备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题08 幂函数与二次函数

专题08 幂函数与二次函数 【题型归纳目录】 题型一：幂函数的定义及其图像 题型二：幂函数性质的综合应用 题型三：二次方程的实根分布及条件 题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 【考点预测】 1、幂函数的定义 一般地，（为有理数）的函数，即以 HYPERLINK "https://baike.baidu.com/item/%E5%BA%95%E6%95%B0/5416651" \t "https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank" 底数为 HYPERLINK "https://baike.baidu.com/item/%E8%87%AA%E5%8F%98%E9%87%8F/6895256" \t "https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank" 自变量，幂为 HYPERLINK "https://baike.baidu.com/item/%E5%9B%A0%E5%8F%98%E9%87%8F" \t "https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank" 因变量， HYPERLINK "https://baike.baidu.com/item/%E6%8C%87%E6%95%B0/3519666" \t "https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank" 指数为常数的函数称为幂函数． 2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数． （3）幂函数的图象和性质 3、常见的幂函数图像及性质： 4、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程． （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标． 5、二次函数的图像 二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为． （1）单调性与最值 O 图2-9 O 图2-8  = 1 \* GB3 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； = 2 \* GB3 ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；． （2）与轴相交的弦长 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，． 6、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处． 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则． 【方法技巧与总结】 1、幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． 2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 3、一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负． 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示． 4、有关二次函数的问题，关键是利用图像． （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴．即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成： = 1 \* GB3 ①轴处在区间的左侧； = 2 \* GB3 ②轴处在区间的右侧； = 3 \* GB3 ③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论． （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负． 【典例例题】 题型一：幂函数的定义及其图像 【方法技巧与总结】 确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负．当时，底数是非零的． 例1．（2023·全国·高三专题练习）已知为幂函数， 且， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为幂函数， 设，则， 所以，可得，则. 故选：B 例2．（2023·全国·高三专题练习）当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】因为函数既是幂函数又是的减函数， 所以解得：. 故选：A. 例3．（2023·全国·高三专题练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个 故选：B 变式1．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（    ） A． B．0或2 C．0 D．2 【答案】D 【解析】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，在上为减函数，不符合题意， 当时，在上为增函数，符合题意， 所以. 故选：D. 变式2．（2023·全国·高三专题练习）幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________. 【答案】1 【解析】有图象可知：该幂函数在单调递减，所以，解得，,故可取，又因为该函数为偶函数，所以为偶数，故 故答案为： 题型二：幂函数性质的综合应用 【方法技巧与总结】 紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数． 例4．（2023·全国·高三专题练习）设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．、或 【答案】A 【解析】因为定义域为，所以，， 又函数为奇函数，所以，则满足条件的或. 故选:A 例5．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域与值域均为R的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A. 函数的定义域为，值域为R； B. 函数的定义域为R，值域为； C. 函数的定义域为R，值域为R； D. 函数的定义域为，值域为， 故选：C 例6．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像过点，则 的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】幂函数的图像过点， ，解得， ， 的值域是. 故选：D. 变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像关于y轴对称． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【解析】（1）因为是幂函数， 所以，解得或． 又的图像关于y轴对称，所以， 故． （2）由（1）可知，． 因为，所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 故在上的值域为． 变式4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列结论中正确的是（    ） A．幂函数的图像都经过点， B．幂函数的图像不经过第四象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是增函数 D．当时，幂函数在其整个定义域上是减函数 【答案】BC 【解析】A选项，当指数时，幂函数的图像不经过原点，故A错误； B选项，所有的幂函数在区间上都有定义且，所以幂函数的图像不可能经过第四象限，故B正确； C选项，当α为1，3，时，是增函数，显然C正确； D选项，当时，在区间和上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误. 故选：BC 变式5．（2023·上海·高三专题练习）已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则取值的集合是______． 【答案】 【解析】∵， 幂函数为奇函数，且在上递减， ∴是奇数，且，∴． 故答案为： 变式6．（2023·全国·高三专题练习）函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值： ①恒大于0；②恒小于0；③等于0；④无法判断． 上述结论正确的是__（填序号）． 【答案】① 【解析】由于函数是幂函数，故，解得或． 由于对任意的，，且，满足，所以函数在上为增函数， 当时，符合题意， 当时，不符合题意， 故，且函数为奇函数． 由于，，且， 所以，由于函数为单调递增函数和奇函数，故， 所以， 所以， 故答案为：① 变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则_______． 【答案】 【解析】因为幂函数为奇函数， 所以或1或3， 又因为幂函数在上单调递减， 所以， 故答案为：. 题型三：二次方程的实根分布及条件 【方法技巧与总结】 结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围． 例7．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______． 【答案】. 【解析】方程   方程两根为， 若要满足题意，则，解得， 故答案为：. 例8．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】由题意，关于的方程的一根大于-1，另一根小于-1， 设，根据二次函数的性质，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 例9．（2023·全国·高三专题练习）已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】设f (x)＝x2＋ax＋1，由题意知，解得－