2024年新高考数学一轮复习 第五章 第三节 第二课时 平面向量数量积的综合问题

课时跟踪检测(三十七) 平面向量数量积的综合问题

一、全员必做题

1．在△ABC中，·<0，则△ABC的形状是(　 )

A．锐角三角形  B．钝角三角形

C．直角三角形  D．不能确定

解析：选B　由题意，·＝||||cos〈，〉＝||·||cos B<0，∴cos B<0，又B∈(0，π)，∴B为钝角，则△ABC的形状是钝角三角形．

2．已知向量a，b，c满足a＝(3,0)，b＝(0,4)，c＝λa＋(1－λ)b(λ∈R)，则|c|的最小值为(　 )

A.  B．

C.  D．

解析：选B　由条件可知c＝(3λ，4－4λ)，则|c|＝＝＝，当λ＝时，|c|min＝.

3．已知点D在Rt△ABC的斜边BC上，若AB＝2，AC＝3，则·的取值范围为(　 )

A．[－2,3]  B．[0,4]

C．[0,9]  D．[－4,9]

解析：选D　设＝λ，其中0≤λ≤1，则－＝λ(－)，从而＝λ＋(1－λ)，故·＝[λ＋(1－λ)]·(－)＝λ2－(1－λ)2＋(1－2λ)·＝9λ－4(1－λ)＝13λ－4∈[－4,9]．

4．已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，且对任意实数x，不等式|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，设a与b的夹角为θ，则tan 2θ＝(　 )

A．－  B．  C．－  D．

解析：选D　|a＋xb|≥|a＋b|⇒a2＋2x a·b＋x2b2≥a2＋2a·b＋b2⇒x2＋2xcos θ－(1＋2cos θ)≥0，要想不等式|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，只需Δ＝(2cos θ)2＋4(1＋2cos θ)≤0⇒(cos θ＋1)2≤0，而(cos θ＋1)2≥0，所以(cos θ＋1)2＝0，即cos θ＋1＝0⇒cos θ＝－，θ∈[0，π]，则有sin θ＝＝＝，则有tan θ＝＝＝－2，所以tan 2θ＝＝＝.

5.(2023·武汉调研)(多选)如图，点A，B在圆C上，则·的值(　 )

A．与圆C的半径有关

B．与圆C的半径无关

C．与弦AB的长度有关

D．与点A，B的位置有关

解析：选BC　如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点，故·＝||·||·cos∠CAD＝||·||·＝||2，故·的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关．

6．已知空间非零向量a，b，c满足〈a，b〉＝，|a|＝，a·(b＋c)＝2，b与c方向相同，则|c|的取值范围为(　 )

A．[0,2]  B．(0,1)  C．(0,2)  D．(1,2)

解析：选C　由题可设b＝λc(λ>0)，由〈a，b〉＝可知〈a，b＋c〉＝，所以a·(b＋c)＝a·(λc＋c)＝|λc＋c|·＝2，所以|c|＝，因为λ>0，λ＋1>1，所以0<<2，即|c|∈(0,2)．

7．已知面积为6的Rt△ABC中，P，Q为斜边BC上的两个三等分点，则·的最小值为(　 )

A.  B．  C．8  D．

解析：选B　如图所示，

∵Rt△ABC面积为6，设AC＝t(0<t<12)，则AB＝.又P，Q为斜边BC上的两个三等分点，设P，Q，∴＝，＝，∴·＝＋≥2＝2＝，当且仅当＝，即t＝2时，·取得最小值.

8．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λλ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹经过△ABC的(　 )

A．内心  B．外心  C．垂心  D．重心

解析：选C　·＝·＋λ＝·＋λ(－||＋||)＝·，则·－·＝0，即·＝0，故AP⊥BC，即点P的轨迹经过△ABC的垂心．

9．已知正方形ABCD的边长为2，动点P在以D为圆心且与AC相切的圆上，则·的取值范围是(　 )

A．[－2，2]  B．[0,2]

C．[－4,4]  D．[0,4]

解析：选C　以点D为圆心，以DC，DA所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，C(2,0)，圆D的半径为，∴设P(cos θ，sin θ)，θ∈R，∴＝(cos θ－2，sin θ－2)，＝(2，－2)，∴·＝2(cos θ－2)－2(sin θ－2)＝4cos，当cos＝－1时，·取最小值－4，当cos＝1时，·取最大值4.

10.如图，在△ABC中，AB＝2AC，∠BAC＝，P1，P2，P3是边BC的四等分点，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　 )

A．I1＜I2＜I3  B．I2＜I1＜I3

C．I2＜I3＜I1  D．I3＜I2＜I1

解析：选C　因为＝(＋)，所以I1＝(2＋·)，I3＝(2＋·)，故只需判断2，2，·之间的大小关系．不妨令AC＝1，AB＝2，则由余弦定理可得BC＝，作AD⊥BC，由勾股定理容易得到P3位于点D的右侧，故∠AP3B为锐角，显然有2＞2＞·，故I2＜I3＜I1，选C.

11．已知向量a，b，c满足：a＝(4,0)，b＝(4,4)，(a－c)·(b－c)＝0，则b·c的最大值是(　 )

A．24  B．24－8

C．24＋8  D．8

解析：选C　设＝a＝(4,0)，＝b＝(4,4)，＝c＝(x，y)，则a－c＝(4－x，－y)，b－c＝(4－x,4－y)，又(a－c)·(b－c)＝0，∴(4－x)2－y(4－y)＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝4，∴点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝4.而b·c＝4x＋4y，令z＝4x＋4y，由平面几何知识，得当直线4x＋4y－z＝0与圆(x－4)2＋(y－2)2＝4相切时，z取得最大值或最小值，即zmax＝24＋8，故选C.

12．已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a＋b|＝1，则|c－b|的取值范围是(　 )

A．[－1，＋1]  B．[1，＋1]

C．[0,2]  D．[－1，＋1]

解析：选D　单位向量a，b满足a·b＝0，即a⊥b，作＝a，＝b，以OA，OB所在直线分别作为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，a＝(1,0)，b＝(0,1)，设c＝(x，y)，则c－a＋b＝(x－1，y＋1)，由|c－a＋b|＝1得，(x－1)2＋(y＋1)2＝1，令(0≤θ<2π)，即c＝(1＋cos θ，－1＋sin θ)，|c－b|＝＝＝，其中锐角φ满足因此，当sin(θ－φ)＝－1时，|c－b|max＝＝＋1，当sin(θ－φ)＝1时，|c－b|min＝＝－1，所以|c－b|的取值范围是[－1，＋1]．

13．在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，若·＝6，则AP＝______.

解析：平行四边形ABCD中，AO＝OC，因为·＝6，所以·＝3，根据向量的几何意义可知·＝A2＝3，解得AP＝||＝.

答案：

14．已知向量a，b满足|a|＝2|b|，a·b＝－1，则|a＋b|的最小值为________．

解析：设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝－1，所以θ∈，则a·b＝|a|·|b|·cos θ＝2|b|2·cos θ＝－1，所以|b|2＝≥，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5|b|2－2≥，即|a＋b|的最小值为.

答案：

15．(2023·新乡模拟)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以在高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮的最高点距离地面的高度为12，转盘的直径为10，A，B为摩天轮在地面上的两个底座，|AB|＝10，点P为摩天轮的座舱，则·的取值范围为________．

解析：设C为AB的中点，如图所示，由题意可知2≤|PC|≤12，则·＝(＋)·(＋)＝2－2＝2－52，又因为||∈[2,12]，所以·的取值范围是[－21,119]．

答案：[－21,119]

二、重点选做题

1．已知平面向量，满足||＝||＝1，·＝－.若||＝1，则||的最大值为(　 )

A.－1  B．－1

C.＋1  D．＋1

解析：选D　因为||＝||＝1，·＝－，所以cos∠APB＝－，即∠APB＝，由余弦定理可得AB＝＝.如图，建立平面直角坐标系，则A，B，由题设点C(x，y)在以B为圆心，半径为1的圆上运动，结合图形可知，点C(x，y)运动到点D时，有|AC|max＝|AD|＝|AB|＋1＝＋1.故选D.

2．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t).

(1)若⊥a，且||＝||，求向量；

(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求·.

解：(1)由题设知＝(n－8，t)，∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.

又∵||＝||，∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.

当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8，

∴＝(24,8)或＝(－8，－8)．

(2)由题设知＝(ksin θ－8，t)，

∵与a共线，∴t＝－2ksin θ＋16，

tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ＝－2k2＋.

∵k>4，∴0<<1，

∴当sin θ＝时，tsin θ取得最大值.

由＝4，得k＝8，此时θ＝，＝(4,8)，

∴·＝(8,0)·(4,8)＝32.