备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题09 指数与指数函数

专题09 指数与指数函数

【题型归纳目录】

题型一：指数运算及指数方程、指数不等式

题型二：指数函数的图像及性质

题型三：指数函数中的恒成立问题

题型四：指数函数的综合问题

【考点预测】

1、指数及指数运算

（1）根式的定义：

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．

（2）根式的性质：

当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．

当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数．

（3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘．

（4）有理数指数幂的分类

①正整数指数幂；②零指数幂；

③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．

（5）有理数指数幂的性质

①，，；②，，；

③，，；④，，．

2、指数函数

【方法技巧与总结】

1、指数函数常用技巧

（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．

（2）当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．

当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．

（3）指数函数与的图象关于轴对称．

【典例例题】

题型一：指数运算及指数方程、指数不等式

【方法技巧与总结】

利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.

例1．（2023·全国·高三专题练习）下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

例2．（2023·全国·高三专题练习）化简的结果为（     ）

A．－ B．－

C．－ D．－6ab

例3．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

变式1．（2023·全国·高三专题练习）(a>0，b>0)＝________.

变式2．（1991·全国·高考真题）不等式的解集是___________.

变式3．不等式的解集是___________.

变式4．（2023春·山西运城·高三校考阶段练习）的解集为________.

题型二：指数函数的图像及性质

【方法技巧与总结】

解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.

例4．（2023·全国·高三专题练习）函数(a>0且a≠1)的图象可能为（    ）

A．B．C． D．

例5．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ）

A．， B．， C．， D．，

例6．（2023·广东·高三统考学业考试）函数（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（　　）

A．（0，－3） B．（0，－2）

C．（1，－3） D．（1，－2）

变式5．（2023·全国·高三专题练习）若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（    ）

A． B． C． D．

变式6．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域与值域均为R的是（    ）

A． B． C． D．

变式7．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，值域为的是（    ）

A． B． C． D．

变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（    ）

A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增

C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减

变式10．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

变式11．（2023·全国·高三专题练习）指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

变式12．（2023·全国·高三专题练习）设函数则满足的实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

题型三：指数函数中的恒成立问题

【方法技巧与总结】

已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：

（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．

例7．（2023·全国·高三专题练习）若函数，在上恒成立，则的取值范围是________．

例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是奇函数.

(1)求a的值并判断函数的单调性（不需要证明）；

(2)若对任意的实数t，不等式恒成立，求实数k的取值范围.

例9．（2023春·山西长治·高三校考阶段练习）已知定义在上的函数是奇函数．

(1)求实数；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．

变式13．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

题型四：指数函数的综合问题

例10．（2023·全国·高三专题练习）设函数且是定义域为的奇函数；

（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；

（2）若，且，求在上的最小值．

例11．（2023春·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）已知指数函数，当时，有，若不等式  解集为，函数的值域为B．

(1)求集合；

(2)当时，求的取值范围．

例12．（2023春·山西太原·高三校考期中）已知是偶函数．

(1)求实数k的值；

(2)求不等式的解集．

【过关测试】

一、单选题

1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）当时，函数与函数在同一坐标系内的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

2．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（2023·全国·高三专题练习）下图中的函数图象所对应的解析式可能是（    ）

A． B．

C． D．

4．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则=（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

5．（2023·全国·高三专题练习）若函数满足，且当时，，则（    ）

A． B．10 C．4 D．2

6．（2023·全国·高三专题练习）不等式成立是不等式成立的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

9．（2023·全国·高三专题练习）函数在的最大值是（    ）

A． B． C． D．

10．（2023·全国·高三专题练习）已知指数函数（，且），且，则的取值范围（　　）

A． B． C． D．

11．（2023·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数,则实数的取值范围是

A． B． C． D．

12．（2023春·四川德阳·高三校考期中）世界人口在过去​年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（    ）（参考数据​，​）

A．​ B．​ C．​ D．​

二、多选题

13．（2023·全国·高三专题练习）下列函数是指数函数的有（     ）

A． B． C． D．

14．（2023·全国·高三专题练习）关于函数的结论正确的是（    ）

A．值域是 B．单调增区间是

C．值域是 D．单调减区间是

15．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

16．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递减，则k的取值范围为____________．

17．（2023·全国·高三专题练习）若函数为指数函数，则a＝________.

18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则不等式的解集为________.

19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是___________.

20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则______．

21．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，满足“”的单调递增函数是________. （填序号）

①；②；③；④f（x）＝3x

四、解答题

22．（2023·全国·高三专题练习）化简：

（1）

（2）(a>0，b>0).

（3）.

23．（2023·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

24．（2023·全国·高三专题练习）已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，求实数a的取值范围．

25．（2023春·天津武清·高三校考阶段练习）已知函数是定义域在R上的奇函数，当时，.

(1)求在上的解析式；

(2)若，求a的取值范围.

26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，

(1)当时，求函数在的值域

(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围．

27．（2023春·黑龙江鸡西·高三校考开学考试）已知函数是指数函数.

(1)求实数的值；

(2)解不等式