初中数学华师大版八年级下册1. 方差学案

20.3 数据的离散程度

1.方差 

2.用计算器求方差

学习目标：1.理解方差的概念和计算公式的形成过程.

              2.掌握方差的计算公式并会用方差比较两组数据波动的大小.

自主学习

一、知识链接

1．某学校初三（一）班甲、乙两名同学参加最近5次数学测试的成绩(单位：分)，统计如下：

甲：65  94  95  98  98

乙：62  71  98  99  100

(1)分别写出甲、乙成绩的平均数和中位数.

(2)写出甲、乙两名同学所有测试成绩的众数.

合作探究

一、探究过程

探究点1：方差的意义

甲、乙两名射击手现要挑选一名射击手参加比赛.若你是教练，你认为挑选哪一位比较适宜？

甲、乙两名射击手的测试成绩统计如下：

(1)请分别计算两名射手的平均成绩；

(2)请根据这两名射击手的成绩在下图中画出折线统计图；

(3)现要挑选一名射击手参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪一位比较适宜？为什么？

思考：上题中谁的稳定性好，应以什么数据来衡量？

1.怎样的指标能反映一组数据与其平均数的离散程度？

（1）甲射击每次成绩与平均成绩的差的和：                        

（2）乙射击每次成绩与平均成绩的差的和：                        

2.依据求和的结果不能比较两组数据围绕其平均数的波动情况，所以我们设计以下新的计算方案：

（1）甲射击每次成绩与平均成绩的差的平方和：                        

（2）乙射击每次成绩与平均成绩的差的平方和：                        

上述各差的平方和的大小还与什么有关？——与射击次数有关！所以要进一步用各差的平方的平均数来衡量数据的稳定性.

【要点归纳】1.方差的定义：设一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x－x)、 (x－x) 、… (x－x) ，那么我们用它们的平均数，即用表示一组数据偏离平均值的情况.这个结果称为方差.

2.计算方差的步骤可概括为“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”.

3.方差用来衡量一批数据的波动大小.方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.

例1 如图所示为3月22日至27日间，我区每日最高气温与最低气温的变化情况．

（1）最低气温的中位数是　     　℃；3月24日的温差是　    　℃；

（2）分别求出3月22日至27日间的最高气温的平均数、最低气温的平均数；

（3）分别计算最高气温和最低气温的方差，波动较小是最高气温还是最低气温？

【针对训练】1. 某公司对两名业务主管上半年六个月的工作业绩考核评分如下(每个月满分为10分)：

甲：5　6　8　7　9　7     乙：3　6　7　9　10　7

(1)分别求出甲、乙两人的平均得分；

(2)根据所学方差知识，请你比较谁的工作业绩较稳定．

探究点2：方差的应用

例2在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续高低不等的台阶.如图是其中甲、乙两段台阶路的示意图(图中数字表示每一阶的高度，单位：cm).哪段台阶路走起来更舒服？为什么？

分析：计算出台阶的方差，比较方差的大小，方差小的走起来的舒服.

二、课堂小结

当堂检测

1.人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：，, ，则成绩较为稳定的班级是（     ）

A.甲班        B.乙班          C.两班成绩一样稳定      D.无法确定

2.在样本方差的计算公式中， 数字10 表示___________ ，数字20表示 _______. 

3.小凯同学参加数学竞赛训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示，则他这五次成绩的方差为           ．

4.五个数1，3，a，5，8的平均数是4，则a =_____，这五个数的方差为_____.

5.水果销售公司去年3至8月销售吐鲁番葡萄、哈密大枣两种水果．如图是两种水果销售情况的折线统计图．

(1)分别求这两种水果销售量的平均数和方差；

(2)请你从以下两个不同的方面对这两种水果的销售情况进行分析：

①根据平均数和方差分析；

②根据折线图上两种水果的销售量趋势分析.

参考答案

自主学习

一、知识链接

1. 甲的成绩的平均数：90分；中位数：95分.     乙的成绩的平均数：86分；中位数：98分.

2. 甲的成绩的众数：98分.   乙的成绩五次都不一样，故没有众数.

合作探究

一、探究过程

探究点1：

解：(1)甲的平均成绩：（环）；乙的平均成绩：（环）.

(2)图略.

(3)挑选甲比较合适.甲的成绩更稳定.

思考：1.(1) (-1)+0+0+0+1=0    (2)2+(-2)+2+(-2)+0=0

2. (1)(-1)2+12 =2     (2) 22+(-2)2+22+(-2)2 =16

【要点归纳】

【典例精析】

例1  解：（1）6.5     14

（2）最高气温的平均数：×（18+12+15+12+11+16）＝14（℃）；

最低气温的平均数：×（7+8+1+6+6+8）＝6（℃）．

即3月22日至27日间的最高气温的平均数是14℃，最低气温的平均数是6℃.

（3）∵最高气温和最低气温的方差分别为6.33、5.67，

而6.33＞5.67，∴波动较小的是最低气温．

【针对训练】1.解：（1）甲的平均分为（分）；

乙的平均分为（分）.

（2）甲的方差：；

乙的方差：.

<5，故甲的工作业绩比较稳定.

探究点2：

例2 解：甲的平均数为（cm）；

乙的平均分为（cm）.

甲的方差：；

乙的方差：.

，故甲段台阶走起来更舒服.

二、课堂小结

    波动大小   平均值    越大    越小

当堂检测

1. B      2. 样本容量     平均值      3. 100     4. 3   5.6

5. 解：(1)吐鲁番葡萄＝(4＋8＋5＋8＋10＋13)÷6＝8（吨），s＝[(4－8)2＋(8－8)2＋…＋(13－8)2]÷6＝9；

哈密大枣＝(8＋7＋9＋7＋10＋7)÷6＝8（吨），s＝[(8－8)2＋(7－8)2＋…＋(7－8)2]÷6＝.

(2) ①∵吐鲁番葡萄＝哈密大枣，∴吐鲁番葡萄和哈密大枣的销售情况接近.∵s＞s，

∴哈密大枣的销售情况较稳定；

②∵吐鲁番葡萄的销售情况的折线呈上升趋势，而哈密大枣的销售情况的折线呈下降趋势，

∴从折线图上看两种水果销售量的趋势，吐鲁番葡萄的销售情况较好．