【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版七年级数学下册讲学案-专题07 平行线模型-“猪蹄”模型（M模型）（原卷版+解析版）

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专题07 平行线模型-“猪蹄”模型（M模型）
专题说明


几何学有形象化的好处，几何会给人以数学直觉，不能把几何学等同于逻辑推理，只会推理，缺乏数学直觉，是不会有创造的。现在初一的学生刚刚开始接触几何的证明，普遍会出现证明步骤不规范，在书写的时候也会出现无从下手的情况，做题速度也普遍变慢，只有少数学生能够在规定时间内正确作答。所以，只要学生能够学会利用平行线的性质和判定的几个基本模型去解决实际问题，会起到事半功倍的效果。本次课主要学习平行线模型-“猪蹄”模型（M模型），为以后的学习打好一个坚实的基础。
【模型刨析】
模型一“猪蹄”模型（M模型）

点P在EF左侧，在AB、 CD内部

“猪蹄”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.

【典例分析】
【典例1】（2022春•上虞区期末）如图1，已知点E，F分别是直线AB，CD上的点，点M在AB与CD之间，且AB∥CD．
（1）若∠EMF＝80°，则∠AEM+∠CFM＝　 　．
（2）如图2，在图1的基础上，作射线EN，FN交于点N，使∠AEN＝∠AEM，∠CFN＝∠CFM，设∠EMF＝α，猜想∠ENF的度数（用α表示），并说明理由．
（3）如图3，在图1的基础上，分别作射线EP，FP交于点P，作射线EQ，FQ交于点Q，若∠AEP＝∠AEM，∠CFP＝∠CFM，∠BEQ＝∠BEM，∠DFQ＝∠DFM，请直接写出∠P与∠Q间的数量关系．

【解答】解：（1）

过点M作MG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MG，
∴∠AEM＝∠EMG，∠GMF＝∠CFM，
∴∠AEM+∠CFM＝∠EMG+∠GMF＝∠EMF＝80°．
故答案为：80°．
（2）∠ENF＝α．理由如下：

过点M作MG∥AB，
由（1）知，∠EMF＝∠AEM+∠CFM，
过点N作NH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥NH，
∴∠AEN＝∠ENH，∠HNF＝∠CFN，
∴∠ENF＝∠ENH+∠HNF＝∠AEN+∠CFN，
∵∠AEN＝∠AEM，∠CFN＝∠CFM，
∴∠ENF＝∠AEM+∠CFM
＝（∠AEM+∠CFM）
＝∠EMF，
∵∠EMF＝α，
∴∠ENF＝α．
（3）n∠Q+m∠P＝360°．理由如下：
由（2）的结论可知，∠P＝∠M，∠Q＝∠BEQ+∠DFQ，∠BEM+∠DFM+∠M＝360°，
∵∠BEQ＝∠BEM，∠DFQ＝∠DFM，
∴∠Q＝∠BEM+∠DFM，
＝（∠BEM+∠DFM）
＝（360°﹣∠M），
∴∠M＝360°﹣n∠Q，
∵∠M＝m∠P，
∴360°﹣n∠Q＝m∠P，即n∠Q+m∠P＝360°．
【变式1-1】（2021秋•兴城市期末）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东52°方向，C岛在B岛的北偏西43°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．

【解答】解：过C作CF∥AD，

∵BE∥AD
∴∠ACF＝∠A＝52°，
∵CF∥BE
∴∠BCF＝∠B＝43°，
∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝52°+43°＝95°，
∴从C岛看A，B的视角∠ACB为95°．
【变式1-2】（2022春•朝阳县期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1，l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系，小明过点P作l1的平行线，可得∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB＝　 ．
（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请写出证明过程．


【解答】解：（1）∵记过点P作l1的平行线为PC，
∵PC∥l1，
∴∠A＝∠APC，
∵l1∥l2，
∴PC∥l2，
∴∠B＝∠BPC，
∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝∠A+∠B，
故答案为：∠APB＝∠A+∠B；
（2）发生变化，
如图，过点PF∥AC，则∠APF＝∠A，

∵AC∥BD，
∴PF∥BD，
∴∠B＝∠BPF，
∴∠APB＝∠BPF﹣∠APF＝∠B﹣∠A．
【变式1-3】（2021秋•长春期末）小明同学遇到这样一个问题：
如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
小亮帮助小明给出了该问的证明．
证明：
过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：
直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，
猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．
拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．


【解答】解：猜想：如图1，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，
∵l1∥l2，
∴BD∥PH，
∴∠PBD＝∠BPH，
∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠PAC+∠PBD，
∵∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，
∴∠APB＝15°+40°＝55°．
拓展：①如图1，当点P在线段CD上时，
由猜想可知，∠APB＝∠PAC+∠PBD；
②如图2，当点P在射线DP上时，
过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，
∵l1∥l2，
∴BD∥PH，
∴∠PBD＝∠BPH，
∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠PAC﹣∠PBD；
③如图3，当点P在射线CE上时，
过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，
∵l1∥l2，
∴BD∥PH，
∴∠PBD＝∠BPH，
∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠PAC；
综上所述，∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系为∠APB＝∠PAC+∠PBD或∠APB＝∠PAC﹣∠PBD或∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．

【夯实基础】
1．（2022春•内乡县期末）如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠3的度数为（　　）

A．55° B．75° C．80° D．105°
【答案】B
【解答】解：方法一：过点E作EM∥AB，如图所示，

∵AB∥EM．
∴∠HEM＝∠1＝45°．
∵AB∥CD．
∴EM∥CD．
∴∠GEM＝∠2＝30°．
∴∠3＝∠HEM+∠GEM＝75°．
故选：B．
方法二：∵AB∥CD．
∴∠HFG＝∠1＝45°．
∵∠3是△EFG的外角．
∴∠3＝∠HFG+∠2＝45°+30°＝75°．
故选：B．
2．（2022春•安新县期末）如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（　　）

A．180°﹣α B．120°﹣α C．60°+α D．60°﹣α
【答案】C
【解答】解：连接BC，
∵AB∥CD，
∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD＝180°，
而∠CBO+∠BCO+∠O＝180°，
∴∠O＝∠ABO+∠DCO＝60°+α．
故选：C．

3．（2020•韶关模拟）如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，C岛在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB的度数是（　　）

A．70° B．20° C．35° D．110°
【答案】A
【解答】解：如图，连接AB，

∵两正北方向平行，
∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣45°﹣25°＝110°，
∴∠ACB＝180°﹣110°＝70°．
故选：A．
4．（2019•淮安区校级二模）如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠3＝75°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】A
【解答】解：过点E作EF∥AB，则∠1＝∠4＝45°，

∴∠5＝75°﹣∠4＝30°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠2＝∠5＝30°，
故选：A．
5．（2019•青岛模拟）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．70°
【答案】D
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝40°，∠2＝30°，
∴∠C＝40°．
∵∠3是△CDE的外角，
∴∠3＝∠C+∠2＝40°+30°＝70°．
故选：D．
6．（2022•朝阳区校级模拟）已知l1∥l2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若∠1＝65°，则∠2＝　　度．

【答案】25
【解答】解：如图，
过直角顶点作l3∥l1，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥l3，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，
∵∠1＝65°，
∴∠2＝25°．
故答案为：25．

7．（2022春•诸暨市期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB＝∠COA＝72°．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝27°．则∠AOD的度数是 　 　．

【答案】45°或99°
【解答】解：∵DE∥CF，
∴∠COD＝∠ODE．（两直线平行，内错角相等）
∵∠ODE＝27°，
∴∠COD＝27°．
在图1的情况下，∠AOD＝∠COA﹣∠COD＝72°﹣27°＝45°．
在图2的情况下，∠AOD＝∠COA+∠COD＝72°+27°＝99°．
∴∠AOD的度数为45°或99°．
故答案为：45°或99°．

8．（2022春•文登区期末）将一副三角板如图摆放，使两个直角顶点重合，斜边平行，则∠1＝　 　．

【答案】75°
【解答】解：如图：延长AC，交ED的延长线于点F，

∵AB∥ED，
∴∠A＝∠AFE＝45°，
∵∠1是△CEF的外角，
∴∠1＝∠E+∠AFE＝75°，
故答案为：75°．

9．（2021秋•九江期末）如图．BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，求∠C的度数．

【解答】解：过点C作CF∥BA，如图，

∵CF∥BA，
∴∠BCF＝∠B＝30°，
∵BA∥DE，CF∥BA，
∴CF∥DE．
∵∠D＝40°，
∴∠FCD＝∠D＝40°，
∴∠BCD＝∠BCF+∠FCD＝70°．
10．（2021春•海淀区校级期末）如图，AB∥CD，∠B＝26°，∠D＝39°，求∠BED的度数．

【解答】解：过点E作EF∥AB，
∴∠1＝∠B＝26°，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠2＝∠D＝39°，
∴∠BED＝∠1+∠2＝65°．
11．（2021春•拱墅区期中）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由．
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数．

【解答】解：（1）∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立，理由：
过点E作EF∥AB，如图，

∵EF∥AB，
∴∠A＝∠AEF．
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴FE∥CD．
∴∠C＝∠CEF．
∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF，
∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE．
（2）过点E作EH∥AB，如图，

由（1）的结论可得：∠BED＝∠ABE+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠ABE＝∠ABC＝20°．
∵∠FAD＝50°，AB∥CD，
∴∠ADC＝∠FAD＝50°．
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠ADC＝25°．
∴∠BED＝20°+25°＝45°．
12．（2021春•云梦县期中）如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．
（1）若∠1+∠2＝90°，求证：AB∥CD；
（2）若AB∥CD，求∠BED的度数．

【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2．
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ABD+∠BDC＝2（∠1+∠2）＝180°．
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠ABD＝2∠EBD，∠BDC＝2∠EDB，
∴∠EBD+∠EDB＝90°，
∴∠BED＝180°﹣90°＝90°．
【能力提升】
13．（2021春•沧县期中）引入
在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型﹣﹣“猪蹄模型”．如图所示，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，求证：∠AEC＝∠BAE+∠DCE．
嘉琪想到了下面的思路，请根据思路继续完成求证：
证明：如图，过点E作EF∥AB．
思考
当点E在如图所示的位置时，其他条件不变，写出∠BAE，∠AEC，∠DCE三者之间的数量关系并说明理由．

应用
如图，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠BAE＝132°，∠DCE＝118°，求∠MEC的度数．

提升
点E、F、G在直线AB与CD之间，连接AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图．若∠EFG＝m°，直接写出∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG的总度数．


【解答】（1）∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°；理由：
证明：过点E作EF∥AB，如图①所示，

∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠BAE+∠AEC+∠DCE，
＝∠A+∠AEF+∠C+∠CEF
＝180°+180°
＝360°．
（2）解：同（1）得：∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴∠AEC＝360°﹣∠A﹣∠DCE＝360°﹣132°﹣118°＝110°，
∴∠MEC＝180°﹣∠AEC，
＝180°﹣110°
＝70°．
（3）过点F作FH∥AB．如图②所示，

∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH＝360°，
∠HFG+∠FGC+∠GCD＝360°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD＝720°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG＝720°+m°．
∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG，
＝720°﹣360°+m°
＝（360+m）°．
14．（2022春•阳江期末）如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．

【解答】（1）证明：作OM∥AB，如图1，
∴∠1＝∠BEO，
∵AB∥CD，
∴OM∥CD，
∴∠2＝∠DFO，
∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO，
即：∠O＝∠BEO+∠DFO．
（2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下：
作OM∥AB，PN∥CD，如图2，
∵AB∥CD，
∴OM∥PN∥AB∥CD，
∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，
∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，
∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．


15．（2022春•来宾期末）如图，直线PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．
（1）若把三角尺按图甲方式放置，则∠MAC+∠PBC＝　　°；
（2）若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的值；
（3）如图丙，三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．


【解答】解：（1）延长BC交MN于点D，

∵PQ∥MN，
∴∠PBC＝∠ADC，
∵∠ACB是△ACD的一个外角，
∴∠ACB＝∠ADC+∠MAC，
∴∠ACB＝∠PBC+∠MAC＝90°，
故答案为：90；
（2）∵∠AEN＝∠A，∠BAC＝30°，
∴∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠CEM＝∠AEN＝30°，
利用（1）的结论可得：
∠ACB＝∠PDC+∠MEC，
∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDF＝∠PDC＝60°，
∴∠BDF的度数为60°；
（3）∵CE平分∠MEG，
∴∠CEM＝∠CEG，
设∠CEM＝∠CEG＝x，
∴∠GEN＝180°﹣∠CEM﹣∠CEG＝180°﹣2x，
利用（1）的结论可得：
∠ACB＝∠PDC+∠MEC，
∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝90°﹣x，
∴∠BDF＝∠PDC＝90°﹣x，
∴＝＝2，
∴的值为2．