条曲线和共有三个不同的交点，可得，再结合函数的单调性与等比数列的定义求解即可

【小问1详解】

的定义域为，且，，

当时，，递增；当时，，递减；

所以，

的定义域为，且，

当时，，递增；当时，，递减；

所以，

又和有相同的最大值，

所以，解得，

又，

所以；

【小问2详解】

由（1）可知：

在递增，在递减，且，

在递增，在递减，且，

和的图象如图所示：

设和的图象交于点，

则当直线经过点时，直线与两条曲线和共有三个不同的交点，

则，且，

因为，

所以，即，

因为，且在递增，

所以，

所以，

因为，

所以，即，

因为，且在递减，

所以，

所以，

所以，即，

所以得成等比数列