数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精品导学案

这是一份数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精品导学案，共18页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导．
2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想．
3.会用向量法求线线、线面、面面夹角．
4.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．
1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理
【自主学习】
一．空间距离的向量求法
分类
图示
向量求法
点线距

u为直线l的单位方向向量，P∉l，A∈l，Q∈l，＝a，在直线l上的投影向量为＝(a·u)u，则PQ＝＝ .
线线距
转化为点线距
在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离．
点面距

设平面α的法向量为n，P∉α，A∈α， PQ⊥α，在直线l上的投影向量为，则P点到平面α的距离
PQ＝
线面距（前提是线面平行）
转化为点面距
如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．
面面距（前提是面面平行）
转化为点面距
如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．
解读：异面直线a，b间的距离
求出与两条直线的方向向量都垂直的法向量n，在两条直线上分别取A和B，则AB在法向量n上的投影向量的长度即为异面直线a，b的距离，所以距离为 |AB∙n||n|.
二．空间角的向量求法
空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
角的分类
向量求法
范围
两异面直线l1与l2所成的角为θ
设l1与l2的方向向量分别为u，v，
则cosθ＝ ＝

直线l与平面α所成的角为θ
设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝ ＝

平面α与平面β的夹角为θ
设平面α，β的法向量分别为n1，n2，
则cos θ＝ ＝


图（1）直线与平面所成角 图（2）平面与平面所成角
思考1：平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？

思考2：两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？

【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　 　)
（2）直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．(　 　)
（3）二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角．(　 　)
（4）若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或120°.(　 　)
2.已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为
.
【经典例题】
题型一 利用空间向量求空间距离
角度1：点线距
点拨：用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：
(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段．
(2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点．
(3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
例1 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．


角度2：点面距
点拨：求点到平面的距离的主要方法
(1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．
(2)在三棱锥中用等体积法求解．
(3)向量法：d＝(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段)．
例2 在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示．求点B到平面CMN的距离．




角度3 线面距
例3 在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点．
(1)求证：B1C∥平面A1BD；
(2)求直线B1C到平面A1BD的距离．



角度4 面面距
点拨：求两个平行平面的距离，先在其中一个平面上找到一点，然后转化为该点到另一个平面的距离求解．注意：这个点要选取适当，以方便求解为主．
例4 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．




题型二 利用空间向量求夹角
角度1：线线角
点拨：1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤．
(1)建立适当的空间直角坐标系．
(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标．
(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角．
(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角．
2.求两条异面直线所成的角的两个关注点．
(1)余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角．
(2)范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值．
例5 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.

例5-变式 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置．





角度2：线面角
点拨；若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：

例6 如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．
(1)证明：EF⊥BC；
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．


例6-变式 如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．






角度3：面面角
点拨：利用平面的法向量求两个平面的夹角
利用向量方法求两平面夹角大小时，多采用法向量法．即求出两个面的法向量，然后通过法向量的夹角来得到两平面夹角．需注意法向量夹角范围是[0，π]，而两平面夹角范围是．
例7 如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．










例7-变式 如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角A— A1D—B的余弦值．













【当堂达标】
1.已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
2.已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于(　　 )
A．3 B．4 C．5 D．6
3.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是线段BB1、B1C1的中点,则直线 MN到平面ACD1的距离为　　　　. 
4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为________．
5.如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,N是棱AD的中点,M是棱CC1上的点,且CC1=3CM,则直线BM与B1N之间的距离为　　　　. 

6.如图,已知点P在正方体ABCD-A'B'C'D'的体对角线BD'上,满足BP=2PD'.
(1)求DP与CC'所成角的余弦值;
(2)求DP与平面AA'D'D所成角的正弦值.













【参考答案】
【自主学习】
一．
二．|cos| |cos| |cos|
思考1：两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角.
思考2：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于π2的二面角称为平面α与平面β的夹角.面面角的取值范围为，二面角的取值范围为[0,π].
【小试牛刀】
1. × × × √
2.或 解析： cos〈m，n〉＝＝，∴〈m，n〉＝.∴两平面所成二面角的大小为或.
【经典例题】
例1 以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，

所以直线A1C1的方向向量＝(－4,3,0)，＝(0,3,1)，
所以点B到直线A1C1的距离
d＝＝＝．
例2取AC的中点O，连接OS，OB．
∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO．
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，
∴SO⊥平面ABC．
又BO⊂平面ABC，∴SO⊥BO．
又∵△ABC为正三角形，O为AC的中点，∴AO⊥BO．
如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，

则B(0,2，0)，C(－2,0,0)，S(0，0,2)，M(1，，0)，N(0，，)．
∴＝(3，，0)，＝(－1,0，)，＝(－1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，
则取z＝1，
则x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)．
∴点B到平面CMN的距离d＝＝．
例3 (1)证明：连接AB1交A1B于点E，连接DE．
⇒B1C∥平面A1BD．
(2)解：因为B1C∥平面A1BD，所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离，
如图建立坐标系，

则B1(0,2，3)，B(0,2，0)，A1(－1,0,3)，＝(0,2，3)，＝(0,2，0)，＝(－1,0,3)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
所以所以n＝(3,0,1)．
所求距离为d＝＝．
例4 以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，

＝(0,1，－1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1,0,0)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则⇒令z＝1，得y＝1，x＝－1，
∴n＝(－1,1,1)，
∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝．
易证平面A1BD∥平面B1CD1，
∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为．
例5 A 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则
B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，∴＝(－1，－1，－2)，＝(1,0，－2)，∴cos〈，〉＝＝.
例5-变式 解：以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
设E(1，t,0)(0≤t≤2)，则A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，＝(1,0，－1)，＝(1，t－2,0)，
根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t－2)＋0＝×·cos 60°，
所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点．
例6 解： (1)连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，
所以，A1E⊥平面ABC.
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，
建立空间直角坐标系E­xyz.

不妨设AC＝4，则A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3，2)，F，C(0,2,0)．
因此，＝，＝(－，1,0)．由·＝0得EF⊥BC.
(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ，
由(1)可得＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)，
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
由，得，
取n＝(1，，1)，故sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.
因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.
例6-变式 (1)证明　以A为原点，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，C(，1,0)，B1(，0,3)，D(0,3,0)，C1(，1,3)，D1(0,3,3)．
易知＝(，1,0)，＝(－，3，－3)，
∴·＝0，∴AC⊥B1D.
(2)解　设平面ACD1的法向量为m＝(x，y，z)，
＝(，1,0)，＝(0,3,3)，则即
令x＝1，则y＝－，z＝，
∴平面ACD1的一个法向量为m＝(1，－，)．
设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ，∵＝(0,1,0)，∴sin θ＝＝，
∴直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
例7 解　如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，∴点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为，则有D(0,0,0)，S(－1，，0)，A(0,0,2)，C(2,0,0)，B(2,0,1)，设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)，
∵＝(0,0，－2)，＝(－1，，－2)，
∴取x＝，得平面SAD的一个法向量为m＝(，1,0)．
又＝(2,0，－1)，设平面SAB的法向量为n＝(a，b，c)，
则即令a＝，则n＝(，5,2)，
∴cos〈m，n〉＝＝＝，
故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是.
例7-变式 解：如图所示，取BC中点O，连接AO.因为△ABC是正三角形，所以AO⊥BC，因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.

取B1C1中点为O1，以O为原点，，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)．
设平面A1AD的法向量为n＝(x，y，z)，＝(－1,1，－)，＝(0,2,0)．
因为n⊥，n⊥，得得所以
令z＝1，得n＝(－，0,1)为平面A1AD的一个法向量．
又因为＝(1,2，－)，＝(－2,1,0)，＝(－1,2，)，所以·＝－2＋2＋0＝0，
·＝－1＋4－3＝0，所以⊥，⊥，即AB1⊥BD，AB1⊥BA1，
又BD∩BA1＝B，BD⊂平面A1BD，BA1⊂平面A1BD，所以AB1⊥平面A1BD，
所以是平面A1BD的一个法向量，所以cos〈n，〉＝＝＝－，
又因为二面角A—A1D—B为锐角，所以二面角A— A1D—B的余弦值为.
【当堂达标】
1.　A 解析　设l与α所成的角为θ且θ∈[0,90°]，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝.∴θ＝30°.
2.C解析：因为＝(4，－5，0)，＝(0，4，－3)，则对应的单位向量为，所以AC边上的高BD的长为B到AC的距离d＝＝＝5.
3. 32　解析：如图,以点D为坐标原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

则C(0,1,0),D1(0,0,1),M1,1,12,A(1,0,0),
∴AM=0,1,12,AC=(-1,1,0),AD1=(-1,0,1).
设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则n·AC=0,n·AD1=0,即-x+y=0,-x+z=0,
令x=1,则y=z=1,∴n=(1,1,1),
∴点M到平面ACD1的距离d=|AM·n||n|=32.
又MN∥AD1,且MN⊄平面ACD1,AD1⊂平面ACD1,
∴MN∥平面ACD1,
故直线MN到平面ACD1的距离即点M到平面ACD1的距离,为32.
4. 解析：如图，建立空间直角坐标系．由已知得A1(4,0,0)，B(4,4,3)，B1(4，4,0)，C(0,4,3)．∴＝(0,4,3)，＝(－4,0,3)，
∴cos〈，〉＝.
5.68989 解析：如图,建立空间直角坐标系,

则B(1,1,0),B1(1,1,1),M0,1,13,N12,0,0,∴BB1=(0,0,1),BM=-1,0,13,B1N=-12,-1,-1.
设直线BM与B1N的公垂线方向上的向量n=(x,y,z),由n·BM=0,n·B1N=0,
得-x+13z=0,-12x-y-z=0,令x=2,则z=6,y=-7,∴n=(2,-7,6).
设直线BM与B1N之间的距离为d,则d=|BB1·n||n|=689=68989.
6. 解：如图建立空间直角坐标系,

设棱长为1,则
B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1),D'(0,0,1)，则
BD'=(-1,-1,1),DB=(1,1,0),CC'=(0,0,1),DC=(0,1,0),
∵BP=2PD',
∴BP=23BD'=23(-1,-1,1)=-23,-23,23.
(1)DP=DB+BP=(1,1,0)+-23,-23,23=13,13,23,
设DP与CC'所成角为θ,则cos θ=|DP·CC’||DP||CC’|=2319+19+49×1=2363=63,
∴DP与CC'所成角的余弦值为63.
(2)由(1)知DP=13,13,23.
∵DC⊥平面AA'D'D,∴DC=(0,1,0)为平面AA'D'D的一个法向量,
设DP与平面AA'D'D所成的夹角为α,
∴sin α=|cos|=|DP·DC||DP||DC|=1319+19+49×1=1363=16=66,
∴DP与平面AA'D'D所成角的正弦值为66.