2023高考数学复习专项训练《等比数列》

这是一份2023高考数学复习专项训练《等比数列》，共12页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。


一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）谢尔宾斯三角形是一种分形，其具体操作是取一个实心的三角形沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，去掉中间的那一个小三角形，然后对其余三个小三角形重复以上步骤，得到系列图称之为谢尔宾斯：三角形．在第五个图形中，若随机的投入一个质点，则质点落入“空白”处的概率为( )
A. 34B. 4164C. 78D. 175256
2.（5分）设a、b、c是三个实数，则“b2=ac”是“a、b、c成等比数列”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
3.（5分）数列{an}前n项和是Sn，如果Sn=3+2an（n∈N*），则这个数列是（ ）
A. 等比数列B. 等差数列
C. 除去第一项是等比数列D. 除去最后一项为等差数列
4.（5分）等比数列{an}中，a3=-4，a7=-16，则a5=( )
A. -8B. 8C. ±8D. 24
5.（5分）在等比数列{an}中，已知前n项和Sn=5n+1+a，则a的值为（ ）
A. -1B. 1
C. -5D. 5
6.（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=( )
A. 19B. -19C. 13D. -13
7.（5分）已知正项等比数列{an}公比为q，前n项和为Sn，则“q>1”是“S4+S6-2S5>0”的( )条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分必要D. 既不充分也不充要
8.（5分）若正项递增等比数列{an}满足1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0(λ∈R)，则a8+λa9的最小值为( )
A. -94B. 94C. 274D. -274
9.（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q=2，S100=36，则a1+a3+…+a99等于( )
A. 24B. 12C. 18D. 22
10.（5分）在公差不为零的等差数列{an}中，2a5-a72+2a9=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则lg2(b5b9)=( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
11.（5分）某地2011年人均GDP（国内生产总值）为m元，预计以后年增长率为l0%，使该地区人均GDP超过2m元，至少要经过（ ）
A. 4年B. 5年C. 8年D. 10年
12.（5分）在等比数列{an}中，a1a2=1，a5a6=9，则a3a4=( )
A. 3 B. ±3 C. 3D. ±3
13.（5分）已知数列{an}是等比数列，函数y=x2-5x+3的两个零点是a1、a5，则a3=( )
A. 1B. -1C. ±3D. 3
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）设数列{an}(n∈N*)是等比数列，前n项和为Sn.已知2a3-3a2=9，a4=27，则S3的值为______．
15.（5分）某种细菌在培养过程中，每30分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过2小时，这种细菌由一个可以分裂为____个．
16.（5分）已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1=8，S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为____．
17.（5分）对于数列{an}，定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”，若a1=1，{an}的“差数列”的通项公式为3n，则数列{an}的通项公式an=______．
18.（5分）已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=____________．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）在等比数列{an}中，已知a1=2，且a2，a1+a3，a4成等差数列．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an；
(Ⅱ)设数列{an2-an}的前n项和为Sn，记bn=2nSn，求数列{bn}的前n项和Tn.
20.（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=n2，数列{bn}为等比数列，且b1=a1，b2=a2．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)数列{cn}满足cn=anbn，求{cn}的前项和Tn．
21.（12分）在等比数列{an}中，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1=a1=3，b4=a2，b13=a3．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记cn=(-1)n⋅bn+an，求数列{cn}的前n项和Sn．
22.（12分）在等比数列{an}中：
(1)若a1=1，a5=16，且q>0，求S7.
(2)若a3=32，S3=92，求a1和公比q.
23.（12分）假设某市2015年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8％，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2015年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％?
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：在第五个图形中，根据“空白”处三角形面积的大小关系，
记其(单个)面积分别a1，a2，a3，a4，其构成公比为14的等比数列，
不妨设a4=1，则a3=4，a2=16，a1=64，
根据分形情况，面积分别为a1，a2，a3，a4的三角形的个数分别为1，3，9，27，
且第一个图形的面积为4a1=256，
故“空白”处三角形的面积为：a1+3a2+9a3+27a4=64+3×16+9×4+27=175，
∴质点落入“空白”处的概率为P=175256．
故选：D．
记其(单个)面积分别a1，a2，a3，a4，其构成公比为14的等比数列，设a4=1，则a3=4，a2=16，a1=64，根据分形情况，面积分别为a1，a2，a3，a4的三角形的个数分别为1，3，9，27，且第一个图形的面积为4a1=256，由此求出“空白”处三角形的面积，从而能求出质点落入“空白”处的概率．
该题考查概率的求法，考查等比数列、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
2.【答案】B;
【解析】解：若a、b、c成等比数列，
根据等比数列的性质可得：b2=ac；
若b=0，a=2，c=0，满足b2=ac，但a、b、c显然不成等比数列，
则“b2=ac”是“a、b、c成等比数列”的必要非充分条件．
故选B
3.【答案】A;
【解析】解：由题意可得：因为Sn=3+2an（n∈N*），…①
所以当n＞1时，Sn-1=3+2an-1，…②
所以an=2an-2an-1，整理可得an=2an-1，即
=2，
所以此数列为等比数列．
故选A．
4.【答案】A;
【解析】
此题主要考查等比数列的性质，属于基础题.
由等比数列性质直接可得.

解：由等比数列的性质可知：a52=a3.a7=(-4)×(-16)=64，
又a5与a3同号，∴a5=-8.
故选A.
5.【答案】C;
【解析】解：∵等比数列{an}中，Sn=5n+1+a，
∴a1=25+a，a2=S2-S1=100，a3=S3-S2=500，
∴（25+a）•500=10000，
∴a=-5．
故选：C．
6.【答案】A;
【解析】
此题主要考查等比数列的通项公式及求和公式，为基础题.
熟练掌握等比数列的通项公式是解答该题的关键．

解：设等比数列{an}的公比为q，
∵S3=a2+10a1，a5=9，
∴_1+a1q+a1q2=a1q+10a1a1q4=9，解得^2=9a1=19.
∴a1=19，
故选A.
7.【答案】C;
【解析】
此题主要考查等比数列的通项、充要条件的判定，属于基础题.
根据等比数列的通项公式对条件进行等价转化求解．

解：由S4+S6-2S5>0,得S6-S5>S5-S4，
即a6>a5，又a5>0，
即a5q>a5⇔q>1，
所以“q>1”是“S4+S6-2S5>0”的充分必要条件.
故选C.
8.【答案】C;
【解析】解：设等比数列的公比为q(q>1)，
1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0，
可得λ=1+a2-a4a5-a3，
则a8+λa9=a8+a9a5-a3+a2a9-a4a9a5-a3
=a8+q6q2-1+a8a3-a8a5a5-a3
=a8+q6q2-1-a8=q6q2-1，
设t=q2-1(t>0)，q2=t+1，
则设f(t)=q6q2-1=(t+1)3t，
f'(t)=3t(t+1)2-(t+1)3t2
=(2t-1)(t+1)2t2，
当t>12时，f(t)递增；
当0可得t=12处，此时q=62，f(t)取得最小值，且为274．
则a8+λa9的最小值为274．
故选：C．
设等比数列的公比为q(q>1)，运用等比数列的通项公式，化简可得a8+λa9=q6q2-1，设t=q2-1(t>0)，q2=t+1，则设f(t)=q6q2-1=(t+1)3t，求得导数和单调区间，可得极小值也是最小值，即可得到所求最小值．
该题考查等比数列的通项公式的运用，考查化简整理的运算能力，注意运用换元法和导数判断单调性是解答该题的关键，属于中档题．
9.【答案】B;
【解析】
此题主要考查对等比数列通项公式以及等比数列的求和问题的掌握，属于基础题.

解：设S=a1+a3+...+a99，
则2S=a2+a4+...+a100，
∵S100=36,
∴3S=36,
∴a1+a3+a5+...+a99=12.
故选B.
10.【答案】C;
【解析】解：∵公差不为零的等差数列{an}中，2a5-a72+2a9=0，
∴4a7-a72=0，∴a7=4，
∵数列{bn}是等比数列，且b7=a7，
∴b7=4，b5b9=b72=16，
∴lg2(b5b9)=lg216=4．
故选：C．
由已知条件推导出b7=4，b5b9=b72=16，由此能求出lg2(b5b9).
该题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列、对数性质的合理运用．
11.【答案】C;
【解析】解：由题意可得每年的生产总值构成m为首项，1+10%为公比的等比数列，
故由题意可得m（1+10%）n＞2m，即1.1n＞2，
验证可得1.17＜2，1.18＞2
故选C
12.【答案】A;
【解析】
此题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的基本性质，是基础题．
利用等比数列通公式求出q8=9，从而q4=3，再由a3a4=a1a2q4，能求出结果．

解：设等比数列{an}的公比为q，
a1a2=1，a5a6=9，
∴{a1.a1q=，
解得q8=9，∴q4=3，
∴a3a4=a1.a2q4=3.
故选A.
13.【答案】D;
【解析】角：由韦达定理可知a1+a5=5，a1⋅a5=3，
则a1>0，a5>0，从而a3>0，
且a32=a1.a5=3∴a3=3，
故选：D．
由韦达定理可知a1+a5=5，a1⋅a5=3，由此利用等比数列的性质能求出结果．
该题考查等比数列中第3项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】13;
【解析】解：设等比数列{an}(n∈N*)的公比为q.∵2a3-3a2=9，a4=27，
∴2×a4q-3×a4q2=9，代入化为：q2-6q+9=0，解得q=3．
又a1q3=27，解得a1=1．
则S3=1-331-3=13．
故答案为：13．
利用等比数列的通项公式及其性质可得：2×a4q-3×a4q2=9，代入解得q.进而得出a1，利用求和公式即可得出．
该题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15.【答案】16;
【解析】解：由题意可得细菌数构成1为首项2为公比的等比数列，
经过2小时共1×24=16个，
故答案为：16．
16.【答案】S3;
【解析】解：根据题意可得显然S1是正确的．
假设后三个数均未算错，则a1=8，a2=12，a3=16，a4=29，可知a22≠a1a3，
所以S2、S3中必有一个数算错了．
若S2算错了，则a4=29=a1q3，q=3292，显然S3=36≠8（1+q+q2），矛盾．
所以只可能是S3算错了，此时由a2=12得q=
，a3=18，a4=27，S4=S2+18+27=65，满足题设．
答案为S3
17.【答案】3n-12;
【解析】解：∵a1=1，an+1-an=3n，
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=3n-1+3n-2+…+31+1
=1×(1-3n)1-3=3n-12．
故答案为：3n-12．
依题意，a1=1，an+1-an=3n，利用累加法与等比数列的求和公式即可求得答案．
该题考查数列的求和，着重考查累加法与等比数列的求和公式，属于中档题．
18.【答案】-6;
【解析】解：由等差数列{an}的公差为2，得到a3=a1+4，a4=a1+6，
又a1，a3，a4成等比数列，
∴（a1+4）2=a1•（a1+6），
解得：a1=-8，
则a2=a1+d=-8+2=-6．
故答案为：-6
19.【答案】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由已知得：2（a1+a3）=a2+a4，
即2（a1+a1q2）=a1q+a1q3，解得q=2，
又∵a1=2，
∴an=a1qn-1=2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
Sn=（a12+a22+a32+…+an2）-（a1+a2+…+an）
=（4+42+43+…+4n）-（2+22+23+…+2n）
=4(1-4n)1-4-2(1-2n)1-2
=43（4n-1）-2（2n-1）=（2n-1）（43•2n-23）=23（2n-1）（2n+1-1），
又bn=2nSn，
∴bn=32.2n(2n-1)(2n+1-1)=32（12n-1-12n+1-1），
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn
=32[（121-1-122-1）+（122-1-123-1）+（123-1-124-1）+…+（12n-1-1-12n-1）
+（12n-1-12n+1-1）]
=32（1-12n+1-1）=32-32n+2-2．;
【解析】
(Ⅰ)根据a2，a1+a3，a4成等差数列得到2(a1+a3)=a2+a4，应用等比数列通项公式，化简求出公比，写出通项an；
(Ⅱ)运用分组求和求出Sn，注意分成两组都是等比数列，并运用等比数列求和公式，然后求出bn，并对bn拆成两项的差，运用裂项相消求和即可求出Tn.
此题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，以及等差数列的性质，考查两种数列求和方法：分组求和与裂项相消求和，这是两种重要的求和方法，务必掌握．
20.【答案】解：（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1，
当n=1时，a1=S1=1，也适合上式．
∴an=2n-1．
设等比数列{bn}的公比为q，∵b1=a1=1，b2=a2=3．
∴q=31=3．
∴bn=3n-1．
（2）数列{cn}满足cn=anbn=2n-13n-1，
∴{cn}的前项和Tn=1+33+532+……+2n-13n-1，
∴13Tn=13+332+……+2n-33n-1+2n-13n，
相减可得：23Sn=1+2（13+132+……+13n-1）-2n-13n=1+2×13(1-13n-1)1-13-2n-13n，
化为：Sn=3-n+13n-1．;
【解析】
(1)当n⩾2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，当n=1时，a1=S1，可得an.设等比数列{bn}的公比为q，b1=a1=1，b2=a2=3.可得q=3.可得bn．
(2)数列{cn}满足cn=anbn=2n-13n-1，利用错位相减法即可得出．
此题主要考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)(Ⅰ) 设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，等差数列{bn}的公差为d．
由已知得：a2=3q,a3=3q2，b1=3，b4=3+3d，b13=3+12d，
所以3q=3+3d3q2=3+12d⇒q=1+dq2=1+4d⇒q=3或 q=1(舍去)，
所以，此时 d=2，
所以，an=3n，bn=2n+1；
(2) 由题意得：cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n，
Sn=c1+c2+…+cn=(-3+5)+(-7+9)+…+(-1)n-1(2n-1)+(-1)n(2n+1)+3+32+…+3n，
当n为偶数时，Sn=n+3n+12-32=3n+12+n-32，
当n为奇数时，Sn=(n-1)-(2n+1)+3n+12-32=3n+12-n-72，
所以，Sn=3n+1 2+n-3 2(n为偶数时)3n+1 2-n-7 2(n为奇数时)．;
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，等差数列{bn}的公差为d，根据b1=a1，b4=a2，b13=a3及等差、等比数列的通项公式列关于q，d的方程组解出即得q，d，再代入通项公式即可；
(2)由(Ⅰ)知cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n，Sn=c1+c2+…+cn=(-3+5)+(-7+9)+…+(-1)n-1(2n-1)+(-1)n(2n+1)+3+32+…+3n，分n为奇数、偶数两种情况讨论即可；
该题考查等差、等比数列的综合及数列求和，考查方程思想，若数列{an}等差数列，则数列{(-1)nan}的前n项和并项法求和，按n为奇数、偶数讨论．
22.【答案】解：(1)∵{an}为等比数列且a1=1，a5=16，且q>0，
∴a5=a1q4，∴16=q4，∴q=2(负舍)，
∴S7=a1(1-q7)1-q=1-271-2=127;
(2)①当q≠1时，S3=a1(1-q3)1-q=92，
又a3=a1.q2=32，∴a1(1+q+q2)=92，
即32q2(1+q+q2)=92，解得q=-12(q=1舍去)，
∴a1=6.
②当q=1时，S3=3a1，∴a1=a2=a3=32，满足条件.
综上得_1=6q=-12或_1=32q=1.;
【解析】
此题主要考查等比数列的通项公式与求和，是基础题.
(1)由已知求出q，然后利用求和公式求解即可;
(2)分类讨论q是否等于1即可求解.
23.【答案】解：(1)设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，
其中a1=250，d=50，
则Sn=250n+n(n-1)2×50=25n2+225n，
令25n2+225n⩾4750，
即n2+9n-190⩾0，而n是正整数，∴n⩾10，
∴到2024年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．

(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，
其中b1=400，q=1.08，
则bn=400×(1.08)n-1，
由题意可知an>0.85bn，有250+(n-1).50>400×(1.08)n-，
满足上述不等式的最小正整数n=6，
到2020年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％.;
【解析】此题主要考查了数列的应用，解答该题的关键是利用题设条件判断出数列的类型，根据等差或等比数列的性质来解决．
(1)设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，求得首项和公差，利用等差数列的求和公式求得Sn，进而根据Sn⩾4750，求得n的最小值．
(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，根据题意可求得数列的首项和公比，则数列的通项公式可得，进而an>0.85bn，求得n的最小正整数．

an
an-1
3
2