河北省唐山市十县一中联盟2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题(学生版+解析)

这是一份河北省唐山市十县一中联盟2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题(学生版+解析)，共23页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”．
2．作答选择时，选出每小顾答案后，用2B铅竿将答顾卡对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案涂在试卷上一律无效．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线l：斜率和在x轴上的截距分别为( )
A. ，3B. ，C. ，3D. ，
2. 已知点、分别为点在坐标平面和内的射影，则( )
A. B. C. D.
3. 直线：，直线：，则与之间的距离为( )
A. B. 2C. D. 4
4. 已知空间三点O(0，0，0)，A(1，，2)，B(，-1，2)，则以OA，OB为邻边平行四边形的面积为( )
A. 8B. 4C. D.
5. 已知圆的半径为且圆心在轴上，圆与圆相交于两点，若直线的方程为，则( )
A. ，B. ，
C ，D. ，
6. 已知直线与直线关于轴对称，且直线过点，则( )
A. B. C. D.
7. 在棱长为的正四面体中，，，则( )
A. B. C. D.
8. 已知是圆上一动点，，为线段的中点，为坐标原点，则( )
A. 为定值B. 为定值
C. 为定值D. 为定值
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知平行六面体，则下列各式运算结果是的为( )
A. B.
C. D.
10. 直线，则( )
A. 点在上B. 的倾斜角为
C. 的图象不过第一象限D. 的方向向量为
11. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，P，Q分别为棱A1D1，B1B，AB，D1D的中点，则( )
A. B. 直线MN与直线BQ相交
C. 点Q到直线MN的距离为D. 点D到平面MNP的距离为
12. 已知、，为圆上一动点，则( )
A. 的最大值为B. 的最大值为
C. 到直线距离的最大值为D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13 已知向量，，，则__________．
14. 设直线：，直线：，若∥，则实数a＝____________．
15. 已知圆锥PO(P为圆锥顶点，O为底面圆心)的轴截面是边长为2的等边三角形，A，B，C为底面圆周上三点，空间一动点Q，满足，则的最小值为____________．
16. 设直线l：与圆C：交于两点，则 的取值范围是___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知三个顶点的坐标分别为、、，求：
(1)边上的中线所在直线的方程；
(2)边上的高所在直线的方程；
(3)的平分线所在直线的方程．
18. 已知长方体中，，，，点M，N分别在棱CD，上，且，．
(1)若，求；
(2)若平面，求．
19. 在正三棱柱中，AB=2，AA1=，点M为BB1的中点．
(1)求AB与平面MAC所成角的正弦值；
(2)证明：平面MA1C1⊥平面MAC．
20. 已知圆O：与圆C：相外切．
(1)求m值；
(2)若直线l与圆O和圆C都相切，求满足条件的所有l的方程．
21. 如图，四边形为正方形，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且二面角为直二面角，为棱上一点．
(1)求直线与所成角；
(2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？
22. 已知圆C：，四点P1(1，1)，P2(0，2)，P3(1，)，P4(1，-)中恰有三点在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)设以k为斜率的直线l经过点Q(4，-2)，但不经过点P2，若l与圆C相交于不同两点A，B．
①求k的取值范围；
②证明：直线P2A与直线P2B的斜率之和为定值．
唐山市十县一中联盟2022-2023学年度第一学期期中考试
高二数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”．
2．作答选择时，选出每小顾答案后，用2B铅竿将答顾卡对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案涂在试卷上一律无效．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线l：的斜率和在x轴上的截距分别为( )
A. ，3B. ，C. ，3D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，据此可得答案.
【详解】，则直线斜率为，
又令，则，故直线在x轴上的截距分别为.
故选：B
2. 已知点、分别为点在坐标平面和内的射影，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出点、的坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得的值.
【详解】因为点、分别为点在坐标平面和内的射影，则、，
因此，.
故选：A.
3. 直线：，直线：，则与之间的距离为( )
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的距离公式求解即可.
【详解】，
故选:C.
4. 已知空间三点O(0，0，0)，A(1，，2)，B(，-1，2)，则以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为( )
A. 8B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出OA，OB长度和夹角，再用面积公式求出的面积进而求得四边形的面积.
【详解】因为O(0，0，0)，A(1，，2)，B(，-1，2)，
所以，，
，
所以，
以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为.
故选：D.
5. 已知圆的半径为且圆心在轴上，圆与圆相交于两点，若直线的方程为，则( )
A. ，B. ，
C ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知圆心在直线上，可求得，求出圆心的坐标，可求得圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得的值.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
易知点在直线上，所以，，
因为圆心在直线上，则圆心为线段的中点，
易知过圆心且与直线垂直的直线的方程为，该直线交轴于点，
点到直线的距离为，.
故选：C.
6. 已知直线与直线关于轴对称，且直线过点，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知，直线经过点关于轴的对称点，由此可求得实数的值.
【详解】点关于轴的对称点的坐标为，
由题意可知，直线过点，则，解得.
故选：A.
7. 在棱长为的正四面体中，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得.
【详解】因为，所以，，
又因为，则，所以，，
所以，，
由空间向量的数量积可得，
因此，
.
故选：B.
8. 已知是圆上一动点，，为线段的中点，为坐标原点，则( )
A. 为定值B. 为定值
C. 为定值D. 为定值
【答案】B
【解析】
【分析】设点，可得，求出点的坐标，利用平面两点间的距离公式化简可得出合适的选项.
【详解】设点，则，可得，则点.
圆的圆心为，半径为.
对于A选项，
不是定值，A错；
对于B选项，
，B对；
对于C选项，
不是定值，C错；
对于D选项，
不是定值，D错.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知平行六面体，则下列各式运算结果是的为( )
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用空间向量的加法化简可得出合适的选项.
【详解】如下图所示：
对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：ABC.
10. 直线，则( )
A. 点在上B. 的倾斜角为
C. 的图象不过第一象限D. 的方向向量为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用点与直线的位置关系可判断A选项；求出直线的斜率，可得出直线的倾斜角，可判断B选项；作出直线的图象可判断C选项；求出直线的方向向量，可判断D选项.
【详解】对于A选项，，所以，点不在上，A错；
对于B选项，直线的斜率为，故的倾斜角为，B对；
对于C选项，直线交轴于点，交轴于点，如下图所示：
由图可知，直线不过第一象限，C对；
对于D选项，直线的一个方向向量为，而向量与这里不共线，D错.
故选：BC.
11. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，P，Q分别为棱A1D1，B1B，AB，D1D的中点，则( )
A. B. 直线MN与直线BQ相交
C. 点Q到直线MN的距离为D. 点D到平面MNP的距离为
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项：用勾股定理可求出长度；B选项：作的平行线与相交，则可判断是否为异面直线；C选项：求出三边长度，即可求出结果；D选项：过点做，利用线面平行将点到平面的距离转化为点到平面的距离，等体积转化得到，求体积和面积计算距离.
【详解】A选项：，故A正确；
B选项：连接，则与相交，，则与为异面直线，故B错误；
C选项：连接，则，，，由勾股定理可知：，所以到直线的距离即为，故C正确；
D选项：过点做，平面，平面，则平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，点到直线的距离为，，又点到平面的距离为2，
所以，
又，，，，所以，设点到平面的距离为，则有，所以，故D错误.
故选：AC
12. 已知、，为圆上一动点，则( )
A. 的最大值为B. 的最大值为
C. 到直线距离的最大值为D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出点到直线的最大距离，结合三角形的面积公式可判断A选项；求出的最大值，可得出到直线距离的最大值，可判断C选项；利用平面两点间的距离公式结合圆的方程可判断D选项；利用圆的几何性质可判断B选项.
【详解】对于A选项，圆上的一点到直线的最大距离为圆的半径，故的最大值为，A对；
对于C选项，如下图所示：
点到直线的距离为，
圆的圆心为原点，当直线与圆相切时，此时最大，则点到直线的距离取最大值，
连接，则，则，故，
因此，点到直线的距离为，C错；
对于D选项，设点，则，
所以，
，D对；
对于B选项，，
当且仅当点为直线与圆的交点，且点在线段上时，等号成立，
所以，的最大值为，B对.
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】分析可得，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.
【详解】因为，则，解得.
故答案为：.
14. 设直线：，直线：，若∥，则实数a＝____________．
【答案】2
【解析】
【分析】由两直线与平行，可得，由此列式求出的值，然后再检验即可．
【详解】若∥，则，解得或，
当时，直线：，直线：，符合题意；
当时，直线：，直线：，两直线重合，不符合题意.
故答案为：2．
15. 已知圆锥PO(P为圆锥顶点，O为底面圆心)的轴截面是边长为2的等边三角形，A，B，C为底面圆周上三点，空间一动点Q，满足，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】化简向量关系式证明四点共面，结合轴截面特征可求的最小值.
【详解】因为，
所以，
，
所以共面，
又A，B，C为底面圆周上三点，
所以点为平面上一点，
由已知平面，
所以，
又圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形，所以，
所以的最小值为，
故答案为：,
16. 设直线l：与圆C：交于两点，则 的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由直线系方程求得直线所过定点，求出圆心到定点的距离，再确定弦长最短和最长时的位置，求得弦长，即可得到的取值范围．
【详解】直线l：即为，
由 ，解得,可得直线l过定点，
圆C：的圆心坐标为，半径，
由于,故在圆C：内，
，则当直线时，最小，，
的最大值即为圆的直径，
∴的取值范围是
故答案为： ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知三个顶点坐标分别为、、，求：
(1)边上的中线所在直线的方程；
(2)边上的高所在直线的方程；
(3)的平分线所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)求出线段的中点坐标，利用两点式可得出边上的中线所在直线的方程；
(2)求出直线的斜率，可得出边上的高所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；
(3)分析可得，数形结合可得出的平分线所在直线的方程.
【小问1详解】
解：的中点为，所以边上的中线所在直线的方程为，
整理可得.
【小问2详解】
解：，则边上的高所在直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的方程为，整理可得.
【小问3详解】
解：，，所以，
所以，的平分线所在直线的方程为.
18. 已知长方体中，，，，点M，N分别在棱CD，上，且，．
(1)若，求；
(2)若平面，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】以A为原点，以，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
(1)得出与的坐标，由已知得出，即可列式解出答案；
(2)得出与的坐标，求出平面的法向量，即可根据已知平面，列式求解得出答案.
【小问1详解】
以A为原点，以，，为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，
，
，即，解得；
【小问2详解】
由(1)得，
，，，
设平面的法向量为，
则，取
由平面，得，解得.
19. 在正三棱柱中，AB=2，AA1=，点M为BB1的中点．
(1)求AB与平面MAC所成角的正弦值；
(2)证明：平面MA1C1⊥平面MAC．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系,利用线面角公式即可算出答案；
利用两个平面的法向量的数量积为零，即可证明.
【小问1详解】
解：取AC的中点O，则，以O为原点．以，为x，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
即O(0，0，0)，A(1，0，0)，C(-1，0，0)，B(0，，0)，M(0，，)
所以，，
设平面MAC的法向量为，
则取
所以
故AB与平面MAC所成角的正弦值为
【小问2详解】
解：由(1)得A1(1，0，)，C1(-1，0，)，
则
设平面的法向量为，则取
所以，即，
故平面MA1C1⊥平面MAC．
20. 已知圆O：与圆C：相外切．
(1)求m的值；
(2)若直线l与圆O和圆C都相切，求满足条件的所有l的方程．
【答案】(1)
(2)或或
【解析】
【分析】(1)把两圆相外切转化圆心间距离等于半径和,计算求解即可.
(2)先设直线再满足直线和圆相切即圆心到直线距离等于半径,计算得解.
【小问1详解】
圆O的圆心为O(0，0)，半径
由圆C：得，．
所以圆C的圆心C(3，4)，半径
因为两圆相外切，所以，,即，解得
【小问2详解】
由(1)得圆C：
①当直线l的斜率不存在时，设l的方程为
依题意，解得，即l的方程为
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为，
依题意，所以
当时，，代入上式可得，
解得，即
所以此时l的方程为
当时，代入上式可得，
解得即
所以此时l的方程为
故满足题设的l的方程为或或．
21. 如图，四边形为正方形，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且二面角为直二面角，为棱上一点．
(1)求直线与所成角；
(2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)连接、，设，推导出底面，然后以为原点，以、、为、、轴的正方向建立如图空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与所成角；
(2)设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可得出结论.
【小问1详解】
解：连接、，设，则为的中点，
由已知，，则，，
所以为二面角的平面角，所以，因此，
因为，、平面，故底面．
以为原点，以、、为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设．
则、、、，
，，
所以，故直线与所成角为．
【小问2详解】
解：设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设，其中，
，，
设平面的法向量为，
则，取，可得，
由题意可得，
因为，解得，则，故，
因此，当时，平面与平面夹角的余弦值为.
22. 已知圆C：，四点P1(1，1)，P2(0，2)，P3(1，)，P4(1，-)中恰有三点在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)设以k为斜率的直线l经过点Q(4，-2)，但不经过点P2，若l与圆C相交于不同两点A，B．
①求k的取值范围；
②证明：直线P2A与直线P2B的斜率之和为定值．
【答案】(1)
(2)①或 ；②证明见解析
【解析】
【分析】(1)先判断出，，在圆C上，然后通过列方程组的方法求得，从而求得圆的方程.
(2)①将直线的方程代入圆的方程，化简后利用求得的取值范围.
②利用根与系数关系证得为定值.
【小问1详解】
显然圆C关于x轴对称，(1，)，(1，)关于x轴对称，所以、在圆C上，
因此不在圆C上，即，，在圆C上，代入圆的方程可得:
，解得．
所以圆C的方程为．
【小问2详解】
直线l：，．
①将直线l：代入圆C的方程得．
，解得，
又，所以或，
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，
，，，，
所以，
圆直线P2A与直线P2B的斜率之和为定值.