2024年福建省泉州市石狮市中考二模数学试题（含解析）

这是一份2024年福建省泉州市石狮市中考二模数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试题
（考试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意．）
1．的相反数是（ ）
A．B．2024C．D．
2．据统计，年我国粮食总产量约达到亿斤，连续9年稳定在万亿斤以上，同比增长亿斤，再创历史新高．将数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，则它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，点是边的中点，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
7．为了更好地落实课后延时服务工作，某校决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生使用．该校团委随机抽取了该校100名学生就体育兴趣爱好情况进行调查，并将收集到的数据整理绘制成如图所示的统计图．若该校共有学生1500人，则该校喜欢足球的学生大约有（ ）
A．100人B．150人C．200人D．250人
8．甲、乙两座建筑物的位置如图所示．某数学兴趣小组测得这两座建筑物间的距离为，甲建筑物的高为，并且在点处测得点的仰角为，则由以上数据可求得乙建筑物的高（单位：）为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为( )

A．B．C．D．
10．如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．点是上一点，且，将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则的长是（ ）
A．B．C．3D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．某市冬季中的一天，凌晨5时的气温是，经过6小时，气温上升了，则此时的气温是 ．
12．若为有理数，且，则满足条件的可以是 ．（写出一个即可）
13．如图，在中，点在边上，，交于点．若，且的面积为9，则的面积为 ．
14．如图，在平行四边形中，以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点、，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交边于点．若，则的周长是 ．
15．某手表厂抽查了10只手表的日走时误差，数据如下表所示（单位：s）：
则这10只手表的平均日走时误差是 s．
16．已知点是抛物线上不同的两点，若两点关于直线成轴对称，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．计算：．
18．解不等式组：
19．如图，在菱形中，点分别在边上，，求证：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，切于点B，连接并延长交于点E，过点B作交于点A，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)如果，，求的半径．
22．一副扑克牌（大、小王除外）有四种花色，且每种花色皆有13种点数，分别为2、，共52张．某扑克牌游戏中，玩家可以利用“牌值”来评估尚未发出的牌之点数大小．“牌值”的计算方式为：未发牌时先设“牌值”为0；若发出的牌点数为2至10时，表示发出点数小的牌，则“牌值”加2；若发出的牌点数为时，表示发出点数大的牌，则“牌值”减2．例如：从该副扑克牌发出了6张牌，点数依序为，则此时的“牌值”为．
请根据上述信息回答下列问题：
(1)若该副扑克牌发出了1张牌，求此时的“牌值”为的概率；
(2)已知该副扑克牌已发出32张牌，且此时的“牌值”为24．若剩下的牌中每一张牌被发出的机会皆相等，求下一张发出的牌是点数大的牌的概率．
23．小明发现用吸管吹气，能发出不同的音调．通过查阅资料，他得知：用吸管吹气时，吸管内部的空气振动导致声音产生，而吸管的长度影响了空气振动的频率，并最终决定了音调的不同，所以发出不同的音调．
小明和同学动手试验，并按以下步骤操作：①将若干根同规格的吸管剪成不同的长度；②用同样的力气通过吸管吹气，借助仪器记录下吸管中空气振动的频率；③将吸管的长度和相应吸管中空气振动的频率分别记为和，对收集到的数据检查、整理；④将整理所得的数据对应的点在平面直角坐标系中描出，绘制成如图所示的与对应关系的散点图．
(1)表1记录了收集到的四组数据，同学们在仔细检查、整理数据时，发现这四组数据中的一组有错，请直接写出有出错的这组数据______（填写组别代号），不必说明理由；
（表1）
(2)根据散点图，同学们猜想与的对应关系符合初中阶段已学过的一种函数关系，并将由每组数据计算所得的系数（精确到个位）作为与的对应关系中的系数．小明根据表2的数据剪出合适长度的吸管，成功地吹奏出的音．
（表2）
你知道小明剪出的吸管长度是多少（精确到个位）？并说明你的理由．
24．已知抛物线经过点，且与轴只有一个公共点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)已知点是轴上两点，直线与抛物线分别交于两点．
①当，且的面积是面积的2倍时，求的面积；
②直线记为，求证：为定值．
25．在中，，点在边上，且．以为斜边作，使得两点在直线的异侧，且与交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)过点作，垂足为．求证：．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．
【解答】解：的相反数是2024，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【解答】解：用科学记数法表示为．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，画它的三视图．
找出从上面看到的图形即可得到它的俯视图．
【解答】解：从上面看，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为2、2、1，
故选：B．
4．D
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，逐一判断选项，即可．
【解答】解：A. ，不是同类项，不能合并，故该选选错误，
B. ，故该选项错误，
C. ，故该选项错误，
D. ，故该选项正确，
故选D．
【点拨】本题主要考查整式的运算，熟练掌握合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质．根据“直角三角形斜边上中线长度为斜边的一半”即可解答．
【解答】解：∵，点是边的中点，
∴，
故选：C．
6．A
【分析】根据，确定原点的位置，根据实数与数轴，有理数的运算法则即可解答．
【解答】解：∵，
∴原点在a，b的中间，
如图，
由图可得：，，，，，
故选项A错误，
故选A．
【点拨】本题考查数轴，绝对值，有理数的乘法、加法，解题的关键是确定原点的位置．
7．B
【分析】本题考查读条形统计图的能力和样本估计总体，利用该校总人数乘以样本中喜欢足球的学生人数所占的百分比求解即可．
【解答】解：（人）．
∴该校喜欢足球的学生大约有150人．
故选：B．
8．C
【分析】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
作垂线构造直角三角形，再利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】过点作，垂足为，

由题意得：，，
在中，，
∴，
∴，
故选：C．
9．C
【分析】先根据正多边形内角和公式求出，根据切线的定义得出，进而可得，再根据圆周角定理可得．
【解答】解：五边形是正五边形，
，
切，于点M，N，
，
又五边形的内角和为，
，
，
故选C．
【点拨】本题考查正多边形内角和问题，圆周角定理，解题的关键是掌握多边形内角和公式．
10．C
【分析】首先根据题意求出，然后根据折叠的性质得到，，，进而求出，，然后利用含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】∵，，
∴，
∵对折矩形纸片使与重合，得到折痕，
∴，，
∵将沿折叠，点的对应点恰好落在上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
【点拨】此题考查了矩形和折叠的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形和折叠的性质．
11．4
【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，用凌晨5时的气温加上上升的温度即可得到答案．
【解答】解：，
∴此时的气温是，
故答案为：4．
12．2（答案不唯一）
【分析】本题考查了无理数的估算，准确估算是解题关键．
先对进行估算，从而作出解答．
【解答】解：∵，且为有理数，，
∴满足条件的可以是2，
故答案为：2．
13．1
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，根据相似三角形的判定及性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【解答】解：∵
∴
∵，
，
的面积为9，
，
即：，
解得：，
故答案为：1．
14．10
【分析】本题考查尺规作图作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用各个知识是解题的关键．
首先根据平行线四边形的性质得到，然后由角平分线的作图得到，进而得到，然后求得，进而利用平行四边形的性质求解即可．
【解答】∵四边形是平行四边形
∴
∴
由题意可得，平分
∴
∴
∴
∵
∴
∴的周长．
故答案为：10．
15．1.1
【分析】利用加权平均数的计算方法进行计算即可．
【解答】解：，
故答案为：1.1．
【点拨】本题考查加权平均数的意义和计算方法，掌握计算方法是正确计算的前提．
16．
【分析】本题考查二次函数上点的轴对称关系，二次函数与一元二次方程关系，设出点，根据轴对称表示出，根据点在抛物线上，得到，联立一次函数与二次函数结合交点问题求解即可得到答案；
【解答】解：设点．
如图1，作轴于点，轴于点，连接，
∵两点关于直线成轴对称，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，，，
∴，
∵轴，轴，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∴点，
图1
点在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
即点的坐标为，
直线的函数表达式为：，
将直线的函数表达式和抛物线联立得，
，
∴，
∴，
化简得：，
又∵，
∴，
∴，
∴．
17．
【分析】本题主要考查化简绝对值，零指数幂，二次根式的乘法运算，掌握相关运算法则是解题关键．
化简绝对值，零指数幂，计算乘法，最后算加减．
【解答】解：
．
18．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
即不等式组的解集为：．
【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
19．见解析
【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．根据菱形的性质证得，，再根据全等三角形的判定证明即可．
【解答】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
．
20．，
【分析】先算括号内的，然后再将除法变为乘倒数的形式化简，最后代值．
【解答】原式=
；
当时，
【点拨】本题考查分式的化简，注意分式中能够因式分解时，尽量先因式分解，再简化计算．
21．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）连接、，根据垂径定理的知识，得出，，继而证明，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论．
（2）根据得出，设，，在中，由勾股定理得出，进而就可求得的半径．
【解答】（1）证明：如图，连接，，
是的切线，
，
，于点，
，
在和中，
，
，
，
，
直线为的切线，
（2）在中，，
，
设，，
．
在中，由勾股定理，得
，
解得，（不合题意，舍去），
，，
即的半径的长5．
【点拨】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解直角三角形，综合考查的知识点较多，关键是熟练掌握一些基本性质和定理，在解答综合题目能灵活运用．
22．(1)
(2)
【分析】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
（1）用点数大的牌除以牌的总数即可；
（2）设该副扑克牌已发出的32张牌中点数大的张数为张，根据已发出32张牌，且此时的“牌值”为24列方程求出x的值，得出剩余的20张牌中点数大的张数为6张，然后根据概率公式求解即可．
【解答】（1）因为该副扑克牌中，点数大的牌共有16张，且，
所以“牌值”为的概率是．
（2）设该副扑克牌已发出的32张牌中点数大的张数为张，
依题意，得，
解得．
已发出的32张牌中点数大的张数为10张，
剩余的20张牌中点数大的张数为6张，
剩下的牌中每一张牌被发出的机会皆相等，
下一张发出的牌是点数大的牌的概率是．
23．(1)D
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式．
（1）根据表中数据，可发现与的乘积为定值，从而可得答案；
（2）根据与都是正数，可得这条曲线是反比例函数的一支，根据，可得与的函数解析式，即可得到结论．
【解答】（1）解：根据表中数据，可发现与的乘积为定值，
所以D组数据是错误的，
故答案为：D．
（2）根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系，
因此可设．
依据表1中三组数据求得：
，
，
．
，
，
当时，．
答：小明剪出的吸管长度是．
24．(1)
(2)①；②证明见解析
【分析】本题考查二次函数的综合应用：
（1）待定系数法求函数解析式式即可；
（2）①作轴于点轴于点，则，推出，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出点坐标，求出的解析式，进而求出的坐标，分割法求出三角形的面积即可；
②设的函数表达式为的函数表达式为，将点代入求出解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点的坐标，进而代入，求解即可．
【解答】（1）抛物线与轴只有一个公共点，
，
又抛物线经过点，
，
，
抛物线的函数表达式为．
（2）①如图1，作轴于点轴于点，则，
图1
（平行线分线段成比例定理），
的面积是面积的2倍，
，
，
，
，
当时，，
点的坐标为．
设直线的函数表达式为，
，解得，
点坐标为，点坐标为，此时三点重合，如图2所示．
图2
．
②设的函数表达式为的函数表达式为，
把点代入，得：，，
解得，，
的函数表达式为的函数表达式为，
由，解得，
解得，
点坐标为，
同理可得点坐标为，
点在直线上，
解得，
为定值．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意得出，，由可得，进而可得，即可得证；
（2）证明得出．证明得出，即可得出，由，即可得证；
（3）解法一：以为直径作，连接．则点在上，根据圆周角定理可得，，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证；
解法二：如图，过点作，交于点．证明，得出，由（2）知：，则，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证；
【解答】（1）证明：如图．
，，
，．
，
，
即，
．
（2），，
，
．
，，
，
，
．
，
．
（3）解法一：以为直径作，连接．
，
点在上，
在和中

，
．
解法二：如图，过点作，交于点．
，
，
，
，
，
又，
，
，
由（2）知：，
，
，
，
，
又，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的性质与判定，直角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
日走时误差
0
1
2
3
只数
3
4
2
1
数据组别
吸管的长度
60
80
100
100
空气振动的频率
1.43
1.08
0.86
0.42
音调

频率
0.26
0.29
0.33
0.35
0.39
0.44
0.49