【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版七年级数学下册讲学案-专题12 全等三角形基本模型（4大模型）（原卷版+解析版）

        专题12  全等三角形基本模型（4大模型）

模型一：平移型

模型二：翻折型

模型三：旋转型

模型四：一线三垂直型

【典例分析】

【模型一：平移型】

【典例1】如图，已知点E、C在线段BF上， ， ， .求证：    . 

【解答】证明：

，即 .

∴在 和 中，

.

【变式1-1】如图，已知Rt△ABC与Rt△DEF中，∠A＝∠D＝90°，点B、F、C、E在同一直线上，且AB＝DE，BF＝CE，求证：∠B＝∠E．

【解答】证明：∵，

∴

在和中

∵

∴

∴．

【变式1-2】如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA//FB，EC//FD，EA=FB．求证：AB=CD．

【解答】证明：

在和中，

【变式1-3】如图，点B，C，E，F在同一直线上，，，，垂足分别为C，F，．求证：．

【解答】证明：∵，

∴即，

在Rt△ABC和Rt△DEF中

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），

∴AC=DF．

【模型二：翻折型】

【典例2】已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求证：AC＝DC．

【解答】解：∵BC平分∠ABD，

∴∠ABC＝∠DBC，

在△BAC和△BDC中，

∴△BAC≌△BDC，

∴AC＝DC．

【变式2-1】如图，已知 是 的角平分线， ． 

求证： ．

【解答】证明：∵ 是 的角平分线（已知），  

∴ （角平分线定义），

在 与 中，

∵

∴ ．

【变式2-2】已知：如图，线段BE、DC交于点O，点D在线段AB上，点E在线段AC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．

【解答】解：在△AEB和△ADC中，

，

∴△AEB≌△ADC（SAS），

∴∠B=∠C．

【变式2-3】已知：如图，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2.求证AB＝DC.

【解答】证明：如图，记的交点为O，

∵∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2，

又∵∠OBC＝∠ABC−∠1，∠OCB＝∠DCB−∠2，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴OB＝OC，

在△ABO和△DCO中，，

∴△ABO≌△DCO（ASA），

∴AB＝DC.

【模型三：旋转型】

【典例3】已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA=OE．求证：△ABO≌△EDO．

【解答】证明：∵AB⊥BE，DE⊥AD，

∴∠B=∠D=90°．

在△ABO和△EDO中

，

∴△ABO≌△EDO．

【变式3】如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE，求证：△ABE≌△DCE．

【解答】证明：在△ABE和△DCE中   ， 

∴△ABE≌△DCE（SAS）

【典例4】如图，，，，求证：.

【解答】证明：∵∠1＝∠2，

∴∠1＋∠ECA＝∠2＋∠ECA，即∠ACB＝∠DCE，

在△ABC和△DEC中，

∴△ABC≌△DEC（SAS），

∴.

【变式4】如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.

（1）求证：EF＝BC；

（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数.

【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，

∴∠CAF+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，即∠EAF=∠BAC，

∵AE＝AB，AC=AF，

∴△EAF≌△BAC，

∴EF＝BC；

（2）解：∵△EAF≌△BAC，

∴∠AEF=∠ABC＝65°，

∵AB=AE，

∴∠AEB=∠ABC＝65°，

∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF＝50°，

∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=78°.

【模型四：一线三垂直型】

【典例5】如图，AB＝AC，直线l经过点A，BM⊥l，CN⊥l，垂足分别为M、N，BM＝AN．

（1）求证：MN＝BM+CN；

（2）求证：∠BAC＝90°．

【解答】（1）证明：∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，

∴∠AMB＝∠CNA＝90°，

在Rt△AMB和Rt△CNA中，

，

∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL），

∴BM＝AN，CN＝AM，

∴MN＝AM+AN＝BM+CN；

（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，

∴∠BAM＝∠ACN，

∵∠CAN+∠ACN＝90°，

∴∠CAN+∠BAM＝90°，

∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．

【变式5-1】课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：

（1）求证：△ADC≌△CEB；

（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）

【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，

∴∠BCE＝∠DAC，

在△ADC和△CEB中，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，

∴AD＝4a，BE＝3a，

由（1）得：△ADC≌△CEB，

∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，

∴DC＋CE＝BE＋AD＝7a＝35，

∴a＝5，

答：砌墙砖块的厚度a为5cm．

【变式5-2】在 中，  ，  ，直线  经过点  ，且  于  ，  于  .

（1）当直线 绕点  旋转到图1的位置时， 

①求证：   ≌   ；

②求证：   ；

（2）当直线 绕点  旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

【解答】（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN， 

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

又∵AC=BC，

∴ ≌   ；

②∵ ≌   ，

∴CD=BE，AD=CE，

∵DE=CE+CD，

∴DE=AD+BE；

（2）解：DE=AD+BE不成立，此时应有DE=AD－BE，理由如下： 

∵BE⊥MN，AD⊥MN，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠EBC+∠ECB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECB+∠ACE=90°，

∴∠ACD=∠EBC，

又∵AC=BC，

∴ ≌   ，

∴AD=CE，CD=BE，

∵DE=CE－CD，

∴DE=AD－BE.

【夯实基础】

1．如图，在△ABC和△ADC中，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD，∠1＝30°，则∠2＝（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【答案】D

【解答】解：如图，

∵∠B＝90°，∠1＝30°，

∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣30°＝60°，

在Rt△ABC和Rt△ADC中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），

∴∠2＝∠3＝60°．

故选：D．

2．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，FC∥AB，若AB＝8，CF＝6，则BD的长是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解答】解：∵CF∥AB，

∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，

在△ADE和△CFE中，

，

∴△ADE≌△CFE（AAS），

∴AD＝CF＝6，

∵AB＝8，

∴DB＝AB﹣AD＝8﹣6＝2．

故选：B．

3．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则∠EDB的度数为（　　）

A．30° B．20° C．10° D．15°

【答案】B

【解答】解：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC＝∠CAD，

在△EAD和△CAD中，

，

∴△EAD≌△CAD（SAS），

∴∠AED＝∠C＝60°，

∴∠EDB＝∠AED﹣∠B＝60°﹣40°＝20°，

故选：B．

4．如图，已知点B、D、C、F在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，AC∥DE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的长等于（　　）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】B

【解答】解：∵AB∥EF，

∴∠B＝∠F，

∵AC∥DE，

∴∠ACB＝∠EDF，

在△ABC和△EFD中，

，

∴△ABC≌△EFD（AAS），

∴BC＝FD，

∴BC﹣DC＝FD﹣DC，

∴BD＝FC，

∴BD＝（BF﹣DC）＝（6﹣3）＝．

故选：B．

5．如图，D、E分别为AB、AC边上的点，∠B＝∠C，BE＝CD．若AB＝7，CE＝4，则AD的长度为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解答】解：在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（AAS），

∴AB＝AC＝7，AD＝AE，

∴AD＝AC﹣CE＝7﹣4＝3，

故选：B．

6．如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，则PN的长为（　　）

A．5 B．7 C．8 D．11

【答案】B

【解答】解：∵H是高MQ和NR的交点，

∴∠P+∠PMQ＝90°，∠PMQ＝∠RHM＝90°，∠QHN+∠HNQ＝90°，

∵∠RHM＝∠QHN，

∴∠P＝∠QHN，

在△PMQ与△HNQ中，

，

∴△PMQ≌△HNQ（AAS），

∴PQ＝HQ，MQ＝QN，

∵MH＝3，PQ＝2，

∴MQ＝NQ＝MH+HQ＝MH+PQ＝3+2＝5，

∴PN＝PQ+QN＝2+5＝7，

故选：B．

7．如图，D是AB延长线上一点，DF交AC于点E，AE＝CE，FC∥AB，若AB＝3，CF＝5，则BD的长是（　　）

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2

【答案】D

【解答】证明：∵FC∥AB

∴∠FCE＝∠DAE，

在△CFE和△ADE中

，

∴△CFE≌△ADE（ASA），

∴AD＝CF＝5，

∵AB＝3，

∴BD＝5﹣3＝2，

故选：D．

8．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．

（1）求证：△AEC≌△BED；

（2）若∠1＝42°，求∠BDE的度数．

【解答】解：（1）证明：∵AE和BD相交于点O，

∴∠AOD＝∠BOE．

在△AOD和△BOE中，

∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．

又∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠BEO，

∴∠AEC＝∠BED．

在△AEC和△BED中，

，

∴△AEC≌△BED（ASA）．

（2）∵△AEC≌△BED，

∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．

在△EDC中，

∵EC＝ED，∠1＝42°，

∴∠C＝∠EDC＝69°，

∴∠BDE＝∠C＝69°．

9．如图，AD∥BC，AD＝CB．求证：△ADE≌△CBE．

【解答】证明：∵AD∥BC，

∴∠A＝∠C，

在△ADE和△CBE中，

，

∴△ADE≌△CBE（AAS）

10．已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA＝OE．求证：△ABO≌△EDO．

【解答】证明：∵AB⊥BE，DE⊥AD，

∴∠B＝∠D＝90°．

在△ABO和△EDO中

，

∴△ABO≌△EDO（AAS）．

11．如图，点E在AB上，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，CE＝ED．求证：△ACE≌△BED．

【解答】证明：∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°，

∴∠C+∠CEA＝90°，∠CEA+∠DEB＝90°，

∴∠C＝∠DEB，

在△ACE和△BED中，

∵，

∴△ACE≌△BED（AAS）．

12．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2．

【解答】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，

∴∠B＝∠D＝90°，

∴△ABC与△ACD为直角三角形，

在Rt△ABC和Rt△ADC中，

∵AB＝AD，AC为公共边，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），

∴∠1＝∠2．

13．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF．

【解答】证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，

∴∠ABC＝∠DEF＝90°．

在Rt△ABC和Rt△DEF中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．

∴BC＝EF．

∴BC﹣BE＝EF﹣BE．

即：CE＝BF．

14．如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE＝CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．

【解答】证明：∵BD，CE分别是△ABC的高，

∴∠BEC＝∠CDB＝90°，

在Rt△BEC和Rt△CDB中，

，

∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）．

15．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：OB＝OC．

【解答】证明：∵∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC＝BC，

∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL）

∴∠ACB＝∠DBC．

∴∠OCB＝∠OBC．

∴OB＝OC（等角对等边）．

16．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；

（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；

（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．

【解答】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°，

在Rt△ABD和Rt△ACE中，

∵，

∴Rt△ABD≌Rt△CAE．

∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．

∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，

∴∠BAD+∠CAE＝90°．

∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°．

∴AB⊥AC．

（2）AB⊥AC．理由如下：

同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE．

∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC，

∵∠CAE+∠ECA＝90°，

∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，

∴AB⊥AC．