2022-2023学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

1.  已知集合，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设函数的定义域为，则函数的定义域为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在人类中，双眼皮由显性基因控制，单眼皮由隐性基因控制，当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．随机从父母的基因中各选出一个或者基因遗传给孩子组合成新的基因．根据以上信息，则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.  当时，函数(    )

A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值

5.  设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票．六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票．每人能在甲乙两箱中各抽一次，以表示在甲抽奖箱中中奖的事件，表示在乙抽奖箱中中奖的事件，表示两次抽奖均末中奖的事件．下列结论中正确的是(    )

A.  B. 事件与事件相互独立
C. 与和为 D. 事件与事件互斥

7.  我国东汉末数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵副弦图”中，已知，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知函数，若互不相等，则的取值范围是注：函数在上单调递减，在上单调递增(    )

A.
B.
C.
D.

9.  若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”，根据该地区下列过去天新增疑似病例的相关数据，可以认为该地区没有发生大规模群体感染的是(    )

A. 平均数为，中位数为
B. 平均数为，方差大于
C. 平均数为，众数为
D. 平均数为，方差为

10.  如图，由到的电路中有个元件，分别标为元件，元件，元件，元件，电流能通过元件，元件的概率都是，电流能通过元件，元件的概率都是，电流能否通过各元件相互独立．已知元件，元件中至少有一个能通过电流的概率为，则(    )
 

A.
B. 元件和元件恰有一个能通的概率为
C. 元件和元件都通的概率是
D. 电流能在与之间通过的概率为

11.  在中，是中线，，则下列等式中一定成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

12.  氡又名氭，是一种化学元素，符号是氡元素对应的单质是氡气，为无色、无臭、无味的惰性气体，具有放射性．已知放射性元素氡的半衰期是天，经天衰变后变为原来的且，取，则(    )

A. 经过天以后，空元素会全部消失
B. 经过天以后，氡元素变为原来的
C.
D. 经过天以后剩下的氡元素是经过天以后剩下的氡元素的
 

13.  袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”华”两个字都取到才停止．用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用，，，代表“中、华，民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取三次的结果，经随机模拟产生了以下组机数：

由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为______．

14.  设，且，则______．

15.  北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求．甲、乙、丙人为了能购买到冰墩墩，商定人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲、乙人中至少有人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲、乙、丙人中至少有人购买到冰墩墩的概率为______．

16.  在中，点为线段上任一点不含端点，若，则的最小值为______．

17.  已知，．
当为何值时，与共线；
若，且，，三点共线，求的值．

18.  年月日召开的国务院常务会议明确将进一步推动网络提速降费工作落实，推动我国数字经济发展和信息消费，今年移动流量资费将再降以上，为响应国家政策，某通讯商计划推出两款优惠流量套餐，详情如下：

这两款套餐均有以下附加条款：套餐费用月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就会自动帮用户充值流量，资费元；如果又超出充值流量，系统再次自动帮用户充值流量，资费元，以此类推．此外，若当月流量有剩余，系统将自动清零，不可次月使用．
小张过去个月的手机月使用流量单位：的频数分布表如下：

根据小张过去个月的手机月使用流量情况，回答以下几个问题：
若小张选择套餐，将以上频率作为概率，求小张在某一个月流量费用超过元的概率．
小张拟从或套餐中选定一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？说明理由．

19.  已知函数，，其中，且，．
若且函数的最大值为，求实数的值．
当时，不等式在有解，求实数的取值范围．

20.  甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢．
求第四盘棋甲赢的概率；
求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．

21.  已知定义域为的函数是奇函数．

求的解析式；

若恒成立，求实数的取值范围．

22.  定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足；，则称函数是上的“平均值函数”，是它的平均值点．
函数是否是上的“平均值函数”，如果是请求出它的平均值点，如果不是，请说明理由；
现有函数是上的平均值函数，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，
集合，

故选：．
求出集合，集合，再根据并集的定义，求出．
本题考查对数不等式的解法，并集及其运算，考查运算求解能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，则对于函数，
应有，求得或，
故函数的定义域为，
故选：．
由题意，利用函数的定义域的定义和求法，得出结论．
本题主要考查函数的定义域的定义和求法，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：若“父母均为单眼皮”，即父母的基因型都是，所以孩子的基因型也一定为，所以一定有“孩子为单眼皮”，
若“孩子为单眼皮”，则孩子的基因型，但是父母的基因型可能都是或一个是，一个是，所以父母中有可能有双眼皮，
所以“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件．
故选：．
根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，当且仅当时等号成立，
故选：．
利用基本不等式可直接得到函数的最值．
本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由已知得，
，显然，故，，排除，；
，
显然，，故，得，
故．
故选：．
因为，，都大于零，可先换底，然后利用作差或作商法比较大小．
本题考查对数运算性质和换底公式，以及对数的大小比较问题，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，，
对于，，故A正确；
对于，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件和事件相互独立，项正确；
对于，由可知，所以，故C正确；
对于，事件与事件相互独立而非互斥，故D错误．
故选：．
分别求出，，进一步求出与，判断选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件和事件相互独立，判断选项．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立事件和对立事件的定义，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以，整理得，．
故选：．
根据平面向量的线性运算法则，即可得解．
本题考查平面向量的线性运算，熟练掌握平面向量的加法和数乘的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．
画出函数的图象，利用，转化求解的取值范围．

【解答】

解：作出函数的图象，如下图，
或时，，
令，
设，则有，，且，
故，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
故．
的取值范围是，
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：对于，因个数的平均数为，中位数为，将个数从小到大排列，设后面个数从小到大依次为，，，，显然有，而，则的最大值为，符合条件；
对于，平均数为，方差大于，可能存在大于的数，如连续天的数据为：，，，，，，，，，，其平均数为，方差大于，不符合；
对于，平均数为，众数为，可能存在大于的数，如连续天的数据为：，，，，，，，，，，其平均数为，众数为，不符合；
对于，设连续天的数据为，，，因平均数为，方差为，
则有，于是得，而，，，因此，，，符合条件．
故选：．
根据给定条件，利用平均数、中位数、方差的意义计算推理判断，；举例说明判断，作答．
本题考查了求平均数、众数、中位数与方差的问题，是中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，由题意，可得，整理可得，则，则，故A正确；
对于，，故B错误；
对于，，故C正确；
对于，元件，元件中至少有一个能通过电流的概率为，
则电流能在与之间通过的概率为，故D正确．
故选：．
根据独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，可得答案．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，在中，是中线，，A正确，
，在中，是中线，，，B正确，D错误，
，设的高为，，则的高为，
，C正确，
故选：．
利用平面向量的线性运算，中线的性质判断，利用三角形的面积公式判断．
本题考查平面向量的线性运算，中线的性质，三角形的面积公式，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为天后，氡元素变为原来的，A错误；
经过天以后剩下的氡元素是原来的，经过天以后剩下的氡元素是原来的，D错误；
要使得氡元素变为原来的，需要经过天，B正确；
因为放射性元素氡的半衰期是天，则，
所以，
因为，
所以，
所以，C正确．
故选：．
由已知结合指数的运算性质，结合指数函数的性质可求．
本题主要考查了指数运算性质在实际问题中的应用，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，随机数中只有，，，，共种情况，
则可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为，
故答案为：，
根据题意可得出满足题意的随机数，利用古典概型定义可解．
本题考查古典概型定义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
，
，
则．
故答案为：．
把指数式化为对数式，再利用对数运算性质即可得出．
本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为甲乙人中至少有人购买到冰墩墩的概率为．
所以甲乙人均购买不到冰墩墩的概率．
同理，丙购买不到冰墩墩的概率．
所以，甲乙丙人都购买不到冰墩墩的概率．
于是甲乙丙人中至少有人购买到冰墩墩的概率．
故答案为：．
先算出甲乙人均购买不到冰墩墩的概率，然后算出丙购买不到冰墩墩的概率，进而算出甲乙丙人都购买不到冰墩墩的概率，最后算出答案．
本题主要考查相互独立事件的概率，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为点为线段上任一点不含端点，
若，则，
，当且仅当且，即时取等号．
故答案为：．
由已知结合向量共线定理可得，然后结合乘法及基本不等式即可求解．
本题主要考查了向量共线定理，基本不等式求解最值，属于中档题．
 

17.【答案】解：，，
，，
又与共线，
，
解得；
，，
、、三点共线，，
解得． 

【解析】由已知求得与的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解；
由已知求得的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解．
本题主要考查了向量共线的性质，考查了方程思想，属于基础题．
 

18.【答案】解：设使用流量，流量费用为，
依题意，当时，；
当时，；
所以流量费用超过元概率：；
设表示套餐的月平均消费，设表示套餐的月平均消费，
，
，
，
故选套餐． 

【解析】设使用流量，流量费用为，所以流量费用超过元概率：；
分别求出订购套餐和订购套餐的月平均费用，比较大小后得答案．
本题考查函数在实际问题中的应用，考查概率统计问题，是中档题．
 

19.【答案】解：当时，，所以，，
当时，在定义城内单调递增，，解得，
当时，在定义域内单调递减，，解得，不符合题意，舍去，
综上，实数的值为；
要使在上有意义，则，解得，
由，即 ，因为，所以，
即，得，令，，记，
对称轴为，，
若不等式在有解，则在有解
即在有解，即．
综上所述，实数的取值薇围为 

【解析】将代入函数得出解析式，根据复合函数同增异减的性质，分类时论和即可；由对数函数性质可得，再由对数单调性可符，利用换元法结合二次函数的性质求出不等式右边的最大值，即可得到的取值范围．
本题考查函数性质，属于中档题．
 

20.【答案】解：设第四盘棋甲赢为事件，第四盘棋甲赢分两种情况：
第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，则，
第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，则，
则．
设比赛结束时，甲恰好赢三盘棋为事件，分三种情况：
若甲赢第三盘，则概率为，
若甲赢第四盘，则概率为，
若甲赢第五盘，则概率为，
则． 

【解析】第四盘棋甲赢分两种情况，再分别求出概率即可．
若甲恰好赢三盘棋分三种情况，再分别求出概率即可．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式，属于中档题．
 

21.【答案】解：因为函数是奇函数，
所以，即，
所以，
所以，
可得，
所以函数．
由知，
易得在上单调递减，
由，得，
因为函数是奇函数，
所以，
所以，
整理得，
设，，
则，
当时，有最大值，最大值为，
所以，
解得，
即实数的取值范围是． 

【解析】由是奇函数可得，从而可求得值，即可求得的解析式；
由复合函数的单调性判断在上单调递减，结合函数的奇偶性将不等式恒成立问题转化为，令，利用二次函数的性质求得的最大值，即可求得的取值范围．
本题主要考查函数的奇偶性，函数单调性的判断，考查不等式恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：若，，因为，令，解得，
故是上的“平均值函数”，且平均值点为；
由题意知，
假设是平均值点，则，整理得，
令，显然该函数是增函数，则要使结论成立，
只需在上有解即可，即在上有零点即可，
，，
若在上只有一个零点时，只需，解得或；
若在上有两个不同零点时，只需，解集为；
综上可知或，
故的取值范围是，． 

【解析】直接求出，令，判断该方程在上是否有解即可；
由题设，设是平均值点，则，令，则只需让在上有解即可，结合二次函数的性质，容易求得结论．
本题是一个新定义问题，侧重于考查利用函数的单调性、最值等研究函数零点的存在性问题，属于较难的题目．