2023高考数学复习专项训练《线面角》

这是一份2023高考数学复习专项训练《线面角》，共25页。试卷主要包含了、单选题，、多选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。


一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知从一点P引出三条射线PA、PB、PC，且两两成60°角，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( )
A. 12B. 33C. 22D. 63
2.（5分）α,β是两个平面，m,n是两条直线，有下列四个命题正确的命题的个数为
(1)如果m⊥n,m⊥α,n//β,则α⊥β(2)如果m⊥α,n//α,则m⊥n(3)如果α//β,m⊂α,则m//β(4)如果m//n,α//β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.（5分）正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为( )
A. 33B. 63C. 13D. 23
4.（5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是面A1B1C1D1内一点，且AP//平面EFDB，则tan∠A1AP的最小值是( )
A. 2B. 22C. 24D. 1
5.（5分）一个圆锥的体积为π6，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为( )

A. 33B. 22C. 63D. 2
6.（5分）在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=AC=2，PA=2，E，F分别是PB，BC的中点，则EF与平面PAB所成的角等于( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
7.（5分）设 E， F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 DC上两点，且AB=2，EF=1，给出下列四个命题：

①三棱锥D1-B1EF的体积为定值； ②异面直线D1B1与 EF所成的角为45°；
③D1B1⊥平面B1EF； ④直线D1B1与平面B1EF所成的角为60°.
其中正确的命题为( )
A. ①②④B. ②③C. ①②D. ①④
8.（5分）直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为150°，则l与平面α所成的角为（ ）
A. 120°B. 30°C. 60°D. 150°
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知a，b，c是三条互不重合的直线，α，β，γ是三个互不重合的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若a//c，b//c，则a//b
B. 若a与α和β所成的角都相等，则α//β
C. 若a与b是异面直线，则有无数条直线与a，b都垂直
D. 若a⊥b，a⊄α，b⊂α，则a⊥α
10.（5分）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为3+3，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是( )
A. 与 AB所成的角是60°的棱共有8条
B. AB与平面 BCD所成的角为45°
C. 二面角A-BC-D的余弦值为-33
D. 经过 A， B， C， D四个顶点的球面面积为2π
11.（5分）已知在三棱锥P-ABC中，O为AB中点，PO⊥平面ABC，∠APB=90∘，PA=PB=2，下列说法中正确的是()
A. 若O为△ABC的外心，则PC=2
B. 若△ABC为等边三角形，则AP⊥BC
C. 当∠ACB=90∘时，PC与平面PAB所成角的最大值为π4
D. 当PC=4时，M为平面PBC内动点，满足OM//平面PAC，则M在△PBC内的轨迹长度为2
12.（5分）如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB=BC， E、F分别是AB1、BC1的中点，则下列结论中成立的是( )
A. EF与BB1相交B. EF//平面A1B1C1D1
C. EF⊥平面BDD1B1D. EF与平面C1BD所成的角为45∘
13.（5分）如图，已知在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为AD1上的动点，则下列结论正确的有()
A. 当P运动到AD1中点时，直线BP与平面ABCD所成角的正切值为55
B. 当P在直线AD1上运动时，三棱锥C1-A1PB的体积会随着P点的运动而变化
C. 当点P在直线AD1上运动到某一点时，直线B1C与平面BPC1所成角为π4
D. 当P在直线AD1上运动时，△A1P1B1的面积存在最小值2
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为__________；PC和平面ABC所成的角的大小为__________.
15.（5分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，则PC与平面PAB所成角的正切值为_____________
16.（5分）在三棱锥S-ACB中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=13，SB=29，则SC与AB所成角的余弦值为_____.
17.（5分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，AB=2，AD=3，∠BAD=120°，PA=x，则当x变化时，直线PD与平面PBC所成角的取值范围是______．
18.（5分）已知直线m，n和平面α，则m∥n的一个必要非充分条件：____．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）如图，在多面体，ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BDC=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．
(1)求证AC⊥平面BDEF；
(2)求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；
(3)求二面角H-BD-C的大小．
20.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
(1)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(2)当PA//平面BDE时，求PB与平面BDE所成角的正弦值．
21.（12分）如图，三棱锥P-ABC的底面是等腰直角三角形，其中AB=AC=2，PA=PB，平面PAB⊥平面ABC，点E，F，M，N分别是AB，AC，PC，BC的中点．
(1)证明：平面EMN⊥平面PAB；
(2)当PF与平面ABC所成的角为π3时，求四棱锥A-PMNB的体积．
22.（12分）四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD是正三角形，PB⊥AD，E为AD的中点，二面角P-AD-B为60°．
(1)证明：AD⊥平面PBE；
(2)求点P到平面ABCD的距离；
(3)求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．
23.（12分）如图，在棱台ABCD-EFGH中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，AB=AD=3EH=1，BC=2，AE=143，上、下底面的距离为1．
(Ⅰ)若AE=CG，证明：平面ACGE⊥平面ABCD；
(Ⅱ)在(1)的条件下，求直线AH与平面BCGF所成角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：过PC上一点D作DO⊥平面APB，则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角．
因为∠APC=∠BPC=60°，所以点O在∠APB的平分线上，即∠OPE=30°.
过点O作OE⊥PA，OF⊥PB，因为DO⊥平面APB，则DE⊥PA，DF⊥PB.
设PE=1，∵∠OPE=30°∴OP=1cs30°=233.
在直角ΔPED中，∠DPE=60°，PE=1，则PD=2.
在直角ΔDOP中，OP=233，PD=2.则cs∠DPO=OPPD=33.
即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是33.
故选B.
过PC上一点D作DO⊥平面APB，则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角，说明点O在∠APB的平分线上，通过直角三角形PED、DOP，求出直线PC与平面PAB所成角的余弦值．
此题主要考查直线与平面所成角的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力、转化能力．
2.【答案】C;
【解析】
本题重点考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系以及线面角，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题.
逐个判断即可求解.

解：(1)、由m⊥n,n//β可得m⊥β，又m⊥α，可得α//β，故错误；
(2)、由m⊥α，n//α可得m⊥n，故正确；
(3)、由α//β,m⊂α有可得m//β，故正确；
(4)、由m//n,α//β,那么m与α所成的角与n与β所成的角相等，故正确.
故正确的命题的个数为3.
故选C.
3.【答案】A;
【解析】
设正方体棱长为1，求出BB1与平面A1BC1所成角的正弦值即可得出结论．
该题考查了空间角的计算，作出所求线面角是解题关键，属于中档题．

解：∵ΔA1BC1是等边三角形，A1B1=BB1=B1C1，
∴B1在平面A1BC1上的射影为ΔA1BC1的中心O，
设正方体棱长为1，M为A1C1的中点，则A1B=2，
∴OB=23BM=232-12=63，
∴OB1=BB12-OB2=33，
∴sin∠B1BO=OB1BB1=33，
即BB1与平面A1BC1所成角的正弦值为33，
∵DD1//BB1，
∴直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为33．
故选：A．

4.【答案】C;
【解析】
此题主要考查角的正切值的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
作出与平面EFDB平行的平面AGH，从而得到tan∠A1AP最小时点P的位置，即可解答.

解：取A1D1，A1B1的中点G，H，连结GH，AG，AH，连结A1C1，与GH交于点N，连结AN，

设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
∵在正方形ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，G，H分别为A1D1，A1B1的中点，
∴A1N=A1C14=24，GH//EF，GH⊄平面EFDB，EF⊂平面EFDB，
故GH//平面EFDB，
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AH//DF，同理可证AH//平面EFDB，
又AH∩GH=H，AH、GH⊂平面AGH
∴平面AGH//平面EFDB.
又AP//平面EFDB，
∴当点P在线段GH上.
∵tan∠A1AP=A1PA1A，
∴A1P最小时，tan∠A1AP取得最小值.
故当点P在点N处时，tan∠A1AP取得最小值，
∴tan∠A1AP的最小值是241=24.
故选C.
5.【答案】D;
【解析】
该题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，考查基本不等式的应用，属于中档题．
根据体积得出底面半径r和高h的关系，根据基本不等式得出侧面积最小的条件，计算半径和高即可得出答案．

解：设圆锥的底面半径为r，高为h，则母线长为l=r2+h2，
则V=13πr2h=π6，
∴r2h=12，即h=12r2，
∴S侧=πrl=πrr2+14r4=πr4+14r2，
∵r4+14r2=r4+18r2+18r2⩾33164=34，
当且仅当r4=18r2即r=22时取等号，此时，h=12r2=1，
∴母线与底面所成角的正切值为hr=122=2．
故选D．
6.【答案】B;
【解析】
该题考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EF与平面PAB所成的角．

解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(3,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，
E(32,12,22)，F(32,32,0)，
EF→=(0,1,-22)，AP→=(0,0,2)，AB→=(3,1,0)，
设平面PAB的法向量n→=(x,y,z)，
则n→.PA→=2z=0n→.PB→=3x+y=0，取x=1，得n→=(1,-3,0)，
设EF与平面PAB所成的角为θ，
则sinθ=|EF→.n→||EF→|.|n→|=|-3|32×2=22，
∴θ=45°．
∴EF与平面PAB所成的角等于45°．
故选：B．

7.【答案】C;
【解析】解：如图所示，
三棱锥D1-B1EF的体积为V=13SΔD1EF⋅B1C1=13×12×2×2×1=23为定值，①正确；
EF//D1C1，∠B1D1C1是异面直线D1B1与EF所成的角，为45°，②正确；
D1B1与EF不垂直，由此知D1B1与平面B1EF不垂直，③错误；
在三棱锥D1B1DC中，设D1到平面DCB1的距离为h，
VB1-D1DC=VD1-DCB1，即有13×2×12×2×2=13×12×2×22h，解得h=2，
直线D1B1与平面B1EF所成的角的正弦为222=12，即所成角为30°，④错误．
综上，正确的命题序号是①②．
故选：C.
①根据题意画出图形，结合图形求出三棱锥D1-B1EF的体积为定值；
②求得异面直线D1B1与EF所成的角为45°；
③判断D1B1与平面B1EF不垂直；
④直线D1B1与平面B1EF所成的角是为30°.
此题主要考查了空间中的直线与平面之间的位置关系应用问题，是中档题．
8.【答案】C;
【解析】解：∵直线l的方向向量与平面α的法向量大的夹角等于150°，
∴直线l的方向向量与平面α的法向量小的夹角等于30°
∴直线l与平面α所成的角等于60°．
故选：C．
9.【答案】AC;
【解析】

此题主要考查了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系 ，考查了直线与平面所成的角，属于基础题.
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断各选项即可.

解：对于A，若a//c，b//c，则a//b，可得选项A正确；
对于B，如图所示：在正方体中，设平面α为平面BACD，平面β为平面FECD，
MC与平面BACD，平面FECD所成的角相等，α∩β=CD，故B错误；

对于C，由空间中直线与直线的位置关系，
如上图：设a=EC，设b=AB，且AC⊥AB,AC⊥EC，与AC平行的直线有无数条，故C正确；
对于D，a与α的可能平行，D错误．
故选AC.
10.【答案】BCD;
【解析】
此题主要考查空间几何的理解与应用，正多面体的几何性质的应用，线面角与二面角的求解，球的表面积公式的应用，属于难题.
补全该半正多面体得到一个正方体，由正三角形可得60∘角，利用平行关系，即可判断A；利用正方体找出线面角为∠ABE=45∘，即可判断B；找到二面角的补角∠AFE，在直角三角形AEF中，利用边角关系求解，即可判断C；利用半正多面体的对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，再构造△OO1A，求出球的半径，利用球的表面积公式求解即可判断D.解：补全该半正多面体得到一个正方体，

设正方体的棱长为a，
由题意可知，该半正多面体由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，
则由半正多面体的表面积为3+3，
所以8×34×(22a)2+6×(22a)2=3+3，解得a=1，
对于A，在于AB相交的6条棱中，与AB所成的角是60∘的棱有4条，
在这4条棱中，每一条棱都有3条平行的棱，
故与AB所成的角是60∘的棱共有16条，
故选项A错误;
对于B，因为AE⊥平面BCD，
所以AB与平面BCD所成的角为∠ABE=45∘，
故选项B正确;
对于C，取BC的中点F，连接EF，AF，
则AF⊥BC，EF⊥BC，
所以二面角A-BC-D的补角为∠AFE，
二面角A-BC-D的余弦值为-cs∠AFE，
在Rt△AEF中，AE=12，EF=24，AE⊥EF，
所以AF=AE2+EF2=14+18=64，
则cs∠AFE=EFAF=33，
故-cs∠AFE=-33，
故选项C正确;
对于D，由半正多面体的对称性可知，其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，
其对称中心为正方体体对角线的中点O，过A，B，C，D四个顶点的球的球心为O，
点O在平面ABE内的投影为O1，

则OO1=12，AO1=12，
所以AO=OO12-AO12=22，
故经过点A，B，C，D四个顶点的球的半径为22，
所以球面面积为4π×(22)2=2π，
故选项D正确.
故选：BCD.
11.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查了几何的基础知识以及线面角和面面平行的性质，属于中档题.
由三角形外心的性质可判断A;逆推可判断B;过C作CH⊥AB交AB于H，连接PH，∠CPH即为PC与平面PAB所成角的平面角，则可判断C;由面面平行的性质定理可得线面平行，可判断D.
解：若O为△ABC的外心， 则OA=OB=OC， 由射影相等即可知PA=PB=PC=2， 故A正确;
假设AP⊥BC，根据PO⊥BC，得BC⊥平面APB，则BC⊥AB，与△ABC为等边三角形矛盾，故B错误;
当∠ACB=90∘时，由Rt△APB中，O为AB中点，PA=PB=2，则OC=OP=12AB=2，则PC=2，过C作CH⊥AB交AB于H，连接PH，

由PO⊥平面ABC，则PO⊥CH，又PO⋂AB=O，则CH⊥面PAB，CH⊥PH，故∠CPH为PC与平面PAB所成角的平面角，sin∠CPH=CHPC=CH2∈(0,22],
故∠CPH的范围为(0,π4],故C正确;
取M1，M2分别为PB，BC的中点，

由O为AB的中点，则OM1//AP，M1M2//CP，OM1⋂M1M2=M1，OM1，M1M2⊂面OM1M2；AP⋂CP=P，AP，CP⊂面ACP，故平面OM1M2//平面APC，
则线段M1M2为M在△PBC内的轨迹且M1M2=12PC=2， 故D正确.
故本题选ACD.
12.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查空间中直线与直线的位置关系，直线与平面平行判定与性质，直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成的角，考查空间想象能力，属于中档题．
根据正方体的结构特征，利用直线与平面平行判定与性质，直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成的角，结合选项逐一判断即可.

解：对于A，取AB的中点G，BC的中点H，A1B1的中点M，B1C1的中点N，
连接GH，MN，GM，HN，由题意，易证四边形GHNM是矩形，
且EF在平面GHNM内，而BB1//HN，HN⊂平面GHNM，BB1⊄平面GHNM，
∴BB1//平面GHNM，故EF与BB1不相交 ，故A错误；

对于B，EF//A1C1，EF⊄平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以EF//平面A1B1C1D1，故B正确；
对于C，易证A1C1垂直平面BDD1B1，又EF//A1C1，所以EF垂直于平面BDD1B1,故C正确；
对于D，∵EF//AC，EF与平面C1BD所成的角就是AC与平面C1BD所成的角，
∵AC⊥BD，又∵BC1=DC1，O是BD的中点，∴OC1⊥BD，OC1∩AC=O，OC1、AC⊂平面C1OC，
∴BD⊥平面C1OC，而BD⊂平面C1BD，∴平面C1BD⊥平面C1OC，
平面C1BD∩平面C1OC=OC1，∴OC在平面C1BD的射影为C1O，
故AC与平面C1BD所成的角为∠C1OC，在RtΔC1OC中，tan∠C1OC=C1COC=2，
∴EF与平面C1BD所成的角不是45∘，故D错误.
故选BC.
13.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查直线与平面所成角，棱锥的体积，空间中的距离，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属中档题．
选项A利用线面角的定义求解;选项B中以A1为顶点， 通过论述三棱锥A1-BPC1的底面积和高不变，从而体积不变，来说明三棱锥C1-A1PB的体积不变;选项C由线面垂直来说明;选项D中， 以A1B1为底边， 点P到A1B1的距离为高，来确定△A1P1B1的面积存在最小值2.
解： A选项：
当P运动到AD1中点时， 点P到底面的距离PH=1，且点P在底面的投影H为边AD的中点，
此时HB=5，∠HBP为BP与底面ABCD所成的角，所以正切值为15=55，A正确;

B选项：
点P在直线AD1上运动时，AD1//BC1，点P到底边BC1的距离不变， 所以△PBC1的面积为定值，
又△PBC1始终在平面ABC1D1上， 点A1到平面ABC1D1的距离不变，
所以三棱锥A1-BPC1的体积不变，即三棱锥C1-A1PB的体积不变，B错误;

C选项：
当P在直线AD1上运动时，B1C⊥平面ABC1D1，
平面BPC1即为平面ABC1D1， 所以B1C⊥平面BPC1， 故C错误;

D选项：
P在直线AD1上运动时， 易得A1B1⊥AP，
∴PA1为P到直线A1B1的距离，
当P为AD1中点时， 点P到直线A1B1的距离最小，
此时△A1PB1的面积最小，
为S=12×2×2=2，故D正确.


故选AD.

14.【答案】2 ;π4
;
【解析】
此题主要考查空间直线与平面的垂直关系、点到平面的距离，直线与平面所成角，属于中档题.
过点P作PO⊥平面ABC，根据已知条件，求解即可.

解：如图：

过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，
连接OD，OE，则PD=PE=3.
由PO⊥平面ABC，AC在平面ABC内，知PO⊥AC，
又因为AC⊥PD，PO∩PD=P，PO，PD在平面POD内，
所以AC⊥平面POD，OD在平面POD内，
所以AC⊥OD，同理可得BC⊥OE，
又因为∠ACB=90°，所以四边形CDOE为矩形，
又因为PO=PO，PD=PE，所以RtΔPOD≌RtΔPOE，
所以OD=OE，所以矩形CDOE为正方形．
在RtΔPCD中，CD=PC2-PD2=1，则OC=2CD=2，
所以在RtΔPCO中，PO=PC2-OC2=2，
PO即为点P到平面ABC的距离，即所求距离为π4，
ΔPCO为等腰直角三角形，
易求得PC和平面ABC所成的角即为∠PCO，大小为π4.
故答案为2，π4.
15.【答案】22;
【解析】
此题主要考查线面角的求解及线面垂直的判定，由已知可得 BC⊥平面PAB，则∠CPB为PC与平面PAB所成角，求出它的正切即可求解.
解： 因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC，
又AB⊥BC，PA∩AB=A，
所以BC⊥平面PAB，
所以∠CPB为PC与平面PAB所成角，
又PA=AB=2，PA⊥AB，
所以PB=22，
所以tan∠CPB=BCPB=22.
故答案为22.
16.【答案】1717;
【解析】
此题主要考查直线与平面所成的角，取BC的中点E，在平面ABC内作DE//AB，交AC于点D，在平面SBC内作EF//SC，交SB于点F，则异面直线SC与AB所成的角为∠FED，再在ΔDEF中，由余弦定理可解结果.

解： 如图，取BC的中点E，在平面ABC内作DE//AB，交AC于点D，
在平面SBC内作EF//SC，交SB于点F，
则异面直线SC与AB所成的角为∠FED，
过点F作FG⊥AB于点G，连接DG，
则ΔDFG为直角三角形.
由题意知AC=2，BC=13，SB=29，
可得DE=172，EF=2，DF=52，
在ΔDEF中，由余弦定理可得cs ∠DEF=DE2+EF2-DF22DE.EF=1717.
故答案为1717.
17.【答案】(0,π6];
【解析】
该题考查空间线面角的范围，注意运用等积法和正弦函数的定义，考查线面垂直的性质，以及三角形的面积公式和余弦定理、正弦定理的运用，化简整理的运算能力，属于难题．
设D在平面PBC内的射影为H，连接DH和PH，可得PD和平面PBC所成角为∠DPH，设DH=d，∠DPH=α，运用线面垂直的性质和勾股定理，求得PA，PC，PD，运用等积法，求得d，再由直角三角形的正弦函数定义，结合基本不等式，即可得到所求范围．

解：设D在平面PBC内的射影为H，连接DH和PH，
可得PD和平面PBC所成角为∠DPH，
设DH=d，∠DPH=α，
由PA⊥平面ABCD，AC，AB⊂平面ABCD，则PA⊥AC，PA⊥AB，
AB=2，AD=3，∠BAD=120°，
可得AC=4+3-2×2×3×12=7-23，
PA⊥AC，可得PC=x2+7-23，
PA⊥AB，可得PB=x2+4，
在ΔPBC中，cs∠PBC=4+x2+3-(x2+7-23)23.4+x2=14+x2，
sin∠PBC=3+x24+x2，
则SΔPBC=12×3×4+x2⋅3+x24+x2=32×3+x2，
VP-BCD=VD-PBC，可得x3⋅12×23×32=13d×32×3+x2，
可得d=3x3.3+x2，
即有sinα=dPD=d3+x2=3x3(x2+3)=33(x+3x)
⩽33×23=12，
当且仅当x=3时，上式取得等号，
则0<α⩽π6．
故答案为：(0,π6].

18.【答案】m，n与α所成角相等;
【解析】∵若“m，n与α所成角相等”不能推出“m∥n”，说明没有充分性，反之若“m∥n”则必定有“m，n与α所成角相等”成立，
∴m∥n的一个必要非充分条件是m，n与α所成角相等．
故答案为：m，n与α所成角相等．
19.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF；
（2）解：设AC∩BD=O，取EF的中点N，连接ON，
∵四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，
∴ON∥ED，∵ED⊥平面ABCD，∴ON⊥平面ABCD，
由AC⊥BD，得OB，OC，ON两两垂直．
∴以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．
∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，BF=3，
∴A（0，-3，0），B（1，0，0），D（-1，0，0），E（-1，0，3），F（1，0，3），C（0，3，0），H（12，32，32）
∵AC⊥平面BDEF， ∴平面BDEF的法向量AC→=（0，23，0），
设直线DH与平面BDEF所成角为α， ∵DH→=（32，32，32），
∴sinα=|cs＜DH→，AC→＞|=|DH→.AC→|DH→||AC→||=77，
∴直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为77；
（3）解：由（2），得BH→=（-12，32，32），DB→=（2，0，0），
设平面BDH的法向量为n→=（x，y，z），则-x+3y+3z=02x=0 ，
令z=1，得n→=（0，-3，1），
由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量为ED→=（0，0，-3），
则cs＜n→，ED→＞=n→.ED→|n→||ED→|=-12，
由图可知二面角H-BD-C为锐角， ∴二面角H-BD-C的大小为60°．
;
【解析】
此题主要考查面面垂直的性质，考查线面垂直，考查线面角，面面角，考查向量法的运用，正确求出平面的法向量是关键．
(1)由面面垂直的性质可证AC与平面BDEF垂直；
(2)以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDEF的法向量，即可求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；
(3)求出平面BDH、平面BCD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角H-BD-C的大小．

20.【答案】(1)证明：∵PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC=B，∴PA⊥平面ABC，
又∵BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD，
∵AB=BC=2，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
∵BD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC.
(2)∵PA//平面BDE，平面PAC∩平面BDE=ED，
∴ED//PA，又D为AC中点，∴E为PC中点，
∵DE//AP，从而P到平面BDE的距离h等于A到平面BDE的距离，
∵AD⊥BD，AD⊥ED，BD∩ED=D，∴AD⊥平面BDE，
∴h=AD=2.
又∵PB=22，
∴PB与平面BDE所成角的正弦值等于hPB=12.;
【解析】此题主要考查平面与平面垂直的判定定理，线与平面平行的性质定理及求线与平面所成的角，属于中档题.(1)根据直线与平面垂直的判定定理先证明PA⊥平面ABC，再证BD⊥平面PAC，从而由平面与平面垂直的判定定理可得平面BDE⊥平面PAC.(2)先由线面平行的性质定理证得P到平面BDE的距离h等于A到平面BDE的距离，再根据直线与平面所成角的定义即可求出PB与平面BDE所成角的正弦值等于12.
21.【答案】(1)证明：因为三棱锥P-ABC的底面是等腰直角三角形，且AB=AC=2，所以AB⊥AC，又点E、N分别是AB、BC的中点，故EN//AC，故EN⊥AB，又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，EN⊂平面ABC，故EN⊥平面PAB，又EN⊂平面EMN，故平面EMN⊥平面PAB；
(2)解：

连结PE，因为PA=PB，点E是AB中点，所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABC，
平面PAB∩平面ABC=AB，PE⊂平面PAB，故PE⊥平面ABC，
连结EF，则∠PFE就是直线PF与平面ABC所成的角，于是PEEF=tan ∠PFE=3，
又点E，F，分别是AB，AC的中点，且AB=AC=2，
则PE=3EF=3⋅AE2+AF2=6，
因为PA=PB，E是AB中点，故PE⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABC，故PE⊥平面ABC，
所以点P到平面ABC的距离PE=6，
点M是PC中点，故点M到平面ABC的距离d=62，
因为VA-PMNB=VP-ABC-VM-ANC=13PE⋅SΔABC-13d⋅SΔANC
=13×6×12×2×2-13×62×12×2×1=263-66=62
所以四棱锥A-PMNB的体积为62.;
【解析】此题主要考查面面垂直的性质与判定，直线与平面所成的角，锥体体积的计算，属于中档题.
(1)由条件得EN⊥AB，结合平面PAB⊥平面ABC，利用面面垂直的性质定理得EN⊥平面PAB，再利用面面垂直的判定定理即可证明平面EMN⊥平面PAB；
(2)利用面面垂直的性质定理得PE⊥平面ABC，即∠PFE就是直线PF与平面ABC所成的角，得PEEF=tan ∠PFE=3，求得点P到平面ABC的距离为PE=6，M到平面ABC的距离d=62，利用VA-PMNB=VP-ABC-VM-ANC，结合锥体体积的计算公式求解即可.

22.【答案】证明：（1）∵△PAD是正三角形，E为AD中点，
∴AD⊥PE，
∵AD⊥PB，PE与PB是平面PBE内的两条相交线，
∴AD⊥平面PBE．
解：（2）∵AD⊥平面PBE，BE⊂平面PBE，
∴AD⊥BE，
∴∠PEB是二面角P-AD-B的平面角，∴∠PEB=60°，
∵AD⊥平面PBE，AD⊂平面ABCD，
∴平面PBE⊥平面ABCD，
作PF⊥BE，垂足为F，则PF⊥平面ABCD，
∴PF=PE•sin∠PEB=3.sin60°=32，
∴点P到面ABC的距离为32．
（3）∵AD⊥BE，E为AD中点，
∴AB=BD，即△ABD为正三角形，
以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，3，0），P（0，32，32），D（-1，0，0），
∴AB→=（-1，3，0），AP→=（-1，32，32），AD→=（-2，0，0），
设m→=（x，y，z）是平面ABP的一个法向量，
则m→.AB→=-x+3y=0m→.AP→=-x+32y+32z=0，取x=3，得m→=（3，3，1），
∵AD∥BC，∴AD与平面APB所成的角和BC与平面APB所成的角相等，
设BC与平面APB所成角为θ，
∴sinθ=|cs＜AD→，m→＞|=|AD→.m→||AD→|.|m→|=31313．
∴直线BC与平面PAB所成角的正弦值为31313．;
【解析】
(1)推导出AD⊥PE，AD⊥PB，由此能证明AD⊥平面PBE．
(2)由AD⊥平面PBE，得AD⊥BE，从而∠PEB是二面角P-AD-B的平面角，∠PEB=60°，推导出平面PBE⊥平面ABCD，作PF⊥BE，垂足为F，则PF⊥平面ABCD，由此能求出点P到面ABC的距离．
(3)以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC与平面PAB所成角的正弦值．
该题考查线面垂直的证明，考查点到直线的距离的求法，考查线面的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
23.【答案】（Ⅰ）证明：设AE，CG的延长线交于点P，取AC的中点O，连接PO，
∵AE=CG，∴PA=PC，∴PO⊥AC，
设P到平面ABCD的距离为h，
∵由棱台性质可知PEPA=EHAD=h-1h=13，∴PA=32AE=142，h=32，
又AC=AB2+BC2=5，∴OA=52，
∴PO=PA2-AO2=32，∴PO=h，
∴PO⊥平面ABCD，
又PO⊂平面ACGE，
∴平面ACGE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：连接OD，则OD⊥AD，OD=12AB=12，
以O为原点，以OD为x轴，以AD的过点O的平行线为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（12，-1，0），B（-12，-1，0），C（-12，1，0），D（12，0，0），P（0，0，32），
∴DP→=（-12，0，32），CP→=（12，-1，32），AD→=（0，1，0），BC→=（0，2，0），
∴AH→=AD→+DH→=AD→+23DP→=（-13，1，1），CG→=23CP→=（13，-23，1），
设平面BCGF的法向量为n→=（x，y，z），则n→.BC→=0n→.CG→=0，
即2y=013x-23y+z=0，令z=1可得n→=（-3，0，1），
∴cs＜AH→，n→＞=AH→.n→|AH→||n→|=2193×10=319095，
∴直线AH与平面BCGF所成角的正弦值为319095．;
【解析】
(Ⅰ)设AE，CG延长线交于P，AC中点为O，根据棱台高计算P到平面ABCD的距离，再根据勾股定理计算PO可得PO⊥平面ABCD，于是平面ACGE⊥平面ABCD；
(Ⅱ)以O为原点建立空间坐标系，求出平面BCGF的法向量n→，计算AH→和n→的夹角得出线面角的正弦值．
该题考查了面面垂直的判定，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．