数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第1课时导学案

1.4.1  用空间向量研究直线、平面的位置关系

第1课时 空间向量与平行关系

【学习目标】

【自主学习】

一．空间中点、直线和平面的向量表示

二．直线的方向向量与平面的法向量

1.直线的方向向量的定义

直线的方向向量是指和这条直线        的非零向量，一条直线的方向向量有    个．

2.平面的法向量的定义

直线l⊥α，取直线l的         a，则向量a叫做平面α的法向量．

解读：（1）法向量不能为零向量；（2）法向量与平面内任一向量垂直；（3）平面的法向量可以有无数个，任意两个都是共线向量.

三．空间中平行关系的向量表示

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(　　)

(2)直线l的一个方向向量为a＝(－1,2,1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，－1,1)，l⊄α，则l∥α.(　　)

(3)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的向量参数方程可以为＝t.(　　)

(4)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．(    )

2.若A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　)

A．(2，2，6)    B．(－1，1，3)

C．(3，1，1)    D．(－3，0，1)

3.设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________．

【经典例题】

题型一　求平面的法向量

点拨：求平面法向量的步骤

1.设法向量n＝(x，y，z)；

2.在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；

3.建立方程组

4.解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．

例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量．

【跟踪训练】1 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．

题型二  证明线线平行

点拨：证明两直线平行的方法

法一：平行直线的传递性；

法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn.

法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.

例2 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS.

【跟踪训练】2 已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　)

A．2，     B．，     C．－3,2      D．2,2

题型三   证明线面、面面平行

点拨：1.向量法证明线面平行的思路

(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u,即a·u＝0.

(2)根据线面平行的判定定理，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．

2.证明面面平行的方法

设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β⇔μ∥v.

例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．

【跟踪训练】3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；

(2)平面ADE∥平面B1C1F.

【当堂达标】

1.(多选)如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1为正方体，则(　　)

A.直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)

B．直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)

C．平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)

D．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)

2.已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则(　　)

A．x＝6，y＝15     B．x＝3，y＝    C．x＝3，y＝15    D．x＝6，y＝

3.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则(　　)

A．l∥α        B．l⊂α     C．l⊥α        D．l⊂α或l∥α

4.已知u是平面α的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u＝(3,1,2)，a＝(－2,2,2)，则l与α的位置关系是________．

5.已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，且l∥α，则m＝________.

6.在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.

【课堂小结】

1.应用向量法证明线面平行问题的方法

(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．

(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．

(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．

2.证明面面平行的方法

设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．

3.直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有无数个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量也都是共线向量．

【参考答案】

【自主学习】

一．   ＋ta   ＋t xa＋yb   ＋x＋y

二．平行或共线  无数   方向向量  

三．u1∥u2    (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)  u·n＝0   a1a2＋b1b2＋c1c2＝0

n1∥n2   (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)

【小试牛刀】

1.(1) √　(2)√　(3) √　(4)√ 

2.A解析：＝(1，1，3)，所以与共线的向量都可以充当直线l的方向向量．

3.4解析：因为α∥β，所以它们的法向量共线，从而＝＝，解得k＝4.

【经典例题】

例1 解：如图所示建立空间直角坐标系．

依题意可得D(0,0,0)，P(0,0,1)，E，B(1,1,0)，

于是＝，＝(1,1,0)．

设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)，

则n⊥，n⊥，于是

取x＝1，则y＝－1，z＝1，

故平面EDB的一个法向量为n＝(1，－1,1)．

【跟踪训练】1解　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，

由题意知＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)．

∵n⊥，n⊥，∴解得令x＝1，则y＝z＝1.

∴平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)．

例2 证明：法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz.

则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，＝(－3,2,1)，＝(－3,2,1)，

∴＝，∴∥，即PQ∥RS.

法二：＝＋＝－＋，

＝＋＝＋－，

∴＝，∴∥，即RS∥PQ.

【跟踪训练】2 A解析：若a∥b，则2μ－1＝0且＝，解得μ＝且λ＝2或λ＝－3，故选A.

例3 思路点拨：方法1：可证明与，是共面向量；方法2：可证明与平面A1BD中的DA1是共线向量；方法3：可通过平面A1BD的法向量来证明．

证明：方法1：∵＝－＝－＝－－＋＝－，

∴，，是共面向量．

又∵MN⊄平面A1BD，

∴MN∥平面A1BD．

方法2：∵＝－＝－

＝(－)＝，∴∥．

又∵MN⊄平面A1BD，

∴MN∥平面A1BD．

方法3：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．

设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0，0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)．

于是＝，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)．

设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，

则得

取x＝1，得y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)．

∵·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n．

又∵MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．

【跟踪训练】3 证明　(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，

所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．

设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥，n1⊥，

即得

令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．

因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.

又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.

(2)因为＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥，n2⊥，

得得

令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，

因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.

【当堂达标】

1.ABC 解析：因为AA1∥DD1，且＝(0，0，1)，所以A正确；因为AD1∥BC1，＝(0，1，1)，所以B正确；因为AD⊥平面ABB1A1，＝(0，1，0)，所以C正确；因为＝(1，1，1)，但AC1与平面B1CD不垂直，所以D错误．

2.D解析：由l1∥l2得，＝＝，解得x＝6，y＝.

3.D 解析：∵a·b＝0，∴l⊂α或l∥α.

4. l⊂α或l∥α 解析：因为u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0.所以u⊥a，所以l⊂α或l∥α.

5.－8解析：∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直．

∴(2，m,1)×＝2＋m＋2＝0.解得m＝－8.

6.证明　如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.

方法一连接AC，交BD于点G，连接EG，依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，，)．

因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为(，，0)，

所以＝(，0，－)．又＝(a,0，－a)，所以＝2，这表明PA∥EG.

而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.

方法二　设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，＝(0，，)，＝(a，，－)，

则有即即

令y＝－1，则所以n＝(1，－1,1)，又＝(a,0，－a)，

所以n·＝(1，－1,1)·(a,0，－a)＝a－a＝0.所以n⊥.所以PA∥平面EDB.