2023-2024学年河北省唐山市十县一中联盟高二上学期期中数学试题(含解析 )

这是一份2023-2024学年河北省唐山市十县一中联盟高二上学期期中数学试题(含解析 )，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线 3x+y-1=0的倾斜角为
( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.向量a=1,-2,1,b=2,k,1，若a与b垂直，则k的值为
( )
A. 23B. 1C. 32D. 3
3.直线3x-y+6=0与两坐标轴所围成三角形的面积为
( )
A. 16B. 13C. 3D. 6
4.在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，G为▵ABC 的 重心，点M在线段OC上，且OM=2MC，则MG=( )
A. 13a+13b-13cB. 13a+13b+13c
C. -13a+23b+13cD. 13a-13b+13c
5.若点m,n在圆C:x2+y2=4上，则直线mx+ny=4与圆C的位置关系是
( )
A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定
6.已知圆M：x2+(y+2)2=9与圆N：x2+y2-6y+a-4=0外离，则a的取值范围
( )
A. a<-51B. a>9
C. a<-51或a>9D. 97.在空间四边形ABCD中，∠ABD=∠BDC=90∘,AC=2BD，则BD在AC上的 投影向量为
( )
A. 12ACB. 14ACC. 12BDD. 14BD
8.已知x1+22+y12=5,x2+2y2=4，则x1-x22+y1-y22的最小值为
( )
A. 55B. 15C. 6 55D. 365
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为AB,BC的中点，则下列说法不正确的是
( )
A. 平面B1EF⊥平面BDD1B. 平面B1EF⊥平面A1BD
C. 平面B1EF//平面A1ACD. 平面B1EF//平面A1C1D
10.已知圆C:(x+1)2+(y-2)2=25，直线l:3m+1x+m+1y-4m-2=0，直线l与圆C交于A,B两点，则
( )
A. 直线l恒过定点1,1B. 当m=15时，AB最长
C. 当m=-35时，弦AB最短D. 最短弦长AB=2 5
11.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,A1B1=2,AA1= 5，点M,N分别在直线AB与A1D1上，则
( )
A. 该四棱台的体积为28 53B. 该四棱台外接球的表面积为35π
C. 线段MN长度的最小值为3 55D. 点A1到平面B1BCC1的距离为 3
12.已知A-2,0,B6,0,D2,2，点P满足PAPB=13，设点P的轨迹为曲线C，则
( )
A. 过点B作曲线C的切线，切线长为6 2
B. 当A,B,P三点不共线时，则∠APO=∠BPO
C. 在C上存在点M，使得MO=2MA
D. PB+3PD的最小值为6 5
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知Ax,-3,5,B0,y,2,C2,7,-1三点共线，则x+y=__________．
14.直线l1:x-2y-2=0与直线l2:2x-4y=1之间的距离为__________．
15.已知空间向量a=3,2,m,b=-1,1,2,c=1,4,n，若a,b,c共面，则mn的最小值为__________．
16.16 . 已知圆O:x2+y2=1与圆O1:x2+y2+6x-8y-10-a=0，则
①当a=1时，两圆的公切线方程为 ．
②若两圆相交于A,B两点，且AB=3 115，则a= ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
▵OBC中，O0,0,B1,1,C4,2．
(1)求BC边上的高所在直线的方程；
(2)求▵OBC的外接圆的方程．
18.(本小题12.0分)
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为 2的正方形，侧棱长为2，∠A1AB=∠A1AD=120∘．
(1)求证：AA1⊥BD；
(2)求异面直线BD1与AC所成角．
19.(本小题12.0分)
已知点M在圆D:x2+y2+2x-3=0上运动，点N4,0,P为线段MN的中点，设点P的轨迹为曲线C，
(1)求曲线C的轨迹方程．
(2)过点Q52,2作曲线C的切线l，求切线l的方程．
20.(本小题12.0分)
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，点D,E分别为AB,CC1的中点．
(1)证明：DE//平面A1BC1；
(2)求直线BA1与平面ABE所成角的正弦值．
21.(本小题12.0分)
如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠ADC=120∘，点M,N分别是边CD,CB的中点，AC与MN交于点O，沿MN将▵CMN翻折到▵PMN，连接PA,PB,PD，得到如下图2的五棱锥P-ABNMD，且PB= 10．
(1)求证：BD⊥平面POA；
(2)求平面PAB与平面PAO夹角的余弦值．
22.(本小题12.0分)
已知圆C:x2+y2=5，过圆上一点P-2,1作直线PA,PB分别与圆交于A,B两点，设直线PA,PB的斜率为k1,k2．
(1)若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，求切线l方程；
(2)若k1+k2=1，求证：直线AB恒过定点．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了直线的一般式方程、直线的斜率和直线的倾斜角的关系，考查了学生转化，运算的能力，属于基础题．
由直线的 一般式方程得到直线的斜率 k ，再由 k=tanθ 求解倾斜角．
解：直线 3x+y-1=0 的斜率 k=- 3
∴k=tanθ=- 3,θ∈[0,180) ，
∴ θ=120∘ ．
故选：C
2.【答案】C
【解析】【分析】根据向量垂直，数量积为0即可求得．
解：因为 a 与 b 垂直，所以 a⋅b=0 ，即 2-2k+1=0 ，解得 k=32 ．
故选：C
3.【答案】D
【解析】【分析】求出直线与坐标轴的交点，即可得求所围成三角形的面积．
解：令 x=0 ，则 y=6 ；令 y=0 ，则 x=-2 ；
所以两坐标轴所围成三角形的面积为 12×6×2=6 ．
故选：D
4.【答案】A
【解析】【分析】 G 为 ▵ABC 的重心，则 G 为中线三等分点，在用向量的加法法则表示即可．
解：因为 G 为 ▵ABC 的重心，所以 G 为 AD 的三等分点， MG=MC+CD+DG ，
=13c+12(b-c)+13AD = 13c+12(b-c)-16(AB+AC) =13c+12(b-c)-16(b-a+c-a) = 13a+13b-13c ．

故选：A
5.【答案】B
【解析】【分析】利用点线距离公式求圆心与直线的距离，结合半径长即可判断直线与圆的位置关系．
解：由圆 C:x2+y2=4 的 圆心为 C(0,0) ，半径为2，
所以 C(0,0) 到直线 mx+ny=4 的距离 d=4 m2+n2 ，
又 m,n 在圆 C:x2+y2=4 上，则 m2+n2=4 ，故 d=2 ，
所以直线 mx+ny=4 与圆 C 相切．
故选：B
6.【答案】D
【解析】【分析】先根据圆的方程得到两圆的圆心和半径，根据两圆的位置关系为外离得到圆心距大于半径之和，进而列出不等式可得．
解：圆 M ： x2+(y+2)2=9 ，圆心坐标为 0,-2 ，半径为 3
圆 N ： x2+y2-6y+a-4=0 即 x2+y-32=13-a ，
则 a<13 ，圆心坐标为 0,3 ，半径为 13-a ，
因圆 M 与圆 N 外离，所以圆心距大于半径之和，即 5>3+ 13-a ，
得 9故选：D
7.【答案】B
【解析】【分析】在四面体中，用向量加法法则表示 AC ，再结合投影向量的计算方法求解．
解：在四面体中，因为 ∠ABD=∠BDC=90∘,AC=2BD ，
设 AC=2,BD=1 ，且 AB⋅BD=BD⋅DC=0 ， AC=AB+BD+DC ，
则 AC⋅BD=AB+BD+DC⋅BD=BD2 ，
BD 在 AC 上的投影向量为 BD⋅ACAC⋅ACAC=BD2AC2⋅AC=14AC ．
故选：B
8.【答案】B
【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及两点距离公式计算即可．
解：易知 x1-x22+y1-y22 为圆 x+22+y2=5 上一点 Ax1,y1 与直线 x+2y=4 上一点 Bx2,y2 的距离的平方，
易知圆心 C-2,0 ，半径 r= 5 ，点C到直线 x+2y=4 的距离 d=-2-4 12+22=6 55 ，则 AB2min=d-r2=15 ．

故选：B
9.【答案】BCD
【解析】【分析】由正方体的性质，结合线面垂直、平行的判定及平面的基本性质判断各项的正误即可．
解：由题设 EF//AC ， AC⊥BD ，则 EF⊥BD ，
由 DD1⊥ 面 ABCD ， EF⊂ 面 ABCD ，则 DD1⊥EF ，
又 DD1∩BD=D ， DD1,BD⊂ 面 BDD1 ，故 EF⊥ 面 BDD1 ，
EF⊂ 面 B1EF ，故平面 B1EF⊥ 平面 BDD1 ，A对；
由 AA1⊥ 面 ABCD ， BD⊂ 面 ABCD ，则 AA1⊥BD ，又 AC⊥BD ，
AA1∩AC=A ， AA1,AC⊂ 面 ACC1A1 ，则 BD⊥ 面 ACC1A1 ，
BD⊂ 面 A1BD ，则面 A1BD⊥ 面 ACC1A1 ，
根据平面的基本性质知： B1E 与 AA1 在面 ABB1A1 内必有交点， B1F 与 CC1 在面 BCC1B1 内必有交点，
所以面 ACC1A1 与面 B1EF 必有交线，故平面 B1EF⊥ 平面 A1BD 不成立，B错；
由面 A1AC 即为面 ACC1A1 ，故平面 B1EF 与平面 A1AC 有交线，C错；
由 AC//A1C1 ， AC⊂ 面 AB1C ， A1C1⊄ 面 AB1C ，则 A1C1// 面 AB1C ，
同理可证 A1D// 面 AB1C ，而 A1C1∩A1D=A1 ， A1C1,A1D⊂ 面 A1C1D ，
所以面 A1C1D// 面 AB1C ，而面 AB1C 与面 B1EF 相交，故平面 B1EF// 平面 A1C1D 不成立，D错．

故选：BCD
10.【答案】AC
【解析】【分析】由直线方程求定点可判定A，由弦长公式可判定B、C、D．
解：直线方程可化为 3x+y-4m+x+y-2=0 ，当 3x+y-4=0x+y-2=0⇒x=1,y=1 ，
故直线 l 恒过定点 P1,1 ，A正确；
易知圆心 C-1,2 ，半径 r=5 ，
显然当直线 l 过圆心时， AB 最长，则 3m+1×-1+m+1×2-4m-2=0⇒m=-15 ，
故B错误；
当 CP⊥l 时，此时弦 AB 最短，即 -3m+1m+1×1-21--1=-1⇒m=-35 ，
故C正确；
当 m=-35 时，则弦长 AB=2 r2-CP2=4 5 ，故D错误．
故选：AC
11.【答案】BD
【解析】【分析】A选项，作出辅助线，得到正四棱台的高，得到体积；B选项，作出辅助线，找到球心的位置，利用勾股定理得到方程，求出外接球的半径，得到表面积；C选项，作出辅助线，得到线段 MN 长度取最小值时的位置，求出最小值；D选项，利用等体积法求出点 A1 到平面 B1BCC1 的距离．
解：A选项，过点 A1,D1 分别作 A1E ⊥ AD ， D1F ⊥ AD 于点 E,F ，
因为 AD=4,A1D1=2 ，所以 EF=2,AE=DF=1 ，
因为 AA1= 5 ，所以 A1E= A1A2-AE2= 5-1=2 ，
过点 A1,D1 分别作 A1G ⊥平面 ABCD 于点 G ， D1F ⊥平面 ABCD 于点 H ，
由对称性可知， EG=FH=4-22=1 ，
由勾股定理得 A1G= A1E2-EG2= 4-1= 3 ，
故该四棱台的体积为 1322+ 22×42+42× 3=28 33 ，A错误；
B选项，连接 AC,BD 相交于点 Q ，连接 A1C1,B1D1 相交于点 K ，
连接 QK ，则四棱台外接球的球心 O 在直线 QK 上，
连接 OA1,OA ，则 OA1=OA=R ，
因为 AD=4,A1D1=2 ，所以 AC=4 2,A1C1=2 2,AQ=2 2,A1K= 2 ，
由A选项知， QK= 3 ，设 OK=m ，则 OQ= 3-m ，
由勾股定理得 A1K2+OK2=OQ2+AQ2 ，即 2+m2= 3-m2+8 ，
解得 m=3 32 ，故 R= 2+m2= 352 ，
故该四棱台外接球的表面积为 4πR2=35π ，B正确；
C选项，过点 N 作 NW ⊥平面 ABCD 于点 W ，则 W 在线段 GH 上，连接 MW ，
则 MN= NW2+WM2= 3+WM2 ，
由几何关系知，当 W 与点 G 重合，且 M,G,H 三点共线时， MW 取得最小值，
最小值为1，故 MN 的最小值为 MN= 3+12=2 ，C错误；
D选项，连接 A1B,A1C1,BC1 ，则点 A1 到平面 B1BCC1 的距离即为三棱锥 A1-BB1C1 的高，
其中由A选项，可知正四棱台的 高为 3 ，侧高为2，
故 VA1-BB1C1=VB-A1B1C1=13S▵A1B1C1⋅ 3=13×2 3=2 33 ， S▵BB1C1=12B1C1⋅2=2 ，
故三棱锥 A1-BB1C1 的高为 3VA1-BB1C1S▵BB1C1=2 32= 3 ，D正确．
故选：BD
12.【答案】ABD
【解析】【分析】设动点坐标，根据 PAPB=13 可求得动点轨迹方程，A选项，构造直角三角形，即可求得切线长；B选项可知 PO 是 △APB 内角 ∠APB 的角平分线，即可得出结论；C选项，可以求得动点 M 的轨迹，判断两曲线的位置关系来判断是否存在；D选项，三点共线时和最小可以求解．
解：设P点坐标为 (x,y) ，由 PAPB=13 ，则 x+22+y2 x-62+y2=13 ，化简得
x2+y2+6x=0 ，所以动点轨迹是以 C(-3,0) 为圆心， r=3 为半径的圆．
A选项，过点 B 作曲线 C 的切线，切线长为 81-9=6 2 ，A选项正确．
B选项，当 A,B,P 三点不共线时，由三角形内角平分线定理可知， PO 是 △APB 内角 ∠APB 的角平分线，所以 ∠APO=∠BPO .故B选项正确．
C选项，因为 MO=2MA ，设 M(x,y) ，则 x2+y2 x+22+y2=2 ，化简得轨迹为 (x+83)2+y2=169 ，所以动点 M 的轨迹为圆心 C2 (-83,0) ，半径为 r2=43 的圆，圆心距
CC2=13D选项，因为 PAPB=13 ，所以 PB+3PD=3PA+3PD =3PA+PD≥3AD=3 -2-22+0-22=6 5 ，故D正确．
故选：ABD
13.【答案】0
【解析】【分析】利用空间向量的共线定理计算即可．
解：由题意可知： AB=-x,y+3,-3,AC=2-x,10,-6 ，
由三点共线可知 AB=λAC⇒-x=λ2-xy+3=10λ-3=-6λ⇒λ=12y=2x=-2⇒x+y=0 ．
故答案为：0
14.【答案】3 510
【解析】【分析】先将两直线 x,y 前面的系数化为一致，再根据两直线间的距离公式计算结果即可．
解：由题知： l1:x-2y-2=0 ，即 2x-4y-4=0 ，
l2:2x-4y=1 ，即 2x-4y-1=0 ，
所以 l1 与 l2 之间的距离为： -4--1 22+42=32 5=3 510 ．
故答案为： 3 510
15.【答案】-4
【解析】【分析】根据空间向量共面定理建立等式，得到关于 m,n 的式子，将 n 带入 mn 中，利用二次函数图象性质即可求得最值．
解：因为 a,b,c 共面，所以 b=λa+μc ，
即 -1,1,2=λ3,2,m+μ1,4,n=3λ+μ,2λ+4μ,λm+μn ，
即 3λ+μ=-12λ+4μ=1λm+μn=2 ，解得 λ=-12μ=12n-m=4 ，
所以 n=m+4 ， mn=mm+4=m2+4m=m+22-4 ，
因为 m+22≥0 ，所以 mn 的最小值为 -4 ．
故答案为： -4
16.【答案】3x-4y-5=0；-8 ；或 ；-10
【解析】【分析】①由题可得两圆内切，则有唯一公切线，后求得两圆交点坐标，即可得答案；②两圆方程相减可得直线AB方程，后由其长度，可得答案．
解：①当 a=1 时，圆 O1:x2+y2+6x-8y-11⇒x+32+y-42=36 ．
因两圆圆心距为 -32+42=5 ，恰为两圆半径差，则两圆内切，即两圆有唯一公切线．
x2+y2=1x2+y2+6x-8y-11=0⇒3x-4y=5⇒y=3x-54 ，又 O:x2+y2=1 ，
则 x2+3x-542=1⇒25x2-30x+9=25x-352=0⇒x=35y=-45 ，
即两圆公共点为C 35,-45 ，则公切线过点C 35,-45 ，
因 kCO=-43 ，则切线斜率为 34 ，故公切线方程为： y=34x-35-45⇒3x-4y-5=0 ；
②两圆方程相减可得两圆公共弦方程 6x-8y-9-a=0 ．
因 AB=3 115 ，圆O半径为1，则 O 点到直线AB距离为 d= r2-AB22=110 ．
则由点到直线距离公式，可得 -9-a10=110⇒-9-a=1⇒a=-8 或 a=-10 ．
故答案为： 3x-4y-5=0 ； -8 或 -10 ．
17.【答案】解：(1)直线 BC 的斜率 k1=2-14-1=13
所以边 BC 上的高所在直线的斜率为 k2=-3 ，
所以边 BC 上的高所在直线的方程为 3x+y=0 ．
(2)设 ▵OBC 的外接圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ，
则 F=0,D+E+F+2=0,4D+2E+F+20=0,
解得 D=-8,E=6,F=0,
所以 ▵OBC 的外接圆的方程为 x2+y2-8x+6y=0 ．

【解析】【分析】(1)求出 BC 边的斜率，即可得到高线的斜率，用点斜式即可求得方程．
(2)设圆的方程为一般式，代入点的坐标即可求出方程．
18.【答案】解：设 AB=a,AD=b,AA1=c ，则 a=b= 2,c=2 ，
⟨a,b⟩=90∘,⟨a,c⟩=⟨b,c⟩=120∘ ．
∴a⋅b=0,a⋅c=b⋅c=2× 2×cs120∘=- 2 ．
(1) ∵BD=AD-AB=b-a ，
∴AA1⋅BD=c⋅b-a=b⋅c-a⋅c=0 ，
∴AA1⊥BD ，即 AA1⊥BD ．
(2)BD1=BD+DD1=b-a+c,AC=AD+AB=b+a
∴BD1⋅AC=b-a+c⋅b+a=b2-a2+b⋅c+a⋅c=-2 2 ，
BD1= (c+b-a)2=2 2,AC=2 ，
∴cs⟨BD1,AC⟩=BD1⋅ACBD1AC=-2 22 2×2=-12 ，
∴ 异面直线 BD1 与 AC 所成角为 60∘ ．

【解析】【分析】(1)在 A 点建立基底， AB=a,AD=b,AA1=c ，分别表示向量 AA1,BD ，计算出向量数量积即可判断垂直．
(2)表示向量 BD1,AC ，用夹角余弦公式代入计算即可．
19.【答案】解：(1)设 Px,y,Mx0,y0 ，因为点 P 为线段 MN 的中点，
所以 x=x0+42y=y02 ，即 x0=2x-4y0=2y ，
因为点 M 在圆 D:x2+y2+2x-3=0 上运动，
所以 (2x-4)2+(2y)2+22x-4-3=0 ，化简得 x2+y2-3x+54=0 ，
所以曲线 C 的轨迹方程为 x2+y2-3x+54=0 ．
(2)由(1)知曲线 C 的轨迹为以 E32,0 为圆心，1为半径的圆，
当切线 l 斜率不存在时： x=52 ，满足题意；
当切线 l 斜率存在时，设 l:y-2=kx-52 ，即 kx-y+2-52k=0 ．
由 l 与圆 C 相切，得 32k+2-52k 1+k2=1 ，解得 k=34 ．
所以切线 l 的方程为 y-2=34x-52 ，即 6x-8y+1=0 ．
综上，切线 l 的方程为 x=52 或 6x-8y+1=0 ．

【解析】【分析】(1)设 Px,y,Mx0,y0 ，根据已知得 x0=2x-4y0=2y ，再由 M 在圆 D 上，代入整理可得曲线 C 的轨迹方程；
(2)由(1)并讨论切线 l 斜率存在性，结合点线距离公式求参数，即可得切线方程．
20.【答案】解：(1)取 A1B 的中点 F ，连接 DF,FC1 ，
∵D,F 分别为 AB,A1B 的中点，
∴DF//AA1 ，且 DF=12AA1 ，
又 C1E//AA1 且 C1E=12AA1 ，
∴DF//C1E 且 DF=C1E ，
∴ 四边形 DEC1F 为平行四边形，则 DE//FC1 ，
∵DE⊄ 平面 A1BC1,FC1⊂ 平面 A1BC1 ，
∴DE// 平面 A1BC1 ．
(2)取 BC 的中点 O ，则 OA⊥BC ．
以 O 为原点，以 OB,OA 为 x,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则 O0,0,0,B1,0,0,A0,0, 3 ，
C1-1,2,0,E-1,1,0,A10,2, 3 ．
所以 BA1=-1,2, 3,AB=1,0,- 3,AE=-1,1,- 3 ，
设平面 ABE 的法向量为 m=x,y,z ．
则 AB⋅m=0,AE⋅m=0, 即 x- 3z=0,-x+y- 3z=0,
取 z=1 ，则 m= 3,2 3,1 ．
又 BA1=-1,2, 3 ，
设直线 BA1 与平面 ABE 所成的角为 θ ，则 sinθ=cs⟨BA1,m⟩=BA1⋅mBA1m= 64 ，
故 BA1 与平面 ABE 所成角的正弦值为 64 ．

【解析】【分析】(1)取 A1B 的中点 F ，连接 DF,FC1 ，构造平行四边形可以证得线面平行．
(2)建立空间直角坐标系，求出平面 ABE 的法向量，代入公式即可求得线面角．
21.【答案】解：(1)点 M,N 分别是边 CD,CB 的中点，则 BD//MN ．
菱形 ABCD 的对角线互相垂直，即 BD⊥AC ．
所以 MN⊥AC ，则 MN⊥AO,MN⊥PO ．
由 AO⊂ 平面 POA,PO⊂ 平面 POA,AO∩PO=O ，
所以 MN⊥ 平面 POA ，故 BD⊥ 平面 POA ．
(2)设 AO∩BD=H ，连接 BO ， ∠ADC=120∘ ，
所以 ∠DAB=60∘ ，故 ▵ABD 为等边三角形．
∴BD=4,BH=2,HA=2 3,HO=PO= 3 ．
在 Rt△BHO 中， BO= BH2+HO2= 7 ，
在 ▵PBO 中 BO2+PO2=10=PB2 ，则 PO⊥BO ．
∵PO⊥MN,MN∩BO=O,MN⊂ 平面 BNMD ， BO⊂ 平面 BNMD ，
∴PO⊥ 平面 BNMD ．
以 O 为原点， OA 、 ON 、 OP 为 x 、 y 、 z 轴，建立空间直角坐标系 O-xyz ，
则 A3 3,0,0,H 3,0,0,B 3,2,0,P0,0, 3 ．
∴AP=-3 3,0, 3,AB=-2 3,2,0 ．
设平面 PAB 的法向量为 n=x,y,z ，由 n⊥AP,n⊥AB ，得 -3 3x+ 3z=0,-2 3x+2y=0.
令 x=1 ，得 z=3,y= 3 ，则平面 PAB 的一个法向量为 n=1, 3,3 ．
由(1)知平面 PAO 的一个法向量为 BH=0,-2,0 ，
设面 PAB 与面 PAO 的夹角为 θ ，则 csθ=cs⟨n,BH⟩=n⋅BHnBH=2 3 13×2= 3913 ．
所以平面 PAB 与平面 PAO 的夹角的余弦值 3913 ．

【解析】【分析】(1)由题设可得 BD//MN 、 BD⊥AC ，则 MN⊥AC ，由线面垂直的判定证得 MN⊥ 平面 POA ，进而可证结论；
(2)根据已知证 PO⊥ 平面 BNMD ，构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值即可．
22.【答案】解：(1)由题意可设切线 l 的方程为 x+y-a=0 ．
所以圆心 C0,0 到切线 l 的距离为 d=-a 2= 5 ，
即 a= 10 ，解得 a=± 10 ，
所求的切线 l 方程为 x+y- 10=0 或 x+y+ 10=0 ；
(2)
①当直线 AB 斜率存在时，设直线 AB:y=kx+m,Ax1,y1,Bx2,y2 ．
将直线 AB:y=kx+m 代入圆 C 的方程得 1+k2x2+2kmx+m2-5=0 ，
Δ=4k2m2-41+k2m2-5>0x1+x2=-2km1+k2x1x2=m2-51+k2
又 k1=y1-1x1+2,k2=y2-1x2+2 ，
则 k1+k2=y1-1x1+2+y2-1x2+2=1 ．
即 kx1+m-1x2+2+kx2+m-1x1+2x1+2x2+2=1 ，
即 kx1+m-1x2+2+kx2+m-1x1+2=x1+2x2+2 ，
即 2k-1x1x2+2k+m-3x1+x2+4m-2=0 ，
即 2k-1m2-51+k2+2k+m-3-2km1+k2+4m-2=0 ，
整理得 8k2+10-6mk+m2-4m+3=0 ，
即 2k-m+14k-m+3=0 ，
所以 2k+1-m=0 或 4k+3-m=0 ．
当 2k+1-m=0 时，直线 AB:y=kx+m 恒过 P-2,1 点，不满足题意，舍去；
当 4k+3-m=0 时，由 Δ=(2km)2-41+k2m2-5>0 得 -2直线 AB:y=kx+4k+3 恒过 -4,3 点，满足题意．
②当直线 AB 斜率不存在时，不妨设直线 AB:x=t ，
则 At,y0,Bt,-y0 ．
则 k1+k2=y0-1t+2+-y0-1t+2=1 ，
所以 t=-4=x 与圆 C:x2+y2=5 无交点，不满足题意，舍去．
综上：直线 AB 恒过 -4,3 点．

【解析】【分析】(1)利用直线与圆的位置关系计算即可；
(2)分类讨论结合韦达定理与斜率公式计算即可．