2023-2024学年辽宁省朝阳市建平第二高级中学高一（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省朝阳市建平第二高级中学高一（上）期末数学试卷(含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x>−1}，B={−2,−1,0,1,2}，则(∁RA)∩B=( )
A. {−2,−1}B. {−1,0,1,2}C. {0,1,2}D. {1,2}
2.函数y=lg2x−1的图象与x轴的交点坐标是( )
A. (0,0)B. (1,0)C. (2,0)D. (−1,0)
3.“x2=4”是“x3=8”成立的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.若函数f( x)的定义域是[1,4]，则函数f(x−3)的定义域是( )
A. [4,5]B. [1,16]C. [1,4]D. [−2,1]
5.函数f(x)=12lg2x−3(12)x的零点所在区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
6.对于任意的x，y∈R，定义运算：x⊙y=x(y+1).若不等式x⊙(x+a)+1>0对任意实数x恒成立，则( )
A. −17.已知函数f(x)=( 2)x,x≤1,−lnx,x>1,则y=f(2−x)的大致图像是( )
A. B.
C. D.
8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0]上单调递增，又a=f(1.10.2),b=f(0.21.1),c=f(lg124)，则a，b，c的大小关系为( )
A. c二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知aA. a+cbdC. da>caD. a2>ab>b2
10.函数D(x)=1,x∈Q0,x∉Q，称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是( )
A. D(D(2))=D(D( 2))
B. D(x)的值域与函数f(x)=|x|+x2x的值域相同
C. D(x)是非奇非偶函数
D. 对任意实数x，都有D(x+1)=D(x)
11.若a>0，b>0，且 a+ b=4 ab，则下列不等式恒成立的是( )
A. a+ b≥1B. ab≥14C. a+b≤12D. a2+b2≥18
12.已知函数f(x)=lg3(x2−2x)，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞)B. 不等式f(x)<1的解集是(−1,3)
C. 函数f(x)的图象关于x=1对称D. 函数f(x)的值域是R
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数y=f(x)的图象过点(12, 22)，则f(x)= ______．
14.若f(x)=−x,x≤0,g(2x+1),x>0是奇函数，则g(7)= ______．
15.已知函数f(x)满足f(x+1)=lg2|x+1|+2x+f(x+2)，则f(1)−f(3)= ______．
16.已知 8+x2−x≤a2+a对任意的x∈[1,4]恒成立，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
化简求值：
(1) (ab−1)3(a3b−3)12(a>0,b>0)；
(2)lg5+lg22+lg2lg5+lg25×lg254+7lg75．
18.(本小题12分)
已知关于x的不等式ax2+2bx−3<0的解集为{x|−1(1)求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式：(ax+1)(−bx+m)>0，其中m是实数．
19.(本小题12分)
已知集合A={x|m−120}．
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
(2)若集合A∩(∁RB)中只含有两个整数元素且这两个元素非负，求实数m的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−abx满足f(1)=−14,f(3)=712．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[2,4]上的值域．
21.(本小题12分)
定义：将人每小时步行扫过地面的面积记为人的扫码速度，单位是平方公里/小时，如扫码速度为1平方公里/小时表示人每小时步行扫过的面积为1平方公里.十一黄金周期间，黄山景区是中国最繁忙的景区之一.假设黄山上的游客游玩的扫码速度为v(单位：平方公里/小时)，游客的密集度为x(单位：人/平方公里)，当黄山上的游客密集度为250人/平方公里时，景区道路拥堵，此时游客的步行速度为0；当游客密集度不超过50人/平方公里时，游客游玩的扫码速度为5平方公里/小时，数据统计表明：当50≤x≤250时，游客的扫码速度是游客密集度x的一次函数．
(1)当0≤x≤250时，求函数v(x)的表达式；
(2)当游客密集度x为多少时，单位时间内通过的游客数量f(x)=xv(x)可以达到最大值？
22.(本小题12分)
设函数f(x)=lga(ax−b)(a>0且a≠1，b∈R)，已知f(2)=1，f(lga6)=2．
(1)求f(x)的定义域；
(2)是否存在实数λ，使得f(x)在区间[m,n]上的值域是[2m−λ,2n−λ]？若存在，请求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为集合A={x|x>−1}，
所以∁RA={x|x≤−1}，
因为B={−2,−1,0,1,2}，
所以(∁RA)∩B={−2,−1}．
故选：A．
根据已知条件，结合补集、交集的定义，即可求解．
本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：令y=0，lg2x−1=0解得x=2，
所以函数y=lg2x−1的图象与x轴的交点坐标是(2,0)．
故选：C．
由函数与方程的关系可知，函数的图象与x轴的交点的横坐标即y=0时，lg2x−1=0的解，从而可求得结果．
本题考查了函数与方程的关系，对数的运算，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由x2=4⇒x=±2，可知x3=±8，充分性不成立；
由x3=8⇒x=2⇒x2=4，必要性成立；
即“x2=4”是“x3=8”成立的必要不充分条件．
故选：B．
根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可
本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为函数f( x)的定义域是[1,4]，所以1≤x≤4，所以1≤ x≤2，
所以f(x)的定义域是[1,2]，故对于函数f(x−3)，有1≤x−3≤2，解得4≤x≤5，
从而函数f(x−3)的定义域是[4,5]．
故选：A．
根据函数f( x)的定义域求出f(x)的定义域，然后求解f(x−3)的定义域即可．
本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由函数f(x)=12lg2x−3(12)x在(0,+∞)上是增函数，
且满足f(2)=12−34<0，f(3)=12lg23−13>0，
根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=12lg2x−3(12)x的零点所在的区间为(2,3)．
故选：C．
根据函数f(x)在R上是增函数，且满足f(2)<0，f(3)>0，结合函数零点的判定定理可得函数f(x)的零点所在的区间．
本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由已知得x⊙(x+a)+1=x(x+a+1)+1=x2+(a+1)x+1>0对任意实数x恒成立，
所以Δ=(a+1)2−4<0，
解得−3故选：C．
根据运算法则得到x2+(a+1)x+1>0恒成立，由判别式得到不等式，求出答案．
本题属于新概念题，考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=( 2)x,x≤1,−lnx,x>1,，则y=f(2−x)=( 2)2−x,x≥1,−ln(2−x),x<1．
根据复合函数的单调性，
当x≥1时，函数f(2−x)单调递减；
当x<1时，函数f(2−x)单调递增，只有A符合．
故选：A．
根据题意，根据f(x)，转换后得到y=f(2−x)=( 2)2−x,x≥1,−ln(2−x),x<1．，根据复合函数的单调性，可求得f(2−x)的单调性，进而可得正确选项．
本题考查了复合函数的单调性，考查了数形结合思想，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0]上单调递增，
∴f(x)在[0,+∞)上是减函数．
而c=f(lg124)=f(−2)=f(2)，
∵0<0.21.1<1<1.10.2<2，
∴f(0.21.1)>f(1.10.2)>f(2)，
即c故选：A．
由题意得到 f(x)在[0,+∞)上是减函数，再根据0<0.21.1<1<1.10.2<2判断．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：由不等式的同向可加性知选项A正确；
因为a−b>0，−c>−d>0，所以ac>bd，故选项B正确；
因为c因为−a>−b>0，所以a2>ab，ab>b2，所以a2>ab>b2，故选项D正确．
故选：ABD．
结合不等式的性质检验各选项即可判断．
本题考查了不等式的性质的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，根据狄利克雷函数定义可知D(D(2))=D(1)=1，D(D( 2))=D(0)=1，即A正确；
对于B，易知函数f(x)=|x|+x2x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
当x∈(−∞,0)时，f(x)=|x|+x2x=0；当x∈(0,+∞)时，f(x)=|x|+x2x=1；
即函数f(x)=|x|+x|2x的值域为{0,1}，所以B正确；
对于C，易知函数D(x)的定义域关于原点对称，当x∈Q时，−x∈Q，则D(−x)=1=D(x)；当x∉Q时，−x∉Q，则D(−x)=0=D(x)，即D(x)为偶函数，所以C错误；
对于D，当x∈Q时，x+1∈Q，此时D(x+1)=D(x)=1；当x∉Q时，x+1∉Q，此时D(x+1)=D(x)=0，所以D正确．
故选：ABD．
分别对x∈Q和x∉Q进行分类讨论，结合函数的性质检验各选项即可判断．
本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的应用，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：对于A，a>0，b>0，且 a+ b=4 ab，
所以 a+ b ab=4，得1 a+1 b=4，则( a+ b)(1 a+1 b)=2+ b a+ a b≥2+2 b a⋅ a b=4，
当且仅当 b a= a b，即a=b=14时取等号，所以 a+ b≥1，故A正确；
对于B，( a+ b)2=16ab，结合a+b+2 ab≥4 ab，得16ab≥4 ab，解得ab≥116，
当且仅当a=b=14时取等号，所以ab≥14不成立，B不正确；
对于C，由B的分析可知a+b≥2 ab≥12，当且仅当a=b=14时取等号，
所以a+b≤12不成立，故C不正确；
对于D，a2+b2≥12(a+b)2≥12×14=18，当且仅当a=b=14时取等号，故D正确．
故选：AD．
根据题意，利用不等式的性质与基本不等式，对各项中的结论逐一加以验证，即可得到本题的答案．
本题主要考查了基本不等式的应用、不等式的性质等知识，属于基础题．
12.【答案】CD
【解析】解：对A：令x2−2x>0，解得x>2或x<0，故f(x)的定义域为I=(−∞,0)∪(2,+∞)，∵y=lg3u在定义域内单调递增，u=x2−2x在(−∞,0)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，故f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，A错误；
对B：f(x)=lg3(x2−2x)<1=lg33，且y=lg3x在定义域内单调递增，
可得0故不等式f(x)<1的解集是(−1,0)∪(2,3)，B错误．
对C：∵f(2−x)=lg3[(2−x)2−2(2−x)]=lg3(x2−2x)=f(x)，即f(2−x)=f(x)，故函数f(x)的图象关于x=1对称，C正确；
对D：∵x2−2x=(x−1)2−1≥−1，即y=x2−2x的值域M=[−1,+∞)，∵(0,+∞)⊆M，故函数f(x)的值域是R，D正确．
故选：CD．
由题意利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查复函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．
13.【答案】x12
【解析】解：设幂函数y=f(x)=xa，
其图象过点(12, 22)，
∴(12)a= 22；
∴a=12，
∴f(x)=x12．
故答案为：x12．
设出幂函数y=f(x)的解析式，根据图象过点(12, 22)，求出f(x)的解析式．
本题考查了用图象上的点求幂函数解析式的问题，是基础题目．
14.【答案】−3
【解析】解：根据题意，f(x)=−x,x≤0,g(2x+1),x>0，
令x=3可得：f(3)=g(7)，
又f(x)是奇函数，
所以g(7)=f(3)=−f(−3)=−[−(−3)]=−3．
故答案为：−3．
根据题意，由函数的解析式分析可得f(3)=g(7)，结合函数的奇偶性分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性，涉及函数值的计算，属于基础题．
15.【答案】4
【解析】解：令x=0，
则f(1)=lg2|0+1|+20+f(2)=1+f(2)，
故f(1)−f(2)=1，
令x=1，
则f(2)=lg22+21+f(3)，即f(2)−f(3)=3，
故f(1)−f(3)=f(1)−f(2)+f(2)−f(3)=4．
故答案为：4．
根据已知条件，结合赋值法，结合函数解析式，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
16.【答案】(−∞,−2]∪[1,+∞)
【解析】解：由 8+x2−x≤a2+a，得8 8+x2+x≤a2+a，
设f(x)=8 8+x2+x,x∈[1,4]，
因为函数y= 8+x2在[1,4]上单调递增，函数y=x在[1,4]上单调递增，
由函数单调性的性质可知f(x)=8 8+x2+x在[1,4]上单调递减，
所以f(x)max=f(1)=8 8+1+1=84=2，所以2≤a2+a，解得a≤−2或a≥1，
故实数a的取值范围为(−∞,−2]∪[1,+∞)．
故答案为：(−∞,−2]∪[1,+∞)．
依题可得8 8+x2+x≤a2+a，构造函数f(x)=8 8+x2+x，利用函数单调性求得最值，最后解一元二次不等式即可．
本题考查函数恒成立问题，利用函数的单调性求最值，属中档题．
17.【答案】解：(1)原式=a32b−32a32b−32=1，
(2)原式=lg5+lg2(lg2+lg5)+lg5lg2×2lg22lg5+5
=lg5+lg2+1+5=1+6=7．
【解析】(1)利用指数幂的性质和运算法则求解．
(2)利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．
本题考查指数幂，对数的性质、运算法则及换底公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为ax2+2bx−3<0，所以ax2+2bx−3=0的根为−1和2，且a>0，
所以−1+2=−2ba−1×2=−3a，解得a=32b=−34；
(2)不等式(ax+1)(−bx+m)>0可化为(32x+1)(34x+m)>0，
即(x+23)(x+4m3)>0，
①当−43m<−23，即m>12时，不等式的解集为(−∞,−43m)∪(−23,+∞)；
②当−43m=−23，即m=12时，不等式的解集为(−∞,−23)∪(−23,+∞)；
③当−43m>−23，即m<12时，不等式的解集为(−∞,−23)∪(−43m,+∞)．
【解析】(1)根据不等式的解集对应方程的根，利用根与系数的关系列式求解即可；
(2)根据两根大小关系分类解不等式即可．
本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．
19.【答案】解：(1)B={x|2x2+x−3>0}={x|x<−32或x>1}，
根据充分不必要条件的定义可知A是B的真子集，
所以m+1≤−32或m−12≥1，
解得m≤−52或m≥32，
故实数m的取值范围为(−∞,−52]∪[32,+∞)．
(2)由(1)可知，∁RB={x|−32≤x≤1}，则集合∁RB中含有整数元素−1，0，1，
由集合A∩(∁RB)中只含有两个整数元素且这两个元素非负可知−1≤m−12<0m+1>1，
解得0故实数m的取值范围为(0,12)．
【解析】(1)根据充分不必要条件的定义得到A是B的真子集，然后列不等式求解即可；
(2)根据集合∁RB得到整数元素为−1，0，1中的两个，然后根据集合A∩(∁RB)中只含有两个整数元素且这两个元素非负列不等式求解．
本题考查充分不必要条件的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)函数f(x)=x2−abx满足f(1)=−14,f(3)=712，
则有12−ab=−14,32−a3b=712,解得a=2b=4，
故f(x)=x2−24x．
(2)由(1)可知f(x)=x2−24x，函数定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
f(x)=x2−24x=x4−12x，
因为函数y=x4与y=−12x都在[2,4]上单调递增，
所以函数f(x)=x4−12x在[2,4]上是增函数．
因为f(2)=14,f(4)=78，
所以函数f(x)在[2,4]上的值域为[14,78]．
【解析】(1)由f(1)=−14,f(3)=712，代入函数f(x)，求出a，b得解析式；
(2)利用函数的单调性可得值域．
本题主要考查函数的解析式和函数的值域，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意知0≤x≤50时，v=5公里/小时；
当50≤x≤250时，设v(x)=ax+b(a≠0)，由v(50)=5，v(250)=0，
则50a+b=5250a+b=0，解得a=−140b=254，
所以v(x)=5,0≤x≤50−140x+254,50≤x≤250．
(2)由(1)可得f(x)=xv(x)=5x,0≤x≤50−140x2+254x,50≤x≤250，
当0≤x≤50时，f(x)=5x，此时f(x)max=50×5=250；
当50≤x≤250时，f(x)=−140x2+254x=−140(x−125)2+390.625，
当x=125时，f(x)max=390.625；
由于250<390.625，所以当游客密集度为125人/平方公里时，通过的游客数量f(x)=xv(x)可以达到最大值．
【解析】(1)0≤x≤50时，v(x)=5；当50≤x≤250时，设v(x)=ax+b(a≠0)，由v(50)=5，v(250)=0，解出a，b可得函数v(x)的表达式；
(2)由f(x)=xv(x)解析式，利用函数单调性和配方法，求最大值．
本题考查了函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：(1)由f(2)=1，得lga(a2−b)=1，即a2−a−b=0，①
由f(lga6)=2，得lga(6−b)=2，即6−b=a2，②
由①②得2a2−a−6=0，解得a=2，或a=−32(舍)，b=2，
所以f(x)=lg2(2x−2)，
由2x−2>0得x>1，
故f(x)的定义域为(1,+∞)；
(2)假设存在实数λ，n>m>1，使得f(x)在区间[m,n]上的值域是[2m−λ,2n−λ]．
令u=2x−2，(u>0)，则u在(1,+∞)上单调递增，
而y=lg2u在(0,+∞)上单调递增，故f(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以lg2(2m−2)=2m−λlg2(2n−2)=2n−λ，即2λ⋅2m−2×2λ=(2m)22λ⋅2n−2×2λ=(2n)2．
令t1=2m，t2=2n，t0=2λ(t1,t2>2)，则t1，t2为方程t2−t0t+2t0=0的两个不等实数根且t1，t2>2，
令g(t)=t2−t0t+2t0，则Δ=t02−8t0>0t02>2g(2)>0，即t0<0或t0>8t0>44−2t0+2t0>0，解得t0>8．
即2λ>8，λ>3，故存在实数λ符合条件，λ的取值范围是(3,+∞)．
【解析】(1)由f(2)=1和f(lga6)=2求得a，b，得函数解析式，即可确定定义域；
(2)假设存在实数λ，n>m>1，判断出f(x)的单调性，由单调性变形并换元后转化成二次方程有两个不等的实根，再由二次方程根的分布知识可得结论．
本题考查函数解析式的求法及函数的定义域的求法，函数的单调性的应用，属于中档题．