2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={1,3,5}，B={1,5}，则( )
A. A=BB. A⊆BC. B⊆AD. 以上都不正确
2.某校为了了解高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A. 抽签法B. 随机数法
C. 分层随机抽样法D. 除以上方法外的其他方法
3.“x>0”是“ x2=x”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.若函数f(x)=ln(x2−ax)在区间(2,5)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,5]B. (−∞,2)C. (−∞,2]D. [5,+∞)
5.若a=1.10.1,b=lg0.20.3,c=lg213，则( )
A. c6.若正数x，y满足 x+2 y=2 3，则xy的最大值为( )
A. 6B. 9C. 94D. 32
7.某公司50名员工乘坐公交车、骑电动车两种方式上班所需时间统计如下：
则这50名员工通勤时间的方差为( )
A. 48B. 46C. 28D. 24
8.若函数f(x)=x(|x2−a|−a)lg(2|x|+1+a)的定义域为R，则实数a的取值范围是( )
A. (−1,0)B. (0,+∞)
C. (−2,0)D. (−2,−1)∪(−1,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在用“二分法”求函数f(x)零点的近似值时，若第一次所取区间为[−2,4]，则第二次所取区间可能是( )
A. [−2,−1]B. [−2,1]C. [2,4]D. [1,4]
10.下列说法错误的是( )
A. 函数y=xx与函数y=1表示同一个函数
B. 若f(x)是一次函数，且f(f(x))=16x+5，则f(x)=4x−1
C. 函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点
D. 函数y=1x+1在(−∞,−1)∪(−1,+∞)上是单调递减函数
11.从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是( )
A. “至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件
B. “恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C. “恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
D. “至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件
12.已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(3−x)，且f(x)在[0,2]上单调递减，f(2)=−2，则( )
A. 函数f(x)的图象关于直线x=2对称
B. f(x)=f(x+8)
C. f(2024)+f(2022)=−2
D. 设g(x)=e−|x+2|(−6≤x≤2)，f(x)和g(x)图象的所有交点的横坐标之和为−4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数y=(m2−m+1)xm+1的图象关于y轴对称，则m=______.
14.若命题：“∃x∈R，4x2−2x+m=0”为假命题，则实数m的取值范围为______.
15.已知互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数为______.
16.孪生素数是指相差2的素数对，例如5和7，“孪生素数猜想”正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对(p,p+2)称为孪生素数.在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，则这两个数为孪生素数的概率为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)已知x+x−1=3，求x12+x−12x2+x−2的值；
(2)计算：( 2×33)6−lg25−lg4−7lg72− (π−3)2.
18.(本小题12分)
已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为{x|13(1)求a，c的值；
(2)解不关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0.
19.(本小题12分)
已知定义在R上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)=3x−a(a∈R)，且f(−3)=26.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的解析式；
(3)解不等式：f(x)>2.
20.(本小题12分)
2023年高考查分系统上线后，某中学为了解该校高三年级学生的数学成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计(成绩均在[60,140]分)，按照[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140]的分组作出频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中的x的值，并估计该中学今年高考数学成绩的中位数；
(2)该校高三数学组准备用分层抽样的方法从样本中数学成绩不低于120分的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生在新高三开学动员会上发言，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率.
21.(本小题12分)
已知f(x)=lg2(4x+12+2)+(12x−a)2是偶函数.
(1)求a的值；
(2)证明：f(x)在(0,+∞)上单调递增.
22.(本小题12分)
冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的x百万元在第m(1≤m≤8,且m∈N′)年产生的利润(单位：百万元)G(m)= mx,m∈N*,1≤m≤4,4− 16−mx2,m∈N*,5≤m≤8,记这4百万元投资从2024年开始的第n年产生的利润之和为fn(x).
(1)比较f4(2)与f5(2)的大小；
(2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A={1,3,5}，B={1,5}，A≠B，选项A错误；
B⊆A，则B错误，C正确．
故选：C.
根据集合的包含关系判断即可．
本题考查集合间的关系，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意可知，该抽样方法分层特征明显，符合分层抽样的定义，
则最合理的抽样方法是分层随机抽样法．
故选：C.
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样方法，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由′′x>0′′，可以得到“ x2=x”，由“ x2=x”得到“x≥0”．
故“x>0”是“ x2=x”的充分不必要条件，
故选：A.
直接利用充要条件的判定方法判断即可．
本题考查充要条件的判断，考查逻辑推理能力，属基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为函数f(x)=ln(x2−ax)在区间(2,5)上单调递增，
即y=x2−ax在(2,5)上为增函数且函数值大于0，
由函数y=(x−a2)2−a24，则a2≤24−2a≥0，故a≤2，
则a的取值范围是(−∞,2].
故选：C.
根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性，建立不等式，可得答案．
本题考查了复合函数的单调性的判断，单调区间的应用，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：∵1.10.1>1.10=1，∴a>1，
∵0=lg0.21∵lg213∴c故选：B.
利用指数函数和对数函数的单调性求解．
本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为 x+2 y=2 3≥2 2 xy，
所以8 xy≤12，解得xy≤94，当且仅当x=3,y=34时取等号．
故选：C.
由基本不等式求解即可．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意，50名员工通勤时间的平均数x−=20×30+30×2050=24，
则其方差S2=2050×[36+(30−24)2]+3050×[16+(20−24)2]=48.
故选：A.
根据题意，由总体的平均数、方差公式计算可得答案．
本题考查总体的方差计算，注意方差的计算公式，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=x(|x2−a|−a)lg(2|x|+1+a)的定义域为R，
则对任意x∈R，|x2−a|−a≠0，同时2|x|+1+a恒大于0且恒不为1，
对于|x2−a|−a，若a≥0，则x=0时|x2−a|−a=0，不满足题意；
若a<0，则|x2−a|−a>0恒成立，
因为2|x|+1+a≥2+a，要满足2|x|+1+a恒大于0且恒不为1，则2+a>1，a>−1，
所以a的取值范围是(−1,0).
故选：A.
将问题转化为对任意x∈R，|x2−a|−a≠0，同时2|x|+1+a恒大于0且恒不为1，分情况讨论求实数a的取值范围即可．
本题主要考查函数定义域的求解，考查计算能力和转化思想的应用，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：根据题意，用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，若第一次所取区间为[−2,4]，
则有f(−2)f(4)<0，
由于(−2)+42=1，即判断f(−2)f(1)或f(1)f(4)的符号，
所以第二次所取区间可能是[−2,1]或[1,4].
故选：BD.
根据题意，求出区间的中点，由“二分法”求函数零点的步骤，分析第二次所取区间即可．
本题考查二分法的步骤，涉及函数零点判定定理，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A：函数y=xx的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，函数y=1的定义域为R，
所以这两个函数不表示同一个函数，故A错误；
对于B：设f(x)=kx+b(k≠0)，则f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b，
又f(f(x))=16x+5，所以k2=16kb+b=5，解得k=4b=1或k=−4b=−53，
所以f(x)=4x+1或f(x)=−4x−53，故B错误；
对于C：由函数的定义知，函数图象至多与y轴有一个交点，故C正确；
对于D：函数y=1x+1在(−∞,−1)，(−1,+∞)上是单调递减函数，故D错误．
故选：ABD.
根据题意，根据相等函数的概念判断A；利用待定系数法求出函数f(x)的解析式，即可判断B；根据函数的定义即可判断C；根据单调区间的定义即可判断D，综合可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及函数的定义、函数的单调性以及函数解析式的计算，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，“至少有一个红球”包含“两个红球”和“一红一黑”两种情况，“至少有一个黑球”包含“两个黑球”和“一红一黑”两种情况，两者不是互斥事件，A错误；
对于B，“恰有一个黑球”即“一红一黑”，和“都是黑球”不会同时发生，是互斥事件，B正确；
对于C，“恰有一个红球”即“一红一黑”，和“都是红球”不会同时发生，是互斥事件，但不是对立事件，C错误；
对于D，“至少有一个黑球”包含“两个黑球”和“一红一黑”两种情况，和“都是红球”是对立事件，D正确；
故选：BD.
根据题意，由互斥事件和对立事件的定义，依次分析选项，综合可得答案．
本题考查互斥事件和对立事件的定义，注意两者的区别，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：因为定义在R上的函数f(x)，满足f(1+x)=f(3−x)，
所以x=1+x+3−x2=2，
所以函数f(x)图象关于直线x=2对称，故A正确；
因为定义在R上的奇函数f(x)，满足f(1+x)=f(3−x)，
所以f(1+x)=f(3−x)=−f(x−3)，即f(x+4)=−f(x)，于是有f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，
所以函数f(x)的周期为8，故B正确；
f(2024)+f(2022)=f(253×8)+f(253×8−2)=f(0)+f(−2)=0−f(2)=2，故C错误；
因为定义在R上的奇函数，且f(x)在[0,2]上单调递减，f(2)=−2，
所以f(x)在[−2,2]上单调递减，f(−2)=2，
则函数f(x)图象关于直线x=−2对称，函数g(x)=e−|x+2|(−6作出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示：
由图可知，函数f(x)和g(x)的图象共有2交点，则函数f(x)和g(x)的图象的交点关于x=−2对称，所以x1+x22=−2，即x1+x2=−4，
所以f(x)和g(x)的图象所有交点横坐标之和为−4，故D正确．
故选：ABD.
根据已知条件及奇函数的定义，利用函数的对称性及周期性，作出函数的图象，再利用数形结合即可求解．
本题主要考查抽象函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
13.【答案】1
【解析】解：由于函数是幂函数，所以m2−m+1=1，解得m=0或m=1.
当m=0时，y=x，是奇函数；
当m=1时，y=x2，是偶函数，符合题意，
所以m的值为1.
故答案为：1.
根据幂函数的定义和奇偶性即可求解．
本题考查幂函数的定义和奇偶性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】(14,+∞)
【解析】解：由题意可知方程4x2−2x+m=0无实数解，
所以Δ=(−2)2−4×4m<0，解得m>14，
故实数m的取值范围为(14,+∞).
故答案为：(14,+∞).
根据题中条件可得方程4x2−2x+m=0无实数解，则Δ<0，解出即可．
本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
15.【答案】92
【解析】解：互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4，
则这4个数据的极差为：a4−a1，中位数为a2+a32，
这4个数据的极差是中位数的2倍，
则a4−a1=2×a2+a32=a2+a3，即a4=a1+a2+a3，
a1，a2，a3，a4的和为12，
则a1+a2+a3+a4=12，
故a4=6，
a1，a2，a3从小到大且为互不相等的正实数，
则a1=1，a2=2，a3=3，
4×0.75=3，
则这4个数据的第75百分位数为3+62=92.
故答案为：92.
根据已知条件，结合极差、中位数的定义，求出a1，a2，a3，a4的值，再结合第75百分位数的定义，即可求解．
本题主要考查统计的知识，属于基础题．
16.【答案】17
【解析】解：由题意分析知：
不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，
从中任取两个，基本事件总数n=C82=28，
取出的两个数是孪生素数包含的基本事件有：
{3,5}，{5,7}，{11,13}，{17,19}，共4个，
∴这两个数为孪生素数的概率为P=mn=428=17.
故答案为：17.
由题意列举出所有素数及孪生素数，结合古典概型求随机选取两个不同的数为孪生素数的概率即可．
本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)因为x+x−1=3，可得x>0，
则(x12+x−12)2=x+x−1+2=3+2=5，可得x12+x−12= 5，
又由x2+x−2=(x+x−1)2−2=32−2=7，
所以x12+x−12x2+x−2= 57.
(2)( 2×33)6−lg25−lg4−7lg72− (π−3)2
=( 2)6⋅(33)6−(lg25+lg4)−2−(π−3)
=8×9−lg100−2−(π−3)=72−2−2−π+3=71−π.
【解析】(1)根据题意，结合(x12+x−12)2=x+x−1+2和x2+x−2=(x+x−1)2−2，代入即可求解；
(2)根据指数幂与对数的运算公式，准确运算，即可求解．
本题主要考查了指数幂的运算性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题意知，不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根为13和12，
由根与系数的关系，得−5a=13+12ca=12×13，
解得a=−6，c=−1；
(2)由a=−6，c=−1知，不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0可化为−6x2+8x−2≥0，
即3x2−4x+1≤0，解得13≤x≤1，
所以不等式的解集为{x|13≤x≤1}.
【解析】(1)根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a、c的值；
(2)由a、c的值代入化简不等式，求出解集即可．
本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，也考查了根与系数关系的应用问题，是基础题目．
19.【答案】解：(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数，且f(−3)=26，
所以f(3)=f(−3)=26，即33−a=26，
解得a=1.
(2)当x≥0时，f(x)=3x−1，
设x<0，则−x>0，则f(x)=f(−x)=3−x−1，
故f(x)=3−x−1,x<03x−1,x≥0；
(3)由f(x)是偶函数，f(x)>2等价于f(|x|)>2，即3|x|−1>2，
得3|x|>3，得|x|>1，解得x<−1或x>1，
故f(x)>2的解集是(−∞,−1)∪(1,+∞).
【解析】(1)偶函数f(x)，有f(3)=f(−3)=26，代入函数解析式求a的值；
(2)由函数f(x)是偶函数，求函数的解析式；
(3)由函数奇偶性和解析式解不等式．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了不等式的求解，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由频率分布直方图得：
(0.006+2x+0.02+0.03+0.014+0.006+0.004)×10=1，
解得x=0.01.
数学成绩在[60,100)内的频率为(0.006+0.01+0.01+0.02)×10=0.46，
数学成绩在[60,110)内的频率为(0.006+0.01+0.01+0.02+0.03)×10=0.76，
∴估计该中学今年高考数学成绩的中位数为：
100+0.5−0.460.3×10=3043.
(2)该校高三数学组准备用分层抽样的方法从样本中数学成绩不低于120分的学生中抽取5名学生，
则[120,130)中抽取5×+0.004=3人，[130,1400中抽取5×+0.004=2人，
再从这5名学生中随机抽取2名学生在新高三开学动员会上发言，
基本事件总数n=C52=10，
这2名学生中恰有1名成绩不低于130分包含的基本事件个数m=C31C21=6，
∴这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率为P=mn=610=35.
【解析】(1)由频率分布直方图列方程，求出x；数学成绩在[60,100)内的频率为0.46，数学成绩在[60,110)内的频率为0.76，由此能估计该中学今年高考数学成绩的中位数．
(2)用分层抽样的方法求出[120,130)中抽取3人，[130,1400中抽取2人，从这5名学生中随机抽取2名学生在新高三开学动员会上发言，基本事件总数n=C52=10，这2名学生中恰有1名成绩不低于130分包含的基本事件个数m=C31C21=6，由此能求出这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率．
本题考查频率分布直方图、中位数、分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21.【答案】解：(1)由题意可知函数的定义域为R，
又因为函数y=f(x)为偶函数，
所以f(−x)=f(x)，
即lg2(4−x+12+2)+(12x+a)2=lg2(4x+12+2)+(12x−a)2，
lg2(4−x+12+2)−lg2(4x+12+2)=(12x−a)2−(12x+a)2=−2ax，
所以2ax=lg2(4x+12+2)−lg2(4−x+12+2)=lg22⋅4x+22⋅4−x+2=lg24x+14−x+1=lg24x=2x，
所以a=1；
当a=1时，因为f(x)=lg2(4x+12+2)+(12x−1)2=lg2(2⋅4x+2)+14x2−x+1=lg2(4x+1)+14x2−x+2，
所以f(−x)=lg2(4−x+12+2)+(12x+1)2=lg2(2⋅4−x+2)+14x2+x+1=lg2(4−x+1)+14x2+x+2
=lg2(4x+1)−lg24x+14x2+x+2=lg2(4x+1)+14x2−x+2=f(x)，
所以f(x)为偶函数，
所以a=1.
(2)证明：由(1)可知：f(x)=lg2(4x+12+2)+(12x−1)2=lg2(4x+12+2)+14x2−x+1
=lg2(4x+1)+14x2−x+2=lg24x+12x+14x2+2=lg2(2x+2−x)+14x2+2，
所以任取x1，x2∈(0,+∞)，设x1则f(x1)−f(x2)=[lg2(2x1+2−x1)+14x12+2]−[lg2(2x2+2−x2)+14x22+2]
=lg22x1+2−x12x2+2−x2+14x12−14x22，
因为0所以lg22x1+2−x12x2+2−x2<0，14x12<14x22，
所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在(0,+∞)上单调递增．
【解析】(1)根据偶函数的定义即f(−x)=f(x)即可求出参数a的值；(2)由(1)可知：f(x)=lg2(4x+12+2)+(12x−1)2=lg2(2x+2−x)+14x2+2，利用单调性的定义证明即可．
本题考查函数的单调性、奇偶性，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
22.【答案】解：(1)f4(2)相当于m=4，x=2，
即：f4(2)= 4×2= 8=2 2≈2.828，
f5(2)相当于m=5，x=2，
即：f5(2)=4− 16−5×22=4− 11≈0.68，
故f4(2)>f5(2)；
(2)到2027年相当于m=4，设两次投资利润之和为y，
则y= 4x+ 3(4−x)，
y2=4x+3(4−x)+2 4x⋅3(4−x)
≤4x+3(4−x)+[4x+3(4−x)]22
=4x+3(4−x)+144+2x+x22
=x2+4x+1682，
x2+4x+168的对称轴为x=−2，最大值为(−2)2−4×2+168=162，
∴y2≤1622=81，
∴y≤9，
故利润之和最大值为9百万元．
【解析】(1)将m=4，x=2和m=5，x=2分别代入分段函数即可求解；
(2)到2027年相当于m=4，设两次投资利润之和为y，则y= 4x+ 3(4−x)，结合基本不等式和二次函数的性质即可求解．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．通勤方式
人数
平均用时(分钟)
方差
乘坐公交车
20
30
36
骑电动车
30
20
16