数学1.4 空间向量的应用第1课时同步练习题

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系

第1课时 空间向量与平行关系

 基 础 练                                                                                 

巩固新知    夯实基础

1.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是(　　)

A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)                B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)

C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)             D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)

2.若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　)

A.(1,2,4)            B.(1,4,2)         C.(2,1,4)           D.(4,2,1)

3.已知平面α的法向量是(2，3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　)

A．－     B．6     C．－6     D.

4.已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为(　　)

A．(1，－1,1)      B．(2，－1,1)     C．(－2,1,1)      D．(－1,1，－1)

5.已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)

A．(1，－1,1)      B．     C．    D．

6.已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．

7.已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，求x的值？

8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角.求证：CM∥平面PAD.

 能 力 练                                                                                

综合应用   核心素养

9.在三棱锥P－ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB的法向量的是(　　)

A．  (1,1，)                           B．(1，，1)  

C.  (1,1,1)                             D．(2，－2,1)

10.若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则(　　)

A．α∥β               B．α与β相交但不垂直

C．α∥β或α与β重合               D. α⊥β

11. (多选)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法中正确的是(　　)

A．A1M∥D1P                         B．A1M∥B1Q

C．A1M∥平面DCC1D1                 D．A1M∥平面D1PQB1

12.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A．相交  B．平行  C．垂直  D．不能确定

13.若直线l的方向向量为a＝(1，－2,3)，平面α的法向量为n＝(2，x,0)，若l∥α，则x的值等于________．

14.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为              (　　)

A.(1,1,1)                  B.

C.

15.四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

求证：PC∥平面BAQ.

16.如图，在三棱柱中，平面，，.

（1）求证：平面；

（2）点M在线段上，且，试问在线段上是否存在一点N，满足平面，若存在求的值，若不存在，请说明理由？

【参考答案】

1.D解析 若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.故选D.

2.A 解析：由已知得=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故选项A中的向量与共线,故选A.

3.B 解析　∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行．∴＝＝.∴λ＝6.

4. C 解析　显然a与b不平行，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则∴

分别验证各选项可知，只有C项符合．

5.B解析　对于B，＝，则n·＝(3,1,2)·＝0，∴n⊥，则点P在平面α内．

6.或 解析 设平面ABC的单位法向量是n＝(x，y，z)，

则解得或所以平面ABC的单位法向量是或.

7. 解　∵点P在平面ABC内，∴存在实数k1，k2，使＝k1＋k2，

即(x－4，－2，0)＝k1(－2，2，－2)＋k2(－1，6，－8)，∴解得

∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即x＝11.

8.证明：由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.

因为PC⊥平面ABCD，

所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，

所以∠PBC＝30°.

因为PC＝2，所以BC＝2，PB＝4，

所以D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，

所以＝(0，－1,2)， ＝(2，3,0)， ＝.

设＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，

由 得

取y＝2，得x＝－，z＝1，所以＝(－，2,1)是平面PAD的一个法向量.

因为，

所以，又平面PAD，

所以CM∥平面PAD.

9.A 解析　＝(1,0，－2)，＝(－1,1,0)，设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y,1)，

则解得∴n＝(2,2,1)．又(1,1，)＝n，∴A正确．

10.C  因为n＝－3m，所以m∥n，所以α∥β或α与β重合．

11.ACD 解析　连接PM(图略)，因为M、P分别为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1.故PM平行且等于A1D1.所以PMA1D1为平行四边形，故A正确．显然A1M与B1Q为异面直线．故B错误．由A知A1M∥D1P.由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内．且A1M既不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内．故CD正确．

12.B解析　分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

∵A1M＝AN＝a，＝，＝，∴M，N，∴＝.又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴＝(0，a,0)，∴·＝0，∴⊥.∵是平面BB1C1C的法向量，且MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.

13.1 解析　由l∥α可知a·n＝0，即2－2x＝0，所以x＝1.

14.C 解析：连接OE.设点M的坐标为(x,y,1),因为AC∩BD=O,所以O,

又E(0,0,1),A(,0),所以,,1),

因为AM∥平面BDE,所以∥,所以⇒所以M点的坐标为.

故选C.

15.证明 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，为x轴的正方向建立空间直角坐标系．

根据题意，＝(1，0，0)，＝(0，0，1)，＝(0，1，0)，

故有·＝0，·＝0，

所以为平面BAQ的一个法向量．

又因为＝(0，－2，1)，且·＝0，即DA⊥PC，且PC⊄平面BAQ，故有PC∥平面BAQ.

16. 解：（1）在三棱柱中，平面ABC，，.

∴，，，

∵，

∴平面，

∵平面，

∴，

∵，

∴平面.

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，

，，，，

 所以，，

设平面的法向量，则，

取，得，

点M在线段上，且，点N在线段上，设，，

设，则，，，

即，

解得，，

，

∵，

∴，解得.

∴在线段上存在一点N，满足平面，且的值为.