2022-2023学年辽宁省朝阳市高三（上）期末数学试卷（含解析）

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2022-2023学年辽宁省朝阳市高三（上）期末数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数是虚数单位，则在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  已知集合，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，侧面均为腰长为的等腰梯形，则该四棱台的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知抛物线：的焦点为，准线为，点为上一点，过作的垂线，垂足为，若的倾斜角为，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知小郭、小张和小陆三名同学同时独立地解答一道概率试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在等比数列中则能使不等式成立的正整数的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数，若函数在区间上有两个零点，，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

8.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知函数，则(    )

A. 的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
B. 的图象与的图象关于轴对称
C. 的单调递减区间为
D. 在上有个零点，则实数的取值范围是

10.  已知点在直线：上，点在圆：上，则下列说法正确的是(    )

A. 点到的最大距离为
B. 若被圆所截得的弦长最大，则
C. 若为圆的切线，则的取值范围为
D. 若点也在圆上，则到的距离的最大值为

11.  将，，，，，，这七个数随机地排成一个数列，记第项为，则下列说法正确的是(    )

A. 若，，则这样的数列共有个
B. 若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有个
C. 若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有个
D. 若，，，则这样的数列共有个

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

12.  已知向量，若，则        ．

13.  若，则        ．

14.  已知点，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且满足，，则该椭圆的离心率是        ．

15.  如图，在棱长为的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点且平面，则线段长度的取值范围是        ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
如图，若是外接圆的劣弧上一点，且，，求．

17.  本小题分
在等比数列中，，．
求的通项公式；
设，求的前项和．

18.  本小题分
某地区年至年居民家庭人均存款单位：万元数据如表：

变量，具有线性相关关系．
求关于的线性回归方程，并预测年该地区居民家庭人均存款；
若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差为，则称该数据为“完美数据”现从这些数据中随机抽取个，设为抽到的“完美数据”的个数，求的分布列和数学期望．
参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：．

19.  本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，，，．
求证：；
求二面角的余弦值．

20.  本小题分
如图，已知双曲线：的左、右顶点分别为，，，点是上异于左、右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，且．
求的方程；
若点满足，，记，的面积分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21.  本小题分
已知函数．
若在上恒成立，求实数的值；
证明：当时，．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
所以，则在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故选：．
根据复数代数形式的乘法运算化简复数，即可得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：集合，，
由交集的定义可得：．
故选：．
先求出集合，，然后利用交集的定义即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设在正四棱台中，取侧面，
则，，，如下图所示：

分别过点、在侧面内作，，垂足分别为、，
因为，，，
所以≌，，
因为，，，故四边形为矩形，故EF，
所以，，
因此该四棱台的表面积为．
故选：．
计算出四棱台侧面的高，再利用梯形和正方形的面积公式可求得该四棱台的表面积．
本题主要考查了四棱台的结构特征，考查了四棱台的表面积公式，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得：，准线方程为，
设准线与轴交于点，，故，
因为的倾斜角为，所以，
故，即，
故，解得：，所以．
故选：．
画出图形，得到，从而求出，进而求出，利用焦半径公式求出．
本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：记“三人中至少有两人解答正确”为事件，“小陆同学解答不正确”为事件，
则，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，所以公比，则，时，，时，，
又，所以，，，，
则，
又当时，，
所以能使不等式成立的最大正整数是．
故选：．
首先可得，即可得到时，，时，，再根据下标和性质得到，，，，即可得到，从而得解．
本题主要考查等比数列的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为函数在区间上有两个零点，即在区间上有两个交点，如图所示：

则的取值范围是，又两个零点为，，
所以令，则，，，，
则令，
，，，，因为的取值范围是，
所以在的范围内单调递增，，
所以在恒成立，即在上单调递增，
又，，则的取值范围是
故选：．
根据函数在区间上有两个零点，，可以求得的取值范围，以及，的值，代入构造新的函数，求导讨论函数的单调性，即可求得新构造函数的值域．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的最值，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，所以，则，
所以，故A正确；
则，所以，故B正确；
因为，所以，则，故C错误；
由，则，所以，故D正确；
故选：．
依题意可得，即可判断、、，再根据指数函数的性质判断．
本题主要考查对数函数单调性的应用，还考查了不等式的性质，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
所以，
对于，的图象向右平移个单位长度后得到函数，
即，A正确；
对于，，B正确；
对于，由，，
解得，
所以函数的单调递减区间为，C正确；
因为，
所以，
因为在上有个零点，
所以，解得，D错误．
故选：．
根据三角恒等变换求出，根据三角函数的图象性质即可求解．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：直线：恒过定点，当时，圆心到直线的距离最大，
最大距离为，故到直线的最大距离为，故A正确；
被圆所截得的弦长最大时，则过圆的圆心，所以，解得，故B正确；
若为圆的切线，，解得，故C错误；
若点也在圆上，则圆与直线有公共点，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为圆的半径，
所以到的距离的最大值为，故D正确．
故选：．
直线：恒过定点，当时，圆心到直线的距离最大，可判断；被圆所截得的弦长最大时，则过圆的圆心，可求，可判断；由，可求判断；当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为圆的半径，可判断．
本题考查直线与圆的位置关系，以及点到线的距离的最大值，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于：由于为奇数，根据对称性可知这样的数列有个，故A正确；
对于：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，
则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有个，故B错误；
对于：从，，，，，中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
从，，，，，中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
从，，，，，中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
从，，，，，中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
从，，，，，中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
故满足条件的总个数为：个，故C错误．
对于：若则这样的数列有个，
若则这样的数列有个，
若则这样的数列有个，
所以满足条件的这样的数列共有个，故D正确．
故选：．
根据对称性可得，即可判断，
对于：则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，即可判断，
对于：对的位置分类讨论，
对于，分、、三种情况讨论．
本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为，且，
所以，解得，
所以，，
则，
所以．
故答案为：．
根据平面向量共线的坐标表示得到方程，求出的值，即可得到、的坐标，再求出，最后根据向量模的坐标表示计算可得．
本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，即，所以，
即．
故答案为：．
根据题意，由指对数的相互转化，以及指数运算即可得到结果．
本题主要考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，设，，则，
，，
又，，
，，
由勾股定理可得，
，，
该椭圆的离心率为．
故答案为：．
设，则，利用勾股定理可求得，再利用椭圆的定义可得出，求出、，利用勾股定理结合离心率公式可求得结果．
本题考查椭圆的几何性质，勾股定理的应用，方程思想，属中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，的中点，的中点，连接、、、，
根据正方体的性质可得，平面，平面，
所以平面，同理可证平面，
又，，平面，
所以平面平面，又平面平面，
且平面，平面，
点是侧面上的动点，所以在线段上，
又，所以，，，
所以，则，
所以线段长度的取值范围是．
故答案为：．
取的中点，的中点，的中点，连接、、、，根据正方体的性质得到，即可得到平面，同理可证平面，从而证明平面平面，即可得到在线段上，再求出、，即可求出的取值范围．
本题考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，运动变化思想，属中档题．
 

16.【答案】解：，
则由正弦定理可得，，
，
，即，
，
，
，
，
，
；
在中，由余弦定理得，
所以，
由圆的内接四边形的性质可知，
在中，由余弦定理得，
即，解得或舍． 

【解析】利用正弦定理边化角结合三角恒等变换即可求解；
利用余弦定理分别在和解三角形可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：由题意可得：
，又，，
解得，
的通项公式；
由可得：，
若为奇数，可得，则有：
当为奇数时，则；
当为偶数时，则，
综上所述：． 

【解析】根据等比数列的通项公式列式运算求解；
根据题意可得：，利用并项求和运算求解．
本题考查等比数列的通项公式，并项求和法，方程思想，分类讨论思想，属中档题．
 

18.【答案】解：，，，，
所以线性回归方程为，时，，即年该地区居民家庭人均存款预测为万元；
由知“完美数据”有两个，，
因此可能值是，，，，，，
的分布列为：

． 

【解析】根据线性回归方程中系数的计算公式计算系数得回归方程，令代入回归方程可得预测值；
由回归方程确定“完美数据”有两个，得的可能值，计算出概率得分布列，再由期望公式计算期望．
本题主要考查了求线性回归方程，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 

19.【答案】证明：平面，平面，，
又，，，所以，
，
，，平面，平面，
又平面，；
解：以点为坐标原点，，所在直线分别为，轴，以过点平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
则，，，，
设平面的法向量，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量，
设平面的法向量，
同理可得平面的一个法向量，
则，
由图易知二面角为锐角，
二面角的余弦值为． 

【解析】由线面垂直的性质可得，再利用勾股定理可得，从而可证得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
本题主要考查异面直线垂直的证明，空间向量及其应用，空间想象能力的培养，二面角的向量求法等知识，属于中等题．
 

20.【答案】解：由题意可得，即，
双曲线的方程为，
设，则，，
又，，
可得，
即有，
所以双曲线的方程为；
由，可得，，，四点共圆，且以为直径，
设，圆心为，则，
圆的方程为，
由于圆经过，，可得，
化为，
即为，
由于，所以，
又．
即为定值． 

【解析】由题意可得，由直线的斜率公式和双曲线的方程解方程可得，进而得到所求方程；
首先判断四点，，，共圆，设出，的坐标，求得圆的方程，代入，的坐标，再由三角形的面积公式，计算可得所求定值．
本题考查双曲线的方程和性质，以及圆的方程和运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：当时，，当时，，不符合题意；
当时，，又时，，不符合题意；
当时，，令，解得：，令，解得：，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
令，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又因为，
所以．
证明：由知：时，在上恒成立，即，
所以当时，，即，
又当时，，
所以，
所以要证，
只需证，
即证，
令，则有，
又，
所以，，
所以在上恒成立，即在上单调递减，则，
所以当时，． 

【解析】分，和三种情况讨论，当时，求导利用函数的单调性和最值进行求解即可；
结合的结论，将不等式进行等价转化证明，构造函数，对函数求导，利用函数的单调性即可证明．
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．