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2023年福建省泉州市石狮市中考数学质检试卷(含答案)
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这是一份2023年福建省泉州市石狮市中考数学质检试卷(含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年福建省泉州市石狮市中考数学质检试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题意.）
1．（4分）﹣2023的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．2023 D．﹣2023
2．（4分）下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）中国第三艘航空母舰命名为“中国人民解放军海军福建舰”，福建舰是中国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量约80000吨．数据80000用科学记数法表示为（ ）
A．0.8×104 B．80×103 C．8×104 D．8×105
4．（4分）如图所给几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）下列运算结果为a9的是（ ）
A．a3+a3 B．a3•a3 C．a18÷a2 D．（a3）3
6．（4分）不等式组的解集为（ ）
A．x＜﹣3 B．x≤﹣2 C．x≥﹣2 D．﹣3＜x≤﹣2
7．（4分）学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）
甲
乙
丙
丁
平均数
7
8
8
7
方差
1
1
1.2
1.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（4分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．|a|＜|b| B．a＞﹣b C．﹣a＞b D．﹣b＞﹣1
9．（4分）如图，线段AB、CD分别表示甲、乙建筑物的高，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，两座建筑物间的距离BD为40m．若甲建筑物的高AB为20m，在点A处测得点C的仰角α为25°，则乙建筑物的高CD约为（ ）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）
A．36.8m B．38.8m C．40.8m D．56.4m
10．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，将该二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线y＝﹣x+m与新图象有3个交点时，m的值为（ ）
A．﹣1 B．5 C．3或 D．3或
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：x2﹣4y2＝ ．
12．（4分）在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE．若BC＝8，则DE的长为 ．
13．（4分）一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是 ．
14．（4分）某家长应邀参加孩子就读中学举行的九年级教学开放日活动，他打算在该天上午随机听一节课．如表是当天上午九年级的课表，如果每一个班级的每一节课被听的可能性是一样的，则他听数学课的概率是 ．
节次
1班
2班
3班
4班
第1节
语文
数学
外语
化学
第2节
数学
政治
物理
语文
第3节
物理
化学
体育
数学
第4节
外语
语文
政治
体育
15．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的两条对角线相交于点D，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．若反比例函数的图象经过点D，则矩形ABCO的面积为 ．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E在边AD上，连接BE．作点A关于BE的对称点F，连接EF、BF、DF．现给出以下4个结论：①BE平分∠ABF；②菱形ABCD的面积等于；③△DEF周长的最小值为；④当EF⊥AD时，，其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，延长边DA至点E，使得AE＝AD，连接CE交AB于点F，求证：△AEF≌△BCF．
19．（8分）解分式方程：﹣＝
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE＝CF．
（1）求证：点C是的中点；
（2）若∠EAB＝60°，OA＝6，求图中阴影部分的面积．
21．（8分）为了鼓励更多的学生参与社区志愿者服务，甲、乙两所学校举办了志愿服务团队选拔活动．经过初选，两所学校各有200名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩x分（x为整数），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：甲学校学生成绩的频数分布直方图如图所示（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100），乙学校学生成绩的情况如表所示：
平均数
中位数
众数
82.3
79.5
78
（1）若每所学校综合素质展示成绩不少于80分的学生将入选志愿服务团队，根据调查结果，估计甲学校200名学生中可以入选志愿服务团队的人数；
（2）在各校抽取的50名学生中，甲学校学生A、乙学校学生B的综合素质展示成绩同为79分，如果按照成绩从高到低进行排名（成绩高的排名在前），请判断A、B在各自学校所抽取出来的50名学生中的综合素质展示排名谁更靠前？并说明理由．
22．（10分）某污水处理厂有新、旧两套设备，新设备每天的污水处理量比旧设备多40吨，新设备20天处理的污水比旧设备30天处理的污水少1800吨．
（1）求旧设备每天的污水处理量；
（2）该厂先用新设备处理污水，因保养需要，几天后需改用旧设备处理污水，一共用了30天，且新设备的天数不多于旧设备天数的两倍，求新、旧两套设备这30天处理污水的最大量．
23．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，⊙B交BC于点M．
（1）在上求作一点E，使得BE⊥CE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，延长线段CE交AD于点F，若AF：DF＝1：3，求sin∠ECB的值．
24．（13分）在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE（点B的对应点是点D，且0°＜∠BAD＜180°），射线DE与直线CB交于点M．
（1）如图1，当∠BAD＝90°时，求证：四边形ADMB是正方形；
（2）如图2，当点D在线段CA的延长线上时，若AB＝1，AC＝3，求线段ME的长；
（3）如图3，过点A作AN∥DE，交线段CB于点N，AN平分∠CAE，试探索：CN与MN的数量关系，并说明理由．
25．（13分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，对称轴为直线x＝1．已知点P（1，0），点C是y轴负半轴上一点，直线l经过P、C两点，且与抛物线交于A、B两点（点A在线段CB上）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PB＝2PC，求点A的坐标；
（3）记，判断m是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
2023年福建省泉州市石狮市中考数学质检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题意.）
1．（4分）﹣2023的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．2023 D．﹣2023
【分析】根据相反数定义直接求值即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，﹣2023的相反数是2023．
故选：C．
【点评】本题考查相反数定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．
2．（4分）下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】观察四个选项中的图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键．
3．（4分）中国第三艘航空母舰命名为“中国人民解放军海军福建舰”，福建舰是中国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量约80000吨．数据80000用科学记数法表示为（ ）
A．0.8×104 B．80×103 C．8×104 D．8×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将80000用科学记数法表示为：8×104．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）如图所给几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图的定义判断即可．
【解答】解：圆锥的俯视图是．
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
5．（4分）下列运算结果为a9的是（ ）
A．a3+a3 B．a3•a3 C．a18÷a2 D．（a3）3
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：∵a3+a3≠a9，
∴选项A不符合题意；
∵a3•a3＝a6，
∴选项B不符合题意；
∵a18÷a2＝a16，
∴选项C不符合题意；
∵（a3）3＝a9，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，掌握同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则是解决问题的关键．
6．（4分）不等式组的解集为（ ）
A．x＜﹣3 B．x≤﹣2 C．x≥﹣2 D．﹣3＜x≤﹣2
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x＞﹣3，
由②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集为x≥﹣2．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
7．（4分）学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）
甲
乙
丙
丁
平均数
7
8
8
7
方差
1
1
1.2
1.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定，于是可决定选乙组去参赛．
【解答】解：∵乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，
∴应从乙和丙组中选，
∵乙组的方差比丙组的小，
∴乙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是乙组；
故选：B．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
8．（4分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．|a|＜|b| B．a＞﹣b C．﹣a＞b D．﹣b＞﹣1
【分析】根据数轴所示的点的位置，利用绝对值及相反数的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、由图得，a与原点的距离大于b与原点的距离，∴|a|＞|b|，故A不正确；
B、∵1＜b＜2，∴﹣2＜﹣b＜﹣1，∴a＜﹣b，故B不正确；
C、∵﹣3＜a＜﹣2，∴2＜﹣a＜3，∴﹣a＞b，故C正确；
D、∵1＜b＜2，∴﹣2＜﹣b＜﹣1，∴﹣b＜﹣1，故B不正确；
故选：C．
【点评】本题考查了利用数轴比较点的大小，绝对值及相反数的性质是解题关键．
9．（4分）如图，线段AB、CD分别表示甲、乙建筑物的高，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，两座建筑物间的距离BD为40m．若甲建筑物的高AB为20m，在点A处测得点C的仰角α为25°，则乙建筑物的高CD约为（ ）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）
A．36.8m B．38.8m C．40.8m D．56.4m
【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据题意可得：AB＝ED＝20m，AE＝BD＝40m，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
由题意得：AB＝ED＝20m，AE＝BD＝40m，
在Rt△AEC中，∠CAE＝25°，
∴CE＝AE•tan25°≈40×0.47＝18.8（m），
∴CD＝CE+DE＝18.8+20＝38.8（m），
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，将该二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线y＝﹣x+m与新图象有3个交点时，m的值为（ ）
A．﹣1 B．5 C．3或 D．3或
【分析】如图所示，直线在图示位置时，直线与新图象有3个交点，即可求解．
【解答】解：如图所示，直线在图示位置时，直线与新图象有3个交点，
y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x＝3或﹣1，则点A（3，0），
将点A的坐标代入y＝﹣x+m并解得：m＝3，
二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，对应的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
联立y＝﹣x2+2x+3、y＝﹣x+m并整理得：﹣x2+3x+3﹣m＝0，
Δ＝9+4（3﹣m）＝0，
解得：m＝，
由图可以看出：
当m＝3或时，直线y＝x+m与这个新图象有三个交点，
故选：D．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：x2﹣4y2＝ （x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
12．（4分）在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE．若BC＝8，则DE的长为 4 ．
【分析】由在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后由三角形中位线的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE＝BC，
∵BC＝8，
∴DE＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了三角形中位线的性质，注意掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
13．（4分）一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是 10 ．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式和外角和定理，列出方程求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
（n﹣2）•180°＝4×360°，
解得n＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和，关键是熟练掌握多边形的内角和公式与外角和定理．
14．（4分）某家长应邀参加孩子就读中学举行的九年级教学开放日活动，他打算在该天上午随机听一节课．如表是当天上午九年级的课表，如果每一个班级的每一节课被听的可能性是一样的，则他听数学课的概率是 ．
节次
1班
2班
3班
4班
第1节
语文
数学
外语
化学
第2节
数学
政治
物理
语文
第3节
物理
化学
体育
数学
第4节
外语
语文
政治
体育
【分析】根据概率公式可得答案．
【解答】解：由表可知，当天上午九年级的课表中听一节课有16种等可能结果，其中听数学课的有3种可能，
∴听数学课的可能性是．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的两条对角线相交于点D，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．若反比例函数的图象经过点D，则矩形ABCO的面积为 4 ．
【分析】过D作DE⊥OA，DF⊥OC，易得矩形OABC的面积是矩形OEDF面积的4倍，由反比例函数的几何意义得到矩形OEDF面积是1，所以得矩形OABC的面积是4．
【解答】解：过D作DE⊥OA，DF⊥OC，
∴四边形OEDF是矩形，
∵四边形OABC是矩形，
∴D是AC中点，
易得E、F分别是OA、OC中点，
∴矩形OABC的面积是矩形OEDF面积的4倍，
∵反比例函数的k＝1，
∴S矩形ODEF＝|k|＝1，
∴矩形ABCO的面积为4×1＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，矩形性质的应用是解题关键．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E在边AD上，连接BE．作点A关于BE的对称点F，连接EF、BF、DF．现给出以下4个结论：①BE平分∠ABF；②菱形ABCD的面积等于；③△DEF周长的最小值为；④当EF⊥AD时，，其中正确的是 ①③④ ．（写出所有正确结论的序号）
【分析】①正确，利用全等三角形的判定和性质证明；
②错误，通过计算可知菱形ABCD的面积为2；
③正确．首先证明ED+DE＝2，再求出DF的最小值，可得结论；
④正确．过点B作BT⊥DA交DA的延长线于点T，求出ET，AT，可得结论．
【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O．
由翻折变换的性质可知BA＝BF，EA＝EF，
在△ABF和△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（SSS），
∴∠ABE＝∠FBE，
∴BE平分∠ABF，故①正确，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴S菱形ABCD＝2××22＝2，故②错误，
与翻折变换的性质可知AB＝BF＝2，AE＝EF，
∴DE+EF＝DE+AE＝AD＝2，
∴DF最小时，△DEF的周长最小，
∵∠ABO＝∠ABC＝30°，
∴OB＝OD＝AB•cos30°＝，
∴BD＝2，
∵DF≥BD﹣BF＝2﹣2，
∴DF的最小值为2﹣2，
∴△DEF的周长的最小值为2﹣2+2＝2，故③正确，
当AE⊥EF时，过点B作BT⊥DA交DA的延长线于点T，
∴AT＝AB•cos60°＝1，BT＝AB•sin60°＝，
∵∠BET＝∠BEF＝45°，
∴∠TBE＝∠BET＝45°，
∴TB＝TE＝，
∴AE＝TE﹣AT＝﹣1，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17．（8分）计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝3﹣2+﹣1
＝2﹣．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，延长边DA至点E，使得AE＝AD，连接CE交AB于点F，求证：△AEF≌△BCF．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，根据平行线的性质得到∠E＝∠BCF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD＝BC，
∴∠E＝∠BCF，
∵AE＝AD，
∴AE＝BC，
在△AEF与△BCF中，
，
∴△AEF≌△BCF（AAS）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
19．（8分）解分式方程：﹣＝
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：6﹣x＝x﹣2，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE＝CF．
（1）求证：点C是的中点；
（2）若∠EAB＝60°，OA＝6，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）由CF⊥AB，CE⊥AD，CE＝CF，得到∠DAC＝∠BAC，即可证明＝；
（2）连接OD，由∠EAB＝60°，OD＝OA＝6，推出△OAD是等边三角形，得到∠AOD＝60°，求出扇形OAD的面积，△OAD的面积，即可求出阴影的面积．
【解答】（1）证明：∵CF⊥AB，CE⊥AD，CE＝CF，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴＝，
∴点C是的中点；
（2）解：连接OD，
∵∠EAB＝60°，OD＝OA＝6，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴扇形OAD的面积＝＝6π，△OAD的面积＝OA2＝9，
∴阴影部分的面积＝扇形OAD的面积﹣△OAD的面积＝6π﹣9．
【点评】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理，等边三角形的性质，角平分线性质定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
21．（8分）为了鼓励更多的学生参与社区志愿者服务，甲、乙两所学校举办了志愿服务团队选拔活动．经过初选，两所学校各有200名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩x分（x为整数），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：甲学校学生成绩的频数分布直方图如图所示（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100），乙学校学生成绩的情况如表所示：
平均数
中位数
众数
82.3
79.5
78
（1）若每所学校综合素质展示成绩不少于80分的学生将入选志愿服务团队，根据调查结果，估计甲学校200名学生中可以入选志愿服务团队的人数；
（2）在各校抽取的50名学生中，甲学校学生A、乙学校学生B的综合素质展示成绩同为79分，如果按照成绩从高到低进行排名（成绩高的排名在前），请判断A、B在各自学校所抽取出来的50名学生中的综合素质展示排名谁更靠前？并说明理由．
【分析】（1）根据频数分布直方图得出甲学校综合素质展示成绩不少于80分的学生所占的百分比，再根据频率＝进行计算即可；
（2）根据甲校、乙校学生成绩的中位数进行判断即可．
【解答】解：（1）200×＝112（人），
答：甲学校200名学生中可以入选志愿服务团队的人数大约有112人；
（2）甲校50名学生成绩的中位数在80分以上，而乙校学生成绩的中位数是79.5，
因此乙校学生B的排名靠前．
【点评】本题考查频数分布直方图，中位数，理解样本估计总体，掌握频率＝以及中位数的计算方法是正确解答的前提．
22．（10分）某污水处理厂有新、旧两套设备，新设备每天的污水处理量比旧设备多40吨，新设备20天处理的污水比旧设备30天处理的污水少1800吨．
（1）求旧设备每天的污水处理量；
（2）该厂先用新设备处理污水，因保养需要，几天后需改用旧设备处理污水，一共用了30天，且新设备的天数不多于旧设备天数的两倍，求新、旧两套设备这30天处理污水的最大量．
【分析】（1）设旧设备每天处理污水x吨，根据新设备20天处理的污水比旧设备30天处理的污水少1800吨得：20（x+40）+1800＝30x，即可解得答案；
（2）设新设备处理污水m天，由新设备的天数不多于旧设备天数的两倍，可得：m≤20，而新、旧两套设备这30天处理污水（260+40）m+260（30﹣m）＝40m+7800，即可求出答案．
【解答】解：（1）设旧设备每天处理污水x吨，则新设备每天处理污水（x+40）吨，
根据题意得：20（x+40）+1800＝30x，
解得：x＝260，
答：旧设备每天处理污水260吨；
（2）设新设备处理污水m天，则旧设备处理污水（30﹣m）天，
∵新设备的天数不多于旧设备天数的两倍，
∴m≤2（30﹣m），
解得：m≤20，
∴新、旧两套设备这30天处理污水（260+40）m+260（30﹣m）＝40m+7800，
∴当m＝20时，处理污水的最大量为40×20+7800＝8600（吨），
答：新、旧两套设备这30天处理污水的最大量为8600吨．
【点评】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
23．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，⊙B交BC于点M．
（1）在上求作一点E，使得BE⊥CE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，延长线段CE交AD于点F，若AF：DF＝1：3，求sin∠ECB的值．
【分析】（1）以BC为直径作⊙O交⊙B于点E，连接BE即可；
（2）设AB＝r，BC＝a．利用勾股定理求出a，r的关系式，可得结论．
【解答】解：（1）如图所示，点E就是所求作的点，
（2）如图，设AB＝r，BC＝a．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D＝90°，AD＝BC＝a，AB＝DC＝BE＝r，
∴∠BCE＝∠CFD，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC＝∠D＝90°，
在△FDC和△CEB中，
，
∴△FDC≌△CEB（AAS），
∴DF＝EC，
由勾股定理，得：CE2＝BC2﹣BE2＝a2﹣r2，
∴DF2＝a2﹣r2．
∵AF：DF＝1：3，
∴，
∴，
∴7a2＝16r2，
∴，
∴．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，矩形的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
24．（13分）在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE（点B的对应点是点D，且0°＜∠BAD＜180°），射线DE与直线CB交于点M．
（1）如图1，当∠BAD＝90°时，求证：四边形ADMB是正方形；
（2）如图2，当点D在线段CA的延长线上时，若AB＝1，AC＝3，求线段ME的长；
（3）如图3，过点A作AN∥DE，交线段CB于点N，AN平分∠CAE，试探索：CN与MN的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由内错角相等，两直线平行可得AD∥BM，由旋转可知∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝AD，于是得到∠DMB＝90°＝∠ABC，进而得出AB∥DM，由对边互相平行的四边形是矩形，再根据对边相等，且一个角为直角的平行四边形为正方形即可求解；
（2）根据勾股定理可求出BC＝，由旋转可知AB＝AD＝1，BC＝DE＝，∠ABC＝∠ADE＝90°，则CD＝4，＝，易证△ABC∽△MDC，根据相似三角形的性质求出DM的长，则ME＝DE﹣DM；
（3）连接AM，由角平分线的定义和平行线的性质可得∠NAE＝∠E＝∠CAN，由旋转可知，∠C＝∠E，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE＝90°，则∠C＝∠CAN，进而得到CN＝AN，可通过HL证明Rt△ABM≌Rt△ADM，得到∠AMB＝∠AMD，由平行线的性质可得∠NAM＝∠AMD，于是∠NAM＝∠AMB，则MN＝AN，以此即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝90°，∠ABC＝90°，
∴AD∥BC，即AD∥BM，
由旋转可知，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝AD，
∴∠DMB＝90°＝∠ABC，
∴AB∥DM，
∴四边形ADMB为平行四边形，
∵AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴四边形ADMB为正方形；
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝1，AC＝3，
∴BC＝＝＝，
由旋转可知，AB＝AD＝1，BC＝DE＝，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴CD＝AC+AD＝3+1＝4，＝，
∵∠ABC＝∠MDC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△MDC，
∴＝，
∴，
∴DM＝，
∴ME＝DE﹣DM＝﹣＝；
（3）解：CN＝MN，理由如下：
如图，连接AM，
∵AN平分∠CAE，
∴∠CAN＝∠EAN，
∵AN∥DE，
∴∠NAE＝∠E＝∠CAN，
由旋转可知，∠C＝∠E，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴∠C＝∠CAN，
∴CN＝AN，
在Rt△ABM和Rt△ADM中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△ADM（HL），
∴∠AMB＝∠AMD，
∵AN∥DE，
∴∠NAM＝∠AMD，
∴∠NAM＝∠AMB，
∴MN＝AN，
∴MN＝CN．
【点评】本题主要考查旋转的性质、正方形的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟知旋转的性质是解题关键．旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形状没有改变；旋转中心是唯一不动的点；一组对应点的连线所在的直线所交的角等于旋转角度．
25．（13分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，对称轴为直线x＝1．已知点P（1，0），点C是y轴负半轴上一点，直线l经过P、C两点，且与抛物线交于A、B两点（点A在线段CB上）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PB＝2PC，求点A的坐标；
（3）记，判断m是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把（0，0）代入可得c＝0，再根据抛物线对称轴x＝﹣，可求得b＝﹣1，即可得出答案；
（2）过点B作BH⊥x轴于H，可证得△PBH∽△PCO，得出＝，由PB＝2PC，可得＝2，进而求得点B（3，），再运用待定系数法可得直线PB的解析式为y＝x﹣，联立方程组求解即可求得点A的坐标；
（3）先根据题意得出直线l的解析式为y＝kx﹣k，与抛物线解析式联立得x2﹣（2+2k）x+2k＝0，设A（xA，yA），B（xB，yB），则xA+xB＝2+2k，xA•xB＝2k，进而可得AB＝2（1+k2），OC＝k，得出m＝＝＝2（+k）＝2≥4，即m的最小值为4．
【解答】解：（1）∵抛物线经过原点，
∴c＝0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
解得：b＝﹣1，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x；
（2）如图1，过点B作BH⊥x轴于H，
则∠BHP＝∠COP＝90°，
∵∠BPH＝∠CPO，
∴△PBH∽△PCO，
∴＝，
∵PB＝2PC，P（1，0），
∴PO＝1，＝2，
∴PH＝2，
∴H（3，0），
当x＝3时，y＝x2﹣x＝×32﹣3＝，
∴点B（3，），
设直线PB的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线PB的解析式为y＝x﹣，
联立方程组，得，
解得：，，
∴A（，﹣）；
（3）设直线l的解析式为y＝kx+d，把P（1，0）代入得：k+d＝0，
∴d＝﹣k，
∴直线l的解析式为y＝kx﹣k，
联立，得：x2﹣x＝kx﹣k，
整理得：x2﹣（2+2k）x+2k＝0，
如图2，设A（xA，yA），B（xB，yB），
则xA+xB＝2+2k，xA•xB＝2k，
过点A作AM∥x轴，过点B作BM∥y轴，
则AM＝xB﹣xA，BM＝yB﹣yA＝（kxB﹣k）﹣（kxA﹣k）＝k（xB﹣xA），
∵AB2＝AM2+BM2＝（xB﹣xA）2+[k（xB﹣xA）]2＝（1+k2）（xB﹣xA）2＝（1+k2）[（xA+xB）2﹣4xA•xB]＝（1+k2）[（2+2k）2﹣4×2k]＝4（1+k2）2，
∴AB＝2（1+k2），
∵C（0，﹣k），
∴OC＝k，
∴m＝＝＝2（+k）＝2＝2≥4，
∴m存在最小值，当k＝1时，m的最小值为4．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根与系数关系，二次函数的性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/6/5 11:38:38；用户：邱清远；邮箱：sssjfsy035@xyh.com；学号：24231718
2023年福建省泉州市石狮市中考数学质检试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题意.）
1．（4分）﹣2023的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．2023 D．﹣2023
2．（4分）下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）中国第三艘航空母舰命名为“中国人民解放军海军福建舰”，福建舰是中国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量约80000吨．数据80000用科学记数法表示为（ ）
A．0.8×104 B．80×103 C．8×104 D．8×105
4．（4分）如图所给几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）下列运算结果为a9的是（ ）
A．a3+a3 B．a3•a3 C．a18÷a2 D．（a3）3
6．（4分）不等式组的解集为（ ）
A．x＜﹣3 B．x≤﹣2 C．x≥﹣2 D．﹣3＜x≤﹣2
7．（4分）学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）
甲
乙
丙
丁
平均数
7
8
8
7
方差
1
1
1.2
1.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（4分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．|a|＜|b| B．a＞﹣b C．﹣a＞b D．﹣b＞﹣1
9．（4分）如图，线段AB、CD分别表示甲、乙建筑物的高，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，两座建筑物间的距离BD为40m．若甲建筑物的高AB为20m，在点A处测得点C的仰角α为25°，则乙建筑物的高CD约为（ ）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）
A．36.8m B．38.8m C．40.8m D．56.4m
10．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，将该二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线y＝﹣x+m与新图象有3个交点时，m的值为（ ）
A．﹣1 B．5 C．3或 D．3或
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：x2﹣4y2＝ ．
12．（4分）在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE．若BC＝8，则DE的长为 ．
13．（4分）一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是 ．
14．（4分）某家长应邀参加孩子就读中学举行的九年级教学开放日活动，他打算在该天上午随机听一节课．如表是当天上午九年级的课表，如果每一个班级的每一节课被听的可能性是一样的，则他听数学课的概率是 ．
节次
1班
2班
3班
4班
第1节
语文
数学
外语
化学
第2节
数学
政治
物理
语文
第3节
物理
化学
体育
数学
第4节
外语
语文
政治
体育
15．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的两条对角线相交于点D，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．若反比例函数的图象经过点D，则矩形ABCO的面积为 ．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E在边AD上，连接BE．作点A关于BE的对称点F，连接EF、BF、DF．现给出以下4个结论：①BE平分∠ABF；②菱形ABCD的面积等于；③△DEF周长的最小值为；④当EF⊥AD时，，其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，延长边DA至点E，使得AE＝AD，连接CE交AB于点F，求证：△AEF≌△BCF．
19．（8分）解分式方程：﹣＝
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE＝CF．
（1）求证：点C是的中点；
（2）若∠EAB＝60°，OA＝6，求图中阴影部分的面积．
21．（8分）为了鼓励更多的学生参与社区志愿者服务，甲、乙两所学校举办了志愿服务团队选拔活动．经过初选，两所学校各有200名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩x分（x为整数），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：甲学校学生成绩的频数分布直方图如图所示（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100），乙学校学生成绩的情况如表所示：
平均数
中位数
众数
82.3
79.5
78
（1）若每所学校综合素质展示成绩不少于80分的学生将入选志愿服务团队，根据调查结果，估计甲学校200名学生中可以入选志愿服务团队的人数；
（2）在各校抽取的50名学生中，甲学校学生A、乙学校学生B的综合素质展示成绩同为79分，如果按照成绩从高到低进行排名（成绩高的排名在前），请判断A、B在各自学校所抽取出来的50名学生中的综合素质展示排名谁更靠前？并说明理由．
22．（10分）某污水处理厂有新、旧两套设备，新设备每天的污水处理量比旧设备多40吨，新设备20天处理的污水比旧设备30天处理的污水少1800吨．
（1）求旧设备每天的污水处理量；
（2）该厂先用新设备处理污水，因保养需要，几天后需改用旧设备处理污水，一共用了30天，且新设备的天数不多于旧设备天数的两倍，求新、旧两套设备这30天处理污水的最大量．
23．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，⊙B交BC于点M．
（1）在上求作一点E，使得BE⊥CE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，延长线段CE交AD于点F，若AF：DF＝1：3，求sin∠ECB的值．
24．（13分）在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE（点B的对应点是点D，且0°＜∠BAD＜180°），射线DE与直线CB交于点M．
（1）如图1，当∠BAD＝90°时，求证：四边形ADMB是正方形；
（2）如图2，当点D在线段CA的延长线上时，若AB＝1，AC＝3，求线段ME的长；
（3）如图3，过点A作AN∥DE，交线段CB于点N，AN平分∠CAE，试探索：CN与MN的数量关系，并说明理由．
25．（13分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，对称轴为直线x＝1．已知点P（1，0），点C是y轴负半轴上一点，直线l经过P、C两点，且与抛物线交于A、B两点（点A在线段CB上）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PB＝2PC，求点A的坐标；
（3）记，判断m是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
2023年福建省泉州市石狮市中考数学质检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题意.）
1．（4分）﹣2023的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．2023 D．﹣2023
【分析】根据相反数定义直接求值即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，﹣2023的相反数是2023．
故选：C．
【点评】本题考查相反数定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．
2．（4分）下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】观察四个选项中的图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键．
3．（4分）中国第三艘航空母舰命名为“中国人民解放军海军福建舰”，福建舰是中国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量约80000吨．数据80000用科学记数法表示为（ ）
A．0.8×104 B．80×103 C．8×104 D．8×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将80000用科学记数法表示为：8×104．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）如图所给几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图的定义判断即可．
【解答】解：圆锥的俯视图是．
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
5．（4分）下列运算结果为a9的是（ ）
A．a3+a3 B．a3•a3 C．a18÷a2 D．（a3）3
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：∵a3+a3≠a9，
∴选项A不符合题意；
∵a3•a3＝a6，
∴选项B不符合题意；
∵a18÷a2＝a16，
∴选项C不符合题意；
∵（a3）3＝a9，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，掌握同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则是解决问题的关键．
6．（4分）不等式组的解集为（ ）
A．x＜﹣3 B．x≤﹣2 C．x≥﹣2 D．﹣3＜x≤﹣2
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x＞﹣3，
由②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集为x≥﹣2．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
7．（4分）学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）
甲
乙
丙
丁
平均数
7
8
8
7
方差
1
1
1.2
1.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定，于是可决定选乙组去参赛．
【解答】解：∵乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，
∴应从乙和丙组中选，
∵乙组的方差比丙组的小，
∴乙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是乙组；
故选：B．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
8．（4分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．|a|＜|b| B．a＞﹣b C．﹣a＞b D．﹣b＞﹣1
【分析】根据数轴所示的点的位置，利用绝对值及相反数的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、由图得，a与原点的距离大于b与原点的距离，∴|a|＞|b|，故A不正确；
B、∵1＜b＜2，∴﹣2＜﹣b＜﹣1，∴a＜﹣b，故B不正确；
C、∵﹣3＜a＜﹣2，∴2＜﹣a＜3，∴﹣a＞b，故C正确；
D、∵1＜b＜2，∴﹣2＜﹣b＜﹣1，∴﹣b＜﹣1，故B不正确；
故选：C．
【点评】本题考查了利用数轴比较点的大小，绝对值及相反数的性质是解题关键．
9．（4分）如图，线段AB、CD分别表示甲、乙建筑物的高，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，两座建筑物间的距离BD为40m．若甲建筑物的高AB为20m，在点A处测得点C的仰角α为25°，则乙建筑物的高CD约为（ ）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）
A．36.8m B．38.8m C．40.8m D．56.4m
【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据题意可得：AB＝ED＝20m，AE＝BD＝40m，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
由题意得：AB＝ED＝20m，AE＝BD＝40m，
在Rt△AEC中，∠CAE＝25°，
∴CE＝AE•tan25°≈40×0.47＝18.8（m），
∴CD＝CE+DE＝18.8+20＝38.8（m），
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，将该二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线y＝﹣x+m与新图象有3个交点时，m的值为（ ）
A．﹣1 B．5 C．3或 D．3或
【分析】如图所示，直线在图示位置时，直线与新图象有3个交点，即可求解．
【解答】解：如图所示，直线在图示位置时，直线与新图象有3个交点，
y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x＝3或﹣1，则点A（3，0），
将点A的坐标代入y＝﹣x+m并解得：m＝3，
二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，对应的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
联立y＝﹣x2+2x+3、y＝﹣x+m并整理得：﹣x2+3x+3﹣m＝0，
Δ＝9+4（3﹣m）＝0，
解得：m＝，
由图可以看出：
当m＝3或时，直线y＝x+m与这个新图象有三个交点，
故选：D．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：x2﹣4y2＝ （x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
12．（4分）在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE．若BC＝8，则DE的长为 4 ．
【分析】由在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后由三角形中位线的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE＝BC，
∵BC＝8，
∴DE＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了三角形中位线的性质，注意掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
13．（4分）一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是 10 ．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式和外角和定理，列出方程求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
（n﹣2）•180°＝4×360°，
解得n＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和，关键是熟练掌握多边形的内角和公式与外角和定理．
14．（4分）某家长应邀参加孩子就读中学举行的九年级教学开放日活动，他打算在该天上午随机听一节课．如表是当天上午九年级的课表，如果每一个班级的每一节课被听的可能性是一样的，则他听数学课的概率是 ．
节次
1班
2班
3班
4班
第1节
语文
数学
外语
化学
第2节
数学
政治
物理
语文
第3节
物理
化学
体育
数学
第4节
外语
语文
政治
体育
【分析】根据概率公式可得答案．
【解答】解：由表可知，当天上午九年级的课表中听一节课有16种等可能结果，其中听数学课的有3种可能，
∴听数学课的可能性是．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的两条对角线相交于点D，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．若反比例函数的图象经过点D，则矩形ABCO的面积为 4 ．
【分析】过D作DE⊥OA，DF⊥OC，易得矩形OABC的面积是矩形OEDF面积的4倍，由反比例函数的几何意义得到矩形OEDF面积是1，所以得矩形OABC的面积是4．
【解答】解：过D作DE⊥OA，DF⊥OC，
∴四边形OEDF是矩形，
∵四边形OABC是矩形，
∴D是AC中点，
易得E、F分别是OA、OC中点，
∴矩形OABC的面积是矩形OEDF面积的4倍，
∵反比例函数的k＝1，
∴S矩形ODEF＝|k|＝1，
∴矩形ABCO的面积为4×1＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，矩形性质的应用是解题关键．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E在边AD上，连接BE．作点A关于BE的对称点F，连接EF、BF、DF．现给出以下4个结论：①BE平分∠ABF；②菱形ABCD的面积等于；③△DEF周长的最小值为；④当EF⊥AD时，，其中正确的是 ①③④ ．（写出所有正确结论的序号）
【分析】①正确，利用全等三角形的判定和性质证明；
②错误，通过计算可知菱形ABCD的面积为2；
③正确．首先证明ED+DE＝2，再求出DF的最小值，可得结论；
④正确．过点B作BT⊥DA交DA的延长线于点T，求出ET，AT，可得结论．
【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O．
由翻折变换的性质可知BA＝BF，EA＝EF，
在△ABF和△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（SSS），
∴∠ABE＝∠FBE，
∴BE平分∠ABF，故①正确，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴S菱形ABCD＝2××22＝2，故②错误，
与翻折变换的性质可知AB＝BF＝2，AE＝EF，
∴DE+EF＝DE+AE＝AD＝2，
∴DF最小时，△DEF的周长最小，
∵∠ABO＝∠ABC＝30°，
∴OB＝OD＝AB•cos30°＝，
∴BD＝2，
∵DF≥BD﹣BF＝2﹣2，
∴DF的最小值为2﹣2，
∴△DEF的周长的最小值为2﹣2+2＝2，故③正确，
当AE⊥EF时，过点B作BT⊥DA交DA的延长线于点T，
∴AT＝AB•cos60°＝1，BT＝AB•sin60°＝，
∵∠BET＝∠BEF＝45°，
∴∠TBE＝∠BET＝45°，
∴TB＝TE＝，
∴AE＝TE﹣AT＝﹣1，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17．（8分）计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝3﹣2+﹣1
＝2﹣．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，延长边DA至点E，使得AE＝AD，连接CE交AB于点F，求证：△AEF≌△BCF．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，根据平行线的性质得到∠E＝∠BCF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD＝BC，
∴∠E＝∠BCF，
∵AE＝AD，
∴AE＝BC，
在△AEF与△BCF中，
，
∴△AEF≌△BCF（AAS）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
19．（8分）解分式方程：﹣＝
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：6﹣x＝x﹣2，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE＝CF．
（1）求证：点C是的中点；
（2）若∠EAB＝60°，OA＝6，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）由CF⊥AB，CE⊥AD，CE＝CF，得到∠DAC＝∠BAC，即可证明＝；
（2）连接OD，由∠EAB＝60°，OD＝OA＝6，推出△OAD是等边三角形，得到∠AOD＝60°，求出扇形OAD的面积，△OAD的面积，即可求出阴影的面积．
【解答】（1）证明：∵CF⊥AB，CE⊥AD，CE＝CF，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴＝，
∴点C是的中点；
（2）解：连接OD，
∵∠EAB＝60°，OD＝OA＝6，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴扇形OAD的面积＝＝6π，△OAD的面积＝OA2＝9，
∴阴影部分的面积＝扇形OAD的面积﹣△OAD的面积＝6π﹣9．
【点评】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理，等边三角形的性质，角平分线性质定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
21．（8分）为了鼓励更多的学生参与社区志愿者服务，甲、乙两所学校举办了志愿服务团队选拔活动．经过初选，两所学校各有200名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩x分（x为整数），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：甲学校学生成绩的频数分布直方图如图所示（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100），乙学校学生成绩的情况如表所示：
平均数
中位数
众数
82.3
79.5
78
（1）若每所学校综合素质展示成绩不少于80分的学生将入选志愿服务团队，根据调查结果，估计甲学校200名学生中可以入选志愿服务团队的人数；
（2）在各校抽取的50名学生中，甲学校学生A、乙学校学生B的综合素质展示成绩同为79分，如果按照成绩从高到低进行排名（成绩高的排名在前），请判断A、B在各自学校所抽取出来的50名学生中的综合素质展示排名谁更靠前？并说明理由．
【分析】（1）根据频数分布直方图得出甲学校综合素质展示成绩不少于80分的学生所占的百分比，再根据频率＝进行计算即可；
（2）根据甲校、乙校学生成绩的中位数进行判断即可．
【解答】解：（1）200×＝112（人），
答：甲学校200名学生中可以入选志愿服务团队的人数大约有112人；
（2）甲校50名学生成绩的中位数在80分以上，而乙校学生成绩的中位数是79.5，
因此乙校学生B的排名靠前．
【点评】本题考查频数分布直方图，中位数，理解样本估计总体，掌握频率＝以及中位数的计算方法是正确解答的前提．
22．（10分）某污水处理厂有新、旧两套设备，新设备每天的污水处理量比旧设备多40吨，新设备20天处理的污水比旧设备30天处理的污水少1800吨．
（1）求旧设备每天的污水处理量；
（2）该厂先用新设备处理污水，因保养需要，几天后需改用旧设备处理污水，一共用了30天，且新设备的天数不多于旧设备天数的两倍，求新、旧两套设备这30天处理污水的最大量．
【分析】（1）设旧设备每天处理污水x吨，根据新设备20天处理的污水比旧设备30天处理的污水少1800吨得：20（x+40）+1800＝30x，即可解得答案；
（2）设新设备处理污水m天，由新设备的天数不多于旧设备天数的两倍，可得：m≤20，而新、旧两套设备这30天处理污水（260+40）m+260（30﹣m）＝40m+7800，即可求出答案．
【解答】解：（1）设旧设备每天处理污水x吨，则新设备每天处理污水（x+40）吨，
根据题意得：20（x+40）+1800＝30x，
解得：x＝260，
答：旧设备每天处理污水260吨；
（2）设新设备处理污水m天，则旧设备处理污水（30﹣m）天，
∵新设备的天数不多于旧设备天数的两倍，
∴m≤2（30﹣m），
解得：m≤20，
∴新、旧两套设备这30天处理污水（260+40）m+260（30﹣m）＝40m+7800，
∴当m＝20时，处理污水的最大量为40×20+7800＝8600（吨），
答：新、旧两套设备这30天处理污水的最大量为8600吨．
【点评】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
23．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，⊙B交BC于点M．
（1）在上求作一点E，使得BE⊥CE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，延长线段CE交AD于点F，若AF：DF＝1：3，求sin∠ECB的值．
【分析】（1）以BC为直径作⊙O交⊙B于点E，连接BE即可；
（2）设AB＝r，BC＝a．利用勾股定理求出a，r的关系式，可得结论．
【解答】解：（1）如图所示，点E就是所求作的点，
（2）如图，设AB＝r，BC＝a．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D＝90°，AD＝BC＝a，AB＝DC＝BE＝r，
∴∠BCE＝∠CFD，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC＝∠D＝90°，
在△FDC和△CEB中，
，
∴△FDC≌△CEB（AAS），
∴DF＝EC，
由勾股定理，得：CE2＝BC2﹣BE2＝a2﹣r2，
∴DF2＝a2﹣r2．
∵AF：DF＝1：3，
∴，
∴，
∴7a2＝16r2，
∴，
∴．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，矩形的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
24．（13分）在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE（点B的对应点是点D，且0°＜∠BAD＜180°），射线DE与直线CB交于点M．
（1）如图1，当∠BAD＝90°时，求证：四边形ADMB是正方形；
（2）如图2，当点D在线段CA的延长线上时，若AB＝1，AC＝3，求线段ME的长；
（3）如图3，过点A作AN∥DE，交线段CB于点N，AN平分∠CAE，试探索：CN与MN的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由内错角相等，两直线平行可得AD∥BM，由旋转可知∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝AD，于是得到∠DMB＝90°＝∠ABC，进而得出AB∥DM，由对边互相平行的四边形是矩形，再根据对边相等，且一个角为直角的平行四边形为正方形即可求解；
（2）根据勾股定理可求出BC＝，由旋转可知AB＝AD＝1，BC＝DE＝，∠ABC＝∠ADE＝90°，则CD＝4，＝，易证△ABC∽△MDC，根据相似三角形的性质求出DM的长，则ME＝DE﹣DM；
（3）连接AM，由角平分线的定义和平行线的性质可得∠NAE＝∠E＝∠CAN，由旋转可知，∠C＝∠E，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE＝90°，则∠C＝∠CAN，进而得到CN＝AN，可通过HL证明Rt△ABM≌Rt△ADM，得到∠AMB＝∠AMD，由平行线的性质可得∠NAM＝∠AMD，于是∠NAM＝∠AMB，则MN＝AN，以此即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝90°，∠ABC＝90°，
∴AD∥BC，即AD∥BM，
由旋转可知，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝AD，
∴∠DMB＝90°＝∠ABC，
∴AB∥DM，
∴四边形ADMB为平行四边形，
∵AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴四边形ADMB为正方形；
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝1，AC＝3，
∴BC＝＝＝，
由旋转可知，AB＝AD＝1，BC＝DE＝，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴CD＝AC+AD＝3+1＝4，＝，
∵∠ABC＝∠MDC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△MDC，
∴＝，
∴，
∴DM＝，
∴ME＝DE﹣DM＝﹣＝；
（3）解：CN＝MN，理由如下：
如图，连接AM，
∵AN平分∠CAE，
∴∠CAN＝∠EAN，
∵AN∥DE，
∴∠NAE＝∠E＝∠CAN，
由旋转可知，∠C＝∠E，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴∠C＝∠CAN，
∴CN＝AN，
在Rt△ABM和Rt△ADM中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△ADM（HL），
∴∠AMB＝∠AMD，
∵AN∥DE，
∴∠NAM＝∠AMD，
∴∠NAM＝∠AMB，
∴MN＝AN，
∴MN＝CN．
【点评】本题主要考查旋转的性质、正方形的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟知旋转的性质是解题关键．旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形状没有改变；旋转中心是唯一不动的点；一组对应点的连线所在的直线所交的角等于旋转角度．
25．（13分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，对称轴为直线x＝1．已知点P（1，0），点C是y轴负半轴上一点，直线l经过P、C两点，且与抛物线交于A、B两点（点A在线段CB上）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PB＝2PC，求点A的坐标；
（3）记，判断m是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把（0，0）代入可得c＝0，再根据抛物线对称轴x＝﹣，可求得b＝﹣1，即可得出答案；
（2）过点B作BH⊥x轴于H，可证得△PBH∽△PCO，得出＝，由PB＝2PC，可得＝2，进而求得点B（3，），再运用待定系数法可得直线PB的解析式为y＝x﹣，联立方程组求解即可求得点A的坐标；
（3）先根据题意得出直线l的解析式为y＝kx﹣k，与抛物线解析式联立得x2﹣（2+2k）x+2k＝0，设A（xA，yA），B（xB，yB），则xA+xB＝2+2k，xA•xB＝2k，进而可得AB＝2（1+k2），OC＝k，得出m＝＝＝2（+k）＝2≥4，即m的最小值为4．
【解答】解：（1）∵抛物线经过原点，
∴c＝0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
解得：b＝﹣1，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x；
（2）如图1，过点B作BH⊥x轴于H，
则∠BHP＝∠COP＝90°，
∵∠BPH＝∠CPO，
∴△PBH∽△PCO，
∴＝，
∵PB＝2PC，P（1，0），
∴PO＝1，＝2，
∴PH＝2，
∴H（3，0），
当x＝3时，y＝x2﹣x＝×32﹣3＝，
∴点B（3，），
设直线PB的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线PB的解析式为y＝x﹣，
联立方程组，得，
解得：，，
∴A（，﹣）；
（3）设直线l的解析式为y＝kx+d，把P（1，0）代入得：k+d＝0，
∴d＝﹣k，
∴直线l的解析式为y＝kx﹣k，
联立，得：x2﹣x＝kx﹣k，
整理得：x2﹣（2+2k）x+2k＝0，
如图2，设A（xA，yA），B（xB，yB），
则xA+xB＝2+2k，xA•xB＝2k，
过点A作AM∥x轴，过点B作BM∥y轴，
则AM＝xB﹣xA，BM＝yB﹣yA＝（kxB﹣k）﹣（kxA﹣k）＝k（xB﹣xA），
∵AB2＝AM2+BM2＝（xB﹣xA）2+[k（xB﹣xA）]2＝（1+k2）（xB﹣xA）2＝（1+k2）[（xA+xB）2﹣4xA•xB]＝（1+k2）[（2+2k）2﹣4×2k]＝4（1+k2）2，
∴AB＝2（1+k2），
∵C（0，﹣k），
∴OC＝k，
∴m＝＝＝2（+k）＝2＝2≥4，
∴m存在最小值，当k＝1时，m的最小值为4．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根与系数关系，二次函数的性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/6/5 11:38:38；用户：邱清远；邮箱：sssjfsy035@xyh.com；学号：24231718
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