【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版七年级数学下册讲学案-专题16 全等三角形中手拉手模型综合应用（原卷版+解析版）

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 专题16 全等三角形中手拉手模型综合应用
模型归纳


类型一：等边三角形中的手拉手模型
类型二：等腰三角形中的手拉手模型
类型三：等腰直角三角形中的手拉手模型
类型四：作辅助线构造手拉手模型

类型：等边三角形手拉手
（1）如图，B、C、D三点共线，▲ABC和▲CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P


（2） 记AC、BE交点为M，AD、CE交点为N


（2）连接MN




（4）记AD、BE交点为P，连接PC：


（5）结论五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°

（6） 连AE:









结论六：P点是▲ACE的费马点（PA+PC+PE值最小）

【典例分析】
【类型一：等边三角形中的手拉手模型】
【典例1】阅读与理解：如图1，等边△BDE按如图所示方式设置．
操作与证明：
（1）操作：固定等边△ABC，将△BDE绕点B按逆时针方向旋转120°，连接AD，CE，如图2；在图2中，请直接写出线段CE与AD之间具有怎样的大小关系．

（2）操作：若将图1中的△BDE，绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度α（60°＜α＜180°），连接AD，CE，AD与CE相交于点M，连BM，如图3；在图3中线段CE与AD之间具有怎样的大小关系？∠EMD的度数是多少？证明你的结论．
猜想与发现：
（3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，∠DMB的度数大小是否会随着变化而变化？请证明你的结论．

【解答】解：（1）EC＝AD；
∵将△BDE绕点B按逆时针方向旋转120°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△EBC和△DBA中，
，
∴△EBC≌△DBA（SAS），
∴EC＝AD；
（2）EC＝AD，∠EMD＝60°，理由如下：
设AD与BE交于点O，

∵将△BDE绕点B按逆时针方向旋转α度，
∴∠EBC＝∠DBA＝α，
∵△ABC与△BDE是等边三角形，
∴BC＝AB，BD＝BE，
∴△EBC≌△DBA（SAS），
∴EC＝AD，∠CEB＝∠ADB，
∵∠EOM＝∠DOB，
∴∠EMD＝∠EBD＝60°，
（3）不变，理由如下：
过点B作BH⊥AD于点H，BF⊥EC于点F，
∵△EBC≌△DBA，
∴S△EBC＝S△DBA，AD＝EC，
∴BH＝BF，
∴MB平分∠DMC，
∴∠DMB＝，
∴∠DMB的度数大小不变
【变式1-1】如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P．
（1）求证：BE＝AD．
（2）求∠APB的度数．

【解答】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，
即∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
（2）解：由（1）可得△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠DAC＝∠EBC．
∵∠ACB＝∠DAC+∠ADC＝60°，
∴∠EBC+∠ADC＝∠APB＝60°，
即∠APB＝60°．
【变式1-2】（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE．
①∠AEC的度数为 　　 ；
②线段AE、BD之间的数量关系为 　 　；
（2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形、∠ACB＝∠DCE＝90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝36°，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出∠EAB+∠ECB的度数．

【解答】解：（1）①∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴CE＝CD，CA＝CB，∠ECD＝∠ACB＝60°，
∴∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，即∠ECA＝∠DCB，
在△ECA和△DCB中，
，
∴△ECA≌△DCB（SAS），
∴∠AEC＝∠BDC＝120°，
故答案为：120°；
②∵△ECA≌△DCB，
∴AE＝BD，
故答案为：AE＝BD；
（2）CM+AE＝BM，理由如下：
∵△DCE是等腰直角三角形，
∠CDE＝45°，
∴∠CDB＝135°，
由（1）得△ECA≌△DCB，
∴∠CEA＝∠CDB＝135°，AE＝BD，
∵∠CEB＝45°，
∴∠AEB＝∠CEA﹣∠CEB＝90°，
∵△DCE都是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，
∴CM＝EM＝MD，
∴CM+AE＝BM；
（3）∵△DCE是等腰三角形，∠DCE＝36°，
∴∠CDE＝72°，
∴∠CDB＝108°，
∵△ECA≌△DCB，
∴∠CEA＝∠CDB＝108°，
∴∠EAC+∠ECA＝72°，
∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝36°，
∴∠CAB＝72°，
∴∠EAB+∠ECB＝∠EAC+∠CAB+∠ECA+∠ACB＝72°+72°+36°＝180°，
【类型二：等腰三角形的手拉手模型】
【典例2】在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，∠BAC＝90°，
①求证：BD＝CE；
②∠BCE＝　 　；
（2）设∠BCE＝a，∠BAC＝β，
①如图2，当点D在线段BC上移动，求证α+β＝180°；
②当点D在射线BC的反向延长线上移动，则a、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

【解答】（1）①证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
②由①知△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠B，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BCE＝90°，
故答案为：90°；
（2）①证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠B+∠ACB＝α，
∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°；
②α＝β．理由如下：如图，由①同理得，△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠BAC+∠ACB＝∠ACB+∠BCE，
∴∠BAC＝∠BCE，
即α＝β．
【变式2-1】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．
证明：（1）BD＝CE；（2）BD⊥CE．

【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD
即∠CAE＝∠BAD
在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD＝CE
（2）∵△ABD≌△ACE
∴∠ABN＝∠ACE
∵∠ANB＝∠CND
∴∠ABN+∠ANB＝∠CND+∠NCE＝90°
∴∠CMN＝90°
即BD⊥CE．
【变式2-2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边作等腰直角三角形ADF．
（1）如图1，若当点D在线段BC上时（不与点B、C重合），证明：△ACF≌△ABD；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，试猜想CF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．

【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD＝90°，∠BAD+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
（2）解：CF＝BD，CF⊥BD．
理由：∵∠CAB＝∠DAF＝90°，
∴∠CAB+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，
即∠CAF＝∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，
∴CF⊥BD

【类型三：直角三角形中的手拉手模型】
【典例3】△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°．
（1）如图1，当D，B，C在同一直线时，CE的延长线与AD交于点F．求证：∠CFA＝90°；
（2）当△ABC与△BDE的位置如图2时，CE的延长线与AD交于点F，猜想∠CFA的大小并证明你的结论；
（3）如图3，当A，E，D在同一直线时（A，D在点E的异侧），CE与AB交于点G，∠BAD＝∠ACE，求证：BG+AB＝AC．


【解答】（1）证明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BAD＝∠BCE，
∵∠BAD+∠AFE+∠FEA＝∠BCE+∠ABC+∠BEC＝180°，
又∵∠FEA＝∠BEC，
∴∠CFA＝∠ABC＝90°．
（2）解：∠CFA＝90°．
理由如下：
同理可证△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BAD＝∠BCE，
∴∠CFA＝∠ABC＝90°．
（3）过点G作GH⊥AC于点H，同（2）可知∠BAD＝∠BCE，

∵∠BAD＝∠ACE，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵AB⊥BC，GH⊥AC，
∴BG＝GH，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAC＝∠AGH＝45°，
∴GH＝AH，
∴AH＝BG，
在Rt△BCG和Rt△HCG中，
，
∴Rt△BCG≌Rt△HCG（HL），
∴BC＝CH，
∴AC＝AH+CH＝BG+BC＝BG+AB．
【变式3-1】如图：已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE．
发现问题：
如图1，当点D在边BC上时，
（1）请写出BD和CE之间的位置关系为 　BD⊥CE　，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：　 ．
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系；BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；

【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，BC＝CD+BD＝CD+CE，
∴BD⊥CE，
故答案为：BD⊥CE；BC＝CD+CE；
（2）BD⊥CE成立，数量关系不成立，关系为BC＝CE﹣CD．
理由如下：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC，
∴BD＝BC+CD，∠ACE+∠ACB＝90°，
∴BD⊥CE；BC＝CE﹣CD；
【类型四：作辅助线构造手拉手模型】
【典例4】在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，点D是直线BC上一点，点C关于射线AD的对称点为点E．作直线BE交射线AD于点F．连接CF．
（1）如图1，点D在线段BC上，补全图形，求∠AFB的大小（用含α的代数式表示）；
（2）如果∠α＝60°，
①如图2，当点D在线段BC上时，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上时，直接写出线段AF、BF、CF之间的数量关系．

【解答】解：（1）补全图形如下，

连接AE，
∵点E为点C关于AD的对称点，
∴AE＝AC，EF＝FC，∠EAD＝∠CAD，
设∠EAD＝∠CAD＝x，
∴∠CAE＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABCα．
∴∠BAE＝180°﹣2x﹣2α，
∴∠ABE+∠AEB＝2x+2α，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB＝x+α，
∴∠AFB＝∠AEB﹣∠EAD＝α；
（2）①AF＝BF+CF．
延长FB至点G，使FG＝FA，连接AG，

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝α＝60°，
∴△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，
由（1）知∠AFB＝α＝60°，
∴△AFG为等边三角形，
∴AG＝AF，∠GAF＝60°，
∴∠GAB＝∠FAC，
在△ABG和△ACF中，
，
∴△ABG≌△ACF（SAS），
∴BG＝CF，
∴CF+BF＝BG+BF＝GF，
∵GF＝AF，
∴AF＝BF+CF；
②结论为：CF＝AF+BF．连接AE．
∵点E为点C关于AD的对称点，
∴AE＝AC，EF＝FC，∠EAD＝∠CAD，
设∠EAD＝∠CAD＝x，
∴∠CAE＝2x，
∵AB＝AC＝AE，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°．
∴∠DAB＝x﹣60°，
∴∠EAB＝x+x﹣60°＝2x﹣60°，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB＝＝120°﹣x，
∴∠AFE＝∠DAB+∠ABE＝x﹣60°+120°﹣x＝60°，
在BE上取点G，使得FG＝FA，连接AG，

∴△AFG为等边三角形，
∴AG＝AF，∠GAF＝60°，
∴∠GAE＝∠FAB＝x﹣60°，
在△AGE与△AFB中，
，
∴△AGE≌△AFB（SAS），
∴BF＝EG，
∴EF＝EG+FG＝BF+AF，
∴CF＝EF＝BF+AF．
【变式4】如图1，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点．
（1）以AD为边构造等边△ADE（其中点D、E在直线AC两侧），连接CE，猜想CE与AB的位置关系，并证明你的结论；
（2）若过点C作CM∥AB，在CM上取一点F，连AF、DF，使得AF＝DF，试猜想△ADF的形状，并证明你的结论．

【解答】解：（1）CE∥AB，

证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°＝∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴CE∥AB；
（2）延长BC至点G，使得CG＝CF，作FH⊥CG于点H，
作FN⊥AC于点N，

∵CM//AB，
∴∠FCG＝∠B＝60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴CF＝FG，
又∴∠ACF＝∠BAC＝60°，
∴∠FCN＝∠G＝60°，
∵∠FMC＝∠FHG＝90°，
∴△NFC≌△HFG（AAS），
∴NF＝FH，
又∵AF＝DF，
∴Rt△AFN≌Rt△DFH（HL），
∴∠DFH＝∠AFN，
∴∠DFH+∠GFH＝∠AFN+∠NFC，
即∠AFC＝∠DFG，
∴∠AFD+∠DFC＝∠CFG+∠DFC，
∴∠AFD＝∠CFG＝60°，
∴△ADF是等边三角形．


【夯实基础】
1．已知等边△AOB和△COD．
求证：AC＝BD．

【解答】证明：∵△AOB和△COD是等边三角形，
∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD．
2．如图，等边△ABC，点D为BC延长线上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE．连接CE．求证：BD＝CE．

【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
由旋转的性质可得：∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD 和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，过点C作CD⊥CP，垂足为C，令CD＝CP，连接DP，BD，求∠BPC的度数．

【解答】解：∵CD⊥CP，
∴∠PCD＝90°，
∵PC＝CD＝2，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴PD＝PC＝2，∠CPD＝∠CDP＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP+∠PCB＝90°，
又∵∠PCB+∠BCD＝90°，
∴∠ACP＝∠BCD，
在△ACP和△BCD中，
，
∴△ACP≌△BCD（SAS），
∴BD＝PA＝3，
∵PB＝1，
∴PB2+PD2＝12+（2）2＝9，
∵PA2＝32＝9，
∴PA2＝PB2+PD2，
∴∠BPD＝90°，
∵∠CPD＝45°，
∴∠BPC＝∠BPD+∠CPD＝135°．
4．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形．
（1）如图1，线段BD与AE是否相等？若相等，加以证明；若不相等，请说明理由．
（2）如图1，若 B、C、E三点在一条直线上，AE与BD交于点O，求∠BOE的度数．
（3）如图2，若 B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝3，求BD的长．


【解答】解：（1）BD＝AE，理由如下：
∵△ABC和△DCE都是等边三角形．
∴BC＝CA，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE；
（2）由△BCD≌△ACE得，∠BDC＝∠AEC，
∵∠BOE＝∠ODE+∠DEO＝∠CDE+∠DEC＝60°+60°＝120°，
∴∠BOE的度数是120°；
（3）∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝90°，
∵CD＝DE＝3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE＝＝5，
由（1）同理得，△BCD≌△ACE，
∴BD＝AE＝5．
5．如图，△ABC是等边三角形，D为边BC的中点，BE⊥AB交AD的延长线于点E，点F在AE上，且AF＝BE，连接CF、CE．
求证：（1）∠CAF＝∠CBE；
（2）△CEF是等边三角形．

【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝60°，
∵D为BC的中点，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
又∵BE⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣∠CBA＝30°，
∴∠CAF＝∠CBE；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，
在△CAF和△CBE中，
，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CE＝CF，∠ACF＝∠BCE，
∴∠ECF＝∠BCE+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝∠ACB＝60°，
∴△CEF是等边三角形．
6.以△ABC的AB，AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝α．CD与BE相交于O，连结AO，如图①所示．
（1）求证：BE＝CD；
（2）判断∠AOD与∠AOE的大小，并说明理由．
（3）在EB上取点F，使EF＝OC，如图②，请直接写出∠AFO与α的数量关系．


【解答】（1）证明：∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC＝∠BAC+∠CAE，
∴∠DAC＝∠BAE，
又∵AD＝AB，AC＝AE，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝DC；
（2）解：∠AOD＝∠AOE，理由如下：
过点A作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N，

∵△ABE≌△ADC，
∴∠ABE＝∠ADC，
又∵AD＝AB，
∴△ADM≌△ABN（AAS），
∴AM＝AN，
∵AM⊥OD，AN⊥OE，
∴∠AOD＝∠AOE；
（3）解：∵△AOD≌△AEB，
∴∠AEF＝∠ACO，AE＝AC，
又∵EF＝CO，
∴△AEF≌△ACO（SAS），
∴∠AFE＝∠AOC，AF＝AO，
∴∠AFO＝∠AOF＝∠AOD．
又∵∠DAB＝∠DOB＝α，
∴2∠AFO＝180°﹣α．
7．已知：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠AEB的度数；
（3）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
①请你直接写出∠AEB的度数为多少度？
②探索线段CM、AE、BE之间存在怎样的数量关系，并说明理由．

【解答】（1）证明：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°，
∵点A、D、E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°，
∴∠BEC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°；
（3）解：①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝180﹣45＝135°，
∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°；
②AE＝BE+2CM．
理由：如图2，∵∠DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，
∴CM＝DM＝EM，
∴DE＝DM+EM＝2CM，
∵△ACD≌△BCE（已证），
∴BE＝AD，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．