还剩19页未读，
继续阅读
2023-2024学年安徽省淮北市五校联考九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）
展开
这是一份2023-2024学年安徽省淮北市五校联考九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.计算2sin60∘的值为( )
A. 4B. 2 2C. 4 33D. 3
2.已知四个数a，b，c，d成比例，且a=3，b=2，c=4，那么d的值为( )
A. 2B. 3C. 43D. 83
3.如图所示的几何体，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.若一元二次方程x2−2x+m2−4=0的一个根是3，则m的值为( )
A. 1B. −1C. 1或−1D. 1或0
5.如果点A(x1,y1)，B(x2,y2)在反比例函数y=3−mx的图象上，且满足当x1>x2>0时y1A. m>3B. m<3C. m>−3D. m<−3
6.如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ACO=30°，∠ABO=20°，则∠BOC的度数为( )
A. 100°
B. 110°
C. 120°
D. 130°
7.寒假期间，学校准备从甲、乙、丙、丁四位老师中随机选择两位老师参加培训，则选择的两位老师中恰好有甲老师的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
8.如图，点A是⊙O上一点，点B是⊙O外一点，且OA⊥OB，BC与⊙O相切于点C，连接AC交OB于点D，若BC=3，OA=4，则弦AC的长为( )
A. 16 55
B. 8 55
C. 6
D. 8
9.已知反比例函数y=kx(k≠0)在第二象限内的图象与一次函数y=ax+b的图象如图所示，则函数y=ax2−bx−k+1的图象可能为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，点E，F分别在AD，CD上，且BC=2CF，连接BE，BF，∠EBF=12∠ABC，连接AC交BE于点M，交BF于点N，则下列结论中错误的是( )
A. ∠BEA+∠BFC=135°B. CA⊥BF
C. BN= 55ABD. AE=34AD
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.二次函数y=2x2−6x+3的对称轴为直线______．
12.已知扇形的圆心角为150°，扇形的面积S=5π，则这个扇形的半径r= ______．
13.若点(2,−3)在反比例函数y=kx的图象上，则当y>−3时，x的取值范围为______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D为AB上一点，点P在AC上，且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．
(1)当点D是AB的中点时，DQ的最小值为______；
(2)当CD⊥AB，且点Q在直线CD上时，AQ的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
2cs30°−tan60°+sin245°．
16.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，A(0,1)，B(2,2)，C(1,3)．
(1)将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到△DEF，画出△DEF；
(3)若在△ABC内有一点P(a,b)，则点P放大后的对应点的坐标是______．
17.(本小题8分)
如图，一次函数y=mx+n(m≠0)与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于A(1,3)，B(a,−2)两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图像，直接写出满足mx+n≥kx的x的取值范围．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．
(1)求证：BC2=BD⋅AB；
(2)若BD=2，AD=3，求CD的长．
19.(本小题10分)
如图，小明晚上散步，当他走到D处时看到路灯AB的顶部A的仰角为45°.他继续向前走了2m到达F处，此时看到路灯AB的顶部A的仰角为60°，若小明的身高CD=1.6m，请你计算路灯AB的高度.(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73，结果精确到0.1m)
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AC上一点，且AD=BD，设BC=a，CD=b，BD=c，∠A=α．
(1)分别计算tanα和tan2α；
(2)根据(1)中的结果，用含tan2α的式子表示出tanα．
21.(本小题12分)
四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC．
(1)如图1，若∠BAC=α，求∠ADC的度数；
(2)如图2.连接BD交AC于点E．
①求证：AE2=AE⋅AB−BE⋅DE；
②若∠BAC=2∠DAC，AB=5，BC=6，求CD的长．
22.(本小题12分)
已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1,0)和点B(3,0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若该抛物线与y轴交于点C，求△ABC的面积；
(3)当自变量x满足m≤x≤m+1(m≥12)时，此函数的最大值为p，最小值为q，求w=p+q的最小值，并求出对应的m的值．
23.(本小题14分)
已知在正方形ABCD中，AB=6，点E，F分别在边AD，CD上，且DE=DF，连接BE，BD．
(1)如图1，连接AF交BD于点G，若CF=2DF，求证：BG=3DG；
(2)如图2，连接EF，BF，若∠EBF=30°，求EF的长；
(3)如图3，连接BF，过点E作EM⊥BF，垂足为M，交BD于点N，求证：ENBE=DNBD．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：2sin60∘=2 32=43 3，
故选：C．
先代入特殊角的函数值、化简即可．
本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意得a：b=c：d，
即3：2=4：d，
解得d=83．
故选：D．
根据比的性质解答即可．
本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，利用成比例线段的定义得到a：b=c：d，然后根据比例的性质求d的值．
3.【答案】C
【解析】解：几何体的俯视图是：
故选：C．
根据画物体的三视图的口诀解答即可．
本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：设方程的另一个根为x，
∵一元二次方程x2−2x+m2−4=0的两个根是3和x，
∴x+3=2，3x=m2−4，
∴x=−1，m2=1，
∴m=±1，
故选：C．
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若x1，x2是该方程的两个实数根，则x1+x2=−ba,x1x2=ca，设方程的另一个根为x，则x+3=2，3x=m2−4，据此求解即可．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵点A(x1,y1)，B(x2,y2)为反比例函数y=3−mx图象上两点，当x1>x2>0时，y1∴3−m>0，
解得m<3，
故选：B．
根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正确记忆相关知识点是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D．
在△OAB中，OA=OB，则∠BOD=∠ABO+∠OAB=2×20°=40°，
同理可得：∠COD=∠ACO+∠OAC=2×30°=60°，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=100°．
故选：A．
过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出∠BOC=2∠ABO+2∠ACO．
本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角，圆的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选中甲老师的有6种情况，
∴选择的两位老师中恰好有甲老师的概率为：612=12．
故选：C．
注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】A
【解析】解：∵BC与⊙O相切于点C，
∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=90°，
又∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAC+∠ODA=90°，
又∵OA=OC=4，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACB=∠ODA=∠BDC，
∴BD=BC=3，
在Rt△OBC中，
OB= BC2+OC2= 42+32=5，
∴OD=OB−BD=5−3=2，
∴AD= OD2+OA2= 22+42=2 5，
过点O作OE⊥AC于点E，
则∠AEO=∠AOD=90°，AC=2AE，
∴cs∠OAD=AEOA=OAAD，即AE4=42 5，
解得：AE=85 5，
∴AC=2AE=165 5，
故选A．
根据切线的性质和垂直的定义得到∠ACB=∠ODA=∠BDC，即得到BD=BC，然后根据勾股定理得到OB、AD的长，然后根据cs∠OAD=AEOA=OAAD解题即可．
本题考查切线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
9.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象在第二象限，
∴k<0；
又∵一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a<0，b>0．
∴函数y=ax2−bx−k+1中，
a<0，函数图象开口向下；
k<0，即：−k+1>0，与y轴交于正半轴；
a<0，b>0，即：−b<0，对称轴小于0，
故选：B．
根据反比例函数图象和一次函数函数的图象得到k<0；a<0；b>0，再根据二次函数a、c、−b 2a的取值范围得到抛物线的开口方向、与y轴的交点和对称轴，进行观察图象即可．
本题考查了函数图象和性质，解题的关键是根据函数图象确定k、a和b的取值范围．
10.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=∠BCF=90°，
∴∠ABE+∠AEB=∠ABE+∠EBF+∠CBF=∠CBF+∠CFB=90°，
∵∠EBF=12∠ABC=45°，
∴∠ABE+∠CBF=45°，
∵∠ABE+∠AEB+∠CBF+∠CFB=180°，
∴∠BEA+∠BFC=135°，故A正确，不符合题意；
∵BC=2CF，AB=2AD=2BC，
∴BCCF=ABBC=2，
又∵∠ABC=∠BCF=90°，
∴△ABC∽△BCF，
∴∠BAC=∠CBF，
∵∠ABF+∠CBF=90°，
∴∠ABN+∠BAN=90°，
∴∠BNA=90°，即CA⊥BF，故B正确；
在Rt△ABC中，AC= AB2+BC2= 5BC，
∵∠ANB=∠ABC=90°，∠BAC=∠NAB，
∴△ABC∽△ANB，
∴BNAB=BCAC= 55，即BN= 55AB，故C正确；
设CF=x，BC=2x，AB=4x，则BN=4 55x，AC=2 5x，
∴CN= BC2−BN2=2 55x，
∵∠BNM=90°，∠MBN=45°，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴MN=BN=4 55x，
∴CM=6 55x，
∴AM=4 55x，
∵AD//BC，
∴△AEM∽△CBM，
∴AEBC=AMCM=23，
∴AE=23BC=23AD，故D错误；
故选：D．
由矩形的性质得到∠EBF=12∠ABC=45°，进而得到∠ABE+∠CBF=45°，再由∠ABE+∠AEB+∠CBF+∠CFB=180°，可得∠BEA+∠BFC=135°，即可判断A；证明△ABC∽△BCF，得到∠BAC=∠CBF，进而可得∠BNA=90°，即CA⊥BF，即可判断B；在Rt△ABC中，由勾股定理得AC= 5BC，证明△ABC∽△ANB，可得BNAB=BCAC= 55，即BN= 55AB，即可判断C；设CF=x，BC=2x，AB=4x，则BN=4 55x，AC=2 5x，CN=2 55x，证明△BMN是等腰直角三角形，得到MN=BN=4 55x，则CM=6 55x，则AM=4 55x，证明△AEM∽△CBM，得到AEBC=AMCM=23，即可判断D．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
11.【答案】x=32
【解析】解：二次函数y=2x2−6x+3的对称轴为直线x=−−62×2=32，
故答案为：x=32．
根据对称轴方程x=−b2a解答即可．
本题考查了二次函数的性质．二次函数性质的应用是解题的关键．
12.【答案】2 3
【解析】解：根据题意得150πr2360=5π，
解得：r=2 3或r=−2 3(舍去)，
故答案为：2 3．
根据扇形的面积公式解答即可．
本题考查了扇形的面积公式，熟练运用扇形的面积公式nπr2360进行计算是解题的关键．
13.【答案】x<0或x>2
【解析】解：∵点(2,−3)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=2×(−3)=−6<0，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∴当y>−3时，x的取值范围为x<0或x>2，
故答案为：x<0或x>2．
先利用待定系数法求出k的值，再判断出反比例函数图象经过的象限和增减性即可得到答案．
本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的增减性，正确记忆相关知识点是解题关键．
14.【答案】32 1305或 3705
【解析】解：(1)当点D是AB的中点时，如图所示，以C为圆心，以CP长为半径作圆C，交CD于点Q，则DQ为最小值，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= AC2+BC2= 32+42=5，
又∵D是AB的中点，
∴CD=12AB=52，
又∵CQ=CP=1，
∴DQ=CD−CQ=52−1=32，
故答案为：32；
(2)如图：
∵CD⊥AB，
∴S△ACD=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=3×45=125，
∴AD= AC2−CD2= 32−(125)2=95，
∴点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：
CQ=CP=CQ′=1，
分两种情况：
当点Q在CD上，
在 Rt△ADO中，DQ=CD−CQ=125−1=75，
∴AQ= AD2+DQ2= (95)2+(75)2= 1305；
当点Q在DC的延长线上，在 Rt△ADQ′中，DQ′=CD+CQ′=125+1=175，
∴AQ′= AD2+DQ′2= (95)2+(175)2= 3705，
综上所述：当∠ADQ=90°时，AQ的长为 1305或 3705，
故答案为： 1305或 3705．
(1)根据勾股定理得到AB长，当点Q在CD上时，DQ最小，计算即可；
(2)现根据三角形的面积求出CD长，然后利用勾勾股定理求出AD长，分两种情况：当点Q在CD上，当点Q在DC的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
本题考查勾股定理，旋转的性质，分两种情况进行讨论是解题的关键．
15.【答案】解：2cs30°−tan60°+sin245°
=2× 32− 3+( 22)2
= 3− 3+12
=12．
【解析】先根据特殊角的三角函数值化简、然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可．
本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算等知识点，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
16.【答案】(2a,2b)
【解析】解：(1)如图1，△A1B1C1即为所作；
(2)如图2，△DEF即为所作；
(3)在△ABC内有一点P(a,b)，则点P放大后的对应点的坐标是(2a,2b)，
故答案为：(2a,2b)．
(1)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，然后连接即可得到△A1B1C1；
(2)先根据位似中心的位置以及放大的倍数，画出原三角形各顶点的对应顶点D、E、F，再顺次连接各顶点，得到△DEF，
(3)根据△DEF结合位似的性质即可得点P放大后的对应点的坐标．
本题主要考查了位似变换与旋转变换，解决问题的关键是先作出图形各顶点的对应顶点，再连接各顶点得到新的图形．
17.【答案】解：(1)∵A(1,3)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴k=1×3=3，
∴反比例函数的解析式为y=3x；
又B(a,−2)在反比例函数y=3x的图象上，
∴−2a=3，
解得，a=−32，
∴B(−32,−2)，
把A(1,3)，B(−32,−2)代入y=mx+n(m≠0)得：
m+n=3−32m+n=−2，
解得，m=2n=1，
∴一次函数解析式为y=2x+1；
(2)∵A(1,3)，B(−32,−2)
∴由图象得，当−2≤x<0或x≥1时，一次函数y=2x+1的图象在反比例函数y=3x的图象上或上方，
∴不等式mx+n≥kx的x的取值范围为−2≤x<0或x≥1．
【解析】(1)把A(1,3)代入y=kx(k≠0)求出k=3，再把B(a,−2)代入y=3x求出a=−32，得B(−32,−2)，再把A(1,3)，B(−32,−2)代入y=mx+n(m≠0)，求出m，n的值即可；
(2)根据图象和A，B两点坐标可得出不等式mx+n≥kx的x的取值范围．
本题考查反比例函数的图象和性质，能一次函数以及待定系数法求函数的关系式是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴BCBA=BDBC，
即BC2=BD⋅AB．
(2)解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，
∴△BCD∽△CAD，
∴CDAD=BDCD，
即CD2=BD⋅AD，
∴CD= 2×3= 6．
【解析】(1)证明△BCD∽△BAC即可；
(2)利用相似的性质进行计算即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
19.【答案】解：连接CE并延长交AB于点G，设AB=x m，
则CD=EF=BG=1.6m，CE=DF=2m，∠AGC=90°，
在Rt△ACG中，∠ACG=45°，
∴CG=AG=(x−1.6)m，
在Rt△AEG中，∠AEG=60°，
∵tan∠AEG=AGEG，
∴AG=EG⋅tan∠AEG，即x−1.6= 3(x−1.6−2)，
解得：x≈6.5，
∴路灯AB的高度为6.5m．
【解析】连接CE并延长交AB于点G，设AB=xm，在Rt△ACG中，CG=AG=(x−1.6)m，然后根据在Rt△AEG中，tan∠AEG=AGEG列方程解题即可．
本题考查解直角三角形—仰角俯角问题，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵AD=BD，BD=c，
∴AC=AD+DC=b+c，
∴tanα=BCAC=ab+c；
tan2α=BCCD=ab；
(2)∵∠C=90°，
∴c= a2+b2，
又∵tan2α=BCCD=ab，
∴a=b⋅tan2α，
∴tanα=ab+c=b⋅tan2αb+ a2+b2=b⋅tan2αb+ b2⋅tan22α+b2
=b⋅tan2αb+b tan22α+1
=tan2α⋅( tan22α+1−1)( tan22α+1+1)( tan22α+1−1)
=tan2α⋅( tan22α+1−1)tan22α
= tan22α+1−1tan2α．
【解析】(1)根据正切的定义解题即可；
(2)根据勾股定理可得c= a2+b2，根据tan2α=BCCD=ab可得a=b⋅tan2α，代入(1)中tanα=BCAC=ab+c，整理化简即可解题．
本题主要考查正切函数的定义及勾股定理解三角形，熟练掌握正切函数的定义是解题关键．
21.【答案】(1)解：∵AB=AC，若∠BAC=α．
∴∠B=∠ACB=180°−α2，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC=180°−∠B=180°−180°−α2=90°+12α；
(2)①证明：∵∠ADB=∠ACB，∠CAD=∠CBD，
∴△ADE∽△BCE，
∴AEBE=DECE，
∴AE⋅CE=BE⋅DE，
∴AE⋅(AC−AE)=AE⋅AC−AE2=BE⋅DE，
∵AB=AC，
∴AE⋅AB−AE2=BE⋅DE，
AE2=AE⋅AB−BE⋅DE；
②解：设∠BAC=2∠DAC=2α，则∠DAC=∠DBC=α，
∵AB=AC=5，
∴∠ABC=∠ACB=180°−2α2=90°−α，
∴∠ABE=∠ABC−∠DBC=90°−α−α=90°−2α，
在△AEB中∠AEB=180°−∠CAB−∠ABD=180°−2α−(90°−2α)=90°，
∴AC⊥BD，
∵BE2=BC2−CE2=AB2−AE2，
∴62−(5−AE)2=52−AE2，
∴AE=75,CE=185，
∴BE= AB2−AE2=245，
由①知AE⋅CE=BE⋅DE，DE=75×185245=2120，
∴CD= DE2+CE2= (2120)2+(185)2=154．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质及圆的内接四边形的性质即可；
(2)①先证明△ADE∽△BCE，得AE⋅CE=BE⋅DE，再根据AE⋅(AC−AE)=AE⋅AC−AE2=BE⋅DE即可得出结论；②设∠BAC=2∠DAC=2α，则∠DAC=∠DBC=α，先证明AC⊥BD，再根据勾股定理求出AE，BE，CE的长，由①知AE⋅CE=BE⋅DE，求出DE的长，再根据勾股定理即可．
本题考查了圆的有关性质定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是本题的关键．
22.【答案】解：(1)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1,0)和点B(3,0)，
1−b+c=09+3b+c=0，
解得：b=−2c=−3，
该抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
(2)x=0时y=−3，
∴C(0,−3)，
∵AB=4，
∴S△ABC=12×4×3=6；
(3)当12≤m<1时，
x=m+1时，此函数的最大值为p=(m+1)2−2(m+1)−3=m2−4，
x=1时，此函数的最小值为q=1−2−3=−4，
∴w=p+q=m2−4−4=m2−8，
m=12时，w=p+q的最小值为−314，
当m≥1时，
x=m+1时，此函数的最大值为p=(m+1)2−2(m+1)−3=m2−4，
x=m时，此函数的最小值为q=m2−2m−3，
∴w=p+q=m2−4+m2−2m−3=2m2−2m−7，
m=1时，w=p+q的最小值为−7，
综上所述：
∵−314<−7，
m=12时，w=p+q有最小值为−314．
【解析】(1)根据待定系数法求抛物线的解析式；
(2)求出点C的坐标，再求△ABC的面积即可；
(3)分两种情况当12≤m<1时，当m≥1时讨论即可．
本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=ax2+k的性质是解答本题的关键．对于二次函数y=ax2+k (a,k为常数，a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是(0,k)，对称轴为y轴．
23.【答案】(1)证明：∵ABCD是正方形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠GDF=∠ABG，∠GFD=∠BAG，
∴△DFG∽△BAG，
∴BGDG=ABDF，
又∵CF=2DF，
∴AB=CD=3DF，
∴BGDG=ABDF=3DFDF=3，即BG=3DG；
(2)解：∵ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD=45°，
又∵DE=DF，BD=BD，
∴△DEB≌△DFB，
∴∠DBE=∠DBF=12∠EBF=15°，BD⊥EF，BE=BF，
∴∠ABE=∠ABD−∠EBD=45°−15°=30°，
∴AE=AB⋅tan∠ABE=6× 33=2 3，
∴DE=DF=AD−AE=6−2 3，
∴EF= 2DE= 2(6−2 3)=6 2−2 6；
(3)证明：连接EF交BD于点H，如图3，
由(2)可知BD⊥EF，BE=BF，
∴∠HEN+∠ENH=∠NBM+∠BNM=90°，
∴∠HEN=∠NBM，
又∵∠EHN=∠BHF=90°，
∴△ENH∽△BFH，
∴ENBF=EHBH=NHFH，即ENBF=EH+NHBH+FH，
又∵DE=DF，∠EDB=45°，
∴EH=HF=DH，
∴ENBF=EH+NHBH+FH=DH+HNBH+DH=DNBD，
又∵BF=BE，
∴ENBE=DNBD．
【解析】(1)根据正方形的性质证明△DFG∽△BAG即可解题；
(2)根据正方形的性质得到△DEB≌△DFB，然后推导出∠ABE=30°，根据三角函数得到AE=AB⋅tan∠ABE=6× 33=2 3，进而求出EF的长；
(3)连接EF交BD于点H，推导△ENH∽△BFH，即可得到ENBF=EHBH=NHFH，即ENBF=EH+NHBH+FH，根据EH=HF=DH和BF=BE等量代换即可解题．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
1.计算2sin60∘的值为( )
A. 4B. 2 2C. 4 33D. 3
2.已知四个数a，b，c，d成比例，且a=3，b=2，c=4，那么d的值为( )
A. 2B. 3C. 43D. 83
3.如图所示的几何体，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.若一元二次方程x2−2x+m2−4=0的一个根是3，则m的值为( )
A. 1B. −1C. 1或−1D. 1或0
5.如果点A(x1,y1)，B(x2,y2)在反比例函数y=3−mx的图象上，且满足当x1>x2>0时y1
6.如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ACO=30°，∠ABO=20°，则∠BOC的度数为( )
A. 100°
B. 110°
C. 120°
D. 130°
7.寒假期间，学校准备从甲、乙、丙、丁四位老师中随机选择两位老师参加培训，则选择的两位老师中恰好有甲老师的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
8.如图，点A是⊙O上一点，点B是⊙O外一点，且OA⊥OB，BC与⊙O相切于点C，连接AC交OB于点D，若BC=3，OA=4，则弦AC的长为( )
A. 16 55
B. 8 55
C. 6
D. 8
9.已知反比例函数y=kx(k≠0)在第二象限内的图象与一次函数y=ax+b的图象如图所示，则函数y=ax2−bx−k+1的图象可能为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，点E，F分别在AD，CD上，且BC=2CF，连接BE，BF，∠EBF=12∠ABC，连接AC交BE于点M，交BF于点N，则下列结论中错误的是( )
A. ∠BEA+∠BFC=135°B. CA⊥BF
C. BN= 55ABD. AE=34AD
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.二次函数y=2x2−6x+3的对称轴为直线______．
12.已知扇形的圆心角为150°，扇形的面积S=5π，则这个扇形的半径r= ______．
13.若点(2,−3)在反比例函数y=kx的图象上，则当y>−3时，x的取值范围为______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D为AB上一点，点P在AC上，且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．
(1)当点D是AB的中点时，DQ的最小值为______；
(2)当CD⊥AB，且点Q在直线CD上时，AQ的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
2cs30°−tan60°+sin245°．
16.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，A(0,1)，B(2,2)，C(1,3)．
(1)将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到△DEF，画出△DEF；
(3)若在△ABC内有一点P(a,b)，则点P放大后的对应点的坐标是______．
17.(本小题8分)
如图，一次函数y=mx+n(m≠0)与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于A(1,3)，B(a,−2)两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图像，直接写出满足mx+n≥kx的x的取值范围．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．
(1)求证：BC2=BD⋅AB；
(2)若BD=2，AD=3，求CD的长．
19.(本小题10分)
如图，小明晚上散步，当他走到D处时看到路灯AB的顶部A的仰角为45°.他继续向前走了2m到达F处，此时看到路灯AB的顶部A的仰角为60°，若小明的身高CD=1.6m，请你计算路灯AB的高度.(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73，结果精确到0.1m)
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AC上一点，且AD=BD，设BC=a，CD=b，BD=c，∠A=α．
(1)分别计算tanα和tan2α；
(2)根据(1)中的结果，用含tan2α的式子表示出tanα．
21.(本小题12分)
四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC．
(1)如图1，若∠BAC=α，求∠ADC的度数；
(2)如图2.连接BD交AC于点E．
①求证：AE2=AE⋅AB−BE⋅DE；
②若∠BAC=2∠DAC，AB=5，BC=6，求CD的长．
22.(本小题12分)
已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1,0)和点B(3,0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若该抛物线与y轴交于点C，求△ABC的面积；
(3)当自变量x满足m≤x≤m+1(m≥12)时，此函数的最大值为p，最小值为q，求w=p+q的最小值，并求出对应的m的值．
23.(本小题14分)
已知在正方形ABCD中，AB=6，点E，F分别在边AD，CD上，且DE=DF，连接BE，BD．
(1)如图1，连接AF交BD于点G，若CF=2DF，求证：BG=3DG；
(2)如图2，连接EF，BF，若∠EBF=30°，求EF的长；
(3)如图3，连接BF，过点E作EM⊥BF，垂足为M，交BD于点N，求证：ENBE=DNBD．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：2sin60∘=2 32=43 3，
故选：C．
先代入特殊角的函数值、化简即可．
本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意得a：b=c：d，
即3：2=4：d，
解得d=83．
故选：D．
根据比的性质解答即可．
本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，利用成比例线段的定义得到a：b=c：d，然后根据比例的性质求d的值．
3.【答案】C
【解析】解：几何体的俯视图是：
故选：C．
根据画物体的三视图的口诀解答即可．
本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：设方程的另一个根为x，
∵一元二次方程x2−2x+m2−4=0的两个根是3和x，
∴x+3=2，3x=m2−4，
∴x=−1，m2=1，
∴m=±1，
故选：C．
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若x1，x2是该方程的两个实数根，则x1+x2=−ba,x1x2=ca，设方程的另一个根为x，则x+3=2，3x=m2−4，据此求解即可．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵点A(x1,y1)，B(x2,y2)为反比例函数y=3−mx图象上两点，当x1>x2>0时，y1
解得m<3，
故选：B．
根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正确记忆相关知识点是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D．
在△OAB中，OA=OB，则∠BOD=∠ABO+∠OAB=2×20°=40°，
同理可得：∠COD=∠ACO+∠OAC=2×30°=60°，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=100°．
故选：A．
过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出∠BOC=2∠ABO+2∠ACO．
本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角，圆的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选中甲老师的有6种情况，
∴选择的两位老师中恰好有甲老师的概率为：612=12．
故选：C．
注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】A
【解析】解：∵BC与⊙O相切于点C，
∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=90°，
又∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAC+∠ODA=90°，
又∵OA=OC=4，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACB=∠ODA=∠BDC，
∴BD=BC=3，
在Rt△OBC中，
OB= BC2+OC2= 42+32=5，
∴OD=OB−BD=5−3=2，
∴AD= OD2+OA2= 22+42=2 5，
过点O作OE⊥AC于点E，
则∠AEO=∠AOD=90°，AC=2AE，
∴cs∠OAD=AEOA=OAAD，即AE4=42 5，
解得：AE=85 5，
∴AC=2AE=165 5，
故选A．
根据切线的性质和垂直的定义得到∠ACB=∠ODA=∠BDC，即得到BD=BC，然后根据勾股定理得到OB、AD的长，然后根据cs∠OAD=AEOA=OAAD解题即可．
本题考查切线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
9.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象在第二象限，
∴k<0；
又∵一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a<0，b>0．
∴函数y=ax2−bx−k+1中，
a<0，函数图象开口向下；
k<0，即：−k+1>0，与y轴交于正半轴；
a<0，b>0，即：−b<0，对称轴小于0，
故选：B．
根据反比例函数图象和一次函数函数的图象得到k<0；a<0；b>0，再根据二次函数a、c、−b 2a的取值范围得到抛物线的开口方向、与y轴的交点和对称轴，进行观察图象即可．
本题考查了函数图象和性质，解题的关键是根据函数图象确定k、a和b的取值范围．
10.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=∠BCF=90°，
∴∠ABE+∠AEB=∠ABE+∠EBF+∠CBF=∠CBF+∠CFB=90°，
∵∠EBF=12∠ABC=45°，
∴∠ABE+∠CBF=45°，
∵∠ABE+∠AEB+∠CBF+∠CFB=180°，
∴∠BEA+∠BFC=135°，故A正确，不符合题意；
∵BC=2CF，AB=2AD=2BC，
∴BCCF=ABBC=2，
又∵∠ABC=∠BCF=90°，
∴△ABC∽△BCF，
∴∠BAC=∠CBF，
∵∠ABF+∠CBF=90°，
∴∠ABN+∠BAN=90°，
∴∠BNA=90°，即CA⊥BF，故B正确；
在Rt△ABC中，AC= AB2+BC2= 5BC，
∵∠ANB=∠ABC=90°，∠BAC=∠NAB，
∴△ABC∽△ANB，
∴BNAB=BCAC= 55，即BN= 55AB，故C正确；
设CF=x，BC=2x，AB=4x，则BN=4 55x，AC=2 5x，
∴CN= BC2−BN2=2 55x，
∵∠BNM=90°，∠MBN=45°，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴MN=BN=4 55x，
∴CM=6 55x，
∴AM=4 55x，
∵AD//BC，
∴△AEM∽△CBM，
∴AEBC=AMCM=23，
∴AE=23BC=23AD，故D错误；
故选：D．
由矩形的性质得到∠EBF=12∠ABC=45°，进而得到∠ABE+∠CBF=45°，再由∠ABE+∠AEB+∠CBF+∠CFB=180°，可得∠BEA+∠BFC=135°，即可判断A；证明△ABC∽△BCF，得到∠BAC=∠CBF，进而可得∠BNA=90°，即CA⊥BF，即可判断B；在Rt△ABC中，由勾股定理得AC= 5BC，证明△ABC∽△ANB，可得BNAB=BCAC= 55，即BN= 55AB，即可判断C；设CF=x，BC=2x，AB=4x，则BN=4 55x，AC=2 5x，CN=2 55x，证明△BMN是等腰直角三角形，得到MN=BN=4 55x，则CM=6 55x，则AM=4 55x，证明△AEM∽△CBM，得到AEBC=AMCM=23，即可判断D．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
11.【答案】x=32
【解析】解：二次函数y=2x2−6x+3的对称轴为直线x=−−62×2=32，
故答案为：x=32．
根据对称轴方程x=−b2a解答即可．
本题考查了二次函数的性质．二次函数性质的应用是解题的关键．
12.【答案】2 3
【解析】解：根据题意得150πr2360=5π，
解得：r=2 3或r=−2 3(舍去)，
故答案为：2 3．
根据扇形的面积公式解答即可．
本题考查了扇形的面积公式，熟练运用扇形的面积公式nπr2360进行计算是解题的关键．
13.【答案】x<0或x>2
【解析】解：∵点(2,−3)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=2×(−3)=−6<0，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∴当y>−3时，x的取值范围为x<0或x>2，
故答案为：x<0或x>2．
先利用待定系数法求出k的值，再判断出反比例函数图象经过的象限和增减性即可得到答案．
本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的增减性，正确记忆相关知识点是解题关键．
14.【答案】32 1305或 3705
【解析】解：(1)当点D是AB的中点时，如图所示，以C为圆心，以CP长为半径作圆C，交CD于点Q，则DQ为最小值，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= AC2+BC2= 32+42=5，
又∵D是AB的中点，
∴CD=12AB=52，
又∵CQ=CP=1，
∴DQ=CD−CQ=52−1=32，
故答案为：32；
(2)如图：
∵CD⊥AB，
∴S△ACD=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=3×45=125，
∴AD= AC2−CD2= 32−(125)2=95，
∴点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：
CQ=CP=CQ′=1，
分两种情况：
当点Q在CD上，
在 Rt△ADO中，DQ=CD−CQ=125−1=75，
∴AQ= AD2+DQ2= (95)2+(75)2= 1305；
当点Q在DC的延长线上，在 Rt△ADQ′中，DQ′=CD+CQ′=125+1=175，
∴AQ′= AD2+DQ′2= (95)2+(175)2= 3705，
综上所述：当∠ADQ=90°时，AQ的长为 1305或 3705，
故答案为： 1305或 3705．
(1)根据勾股定理得到AB长，当点Q在CD上时，DQ最小，计算即可；
(2)现根据三角形的面积求出CD长，然后利用勾勾股定理求出AD长，分两种情况：当点Q在CD上，当点Q在DC的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
本题考查勾股定理，旋转的性质，分两种情况进行讨论是解题的关键．
15.【答案】解：2cs30°−tan60°+sin245°
=2× 32− 3+( 22)2
= 3− 3+12
=12．
【解析】先根据特殊角的三角函数值化简、然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可．
本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算等知识点，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
16.【答案】(2a,2b)
【解析】解：(1)如图1，△A1B1C1即为所作；
(2)如图2，△DEF即为所作；
(3)在△ABC内有一点P(a,b)，则点P放大后的对应点的坐标是(2a,2b)，
故答案为：(2a,2b)．
(1)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，然后连接即可得到△A1B1C1；
(2)先根据位似中心的位置以及放大的倍数，画出原三角形各顶点的对应顶点D、E、F，再顺次连接各顶点，得到△DEF，
(3)根据△DEF结合位似的性质即可得点P放大后的对应点的坐标．
本题主要考查了位似变换与旋转变换，解决问题的关键是先作出图形各顶点的对应顶点，再连接各顶点得到新的图形．
17.【答案】解：(1)∵A(1,3)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴k=1×3=3，
∴反比例函数的解析式为y=3x；
又B(a,−2)在反比例函数y=3x的图象上，
∴−2a=3，
解得，a=−32，
∴B(−32,−2)，
把A(1,3)，B(−32,−2)代入y=mx+n(m≠0)得：
m+n=3−32m+n=−2，
解得，m=2n=1，
∴一次函数解析式为y=2x+1；
(2)∵A(1,3)，B(−32,−2)
∴由图象得，当−2≤x<0或x≥1时，一次函数y=2x+1的图象在反比例函数y=3x的图象上或上方，
∴不等式mx+n≥kx的x的取值范围为−2≤x<0或x≥1．
【解析】(1)把A(1,3)代入y=kx(k≠0)求出k=3，再把B(a,−2)代入y=3x求出a=−32，得B(−32,−2)，再把A(1,3)，B(−32,−2)代入y=mx+n(m≠0)，求出m，n的值即可；
(2)根据图象和A，B两点坐标可得出不等式mx+n≥kx的x的取值范围．
本题考查反比例函数的图象和性质，能一次函数以及待定系数法求函数的关系式是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴BCBA=BDBC，
即BC2=BD⋅AB．
(2)解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，
∴△BCD∽△CAD，
∴CDAD=BDCD，
即CD2=BD⋅AD，
∴CD= 2×3= 6．
【解析】(1)证明△BCD∽△BAC即可；
(2)利用相似的性质进行计算即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
19.【答案】解：连接CE并延长交AB于点G，设AB=x m，
则CD=EF=BG=1.6m，CE=DF=2m，∠AGC=90°，
在Rt△ACG中，∠ACG=45°，
∴CG=AG=(x−1.6)m，
在Rt△AEG中，∠AEG=60°，
∵tan∠AEG=AGEG，
∴AG=EG⋅tan∠AEG，即x−1.6= 3(x−1.6−2)，
解得：x≈6.5，
∴路灯AB的高度为6.5m．
【解析】连接CE并延长交AB于点G，设AB=xm，在Rt△ACG中，CG=AG=(x−1.6)m，然后根据在Rt△AEG中，tan∠AEG=AGEG列方程解题即可．
本题考查解直角三角形—仰角俯角问题，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵AD=BD，BD=c，
∴AC=AD+DC=b+c，
∴tanα=BCAC=ab+c；
tan2α=BCCD=ab；
(2)∵∠C=90°，
∴c= a2+b2，
又∵tan2α=BCCD=ab，
∴a=b⋅tan2α，
∴tanα=ab+c=b⋅tan2αb+ a2+b2=b⋅tan2αb+ b2⋅tan22α+b2
=b⋅tan2αb+b tan22α+1
=tan2α⋅( tan22α+1−1)( tan22α+1+1)( tan22α+1−1)
=tan2α⋅( tan22α+1−1)tan22α
= tan22α+1−1tan2α．
【解析】(1)根据正切的定义解题即可；
(2)根据勾股定理可得c= a2+b2，根据tan2α=BCCD=ab可得a=b⋅tan2α，代入(1)中tanα=BCAC=ab+c，整理化简即可解题．
本题主要考查正切函数的定义及勾股定理解三角形，熟练掌握正切函数的定义是解题关键．
21.【答案】(1)解：∵AB=AC，若∠BAC=α．
∴∠B=∠ACB=180°−α2，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC=180°−∠B=180°−180°−α2=90°+12α；
(2)①证明：∵∠ADB=∠ACB，∠CAD=∠CBD，
∴△ADE∽△BCE，
∴AEBE=DECE，
∴AE⋅CE=BE⋅DE，
∴AE⋅(AC−AE)=AE⋅AC−AE2=BE⋅DE，
∵AB=AC，
∴AE⋅AB−AE2=BE⋅DE，
AE2=AE⋅AB−BE⋅DE；
②解：设∠BAC=2∠DAC=2α，则∠DAC=∠DBC=α，
∵AB=AC=5，
∴∠ABC=∠ACB=180°−2α2=90°−α，
∴∠ABE=∠ABC−∠DBC=90°−α−α=90°−2α，
在△AEB中∠AEB=180°−∠CAB−∠ABD=180°−2α−(90°−2α)=90°，
∴AC⊥BD，
∵BE2=BC2−CE2=AB2−AE2，
∴62−(5−AE)2=52−AE2，
∴AE=75,CE=185，
∴BE= AB2−AE2=245，
由①知AE⋅CE=BE⋅DE，DE=75×185245=2120，
∴CD= DE2+CE2= (2120)2+(185)2=154．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质及圆的内接四边形的性质即可；
(2)①先证明△ADE∽△BCE，得AE⋅CE=BE⋅DE，再根据AE⋅(AC−AE)=AE⋅AC−AE2=BE⋅DE即可得出结论；②设∠BAC=2∠DAC=2α，则∠DAC=∠DBC=α，先证明AC⊥BD，再根据勾股定理求出AE，BE，CE的长，由①知AE⋅CE=BE⋅DE，求出DE的长，再根据勾股定理即可．
本题考查了圆的有关性质定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是本题的关键．
22.【答案】解：(1)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1,0)和点B(3,0)，
1−b+c=09+3b+c=0，
解得：b=−2c=−3，
该抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
(2)x=0时y=−3，
∴C(0,−3)，
∵AB=4，
∴S△ABC=12×4×3=6；
(3)当12≤m<1时，
x=m+1时，此函数的最大值为p=(m+1)2−2(m+1)−3=m2−4，
x=1时，此函数的最小值为q=1−2−3=−4，
∴w=p+q=m2−4−4=m2−8，
m=12时，w=p+q的最小值为−314，
当m≥1时，
x=m+1时，此函数的最大值为p=(m+1)2−2(m+1)−3=m2−4，
x=m时，此函数的最小值为q=m2−2m−3，
∴w=p+q=m2−4+m2−2m−3=2m2−2m−7，
m=1时，w=p+q的最小值为−7，
综上所述：
∵−314<−7，
m=12时，w=p+q有最小值为−314．
【解析】(1)根据待定系数法求抛物线的解析式；
(2)求出点C的坐标，再求△ABC的面积即可；
(3)分两种情况当12≤m<1时，当m≥1时讨论即可．
本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=ax2+k的性质是解答本题的关键．对于二次函数y=ax2+k (a,k为常数，a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是(0,k)，对称轴为y轴．
23.【答案】(1)证明：∵ABCD是正方形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠GDF=∠ABG，∠GFD=∠BAG，
∴△DFG∽△BAG，
∴BGDG=ABDF，
又∵CF=2DF，
∴AB=CD=3DF，
∴BGDG=ABDF=3DFDF=3，即BG=3DG；
(2)解：∵ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD=45°，
又∵DE=DF，BD=BD，
∴△DEB≌△DFB，
∴∠DBE=∠DBF=12∠EBF=15°，BD⊥EF，BE=BF，
∴∠ABE=∠ABD−∠EBD=45°−15°=30°，
∴AE=AB⋅tan∠ABE=6× 33=2 3，
∴DE=DF=AD−AE=6−2 3，
∴EF= 2DE= 2(6−2 3)=6 2−2 6；
(3)证明：连接EF交BD于点H，如图3，
由(2)可知BD⊥EF，BE=BF，
∴∠HEN+∠ENH=∠NBM+∠BNM=90°，
∴∠HEN=∠NBM，
又∵∠EHN=∠BHF=90°，
∴△ENH∽△BFH，
∴ENBF=EHBH=NHFH，即ENBF=EH+NHBH+FH，
又∵DE=DF，∠EDB=45°，
∴EH=HF=DH，
∴ENBF=EH+NHBH+FH=DH+HNBH+DH=DNBD，
又∵BF=BE，
∴ENBE=DNBD．
【解析】(1)根据正方形的性质证明△DFG∽△BAG即可解题；
(2)根据正方形的性质得到△DEB≌△DFB，然后推导出∠ABE=30°，根据三角函数得到AE=AB⋅tan∠ABE=6× 33=2 3，进而求出EF的长；
(3)连接EF交BD于点H，推导△ENH∽△BFH，即可得到ENBF=EHBH=NHFH，即ENBF=EH+NHBH+FH，根据EH=HF=DH和BF=BE等量代换即可解题．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
相关试卷
安徽省淮北市五校联考2022-2023学年七年级下学期月考（三）数学试卷(含解析)： 这是一份安徽省淮北市五校联考2022-2023学年七年级下学期月考（三）数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年安徽省淮北市五校联考八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）： 这是一份2023-2024学年安徽省淮北市五校联考八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年安徽省淮北市五校联考八年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析）： 这是一份2023-2024学年安徽省淮北市五校联考八年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
