初中数学第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系授课课件ppt

这是一份初中数学第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系授课课件ppt，共24页。PPT课件主要包含了导入新课，情景引入，复习引入，将二次项系数化为1，x1·x2，讲授新课，猜一猜，证一证，归纳总结，练一练等内容，欢迎下载使用。

韦达，1540 年出生于法国的波亚图，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.    历史上流传着一个有关韦达的趣事: 有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战. 国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外 22 个正数解(他舍弃了另外 22 个负数解). 消息传开，数学界为之震惊. 同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来. 他发现了方程根与系数的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”).
(1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0；(3) 2x2 + 3x + 1 = 0.
想一想 方程的两根 x1 和 x2 与系数 a，b，c 有什么关系？
算一算 解下列方程并完成填空：
x1 + x2 = ？
（1）一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
重要发现方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式
(x - x1)(x - x2) = 0
x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0
x2 + px + q = 0
x1 + x2 = -p， x1·x2 = q
（2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，那么，你可以发现什么结论？
注：b2 - 4ac≥0↗
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么
满足上述关系的前提条件
b2 - 4ac≥0.
例1 利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2 – 6x – 15 = 0；
解： a = 1，b = – 6， c = – 15. Δ = b2 - 4ac = ( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = - 15.
（2）3x2 + 7x - 9 = 0；
解：a = 3，b = 7，c = -9.
Δ = b2 − 4ac = 72 – 4×3×( − 9 ) = 157 > 0，
∴ 方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
（3） 5x – 1 = 4x2.
解：方程可化为 4x2 – 5x + 1 = 0. a = 4，b = – 5，c = 1. Δ = b2 − 4ac = ( – 5 )2 – 4 × 4 ×1 = 9 > 0. ∴ 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = ，x1 x2 = .
在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判断是否 Δ≥0，如是则代入 a、b、c 的值即可.
例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值.
解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2. 所以 x1·x2 = 2x2 = ， 即 x2 = 由于 x1 + x2 = 2 + = ， 解得 k = -7.答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7.
变式：已知关于 x 的方程 3x2 - 18x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值.
解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1= 1. 所以 x1 + x2 = 1 + x2 = 6， 即 x2 = 5 . 由于 x1·x2 = 1×5 = ， 解得 m = 15.答：方程的另一个根是 5，m 的值为 15.
例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知
设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则(1) x1 + x2 = ； (2) x1·x2 = ；(3) ； (4) .
求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.
例4 设 x1，x2 是方程 x2 - 2(k - 1)x + k2 = 0 的两个实数根，且 x12 + x22 = 4，求 k 的值.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = 4(k - 1)2 - 4k2≥0， 即 -8k + 4≥0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - 1)，x1 x2 = k2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k - 1)2 - 2k2 = 2k2 - 8k + 4 = 4. 解得 k1 = 0，k2 = 4. ∵ ，∴ k = 0.
根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足 Δ≥0 .
2. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -2 和 1，则 p = ，q = .
3. 已知关于 x 的方程 3x2 - 19x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值.
解：将 x = 1 代入方程中，得 3 - 19 + m = 0. 解得 m = 16. 设另一个根为 x1，则 1 · x1 = ∴ x1 =
4. 已知 x1，x2 是方程 2x2 + 2kx + k - 1 = 0的两个根，且(x1 + 1)(x2 + 1) = 4. （1）求 k 的值； （2）求 (x1 - x2)2 的值.
解：(1) 根据根与系数的关系，得 ∴ (x1 + 1)(x2 + 1) = x1x2 + (x1 + x2) + 1 = 解得 k = -7.
(2) ∵ k = -7，∴则
5. 设 x1，x2 是方程 3x2 + 4x -3 = 0 的两个根. 利用根与系数之间的关系，求下列各式的值.(1) (x1 + 1)(x2 + 1)； (2)
解：由根与系数的关系，得（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 =（2）
6. 当 k 为何值时，方程 2x2 - kx + 1 = 0 的两根之差为 1？
解：设方程两根分别为 x1，x2 (x1 > x2)，则 x1 - x2 = 1. 由方程有两个实数根，得 Δ = k2-8≥0，即 k2≥8.
∵ (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 1，
7. 已知关于 x 的一元二次方程 mx2 - 2mx + m - 2 = 0. （1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； （2）若方程两根 x1，x2 满足 |x1 - x2| = 1，求 m 的值.
解：（1）∵方程有实数根， ∴ Δ = (-2m)2 - 4m(m - 2) = 4m2 - 4m2 + 8m = 8m≥0. ∵ m ≠ 0 ∴ m 的取值范围是 m＞0.
（2）由根与系数的关系得
解得 m = 8，符合题意.
∵ |x1 - x2| = 1，