还剩9页未读，
继续阅读
人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精品第1课时学案及答案
展开
这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精品第1课时学案及答案，共12页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若A(1,0，－1)、B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A．(2,2,6)B．(－1,1,3)
C．(3,1,1)D．(－3,0,1)
2．直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)、b＝(－2，3,2)，则( )
A．l1∥l2B．l1与l2相交，但不垂直
C．l1⊥l2D．不能确定
3．若平面α、β的法向量分别为a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1，3))、b＝(－1，2，－6)，则( )
A．α∥βB．α与β相交但不垂直
C．α⊥βD．α∥β或α与β重合
4．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，2))，则m＝____．
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|DA|＝2，|DC|＝3，|DD1|＝4，M、N、E、F分别为棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点．
求证：平面AMN∥平面EFBD．
A组·素养自测
一、选择题
1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂αD．l与α斜交
2．下列命题中，正确的个数有( )
(1)直线l的方向向量是唯一的；
(2)若点A、B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则eq \(AB,\s\up6(→))·n＝0；
(3)若向量n1、n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行；
(4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
3．(多选题)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A．(2,2,6)B．(1,1,3)
C．(3,1,1)D．(－3,0,1)
4．已知向量a＝(2,4,5)、b＝(5，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝eq \f(15,2)
C．x＝10，y＝15D．x＝10，y＝eq \f(25,2)
5．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )
A．2B．－4
C．4D．－2
二、填空题
6．已知A、B、C三点的坐标分别为A(1,2,3)、B(2，－1,1)、C(3，λ，λ)，若eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，则λ等于____．
7．已知直线l的方向向量为u＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2,1，－4)，则l与α的位置关系为____．
8．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为____，直线BC1的一个方向向量为____．
三、解答题
9．设a、b分别是不重合的直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：
(1)a＝(4,6，－2)、b＝(－2，－3,1)；
(2)a＝(5,0,2)、b＝(0,1,0)；
(3)a＝(－2，－1，－1)、b＝(4，－2，－8)．
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝eq \f(π,4)，PA⊥底面ABCD，PA＝2，点M为PA的中点，点N为BC的中点．AF⊥CD于F，如图建立空间直角坐标系．求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD．
B组·素养提升
一、选择题
1．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长|eq \(AB,\s\up6(→))|＝34，则B点的坐标为( )
A．(18,17，－17)B．(－14，－19,17)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(7,2)，1))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(11,2)，13))
2．已知点A(4,1,3)、B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且eq \f(|\(AC,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,3)，则点C的坐标为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，－\f(1,2)，\f(5,2)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，－3，2))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，－1，\f(7,3)))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－\f(7,2)，\f(3,2)))
3．(多选题)下面各组向量为直线l1与l2方向向量，则l1与l2平行的是( )
A．a＝(1,2，－2)、b＝(－2，－4,4)
B．a＝(1,0,0)、b＝(－3,0,0)
C．a＝(2,3,0)、b＝(4,6,0)
D．a＝(－2,3,5)、b＝(－4,6,8)
4．(多选题)对于任意空间向量a＝(a1，a2，a3)、b＝(b1，b2，b3)，则下列说法正确的是( )
A．a∥b⇔eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)
B．若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量
C．a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
D．若a为平面α的法向量，则向量(ka1，ka2，ka3)(k为非零实数)，也为平面α的法向量
二、填空题
5．平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则平面α的法向量u可以是__， __．
6．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是____．
7．在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(1，－2,3)、B(2,1，－1)，向量eq \(AB,\s\up6(→))的坐标为__， __，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为____．
三、解答题
8．如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M、N分别是PA、BD上的点，且PM ∶MA＝BN ∶ND＝5 ∶8．
求证：直线MN∥平面PBC．
9．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求证：平面AB′D′∥平面BDC′．
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时
1．若A(1,0，－1)、B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( A )
A．(2,2,6)B．(－1,1,3)
C．(3,1,1)D．(－3,0,1)
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,1,2)－(1,0，－1)＝(1,1,3)，∴选A．
2．直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)、b＝(－2，3,2)，则( C )
A．l1∥l2B．l1与l2相交，但不垂直
C．l1⊥l2D．不能确定
[解析] ∵a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2．
3．若平面α、β的法向量分别为a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1，3))、b＝(－1，2，－6)，则( D )
A．α∥βB．α与β相交但不垂直
C．α⊥βD．α∥β或α与β重合
[解析] ∵b＝－2a，∴b∥a，∴α∥β或α与β重合．
4．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，2))，则m＝__－8__．
[解析] 设a＝(2，m,1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，2))．因为l∥α，所以a⊥b．于是2＋eq \f(1,2)m＋2＝0，则m＝－8．
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|DA|＝2，|DC|＝3，|DD1|＝4，M、N、E、F分别为棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点．
求证：平面AMN∥平面EFBD．
[证明] 证法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0,0)，B(2,3,0)，M(1,0,4)，N(2，eq \f(3,2)，4)，E(0，eq \f(3,2)，4)，F(1,3,4)．
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝(1，eq \f(3,2)，0)，eq \(EF,\s\up6(→))＝(1，eq \f(3,2)，0)，eq \(AM,\s\up6(→))＝(－1,0,4)，eq \(BF,\s\up6(→))＝(－1,0,4)．
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))．∴MN∥EF，AM∥BF．
∴MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD．又AM，MN⊂平面AMN，AM∩MN＝N，
∴平面AMN∥平面EFBD．
证法二：由证法一可知，A(2,0,0)，M(1,0,4)，N(2，eq \f(3,2)，4)，D(0,0,0)，E(0，eq \f(3,2)，4)，F(1,3,4)，则eq \(AM,\s\up6(→))＝(－1,0,4)，eq \(AN,\s\up6(→))＝(0，eq \f(3,2)，4)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(0，eq \f(3,2)，4)，eq \(DF,\s\up6(→))＝(1,3,4)．
设平面AMN，平面EFBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)、n2＝(x2，y2，z2)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(AM,\s\up6(→))＝0，,n1·\(AN,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x1＋4z1＝0，,\f(3,2)y1＋4z1＝0，))
令x1＝1，得z1＝eq \f(1,4)，y1＝－eq \f(2,3)．
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(DE,\s\up6(→))＝0，,n2·\(DF,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,2)y2＋4z2＝0，,x2＋3y2＋4z2＝0，))
令y2＝－1，得z2＝eq \f(3,8)、x2＝eq \f(3,2)．
∴n1＝(1，－eq \f(2,3)，eq \f(1,4))、n2＝(eq \f(3,2)，－1，eq \f(3,8))．
∴n1＝eq \f(2,3)n2，即n1∥n2，∴平面AMN∥平面EFBD．
A组·素养自测
一、选择题
1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则( B )
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂αD．l与α斜交
[解析] ∵u＝－2a，∴u∥a，∴l⊥α．
2．下列命题中，正确的个数有( C )
(1)直线l的方向向量是唯一的；
(2)若点A、B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则eq \(AB,\s\up6(→))·n＝0；
(3)若向量n1、n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行；
(4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
[解析] 只有①错误，其余都正确．
3．(多选题)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( AB )
A．(2,2,6)B．(1,1,3)
C．(3,1,1)D．(－3,0,1)
[解析] ∵M，N在直线l上，∴eq \(MN,\s\up6(→))＝(1,1,3)，
故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量．
4．已知向量a＝(2,4,5)、b＝(5，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则( D )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝eq \f(15,2)
C．x＝10，y＝15D．x＝10，y＝eq \f(25,2)
[解析] ∵l1∥l2，∴a∥b，
∴eq \f(5,2)＝eq \f(x,4)＝eq \f(y,5)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝10,y＝\f(25,2)))．
5．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( C )
A．2B．－4
C．4D．－2
[解析] ∵α∥β，∴eq \f(1,－2)＝eq \f(2,－4)＝eq \f(－2,k)，∴k＝4，故选C．
二、填空题
6．已知A、B、C三点的坐标分别为A(1,2,3)、B(2，－1,1)、C(3，λ，λ)，若eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，则λ等于__eq \f(14,5)__．
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－3，－2)、eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，λ－2，λ－3)，
∵eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
∴2－3(λ－2)－2(λ－3)＝0，解得λ＝eq \f(14,5)．
7．已知直线l的方向向量为u＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2,1，－4)，则l与α的位置关系为__l∥α或l⊂α__．
[解析] u·v＝2×(－2)＋0×1＋(－1)×(－4)＝0，
∴l∥α或l⊂α．
8．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为__(不唯一)(0,0,1)__，直线BC1的一个方向向量为__(0,1,1)__．
[解析] ∵DD1∥AA1，eq \(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,1)，直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；BC1∥AD1，eq \(AD1,\s\up6(→))＝(0,1,1)，故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)．
三、解答题
9．设a、b分别是不重合的直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：
(1)a＝(4,6，－2)、b＝(－2，－3,1)；
(2)a＝(5,0,2)、b＝(0,1,0)；
(3)a＝(－2，－1，－1)、b＝(4，－2，－8)．
[解析] (1)∵a＝(4,6，－2)、b＝(－2，－3,1)，
∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2．
(2)∵a＝(5,0,2)、b＝(0,1,0)，
∴a·b＝0，a⊥b，∴l1⊥l2．
(3)∵a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)，
∴a与b不共线也不垂直．∴l1与l2相交或异面．
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝eq \f(π,4)，PA⊥底面ABCD，PA＝2，点M为PA的中点，点N为BC的中点．AF⊥CD于F，如图建立空间直角坐标系．求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD．
[解析] 由题设知：在Rt△AFD中，
AF＝FD＝eq \f(\r(2),2)，
A(0,0,0)，B(1,0,0)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，
P(0,0,2)，M(0,0,1)，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，0))．
eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，－1))，eq \(PF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)，－2))，
eq \(PD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，－2))
设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(PF,\s\up6(→))＝0，,n·\(PD,\s\up6(→))＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)y－2z＝0，,－\f(\r(2),2)x＋\f(\r(2),2)y－2z＝0，))
令z＝eq \r(2)，得n＝(0,4，eq \r(2))．
因为eq \(MN,\s\up6(→))·n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，－1))·(0,4，eq \r(2))＝0，
又MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD．
B组·素养提升
一、选择题
1．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长|eq \(AB,\s\up6(→))|＝34，则B点的坐标为( A )
A．(18,17，－17)B．(－14，－19,17)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(7,2)，1))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(11,2)，13))
[解析] 设B点坐标为(x，y，z)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝λa(λ＞0)，
即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，因为|eq \(AB,\s\up6(→))|＝34，
即eq \r(64λ2＋81λ2＋144λ2)＝34，得λ＝2，
所以x＝18，y＝17，z＝－17．
2．已知点A(4,1,3)、B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且eq \f(|\(AC,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,3)，则点C的坐标为( C )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，－\f(1,2)，\f(5,2)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，－3，2))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，－1，\f(7,3)))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－\f(7,2)，\f(3,2)))
[解析] ∵C在线段AB上，∴eq \(AC,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))，∴设C(x，y，z)，则由eq \f(|\(AC,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,3)得，(x－4，y－1，z－3)＝eq \f(1,3)(2－4，－5－1，1－3)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4＝－\f(2,3),y－1＝－2,z－3＝－\f(2,3)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(10,3),y＝－1,z＝\f(7,3)))．
故选C．
3．(多选题)下面各组向量为直线l1与l2方向向量，则l1与l2平行的是( ABC )
A．a＝(1,2，－2)、b＝(－2，－4,4)
B．a＝(1,0,0)、b＝(－3,0,0)
C．a＝(2,3,0)、b＝(4,6,0)
D．a＝(－2,3,5)、b＝(－4,6,8)
[解析] l1与l2不平行则其方向向量一定不共线．
A中：b＝－2a，B中：b＝－3a，C中：b＝2a．故选ABC．
4．(多选题)对于任意空间向量a＝(a1，a2，a3)、b＝(b1，b2，b3)，则下列说法正确的是( CD )
A．a∥b⇔eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)
B．若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量
C．a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
D．若a为平面α的法向量，则向量(ka1，ka2，ka3)(k为非零实数)，也为平面α的法向量
[解析] 由eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)⇒a∥b，反之不一定成立，故A不正确；B显然错误；CD是正确的，故选CD．
二、填空题
5．平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则平面α的法向量u可以是__(0,1，－1)__．
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,1,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，－1，－1)，设平面α的法向量u＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(u·\(AB,\s\up6(→))＝2x＋y＋z＝0，,u·\(AC,\s\up6(→))＝3x－y－z＝0，))令z＝－1，y＝1，x＝0，∴u＝(0,1，－1)．
6．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是__x＋2y－3z＝0__．
[解析] 由题意得e⊥eq \(OM,\s\up6(→))，则eq \(OM,\s\up6(→))·e＝(x，y，z)·(1,2，－3)＝0，
故x＋2y－3z＝0．
7．在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(1，－2,3)、B(2,1，－1)，向量eq \(AB,\s\up6(→))的坐标为__(1,3，－4)__，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为__eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，0，\f(1,3)))__．
[解析] 设点C的坐标为(x,0，z)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝(x－1,2，z－3)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,3，－4)，因为eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))共线，所以eq \f(x－1,1)＝eq \f(2,3)＝eq \f(z－3,－4)，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(5,3),z＝\f(1,3)))，所以点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，0，\f(1,3)))．
三、解答题
8．如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M、N分别是PA、BD上的点，且PM ∶MA＝BN ∶ND＝5 ∶8．
求证：直线MN∥平面PBC．
[证明] eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MP,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝－eq \(PM,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))
＝－eq \f(5,13)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(5,13)eq \(BD,\s\up6(→))
＝－eq \f(5,13)(eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BP,\s\up6(→)))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(5,13)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))
＝eq \f(5,13)eq \(BP,\s\up6(→))－eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \f(5,13)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(5,13)eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(8,13)eq \(BP,\s\up6(→))，
∴eq \(MN,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))、eq \(BP,\s\up6(→))共面，∴eq \(MN,\s\up6(→))∥平面BCP，
∵MN⊄平面BCP，∴MN∥平面BCP．
9．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求证：平面AB′D′∥平面BDC′．
[分析] 证明面面平行常用的方法有两种，一是证明它们的法向量共线；二是转化为线面平行、线线平行即可．
[证明] 方法1：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B′(1,1,1)，D′(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，C′(0,1,1)，
于是eq \(AB′,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq \(D′B′,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(DC′,\s\up6(→))＝(0,1,1)．
设平面AB′D′的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1⊥eq \(AB′,\s\up6(→))，n⊥eq \(D′B′,\s\up6(→))，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(AB′,\s\up6(→))＝y1＋z1＝0，,n1·\(D′B′,\s\up6(→))＝x1＋y1＝0.))
令y1＝1，则x1＝－1，z1＝－1，可得平面AB′D′的一个法向量为n1＝(－1,1，－1)．
设平面BDC′的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
则n2⊥eq \(DB,\s\up6(→))，n2⊥eq \(DC′,\s\up6(→))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(DB,\s\up6(→))＝x2＋y2＝0，,n2·\(DC′,\s\up6(→))＝y2＋z2＝0.))
令y2＝1，则x2＝－1，z2＝－1，可得平面BDC′的一个法向量为n2＝(－1,1，－1)．
所以n1＝n2，所以n1∥n2，
故平面AB′D′∥平面BDC′．
方法2：由方法1知eq \(AD′,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq \(BC′,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq \(AB′,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq \(DC′,\s\up6(→))＝(0,1,1)，
所以eq \(AD′,\s\up6(→))＝eq \(BC′,\s\up6(→))，eq \(AB′,\s\up6(→))＝eq \(DC′,\s\up6(→))，
即AD′∥BC′，AB′∥DC′，
所以AD′∥平面BDC′，AB′∥平面BDC′．
又AD′∩AB′＝A，所以平面AB′D′∥平面BDC′．
方法3：同方法1得平面AB′D′的一个法向量为n1＝(－1,1，－1)．易知eq \(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(DC′,\s\up6(→))＝(0,1,1)．
因为n1·eq \(DB,\s\up6(→))＝(－1,1，－1)·(1,1,0)＝0，
n1·eq \(DC′,\s\up6(→))＝(－1,1，－1)·(0,1,1)＝0，
所以n1也是平面BDC′的一个法向量，
所以平面AB′D′∥平面BDC′．
1．若A(1,0，－1)、B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A．(2,2,6)B．(－1,1,3)
C．(3,1,1)D．(－3,0,1)
2．直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)、b＝(－2，3,2)，则( )
A．l1∥l2B．l1与l2相交，但不垂直
C．l1⊥l2D．不能确定
3．若平面α、β的法向量分别为a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1，3))、b＝(－1，2，－6)，则( )
A．α∥βB．α与β相交但不垂直
C．α⊥βD．α∥β或α与β重合
4．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，2))，则m＝____．
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|DA|＝2，|DC|＝3，|DD1|＝4，M、N、E、F分别为棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点．
求证：平面AMN∥平面EFBD．
A组·素养自测
一、选择题
1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂αD．l与α斜交
2．下列命题中，正确的个数有( )
(1)直线l的方向向量是唯一的；
(2)若点A、B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则eq \(AB,\s\up6(→))·n＝0；
(3)若向量n1、n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行；
(4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
3．(多选题)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A．(2,2,6)B．(1,1,3)
C．(3,1,1)D．(－3,0,1)
4．已知向量a＝(2,4,5)、b＝(5，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝eq \f(15,2)
C．x＝10，y＝15D．x＝10，y＝eq \f(25,2)
5．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )
A．2B．－4
C．4D．－2
二、填空题
6．已知A、B、C三点的坐标分别为A(1,2,3)、B(2，－1,1)、C(3，λ，λ)，若eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，则λ等于____．
7．已知直线l的方向向量为u＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2,1，－4)，则l与α的位置关系为____．
8．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为____，直线BC1的一个方向向量为____．
三、解答题
9．设a、b分别是不重合的直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：
(1)a＝(4,6，－2)、b＝(－2，－3,1)；
(2)a＝(5,0,2)、b＝(0,1,0)；
(3)a＝(－2，－1，－1)、b＝(4，－2，－8)．
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝eq \f(π,4)，PA⊥底面ABCD，PA＝2，点M为PA的中点，点N为BC的中点．AF⊥CD于F，如图建立空间直角坐标系．求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD．
B组·素养提升
一、选择题
1．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长|eq \(AB,\s\up6(→))|＝34，则B点的坐标为( )
A．(18,17，－17)B．(－14，－19,17)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(7,2)，1))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(11,2)，13))
2．已知点A(4,1,3)、B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且eq \f(|\(AC,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,3)，则点C的坐标为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，－\f(1,2)，\f(5,2)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，－3，2))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，－1，\f(7,3)))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－\f(7,2)，\f(3,2)))
3．(多选题)下面各组向量为直线l1与l2方向向量，则l1与l2平行的是( )
A．a＝(1,2，－2)、b＝(－2，－4,4)
B．a＝(1,0,0)、b＝(－3,0,0)
C．a＝(2,3,0)、b＝(4,6,0)
D．a＝(－2,3,5)、b＝(－4,6,8)
4．(多选题)对于任意空间向量a＝(a1，a2，a3)、b＝(b1，b2，b3)，则下列说法正确的是( )
A．a∥b⇔eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)
B．若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量
C．a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
D．若a为平面α的法向量，则向量(ka1，ka2，ka3)(k为非零实数)，也为平面α的法向量
二、填空题
5．平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则平面α的法向量u可以是__， __．
6．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是____．
7．在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(1，－2,3)、B(2,1，－1)，向量eq \(AB,\s\up6(→))的坐标为__， __，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为____．
三、解答题
8．如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M、N分别是PA、BD上的点，且PM ∶MA＝BN ∶ND＝5 ∶8．
求证：直线MN∥平面PBC．
9．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求证：平面AB′D′∥平面BDC′．
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时
1．若A(1,0，－1)、B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( A )
A．(2,2,6)B．(－1,1,3)
C．(3,1,1)D．(－3,0,1)
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,1,2)－(1,0，－1)＝(1,1,3)，∴选A．
2．直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)、b＝(－2，3,2)，则( C )
A．l1∥l2B．l1与l2相交，但不垂直
C．l1⊥l2D．不能确定
[解析] ∵a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2．
3．若平面α、β的法向量分别为a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1，3))、b＝(－1，2，－6)，则( D )
A．α∥βB．α与β相交但不垂直
C．α⊥βD．α∥β或α与β重合
[解析] ∵b＝－2a，∴b∥a，∴α∥β或α与β重合．
4．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，2))，则m＝__－8__．
[解析] 设a＝(2，m,1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，2))．因为l∥α，所以a⊥b．于是2＋eq \f(1,2)m＋2＝0，则m＝－8．
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|DA|＝2，|DC|＝3，|DD1|＝4，M、N、E、F分别为棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点．
求证：平面AMN∥平面EFBD．
[证明] 证法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0,0)，B(2,3,0)，M(1,0,4)，N(2，eq \f(3,2)，4)，E(0，eq \f(3,2)，4)，F(1,3,4)．
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝(1，eq \f(3,2)，0)，eq \(EF,\s\up6(→))＝(1，eq \f(3,2)，0)，eq \(AM,\s\up6(→))＝(－1,0,4)，eq \(BF,\s\up6(→))＝(－1,0,4)．
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))．∴MN∥EF，AM∥BF．
∴MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD．又AM，MN⊂平面AMN，AM∩MN＝N，
∴平面AMN∥平面EFBD．
证法二：由证法一可知，A(2,0,0)，M(1,0,4)，N(2，eq \f(3,2)，4)，D(0,0,0)，E(0，eq \f(3,2)，4)，F(1,3,4)，则eq \(AM,\s\up6(→))＝(－1,0,4)，eq \(AN,\s\up6(→))＝(0，eq \f(3,2)，4)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(0，eq \f(3,2)，4)，eq \(DF,\s\up6(→))＝(1,3,4)．
设平面AMN，平面EFBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)、n2＝(x2，y2，z2)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(AM,\s\up6(→))＝0，,n1·\(AN,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x1＋4z1＝0，,\f(3,2)y1＋4z1＝0，))
令x1＝1，得z1＝eq \f(1,4)，y1＝－eq \f(2,3)．
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(DE,\s\up6(→))＝0，,n2·\(DF,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,2)y2＋4z2＝0，,x2＋3y2＋4z2＝0，))
令y2＝－1，得z2＝eq \f(3,8)、x2＝eq \f(3,2)．
∴n1＝(1，－eq \f(2,3)，eq \f(1,4))、n2＝(eq \f(3,2)，－1，eq \f(3,8))．
∴n1＝eq \f(2,3)n2，即n1∥n2，∴平面AMN∥平面EFBD．
A组·素养自测
一、选择题
1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则( B )
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂αD．l与α斜交
[解析] ∵u＝－2a，∴u∥a，∴l⊥α．
2．下列命题中，正确的个数有( C )
(1)直线l的方向向量是唯一的；
(2)若点A、B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则eq \(AB,\s\up6(→))·n＝0；
(3)若向量n1、n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行；
(4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
[解析] 只有①错误，其余都正确．
3．(多选题)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( AB )
A．(2,2,6)B．(1,1,3)
C．(3,1,1)D．(－3,0,1)
[解析] ∵M，N在直线l上，∴eq \(MN,\s\up6(→))＝(1,1,3)，
故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量．
4．已知向量a＝(2,4,5)、b＝(5，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则( D )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝eq \f(15,2)
C．x＝10，y＝15D．x＝10，y＝eq \f(25,2)
[解析] ∵l1∥l2，∴a∥b，
∴eq \f(5,2)＝eq \f(x,4)＝eq \f(y,5)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝10,y＝\f(25,2)))．
5．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( C )
A．2B．－4
C．4D．－2
[解析] ∵α∥β，∴eq \f(1,－2)＝eq \f(2,－4)＝eq \f(－2,k)，∴k＝4，故选C．
二、填空题
6．已知A、B、C三点的坐标分别为A(1,2,3)、B(2，－1,1)、C(3，λ，λ)，若eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，则λ等于__eq \f(14,5)__．
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－3，－2)、eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，λ－2，λ－3)，
∵eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
∴2－3(λ－2)－2(λ－3)＝0，解得λ＝eq \f(14,5)．
7．已知直线l的方向向量为u＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2,1，－4)，则l与α的位置关系为__l∥α或l⊂α__．
[解析] u·v＝2×(－2)＋0×1＋(－1)×(－4)＝0，
∴l∥α或l⊂α．
8．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为__(不唯一)(0,0,1)__，直线BC1的一个方向向量为__(0,1,1)__．
[解析] ∵DD1∥AA1，eq \(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,1)，直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；BC1∥AD1，eq \(AD1,\s\up6(→))＝(0,1,1)，故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)．
三、解答题
9．设a、b分别是不重合的直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：
(1)a＝(4,6，－2)、b＝(－2，－3,1)；
(2)a＝(5,0,2)、b＝(0,1,0)；
(3)a＝(－2，－1，－1)、b＝(4，－2，－8)．
[解析] (1)∵a＝(4,6，－2)、b＝(－2，－3,1)，
∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2．
(2)∵a＝(5,0,2)、b＝(0,1,0)，
∴a·b＝0，a⊥b，∴l1⊥l2．
(3)∵a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)，
∴a与b不共线也不垂直．∴l1与l2相交或异面．
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝eq \f(π,4)，PA⊥底面ABCD，PA＝2，点M为PA的中点，点N为BC的中点．AF⊥CD于F，如图建立空间直角坐标系．求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD．
[解析] 由题设知：在Rt△AFD中，
AF＝FD＝eq \f(\r(2),2)，
A(0,0,0)，B(1,0,0)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，
P(0,0,2)，M(0,0,1)，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，0))．
eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，－1))，eq \(PF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)，－2))，
eq \(PD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，－2))
设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(PF,\s\up6(→))＝0，,n·\(PD,\s\up6(→))＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)y－2z＝0，,－\f(\r(2),2)x＋\f(\r(2),2)y－2z＝0，))
令z＝eq \r(2)，得n＝(0,4，eq \r(2))．
因为eq \(MN,\s\up6(→))·n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，－1))·(0,4，eq \r(2))＝0，
又MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD．
B组·素养提升
一、选择题
1．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长|eq \(AB,\s\up6(→))|＝34，则B点的坐标为( A )
A．(18,17，－17)B．(－14，－19,17)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(7,2)，1))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(11,2)，13))
[解析] 设B点坐标为(x，y，z)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝λa(λ＞0)，
即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，因为|eq \(AB,\s\up6(→))|＝34，
即eq \r(64λ2＋81λ2＋144λ2)＝34，得λ＝2，
所以x＝18，y＝17，z＝－17．
2．已知点A(4,1,3)、B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且eq \f(|\(AC,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,3)，则点C的坐标为( C )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，－\f(1,2)，\f(5,2)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，－3，2))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，－1，\f(7,3)))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－\f(7,2)，\f(3,2)))
[解析] ∵C在线段AB上，∴eq \(AC,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))，∴设C(x，y，z)，则由eq \f(|\(AC,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,3)得，(x－4，y－1，z－3)＝eq \f(1,3)(2－4，－5－1，1－3)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4＝－\f(2,3),y－1＝－2,z－3＝－\f(2,3)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(10,3),y＝－1,z＝\f(7,3)))．
故选C．
3．(多选题)下面各组向量为直线l1与l2方向向量，则l1与l2平行的是( ABC )
A．a＝(1,2，－2)、b＝(－2，－4,4)
B．a＝(1,0,0)、b＝(－3,0,0)
C．a＝(2,3,0)、b＝(4,6,0)
D．a＝(－2,3,5)、b＝(－4,6,8)
[解析] l1与l2不平行则其方向向量一定不共线．
A中：b＝－2a，B中：b＝－3a，C中：b＝2a．故选ABC．
4．(多选题)对于任意空间向量a＝(a1，a2，a3)、b＝(b1，b2，b3)，则下列说法正确的是( CD )
A．a∥b⇔eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)
B．若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量
C．a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
D．若a为平面α的法向量，则向量(ka1，ka2，ka3)(k为非零实数)，也为平面α的法向量
[解析] 由eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)⇒a∥b，反之不一定成立，故A不正确；B显然错误；CD是正确的，故选CD．
二、填空题
5．平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则平面α的法向量u可以是__(0,1，－1)__．
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,1,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，－1，－1)，设平面α的法向量u＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(u·\(AB,\s\up6(→))＝2x＋y＋z＝0，,u·\(AC,\s\up6(→))＝3x－y－z＝0，))令z＝－1，y＝1，x＝0，∴u＝(0,1，－1)．
6．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是__x＋2y－3z＝0__．
[解析] 由题意得e⊥eq \(OM,\s\up6(→))，则eq \(OM,\s\up6(→))·e＝(x，y，z)·(1,2，－3)＝0，
故x＋2y－3z＝0．
7．在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(1，－2,3)、B(2,1，－1)，向量eq \(AB,\s\up6(→))的坐标为__(1,3，－4)__，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为__eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，0，\f(1,3)))__．
[解析] 设点C的坐标为(x,0，z)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝(x－1,2，z－3)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,3，－4)，因为eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))共线，所以eq \f(x－1,1)＝eq \f(2,3)＝eq \f(z－3,－4)，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(5,3),z＝\f(1,3)))，所以点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，0，\f(1,3)))．
三、解答题
8．如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M、N分别是PA、BD上的点，且PM ∶MA＝BN ∶ND＝5 ∶8．
求证：直线MN∥平面PBC．
[证明] eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MP,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝－eq \(PM,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))
＝－eq \f(5,13)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(5,13)eq \(BD,\s\up6(→))
＝－eq \f(5,13)(eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BP,\s\up6(→)))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(5,13)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))
＝eq \f(5,13)eq \(BP,\s\up6(→))－eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \f(5,13)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(5,13)eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(8,13)eq \(BP,\s\up6(→))，
∴eq \(MN,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))、eq \(BP,\s\up6(→))共面，∴eq \(MN,\s\up6(→))∥平面BCP，
∵MN⊄平面BCP，∴MN∥平面BCP．
9．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求证：平面AB′D′∥平面BDC′．
[分析] 证明面面平行常用的方法有两种，一是证明它们的法向量共线；二是转化为线面平行、线线平行即可．
[证明] 方法1：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B′(1,1,1)，D′(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，C′(0,1,1)，
于是eq \(AB′,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq \(D′B′,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(DC′,\s\up6(→))＝(0,1,1)．
设平面AB′D′的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1⊥eq \(AB′,\s\up6(→))，n⊥eq \(D′B′,\s\up6(→))，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(AB′,\s\up6(→))＝y1＋z1＝0，,n1·\(D′B′,\s\up6(→))＝x1＋y1＝0.))
令y1＝1，则x1＝－1，z1＝－1，可得平面AB′D′的一个法向量为n1＝(－1,1，－1)．
设平面BDC′的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
则n2⊥eq \(DB,\s\up6(→))，n2⊥eq \(DC′,\s\up6(→))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(DB,\s\up6(→))＝x2＋y2＝0，,n2·\(DC′,\s\up6(→))＝y2＋z2＝0.))
令y2＝1，则x2＝－1，z2＝－1，可得平面BDC′的一个法向量为n2＝(－1,1，－1)．
所以n1＝n2，所以n1∥n2，
故平面AB′D′∥平面BDC′．
方法2：由方法1知eq \(AD′,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq \(BC′,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq \(AB′,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq \(DC′,\s\up6(→))＝(0,1,1)，
所以eq \(AD′,\s\up6(→))＝eq \(BC′,\s\up6(→))，eq \(AB′,\s\up6(→))＝eq \(DC′,\s\up6(→))，
即AD′∥BC′，AB′∥DC′，
所以AD′∥平面BDC′，AB′∥平面BDC′．
又AD′∩AB′＝A，所以平面AB′D′∥平面BDC′．
方法3：同方法1得平面AB′D′的一个法向量为n1＝(－1,1，－1)．易知eq \(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(DC′,\s\up6(→))＝(0,1,1)．
因为n1·eq \(DB,\s\up6(→))＝(－1,1，－1)·(1,1,0)＝0，
n1·eq \(DC′,\s\up6(→))＝(－1,1，－1)·(0,1,1)＝0，
所以n1也是平面BDC′的一个法向量，
所以平面AB′D′∥平面BDC′．
相关学案
【同步导学案】高中数学人教A版(2019)选修第一册-- 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）导学案（有答案）： 这是一份【同步导学案】高中数学人教A版(2019)选修第一册-- 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）导学案（有答案），共11页。学案主要包含了学习目标，学习过程等内容，欢迎下载使用。
高中人教A版 (2019)1.4 空间向量的应用学案及答案： 这是一份高中人教A版 (2019)1.4 空间向量的应用学案及答案，共19页。
数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第1课时导学案： 这是一份数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第1课时导学案，共10页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。
