2022-2023学年安徽省淮北市八校联盟九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省淮北市八校联盟九年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  近期，扬州市统计局发布了年扬州市国民经济和社会发展统计公报公报称，经初步核算，扬州市年房屋建筑施工面积约平方米，同比增长将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，是由相同大小的五个小正方体组成的立体模型，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  甲，乙两人同时从相距千米的地前往地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达地停留半个小时后返回地，如图是他们离地的距离千米与经过时间小时之间的函数关系图象．当甲与乙相遇时距离地(    )

A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米

6.  一个多边形的每个内角均为，则这个多边形是(    )

A. 九边形 B. 十边形 C. 十二边形 D. 十五边形

7.  利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则、的值分别为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8.  如图，电路图上有个开关、、和一个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光下列操作中，使“小灯泡发光”是随机事件的是(    )

A. 不闭合开关 B. 只闭合个开关 C. 只闭合个开关 D. 闭合个开关

9.  如图，四边形是矩形，四边形是正方形，点、在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点、在反比例函数为常数，的图象上，正方形的面积为，且，则值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在正方形中，，是对角线的中点，点、分别在、边上运动，且保持，连接、、，在此运动变化的过程中，下列结论：是等腰直角三角形；四边形不可能为正方形，长度的最小值为；四边形的面积保持不变；面积的最大值为，其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.  不等式的解是______ ．

12.  因式分解： ______ ．

13.  如图，是的直径，弦，垂足为点，连接，，如果，，那么图中阴影部分的面积是______ ．

14.  如图，正方形的边长为，，分别是边、上的动点，且，连接，交于点，是边上的另一个动点，连接，，则的最小值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

15.  若“”是一种新的运算符号，并且规定例如：，求的值．

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点网格线的交点．
将先向上平移个单位，再向右平移个单位，得到，请画出；
以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，请画出．

18.  本小题分
商店销售某种商品，经调查发现，平均每天销售件，每件盈利元，若每件降价元，则每天可多销售件．如果每天要盈利元，同时又要使顾客得到更多的实惠，每件应降价多少元？

19.  本小题分
如图，小刚同学从楼顶处看楼下公园的湖边处的俯角为，看另一边处的俯角为，楼高为米，求楼下公园的湖宽结果精确到米，参考数据：，，，

20.  本小题分
幸福成都，美在文明为助力成都争创全国文明典范城市，某校采用四种宣传形式：宣传单宣传、电子屏宣传、黑板报宣传、志愿者宣传每名学生从中选择一种最喜欢的宣传形式，学校就最喜欢的宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

请结合图中所给信息，解答下列问题：
本次调查的学生共有______ 人，请补全条形统计图；
扇形统计图中，“志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为______ ；
本次调查中，在最喜欢“志愿者宣传”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，若从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的志愿者活动，请用列表或画树状图的方法，求选出两人恰好是甲和乙的概率．

21.  本小题分
如图，是的直径，为上一点，为外一点，连接，，，，满足，．
证明：直线为的切线；
射线与射线交于点，若，，求的长．

22.  本小题分
某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为元件，售价为元件，下面是他们在活动结束后的对话：小丽：我发现此商品如果按元件销售，每星期可卖出件小强：我发现在售价元件的基础上调整价格，每涨价元，每星期比小丽所调查的销售量件要少卖出件小红：我发现在售价元件的基础上调整价格，每降价元，每星期比小丽所调查的销售量件要多卖出件．
若设每件涨价元，则每星期实际可卖出______ 件，每星期售出商品的利润元与的关系式为 ______ ，的取值范围是______ ；
若设每件降价元，则每星期售出商品的利润元与的关系式为 ______ ；
在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？

23.  本小题分
如图，四边形是矩形，点、分别在轴、轴上，是绕点顺时针旋转得到的，点在轴上，直线交轴于点，交于点，点的坐标为．
求直线的表达式；
求的面积；
点在轴上，平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
负数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案．
本题考查绝对值，关键是掌握绝对值的意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故A符合题意；
，
故B不符合题意；
，
故C不符合题意；
，
故D不符合题意，
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法分别判断即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从上面看，可得图形如下：
．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，由题意可得，
，，，
为，
则，
解得：，
为，
设为，
则，
解得：，，
为，
，
解得：，，
即甲与乙相遇时距离地千米．

故选：．
由题意可得：，，，设为，设为，再分别根据待定系数法求两个函数的解析式，最后联立两个解析式方程求解即可．
本题考查一次函数的实际运用，理清题意，利用一次函数的解析式解决行程问题是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：多边形的每个内角都等于，
多边形的每个外角都等于，
边数，
故选：．
先求出多边形的外角度数，然后求出边数．
本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，．
故选：．
根据配方法的一般步骤将常数项移项后，再等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可得出答案．
本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、不闭合开关，小灯泡不可能发光，是不可能事件，故A不符合题意；
B、只闭合个开关，小灯泡不可能发光，是不可能事件，故B不符合题意；
C、只闭合个开关，小灯泡可能发光，是随机事件，故C符合题意；
D、闭合个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设．
正方形的面积为，
的边长为，
，
，
，
．
点、在反比例函数为常数，的图象上，
，
解得，
，
，
故选：．
设，根据题意得点坐标为，点坐标为再根据点、在反比例函数为常数，的图象上，列出方程，求出的值，进而可求得的值．
此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形是正方形，
，，
，
是对角线的中点，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
故正确；
，
当时，四边形是矩形，
，
此时四边形是正方形，
四边形可能为正方形，
故错误；
作于点，则，
，
，
当点与点重合时最小，此时最小，
，，
的最小值为，
故正确；
，
，
四边形的面积保持不变，
故正确；
，
当时，，此时，
面积的最大值为，
故正确，
故选：．
连接，可证明≌，得，，则，所以是等腰直角三角形，可判断正确；，，所以当时，四边形是正方形，可判断错误；作于点，则，当点与点重合时最小，此时最小，的最小值为，可判断正确；由，得，所以四边形的面积保持不变，可判断正确；因为，所以当时，，此时，可判断正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、等角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线并且证明≌是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：移项得，，
合并同类项得，，
故答案为：．
先移项，再合并同类项，把的系数化为即可．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为是解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
提公因式即可解答．
本题考查了提公因式法，熟练掌握提取公因式法是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接、，

，，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积扇形的面积．
故答案为：．
连接、，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，根据扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，正确添加辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接，延长到，使得，连接，，，过点作于．
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
取的中点，连接，延长到，使得，连接，，，过点作于由题意，求出的最小值即可解决问题．
本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

15.【答案】解：原式


． 

【解析】套用公式列出算式计算可得．
本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是理解新定义，并据此列出算式．
 

16.【答案】解：．


． 

【解析】根据有理数的乘方法则、负整数指数幂以及零指数幂的定义分别进行计算，即可得出答案．
此题考查了有理数的乘方、负整数指数幂以及零指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示；

如图所示． 

【解析】将点、、分别向上平移个单位、向右平移个单位得到平移后的对应点，再首尾顺次连接即可；
将点，分别绕点顺时针旋转得到对应点，再与点首尾顺次连接即可．
本题主要考查作图平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换、旋转变换的定义和性质，并据此得到变换后的对应点．
 

18.【答案】解：设每件降价元，则降价后每件的销售利润为元，平均每天可销售件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要使顾客得到更多的实惠，
．
答：每件应降价元． 

【解析】设每件降价元，则降价后每件的销售利润为元，平均每天可销售件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合要使顾客得到更多的实惠，即可得出每件应降价元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

19.【答案】解：在中，米，
，
米，
在中，
，
米，
米．
答：湖宽约为米． 

【解析】根据题意得到，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和锐角三角函数定义是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：本次调查的学生共有：人，
组的人数为：人，
补全统计图如图：

故答案为：；
“志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为：，
故答案为：；
根据题意画树形图：

共有种情况，被选取的两人恰好是甲和乙有种情况，
则被选取的两人恰好是甲和乙的概率是．
根据的人数和所占的百分比求出总人数即可，用总人数减去其它组的人数即可求出的人数，进而补全统计图；
求出所占是百分比，然后乘以即可；
根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和选取的两人恰好是甲和乙的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法以及统计图，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

21.【答案】证明：连接，如图所示：

是的直径，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，即，为半径，
直线为的切线；
解：如图所示：

在中，
，
，
，，
，
由可知，
，
，
，，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
，
设，
在中，由勾股定理得：，
解得：负根舍去，
． 

【解析】连接，由题意易得，，然后可得，则有，进而问题可求证；
由可知，则有，然后可得，则可知∽，进而可得，最后根据勾股定理建立方程可进行求解．
本题主要考查切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
 

22.【答案】   ，且为整数  

【解析】解：进价为元件，按元件销售，每星期可卖出件，每涨价元，每星期比销售量件要少卖出件，设每件涨价元，
现在每件的销售价格为：元，销售量为：件，每件的利润为元，
，即，
，则，
，且为整数，
故答案为：，，，且为整数．
进价为元件，按元件销售，每星期可卖出件，每降价元，每星期比销售量件要多卖出件，设每件降价元，
现在销售价为：，销售量为：件，每件的利润为：元，
，即，
故答案为：．
由可知，，为整数，
，
当时，商品的利润最大，最大利润，
商品的定价为元时，销售利润最大，最大为元．
根据每涨价元，每星期比小丽所调查的销售量件要少卖出件，由此即可求解；
根据每降价元，每星期比小丽所调查的销售量件要多卖出件，由此即可求解；
根据中数量关系，将变形为顶点式，即可求解．
本题主要考查二次函数与销售问题的综合，理解题目中的数量关系，列方程解方程是解题的关键．
 

23.【答案】解：在矩形中，，
点坐标为，
，，
根据旋转的性质可得，，，，
点坐标为，点坐标为，
设直线的解析式为为常数，
代入点，点，
得，
解得，
直线的解析式为；
过点作于点，如图所示：

设直线的解析式为为常数，
代入点，
得，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得，
点坐标为，
，
，
的面积；
存在点，点坐标为或，理由如下：
当时，，
点坐标为，
以点、、、为顶点的四边形是矩形，分情况讨论：
当是矩形的对角线时，如图所示：

此时点与点重合，
点坐标为；
当为矩形的边时，如图所示：

设，
在中，根据勾股定理，得，
，，
在中，根据勾股定理，得，
，
解得，
点坐标为，
根据平移的性质，可得点坐标为，
综上所述，点坐标为或 

【解析】根据矩形的性质和旋转的性质可得点坐标，再利用待定系数法求直线的表达式即可；
先利用待定系数法求出直线的解析式，再联立，求出点坐标，再根据的面积求解即可；
先求出点坐标，以点、、、为顶点的四边形是矩形，分情况讨论：当是矩形的对角线时，当为矩形的边时，分别求出点的坐标，根据平移的性质即可确定点坐标．
本题考查了一次函数的综合题，涉及待定系数法求解析式，旋转的性质，矩形的性质，三角形的面积，存在性问题等，本题综合性较强，难度较大．