【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版七年级数学下册讲学案-专题09 平行线模型-“骨折”和“抬头”模型（原卷版+解析版）

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 专题09 平行线模型-“骨折”和“抬头”模型
专题说明


学习前面两次课的平行线模型做题方法，相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课学习平行线最后两个模型：平行线模型-“骨折”和“抬头”模型，为以后的学习打好一个坚实的基础。

【模型刨析】
模型三“抬头”模型

点P在EF右侧，在AB、 CD外部

“臭脚”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.

模型四“骨折”模型

点P在EF左侧，在AB、 CD外部

“骨折”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.





【典例分析】
【类型一：“骨折”模型】
【典例1】（2022春•铜仁市期末）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．

【解答】解：方法一：延长AB交直线DE于点G，
∵AG∥CD，
∴∠CDE＝∠AGE＝60°，
∵AF∥DE，
∴∠BAF＝∠AGE＝60°；
方法二：过点B作BM∥AF，过点C作CN∥ED，

∴∠BAF＝∠3，∠CDE＝∠4＝60°，
∵AF∥DE，
∴BM∥CN，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2，
∴∠3＝∠4，
∴∠BAF＝∠CDE＝60°．
∴∠BAF的度数为60°．

【变式1-1】（2017春•如皋市校级期中）如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线．若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，则∠4的度数为（　　）

A．55° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
【解答】解：如图2，过M作OM∥AB，PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OM∥PN∥CD，
∴∠1＝∠EMO，∠4＝∠PNF，∠OMN＝∠PNM，
∴∠EMN﹣∠MNF＝（∠1+∠MNP）﹣（∠MNP+∠4）＝∠1﹣∠4，
∴60°﹣70°＝40°﹣∠4，
∴∠4＝50°．
故选：B．

【变式1-2】（2021秋•雅安期末）如图，AB∥EF，∠BCD＝90°，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（　　）

A．α+β+γ＝360° B．α+β＝γ+90° C．α+γ＝β D．α+β+γ＝180°
【答案】B
【解答】解：过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠BCM＝α，∠DCM＝∠CDN，∠EDN＝γ，
∵β＝∠CDN+∠EDN＝∠CDN+γ①，∠BCD＝α+∠CDN＝90°②，
由①②得：α+β﹣γ＝90°．
故选：B．


【变式1-3】（2014春•苏州期末）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠E＝50°，则∠F＝（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠EBC＝∠BCF，
∴EB∥CF，
∴∠F＝∠E＝50°．
故选：B．
【类型二：“抬头”模型】
【典例2】（2022春•长沙期中）问题情境
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
问题初探
（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．
分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．
由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 　 ，∠EMC的度数为 　　．
类比再探
（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．
（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．


【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；
故答案为：30°，60°；
（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：
证明：如图，

过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC＝∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；
（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：
证明：如图，

过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD＝∠KBM，
∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°
【变式2-1】（2020春•乳山市期中）【信息阅读】
材料信息：
如图①，AB∥DE，点C是直线AB，DE外任意一点，连接BC，DC．
方法信息：
如图②，在“材料信息”的条件下，∠B＝55°，∠D＝35°，求∠BCD的度数．
解：过点C作CF∥AB．
∴∠BCF＝∠B＝55°．
∵AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠DCF＝∠D＝35°．
∴∠BCD＝55°﹣35°＝20°．
【问题解决】
（1）通过【信息阅读】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：　 ；
（2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点C的位置，∠B，∠D，∠BCD之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由．

【解答】解（1）过C作CF∥ED，
∵AB∥ED，
∴AB∥CF，
∴∠B＝∠BCF，
∠D＝∠DCF，
∵∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF，
∴∠BCD＝∠B﹣∠D，
故答案为：∠BCD＝∠B﹣∠D．


（2）过点C作CF∥AB，
∴∠BCF＝∠B，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠DCF＝∠D，
∵∠BCD＝∠DCF﹣BCF，
∴∠BCD＝∠D﹣∠B．


【夯实基础】
1．（2022秋•青岛期末）如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（　　）

A．30° B．40° C．60° D．80°
【答案】B
【解答】解：反向延长DE交BC于M，如图：

∵AB∥DE，
∴∠BMD＝∠ABC＝80°，
∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；
又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，
∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．
故选：B．
2．（2022秋•东莞市校级期中）如图，AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E为（　　）

A．30° B．40° C．35° D．70°
【答案】A
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠A＝70°，
∵∠1＝∠E+∠C，∠C＝40°，
∴∠E＝30°．
故选：A．

3．（2022春•林州市期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（　　）

A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°
【答案】C
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故选：C．

4．（2020春•恩平市期中）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系是（　　）

A．β+γ﹣α＝90° B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β＝α+γ
【答案】C
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α，
∵∠β+∠EDH＝180°，∠2+∠γ+∠EDH＝180°，
∴∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故选：C．

5．（2022秋•肇源县期中）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠E＝50°，则∠F的度数 　 　．

【答案】50°
【解答】解：连接BC，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠EBC＝∠BCF，
∴EB∥CF，
∴∠F＝∠E＝50°．
故答案为：50°．

6．（2022春•左权县期中）为了落实“双减”政策，促进学生健康成长，各学校积极推行“5+2”模式，立足学生的认知成长规律，满足学生多样化的需求，打造特色突出、切实可行的体育锻炼内容．晋中市的某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动，如图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小丽把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是 　 　．

【答案】30°
【解答】解：延长DC交AE于点F，

∵AB∥CD，
∴∠EFC＝∠A＝80°，
由外角的性质得，∠DCE＝∠E+∠EFC，
∴∠E＝110°﹣80°＝30°．
故答案为：30°．
7．（2022春•泰兴市校级月考）如图，直线AB∥CD，∠B＝66°，∠D＝37°，则∠E的度数是 　 　．

【答案】30°
【解答】解：如图，

∵AB∥CD，∠B＝66°，
∴∠CFE＝∠B＝66°，
∵∠CFE是△DEF的外角，∠D＝37°，
∴∠E＝∠CFE﹣∠D＝66°﹣37°＝29°．
故答案为：29°．
8．（2021春•青浦区期中）已知，直线AB∥CD
（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．

【解答】（1）过点G作GE∥AB，

因为AB∥GE，
所以∠A+∠AGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
因为∠A＝140°，所以∠AGE＝40°，
因为AB∥GE，AB∥CD，
所以GE∥CD（平行的传递性），
所以∠C+∠CGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
因为∠C＝150°，所以∠CGE＝30°，
所以∠AGC＝∠AGE+∠CGE＝40°+30°＝70°．
（2）过点G作GF∥AB，

因为AB∥GF，
所以∠A＝AGF（两直线平行，内错角相等），
因为AB∥GF，AB∥CD，
所以GF∥CD（平行的传递性），
所以∠C＝∠CGF，
所以∠AGC＝∠AGF+∠CGF＝∠A+∠C，
因为∠A＝x°，∠C＝y°
所以∠AGC＝（x+y）°，
（3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，

∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD（平行的传递性），
∴∠BAE＝∠AEM（两直线平行，内错角相等），
∠MEF＝∠EFN（两直线平行，内错角相等），
∠NFG＝∠FGQ（两直线平行，内错角相等），
∠QGC＝∠GCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠AEF＝∠BAE+∠EFN，
∠FGC＝∠NFG+GCD，
而∠EFN+∠NFG＝∠EFG，
∴∠BAE+∠EFG+∠GCD＝∠AEF+∠FGC．
9.（2022春•宜春期末）问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．
（1）端点A、C同向：
如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝　 　度；
如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝　 　度；
（2）端点A、C反向：
如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；
如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝　 　度．

【解答】解：（1）如图：过点P作PE∥AB，

∴∠A＝∠APE，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C＝∠EPC，
∵∠APC＝∠APE+∠EPC，
∴∠APC＝∠A+∠C，
∴∠APC﹣（∠A+∠C）＝0度，
故答案为：0；
如图：过点P作PE∥AB，

∴∠A+∠APE＝180°，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C+∠EPC＝180°，
∴∠A+∠APE+∠C+∠EPC＝360°，
∴∠APC+∠A+∠C＝360°，
∴∠APC+（∠A+∠C）＝360度，
故答案为：360；
（2）∠APC+∠A﹣∠C＝180°，
证明：过点P作PE∥CD，
∴∠C＝∠EPC，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB，
∴∠A+∠APE＝180°，
∴∠A+∠APC﹣∠EPC＝180°，
∴∠A+∠APC﹣∠C＝180°，
∴∠APC+∠A﹣∠C＝180°；
如图：过点P作PE∥AB，
∴∠A＝∠APE，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C+∠EPC＝180°，
∴∠C+∠APC﹣∠APE＝180°，
∴∠C+∠APC﹣∠A＝180°，
∴∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°，
故答案为：180．


【能力提升】
10．（2019春•全南县期末）（1）如图1已知：∠B＝25°，∠BED＝80°，∠D＝55°．探究AB与CD有怎样的位置关系．
（2）如图2已知AB∥EF，试猜想∠B，∠F，∠BCF之间的关系，写出这种关系，并加以证明．
（3）如图3已知AB∥CD，试猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明．

【解答】解：（1）过点E作EF∥AB
∵∠B＝25°
∴∠BEF＝∠B＝25°
∵∠BED＝80°
∴∠DEF＝∠BED﹣∠BEF＝55°
∵∠D＝55°
∴∠D＝∠DEF
∴EF∥CD
∴AB∥CD

（2）过点C作CD∥AB
∴∠B＝∠BCD
∵AB∥EF
∴CD∥EF
∴∠F＝∠DCF
∵∠BCF＝∠BCD+∠DCF
∴∠BCF＝∠B+∠F
（3）∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．
由（1）（2）可得：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4
11．（2022春•凤泉区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．
（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 　 　；
②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；
（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．


【解答】解：（1）①如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，

∴∠BEG＝∠EGN，
∵AB∥CD，
∴∠NGF＝∠GFD，
∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，
∵EG⊥FG，
∴∠EGF＝90°，
∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG；
∴∠BEP＝BEG，∠PFD＝GFD，
∴∠EPF＝（∠BEG+∠GFD）＝EGF＝45°，
故答案为：45°；
②如图，过点Q作QR∥CD，

∵∠BEG＝40°，
∵EG恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，
∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，
设∠GFD＝∠QFD＝α，
∵QR∥CD，AB∥CD，
∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，
∵CD∥QR，
∴∠DFQ+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQE＝80°，
∴∠FQE＝80°﹣α，
由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，
∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；
（2）结论：∠OEA+2∠PFC＝160°．
理由：∵在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的延长线上一点，
∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，
设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，
如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，

∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，
∴∠EOF＝β﹣2α，
∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，
由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，
∵∠EOF+∠EGF＝100°，
∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，
∴α+β＝80°，
∴∠OEA+∠OFC＝80°，
∴∠OEA+2∠PFC＝160°．