福建省泉州市南安市2022年中考数学质检试卷(含答案)

这是一份福建省泉州市南安市2022年中考数学质检试卷(含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

福建省泉州市南安市2022年中考数学质检试卷(解析版)
一、选择题。本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．﹣的绝对值是（　　）
A．﹣2022 B． C．2022 D．﹣
2．长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心将神舟十三号送入近地点高度200000m，远地点高度356000m的近地轨道．其中数字356000用科学记数法表示为（　　）
A．35.6×104 B．3.56×105 C．3.56×106 D．0.356×106
3．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列事件中，不是随机事件的是（　　）
A．购买《长津湖》电影票，座位号是奇数
B．2022年1月有31天
C．打开电视，正在播放北京冬奥会赛事
D．明天会下雨
5．某正方体木块切割掉四分之一后的剩余部分如图所示，其左视图为（　　）

A． B．
C． D．
6．下列运算正确的是（　　）
A．（a3）4＝a12 B．a3⋅a4＝a12 C．a3+a4＝a7 D．（3a）3＝9a3
7．如图，数轴上点D对应的数为d，则数轴上与数﹣3d对应的点可能是（　　）


A．点A B．点B C．点D D．点E
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，则BD的长为（　　）

A．6cm B．cm C．12cm D．cm
9．如图，BC为⊙O直径，点A，D在⊙O上，∠DAB＝120°，若CD＝2，则⊙O的半径长度为（　　）

A．6 B．4 C．2 D．1
10．将抛物线y＝﹣（x﹣1）2位于直线y＝﹣1以下的图象沿直线y＝﹣1向上翻折所得的图象与不翻折的部分组成新图象，若新图象与直线y＝﹣x+a的交点少于4个，则a的取值范围是（　　）
A．a≤1或 B． C． D．a≤1或
二、填空题。本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．不等式2x﹣1≤3的解集为　 　．
12．已知一个多边形每一个外角都是60°，则它是 　 　边形．
13．初三（6）班体育委员用“正字法”记录本班34名同学投掷实心球的成绩，结果如表所示：
成绩（分）
6
7
8
9
10
记录

正
正
正
正

正
一
则这34名同学投掷实心球的成绩的众数是 　 　．
14．已知2x﹣4y＝﹣1，那么代数式﹣x+2y﹣1的值是 　 　．
15．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比的值是 　 　．

16．如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数（x＜0）图象上，顶点A1（m，0）在x轴的负半轴上，顶点B1（0，n）在y轴的正半轴上，再在其左侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数（x＜0）的图象上，顶点A2在x轴的负半轴上，则点P3的坐标是 　 　．

三、解答题。本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．求证：BE＝DF．

19．（8分）先化简，再求值：，其中．
20．（8分）第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕，目前冰墩墩和雪容融吉祥物在市场热销．奥林匹克官方旗舰店新推出“摆件”和“挂件”两款产品，第一天售出了“摆件”200个和“挂件”100个，销售总额为30000元．第二天售出了“摆件”300个和“挂件”200个，销售总额为49000元．求“摆件”和“挂件”的销售单价．

21．（8分）如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°．
（1）在BC边上求作点D，连结AD，使得AD＝BD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，当AC＝4，BC＝8时，求sin∠ADC的值．

22．（10分）北京时间2021年12月9日15时40分，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年带来了一场精彩的太空科普课．为引导同学们学习天文知识、探索宇宙奥秘，学校组织了“中国梦•航天情”系列活动．下面是八年级甲、乙两个班各项目的成绩（单位：分）：
项目
班次
知识竞赛
演讲比赛
版面创作
甲
82
91
86
乙
92
85
83
（1）如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按5：3：2的比例确定最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班哪个班级获胜；
（2）学校决定从八年级演讲比赛表现优秀的1名男生和2名女生中任选两名学生参加市级演讲比赛，请用列表法或画树状图法求选中一名男生一名女生的概率．

23．（10分）如图，在⊙O中，点E是直径AB与弦CD的交点，点F为直径AB延长线上一点，且FC＝AC，若∠D＝30°．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AE＝4，OE＝1，求DE的长．

24．（13分）如图1，在正方形ABCD中，点F在CD边上，连结AF、BD相交于点G．作EG⊥AF交BC边于点E，连结AE，正方形的边长为10．
（1）求BD的长；
（2）求证：；
（3）如图2，将线段EG绕点E逆时针方向旋转90°，得到线段EH，连结BH，探究：BH+BG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．


25．（13分）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，并且经过P（﹣1，n），Q（5，n）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为直线AC下方抛物线上的一动点，直线BD交线段AC于点E，请求出的最大值；
（3）探究：在抛物线上是否存在点M，使得∠MAB＝2∠OCB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．


参考答案与试题解析
一、选择题。本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．﹣的绝对值是（　　）
A．﹣2022 B． C．2022 D．﹣
【分析】根据绝对值的定义解决此题．
【解答】解：根据绝对值的定义，﹣的绝对值是．
故选：B．
【点评】本题主要考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解决本帖关键．
2．长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心将神舟十三号送入近地点高度200000m，远地点高度356000m的近地轨道．其中数字356000用科学记数法表示为（　　）
A．35.6×104 B．3.56×105 C．3.56×106 D．0.356×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：356000＝3.56×105．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
4．下列事件中，不是随机事件的是（　　）
A．购买《长津湖》电影票，座位号是奇数
B．2022年1月有31天
C．打开电视，正在播放北京冬奥会赛事
D．明天会下雨
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可解答．
【解答】解：A、购买《长津湖》电影票，座位号是奇数，是随机事件，故A不符合题意；
B、2022年1月有31天，是必然事件，故B符合题意；
C、打开电视，正在播放北京冬奥会赛事，是随机事件，故C不符合题意；
D、明天会下雨，是随机事件，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．
5．某正方体木块切割掉四分之一后的剩余部分如图所示，其左视图为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从几何体的左面看，是一列两个矩形．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
6．下列运算正确的是（　　）
A．（a3）4＝a12 B．a3⋅a4＝a12 C．a3+a4＝a7 D．（3a）3＝9a3
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
【解答】解：A．（a3）4＝a12，故此选项符合题意；
B．a3⋅a4＝a7，故此选项不合题意；
C．a3+a4，无法合并，故此选项不合题意；
D．（3a）3＝27a3，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．如图，数轴上点D对应的数为d，则数轴上与数﹣3d对应的点可能是（　　）


A．点A B．点B C．点D D．点E
【分析】根据＜d＜1，得到﹣3＜﹣3d＜﹣，对照数轴即可得出答案．
【解答】解：∵＜d＜1，
∴﹣3＜﹣3d＜﹣，
故选：B．
【点评】本题考查了数轴，用不等式的基本性质进行变形是解题的关键．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，则BD的长为（　　）

A．6cm B．cm C．12cm D．cm
【分析】由矩形的性质得出OA＝OD＝OC，由已知条件得出OE＝CE，∠DEA＝90°，由线段垂直平分线的性质得出OD＝CD，得出△OCD为等边三角形，即可求出BD的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，CD＝AB＝6cm，
∴OA＝OD＝OC，
∵DE⊥AC，AE＝3CE，
∴OE＝CE，∠DEA＝90°，
∴OD＝CD，
∴OC＝OD＝CD＝6cm，
∴BD＝2OD＝12cm，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明△OCD是等边三角形是解决问题的关键．
9．如图，BC为⊙O直径，点A，D在⊙O上，∠DAB＝120°，若CD＝2，则⊙O的半径长度为（　　）

A．6 B．4 C．2 D．1
【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质得出∠C＝60°，即可得出△OCD为等边三角形，从而求得⊙O的半径长度为2．
【解答】解：如图，连接OD，

∵∠DAB+∠C＝180°，∠DAB＝120°，
∴∠C＝60°，
∵OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴OC＝CD＝2，
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
10．将抛物线y＝﹣（x﹣1）2位于直线y＝﹣1以下的图象沿直线y＝﹣1向上翻折所得的图象与不翻折的部分组成新图象，若新图象与直线y＝﹣x+a的交点少于4个，则a的取值范围是（　　）
A．a≤1或 B． C． D．a≤1或
【分析】分别求出新图象与直线y＝﹣x+a的交点有3个时a的值，再结合图象可得答案．
【解答】解：如图：

在y＝﹣（x﹣1）2中，令y＝﹣1得x＝2或x＝0，
∴B（2，﹣1），
由图可知，当直线y＝﹣x+a经过B时，新图象与直线y＝﹣x+a的交点有3个，
此时﹣1＝﹣2+a，
∴a＝1，
当直线y＝﹣x+a为直线l2时，新图象与直线y＝﹣x+a的交点有3个，
此时﹣（x﹣1）2＝﹣x+a有两个相等实数根，
即x2﹣3x+a+1＝0的判别式Δ＝0，
∴9﹣4（a+1）＝0，
∴a＝，
由图可知，若新图象与直线y＝﹣x+a的交点少于4个，则a≤1或a≥，
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．
二、填空题。本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．不等式2x﹣1≤3的解集为　x≤2　．
【分析】移项得出2x≤4，不等式的两边都除以2，即可求出答案．
【解答】解：2x﹣1≤3，
移项得：2x≤4，
不等式的两边都除以2得：x≤2，
故答案为：x≤2．
【点评】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键．
12．已知一个多边形每一个外角都是60°，则它是 　六　边形．
【分析】由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360÷60＝6．
所以这个多边形是六边形．
故答案为：六．
【点评】此题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．
13．初三（6）班体育委员用“正字法”记录本班34名同学投掷实心球的成绩，结果如表所示：
成绩（分）
6
7
8
9
10
记录

正
正
正
正

正
一
则这34名同学投掷实心球的成绩的众数是 　8分　．
【分析】根据众数的定义进行计算即可．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
【解答】解：这40名同学投掷实心球的成绩为8分的人数最多，则众数是8分，
故答案为：8分．
【点评】本题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键．
14．已知2x﹣4y＝﹣1，那么代数式﹣x+2y﹣1的值是 　　．
【分析】将2x﹣4y＝﹣1代入原式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2x﹣4y＝﹣1，
∴x﹣2y＝，
∴原式＝﹣（x﹣2y）﹣1
＝﹣1
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是将x﹣2y＝整体代入原式，本题属于基础题型．
15．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比的值是 　　．

【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2＝a2+2ab+b2即可求得（a+b）的值；则可求出答案．
【解答】解：∵大正方形的面积是13，设边长为c，
∴c2＝13，
∴a2+b2＝c2＝13，
∵直角三角形的面积是＝3，
又∵直角三角形的面积是ab＝3，
∴ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25，
∴a+b＝5．
∵小正方形的面积为（b﹣a）2＝1，
∴b＝3，a＝2，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：（a+b）2＝a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．
16．如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数（x＜0）图象上，顶点A1（m，0）在x轴的负半轴上，顶点B1（0，n）在y轴的正半轴上，再在其左侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数（x＜0）的图象上，顶点A2在x轴的负半轴上，则点P3的坐标是 　（﹣，﹣）　．

【分析】作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，易得Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，则OB1＝P1C＝A1D＝n，所以OA1＝B1C＝P2D＝﹣n，则P2的坐标为（﹣，﹣n），然后把P2的坐标代入反比例函数y＝﹣，得到n的方程，解方程求出n，得到P2的坐标；设P3的坐标为（﹣，b），易得Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，则P3E＝P3F＝DE＝b，通过OE＝OD+DE＝+b＝，这样得到关于b的方程，解方程求出b，得到P3的坐标．
【解答】解：作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，如图所示：
∵四边形A1B1P1P2为正方形，
∴∠A1B1P1＝90°，
∴∠CB1P1+∠OB1A1＝90°，
∵∠CB1P1+∠CP1B1＝90°，∠OB1A1+∠OA1B1＝90°，
∴∠CB1P1＝∠OA1B1，
在△P1B1C和△B1A1O中，
，
∴△P1B1C≌△B1A1O（AAS），
同理：△B1A1O≌△A1P2D，
∴OB1＝P1C＝A1D＝n，
∴OA1＝B1C＝P2D，
∴P1（﹣n，），
∴OA1＝B1C＝P2D＝﹣n，
∴OD＝﹣n+n＝，
∴P2的坐标为（﹣，﹣n），
把P2的坐标代入y＝（x＜0）得：﹣•（﹣n）＝﹣1，
解得：n＝﹣（舍去）或n＝，
∴P2（﹣，），
设P3的坐标为（﹣，b），
又∵四边形P2P3A2B2为正方形，
同上：△P2P3F≌△A2P3E，
∴P3E＝P3F＝DE＝b，
∴OE＝OD+DE＝+b，
∴+b＝，
解得：b＝（舍去），b＝，
∴﹣＝﹣，
∴点P3的坐标为 （﹣，﹣）．
故答案为：（﹣，﹣）．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法．
三、解答题。本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝1+（2﹣）﹣3
＝1+2﹣﹣3
＝﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．求证：BE＝DF．

【分析】首先利用平行四边形的性质得出AB＝CD，∠BAC＝∠DCF，进而得出△ABE≌△CDF（AAS），即可得出答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△ABE≌△CDF是解题关键．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：
＝÷
＝•
＝，
当时，原式＝＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20．（8分）第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕，目前冰墩墩和雪容融吉祥物在市场热销．奥林匹克官方旗舰店新推出“摆件”和“挂件”两款产品，第一天售出了“摆件”200个和“挂件”100个，销售总额为30000元．第二天售出了“摆件”300个和“挂件”200个，销售总额为49000元．求“摆件”和“挂件”的销售单价．

【分析】设“摆件”的销售单价为x元，“挂件”的销售单价为y元，由题意：第一天售出了“摆件”200个和“挂件”100个，销售总额为30000元．第二天售出了“摆件”300个和“挂件”200个，销售总额为49000元．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设“摆件”的销售单价为x元，“挂件”的销售单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：“摆件”的销售单价为110元，“挂件”的销售单价为80元．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°．
（1）在BC边上求作点D，连结AD，使得AD＝BD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，当AC＝4，BC＝8时，求sin∠ADC的值．

【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于D，则AD＝BD；
（2）设AD＝x，则BD＝x，CD＝8﹣x，在Rt△ACD中利用勾股定理得到42+（8﹣x）2＝x2，解方程得到AD＝5，然后利用正弦的定义求解．
【解答】解：（1）如图，点D为所作；

（2）设AD＝x，则BD＝x，CD＝8﹣x，
在Rt△ACD中，42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AD＝5，
∴sin∠ADC＝＝．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了解直角三角形．
22．（10分）北京时间2021年12月9日15时40分，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年带来了一场精彩的太空科普课．为引导同学们学习天文知识、探索宇宙奥秘，学校组织了“中国梦•航天情”系列活动．下面是八年级甲、乙两个班各项目的成绩（单位：分）：
项目
班次
知识竞赛
演讲比赛
版面创作
甲
82
91
86
乙
92
85
83
（1）如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按5：3：2的比例确定最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班哪个班级获胜；
（2）学校决定从八年级演讲比赛表现优秀的1名男生和2名女生中任选两名学生参加市级演讲比赛，请用列表法或画树状图法求选中一名男生一名女生的概率．

【分析】（1）根据加权平均数的定义列式计算即可得出答案；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）甲的平均成绩为＝85.5（分），
乙的平均成绩为＝88.1（分），
∴乙班获胜；
（2）列表如下：

男
女
女
男

（男，女）
（男，女）
女
（女，男）

（女，女）
女
（女，男）
（女，女）

所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，
∴选中一名男生一名女生的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是画出相应的表格，求出相应的概率．
23．（10分）如图，在⊙O中，点E是直径AB与弦CD的交点，点F为直径AB延长线上一点，且FC＝AC，若∠D＝30°．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AE＝4，OE＝1，求DE的长．

【分析】（1）连接CO，如图1所示，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠F，根据圆周角定理得到∠A＝∠D＝30°，求得∠FCO＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接BC，过点E作EH⊥BC于点H，如图2所示：根据已知条件得到的AO＝OB＝OC＝3，BE＝OB﹣OE＝2，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据勾股定理得到CE＝＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接CO，如图1所示，
∵FC＝AC，
∴∠A＝∠F，
∵∠A＝∠D＝30°，
∴∠F＝30°，∠COB＝2∠D＝60°，
∴∠FCO＝90°，
∴CO⊥CF，
∵CO为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；
（2）解：连接BC，过点E作EH⊥BC于点H，如图2所示：
∵AE＝4，OE＝1，
∴AO＝OB＝OC＝3，BE＝OB﹣OE＝2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，
∴AC＝AB＝3，
在Rt△AEH中，EH＝EA＝2，AH＝EH＝2，
∴CH＝AC﹣AH＝，
在Rt△ECH中，CE＝＝，
∵∠D＝∠A，∠BED＝∠CEA，
∴△BED∽△CEA，
∴＝，
即＝，
解得：DE＝，
故DE的长为．


【点评】本题考查了切线的判定的判定与性质、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与性质和相似三角形的判定由V型在是解题的关键．
24．（13分）如图1，在正方形ABCD中，点F在CD边上，连结AF、BD相交于点G．作EG⊥AF交BC边于点E，连结AE，正方形的边长为10．
（1）求BD的长；
（2）求证：；
（3）如图2，将线段EG绕点E逆时针方向旋转90°，得到线段EH，连结BH，探究：BH+BG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．


【分析】（1）由AB＝AD＝10，∠BAD＝90°，根据勾股定得求得BD＝＝10；
（2）由正方形的对称性想到连结CG，可证明∠BAG＝∠BCG，由四边形ABEG是对角互补的四边形，想到根据同角的补角相等证明∠BAG＝∠GEC，则∠BCG＝∠GEC，得EG＝CG，再考虑到用等腰三角形的“三线合一”解决问题，过点G作GK⊥BC于点K，交AD于点L，可证明CK＝DL＝DG，则CE＝2CK＝DG；
（3）由EH＝GE，∠BEH＝90°，想到作辅助线构造“一线三等角”模型，作HI⊥BC交CB的延长线于点I，在（2）的基础上，通过证明△HIB≌△DLG，得到BH＝GD，则BH+BG＝GD+BG＝BD＝10，为定值．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是边长为10的正方形，
∴AB＝AD＝10，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝10，
∴BD的长是10．
（2）证明：如图1，过点G作GK⊥BC于点K，交AD于点L，连结GC，
∵AB＝AD，CB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ABG＝∠ADB＝45°，∠CBG＝∠CDB＝45°，
∴∠ABG＝∠CBG，
∵AB＝CB，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴∠BAG＝∠BCG，
∵EG⊥AF，
∴∠AGE＝∠ABE＝90°，
∴∠BAG+∠BEG＝180°，
∵∠GEC+∠BEG＝180°，
∴∠BAG＝∠GEC，
∴∠BCG＝∠GEC，
∴EG＝CG，
∴EK＝CK，
∵∠LKC＝∠DCK＝∠CDL＝90°，
∴四边形CDLK是矩形，
∴CK＝DL，∠DLG＝90°，
∴∠LDG＝∠LGD＝45°，
∴DL＝GL，
∴DG＝＝＝DL，
∴DL＝DG，
∴CE＝2CK＝2DL＝2×DG＝DG．
（3）解：BH+BG的值是定值，
如图2，过点G作GK⊥BC于点K，交AD于点L，连结GC，
由（2）得EK＝CK＝DL＝GL，
作HI⊥BC交CB的延长线于点I，则∠I＝∠EKG＝90°，
由旋转得EH＝GE，∠BEH＝90°，
∴∠HEI＝∠EGK＝90°﹣∠KEG，
∴△HEI≌△EGK（AAS），
∴HI＝EK＝DL，EI＝GK，
∵∠KGB＝∠KBG＝45°，
∴BK＝GK，
∴EI＝BK，
∴EI﹣BE＝BK﹣BE，
∴BI＝EK＝GL，
∵∠I＝∠DLG＝90°，
∴△HIB≌△DLG（SAS），
∴BH＝GD，
∴BH+BG＝GD+BG＝BD＝10，
∴BH+BG的值是定值，这个定值是10．


【点评】此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质、同角的补角相等、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
25．（13分）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，并且经过P（﹣1，n），Q（5，n）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为直线AC下方抛物线上的一动点，直线BD交线段AC于点E，请求出的最大值；
（3）探究：在抛物线上是否存在点M，使得∠MAB＝2∠OCB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）由抛物线经过P（﹣1，n），Q（5，n）两点，知对称轴为直线x＝＝2，可得﹣＝2，即得b＝﹣2，从而抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣6；
（2）过D作DF∥y轴交AC于F，过B作BG∥y轴交AC于G，由y＝x2﹣2x﹣6中，得A（6，0），B（﹣2，0），C（0，﹣6），直线AC解析式为y＝x﹣6，即可知G（﹣2，﹣8），BG＝8，设D（m，m2﹣2m﹣6），则F（m，m﹣6），DF＝﹣m2+3m，由△BEG∽△DEF，得＝＝＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，可得当m＝3时，取最大值；
（3）作B（﹣2，0）关于y轴的对称点B'（2，0），连接BC，B'C，在BC上取点K，使AK＝AB，作直线AK交抛物线于M，根据B（﹣2，0），B'（2，0）关于y轴对称，AB＝AK，可知M是满足条件的点，设K（n，﹣3n﹣6），由AB＝AK，得K（﹣，﹣），直线AK解析式为y＝x﹣，解即可得M（﹣，﹣）；由对称性可知，若K'（﹣，）为K（﹣，﹣）关于x轴的对称点，则直线AK'与抛物线交点M'也满足∠M'AB＝2∠OCB，同理可得M'（﹣，）．
【解答】解：（1）∵抛物线经过P（﹣1，n），Q（5，n）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣6；
（2）过D作DF∥y轴交AC于F，过B作BG∥y轴交AC于G，如图：

在y＝x2﹣2x﹣6中，令x＝0得y＝﹣6，令y＝0得x＝﹣2或x＝6，
∴A（6，0），B（﹣2，0），C（0，﹣6），
由A（6，0），C（0，﹣6）得直线AC解析式为y＝x﹣6，
在y＝x﹣6中，令x＝﹣2得y＝﹣8，
∴G（﹣2，﹣8），BG＝8，
设D（m，m2﹣2m﹣6），则F（m，m﹣6），
∴DF＝（m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣6）＝﹣m2+3m，
∵DF∥y轴，BG∥y轴，
∴DF∥BG，
∴∠BGE＝∠DFE，∠GBE＝∠FDE，
∴△BEG∽△DEF，
∴＝＝＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝3时，取最大值；
答：的最大值为；
（3）作B（﹣2，0）关于y轴的对称点B'（2，0），连接BC，B'C，在BC上取点K，使AK＝AB，作直线AK交抛物线于M，如图：

∵B（﹣2，0），B'（2，0）关于y轴对称，
∴∠BCO＝∠B'CO，BC＝B'C，
∴∠BCB'＝2∠OCB，∠CBB'＝∠CB'B，
∵AB＝AK，
∠AKB＝∠ABK，
∴∠CB'B＝∠CBB'＝∠ABK＝∠AKB，
∴∠BAK＝∠BCB'＝2∠OCB，
∴M是满足条件的点，
由B（﹣2，0），C（0，﹣6）得直线BC解析式为y＝﹣3x﹣6，
设K（n，﹣3n﹣6），
∵AB＝AK，
∴（6+2）2＝（6﹣n）2+（0+3n+6）2，
解得n＝﹣2或n＝﹣，
∴K（﹣，﹣），
由K（﹣，﹣），A（6，0）得直线AK解析式为y＝x﹣，
解得或，
∴M（﹣，﹣）；
由对称性可知，若K'（﹣，）为K（﹣，﹣）关于x轴的对称点，则直线AK'与抛物线交点M'也满足∠M'AB＝2∠OCB，
此时直线AK'解析式为y＝﹣x+，
由得或，
∴M'（﹣，），
综上所述，M坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形判定与性质，等腰三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形、等腰三角形解决问题．