2022-2023学年安徽省安庆市九校联盟九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省安庆市九校联盟九年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  位于深圳市光明中心区科学公园的深圳科技馆占地面积为用科学记数法可以表示成(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知一次函数中，函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  寒假期间王华坚持每天在家做跳绳训练，他记录了最近一周的成绩个分：、、、、、、，该组数据的中位数和众数分别为(    )

A. 、 B. 、 C. 、 D. 、

7.  不等式组解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  已知，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间不包括这两点，对称轴为直线下列结论：；；；；其中含所有正确结论的选项是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，四边形为矩形，，，点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.  比较大小： ______ 填“”、“”或“”

12.  如图，直线，直线，垂足在直线上若，则的度数为        ．

13.  如图，已知正比例函数与反比例函数图象相交于，两点，矩形的两个顶点，均在轴上，且，则的值为        ．

14.  如图，个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上，设的面积为，的面积为，，的面积为，则 ______ ， ______ ．

 

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
如图，三个顶点的坐标分别为，，．
请画出向下平移个单位长度后得到的；
请画出关于轴对称的．

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

17.  本小题分
算法统宗中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓢醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”其意思是：醇酒瓶，可以醉倒位客人，薄酒瓶，可以醉倒位客人，如果位客人醉倒了，那么他们总共饮下了瓶酒，问饮下醇酒，薄酒分别多少瓶？

18.  本小题分
观察下列三行数并按规律填空：
，，，，，______，______，；
，，，，，______，______，；
，，，，，______，______，
第一行数按什么规律排列？
第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系？
取每行数的第个数，计算这三个数的和．

19.  本小题分
如图，菱形中，点，分别在边，上，，求证：．

20.  本小题分
如图，是的直径，点，在上，，延长至点，连接，交于点，连接，．
证明：是的切线；
如图，连接，是的中点，连接，若，，求的值．

21.  本小题分
“读书让生活更加多彩，阅读让城市更有温度”近年来，作为深圳中心城区和“首善之区”的福田各学校积极打造“阅读永恒、书香满溢”的爱阅之校为了解今年福田区名初三学生的每天平均课外阅读时间，从中随机抽取若干名学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中所给的信息，解答下列问题：

表中的 ______ ， ______ ；
补全频数分布直方图；
结合调查信息，请你估计今年该区初三学生中，每天课外阅读小于小时的学生约有多少人？

22.  本小题分
定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数例如：的友好同轴二次函数为．
函数的友好同轴二次函数为______ ．
当时，函数且的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．
已知点，分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图象上，比较，的大小，并说明理由．

23.  本小题分
定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．

根据以上定义，解决下列问题：
如图，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形 ______填“是”或“不是”“直等补”四边形；
如图，已知四边形是“直等补”四边形，，，，过点作于．
过作于点，试证明：，并求的长；
若是边上的动点，求周长的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故A正确．
故选：．
根据正数的绝对值是它本身进行解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故选项A计算错误，不符合题意；
B、与不是同类项不能合并，故选项B计算错误，不符合题意；
C、，故选项C计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意，
故选：．
根据幂的乘方、合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法逐一进行计算，即可得到答案．
本题考查了幂的乘方、合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：、三棱柱的左视图为长方形，故此选项不符合题意；
B、三棱柱的左视图为长方形，故此选项不符合题意；
C、圆锥的左视图是三角形，故此选项符合题意；
D、圆台的左视图是等腰梯形，故此选项不符合题意．
故选：．
利用左视图是从物体左面看，所得到的图形，进而分析得出即可．
本题考查了常见几何体的三视图，解题关键在于找准观察方位．
 

5.【答案】 

【解析】解：函数值随自变量的增大而减小，那么，
解得．
故选：．
根据一次函数的性质解题，若函数值随自变量的增大而减小，那么．
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为、、、、、、，
所以这组数据的中位数为，众数为，
故选：．
将数据重新排列，再依据中位数和众数的定义可得答案．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

7.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，



，
故选：．
直接用减去即可．
本题考查了代数式的求值，能够得到是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：函数开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
异号，
抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，
故正确；
图象与轴交于点，对称轴为直线，
图象与轴的另一个交点为，
当时，，
，
故错误；
图象与轴交于点，
当时，，
，即，，
对称轴为直线，
，即，
，
，
，
，
故正确；
图象与轴的交点在和之间，
，
，
；
故正确；
，
，即；
故正确；
故选：．
根据对称轴为直线及图象开口向下可判断出、、的符号，从而判断；根据对称轴得到函数图象经过，则得的判断；根据图象经过可得到、、之间的关系，从而对作判断；从图象与轴的交点在和之间可以判断的大小得出的正误．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接，．

四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的．
，
，
的最小值为．
故选：．
如图，取的中点，连接，证明，推出，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的利用勾股定理求出，可得结论．
本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，，，
，
即，
故答案为：．
根据绝对值的性质化简后，再根据两个负数，绝对值大的其值反而小判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较，熟记有理数大小比较法则是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图：

，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先利用平行线的性质可得，从而可得，然后再利用垂直定义可得，从而利用平角定义，进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，，，
，
，
，
设，
上的高为，
，
，
，
，
，整理得，
，
，
点在反比例函数图象上，
，
故答案为：．
利用矩形的性质得出，，，即可得到，求得，利用勾股定理得到，解得，从而求得，代入即可求得．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、矩形的性质，勾股定理的应用，根据矩形的性质求得是解题的关键．
 

14.【答案】  

【解析】解：等边三角形的边长为，
等边三角形的高为，
如图，连接，则为个边长为的等边三角形的一边所在的直线，
，
∽，∽，
，，
，，
点到的距离，
；
同理可求，点到的距离，
，
点到的距离，
，
，
，
．
故答案为：；．
根据等边三角形的性质求出等边三角形的高，连接，可得为个边长为的等边三角形的一边所在的直线，然后根据相似三角形对应边成比例求出，，再根据等边三角形的性质求出点到的距离，然后利用三角形的面积公式求出，依此类推求出、，再求出点到的距离，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，作辅助线得到平行线从而得到相似三角形是解题的关键．
 

15.【答案】解：如图所示：，即为所求；
如图所示：，即为所求．
 

【解析】利用平移的性质得出对应顶点的位置，进而得出答案；
利用关于轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案．
此题主要考查平移变换，得出对应点位置是解题关键．
 

16.【答案】解：原式

，
当，时，原式． 

【解析】原式括号中利用完全平方公式，平方差公式计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
 

17.【答案】解：设醇酒有瓶，则薄酒有瓶，
依题意得：，
解得：，
，
答：醇酒有瓶，薄酒有瓶． 

【解析】设醇酒有瓶，则薄酒有瓶，根据“醇酒瓶醉了位客人，薄酒瓶醉了位客人，且共醉了位客人”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出醇酒的瓶数，再将其代入中即可求出薄酒的瓶数．
本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

18.【答案】  ，；  ，   ；  ，     ；
第一行数是，，，，，，即
对于一、二两行中位置对应的数，可以发现：
第二行数是与第一行数的每一个相对应的数的平方
第三行每一个数是第二行对应的数减得到的，即为第一行数的每一个相对应的数的平方减得到．
根据规律得出：第一行数第个数为，第二行数第个数为，第三行数第个数为，
则这三个数的和为：． 

【解析】

解：根据数据变化规律得出：空格分别填：，；，；，．
故答案为：，；，；，．

【分析】首先发现数字是正整数的排列，符号奇数位置为负，偶数位置为正由此找出通项即可；
通过比较容易发现第二行数是与第一行数的每一个相对应的数的平方，第三行数是由第一行数的每一个相对应的数的平方减得到；
由求得的通项，求出相对应三行数的第个数，计算这三个数的和即可解答．
此题主要了数字变化规律，发现第一行数的特点，关键从数字与符号分析，找出通项公式，第二行与第三行同第一行比较得出通项，由此解决问题．  

19.【答案】证明：解法一：
四边形是菱形，

，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
．
解法二：
连接，
四边形是菱形，

，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】解法一：由菱形的性质和已知可得，，再证明≌即可；
解法二：连接，由菱形的性质可得，根据等边对等角得出，再证明≌即可．
本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边对等角，运用了一题多解的思路．灵活运用菱形的性质和三角形全等的判定是解题的关键．
 

20.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
半径，
是的切线；
解：作于，连接，
是圆的直径，
，
，

，
，
，
，
，
∽，
：：，
：：，
，
，
，
，，
，
：：，
，
，
是的中位线，

垂直平分，
，
是圆的直径，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
． 

【解析】由等腰三角形的性质，垂直的定义推出，得到半径，即可证明是的切线；
由条件证明∽，即可求出的长，由三角形中位线定理求出的长，由等腰直角三角形的性质求出的长，得到的长，即可解决问题．
本题考查切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，关键是掌握切线的判定方法；由相似三角形的性质求出的长．
 

21.【答案】   

【解析】解：样本容量为，
，，
故答案为：，；
补全图形如下：

人，
答：估计今年该区初三学生中，每天课外阅读小于小时的学生约有人．
先根据组人数及其对应频率求出样本容量，再根据频率频数样本容量求解可得、的值；
根据所求的值补全图形即可；
总人数乘以样本中、这组频率之和即可．
本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体．解题的关键是读懂统计图，能从频数分布表，扇形统计图中得到准确的信息．
 

22.【答案】 

【解析】解：中，对称轴为直线，，
的友好同轴二次函数中，对称轴为直线，，
，
故答案为：；
的对称轴为直线，
函数的友好同轴二次函数为，
其顶点坐标为，
当，函数最大值为，不符合题意；
当时，抛物线开口向上，
，
时，为最大值，
，
解得；
由可得其友好同轴二次函数，
抛物线，与轴交于点且对称轴为直线，
抛物线，的另一交点坐标为，
当时，抛物线开口向上，抛物线开口向上，
当或时，，或时，，时，；
当时，，抛物线开口向上，抛物线开口向下，
或时，，或时，，时，；
综上所述，当时，或时，，或时，，时，；当时，或时，，或时，，时，．
根据抛物线解析式可得抛物线中，，的值，然后根据定义求解．
求出函数且的友好同轴二次函数，分类讨论开口方向求解．
先求出的函数解析式，分类讨论，，结合图象求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是理解题意，根据已经解析式求出其友好同轴二次函数，弄清定义是解题的关键．
 

23.【答案】是 

【解析】解：将绕点旋转，与重合，点的对应点在的延长线上，

，，
四边形是正方形，
，
，
，即，
，
，，
四边形是“直等补”四边形．
故答案为：是；
证明：四边形是“直等补”四边形，，，，
，，
，
，，
，，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，，
≌，
，，
，
；
四边形是矩形，
，
≌，
，
，
设，则，
在中，，
解得：或舍去，
的长是；
周长，
当的值最小时，的周长最小，
如图，延长到点，使，连接交于点，过点作，交的延长线于点，

，
点与点关于对称，
，即，
当点与重合时，的值最小，即的周长最小，
在中，，
四边形是“直等补”四边形，
，
，
，
，
∽，
，即，
，，
，
，
周长的最小值为．
由旋转的性质可得，，根据正方形的性质得，可得出，即可得出答案；
首先证明四边形是矩形，则，，再证≌，根据全等三角形的判定和性质可得，，等量代换即可得；由，可得，设，根据勾股定理求出的值即可；
延长到点，使，连接交于点，过点作，交的延长线于点，证明∽，根据相似三角形的性质求出、的值，在中，根据勾股定理求出，即可求解．
本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第题关键在证明三角形全等，第题关键确定的位置．